Tìm hiểu thêm về tích vô hướng

Tìm hiểu thêm về tích vô hướng
 Định nghĩa: (Có nhiều định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ, ở đây ta chỉ nêu một số định nghĩa quen thuộc trong chương trình phổ thông).
Cho hai véc tơ () tích vô hướng của hai vec tơ đó kí hiệu là được xác định như sau: . 
Trong hệ toạ độ tích vô hướng còn được xác định như sau:
Cho khi đó .
Trong hệ toạ độ oxyz tích vô hướng cũng được xác định .
Cho khi đó .
Ngoài ra ta còn viết .
Từ định nghĩa ban đầu ta có thể suy ra rằng . 
Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức.
Thí dụ 1. Cho ba số dương. Chứng minh rằng: 
Giải. Trong hệ toạ độ lấy 
Theo (*) ta suy ra:
Hay . (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi hai véc tơ cùng hướng 
Thí dụ 2. Với bốn số bất kì, cmr: .
Giải. Chọn ba véc tơ ta có:
Mặt khác: 
Từ hai điều trên suy ra: .(đpcm)
Thí dụ 3. Trong tam giác ABC chứng minh rằng: 
Giải. Gọi đường tròn (I;r) nội tiếp có các tiếp điểm lần lượt thuộc khi đó xét: 
Mà Nên
Dễ thấy đấu bằng có được khi trùng với hay tam giác đều.
Thí dụ 4. Chứng minh rằng tam giác có: Từ đó cmr:
Giải. Gọi (O;R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác khi đó xét:
Ta có: 
Tương tự cho hai tích vô hướng còn lại ta thu được:
Dấu bằng có được khi trùng với hay tam giác đều.
Để chứng minh: Ta chọn và áp dụng ta có ngay: 
Dấu bằng đạt được khi tam giác đều.
Vận dụng trong các bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình.
Thí dụ 5. Giải phương trình sau: 
Giải. Điều kiện .
Chọn , áp dụng (*) ta suy ra:
Như vậy dấu bằng đạt được khi: 
Kết luận phương trình đã cho có nghiệm .
Thí dụ 6. Giải hệ phương trình sau: 	
Giải. Chọn ba véc tơ: .
Từ phương trình thứ ba suy ra: 
Từ phương trình thứ hai suy ra : 
Nếu thì suy ra cộng tuyến trái với phương trình đầu.
Như vậy hay . Từ pt đầu .
Kiểm tra lại ta có nghiệm của hệ (x;y;z) là: (1;0;0) và (-1;0;0).
Thí dụ 7. Giải hệ phương trình sau: 
Giải. Chọn từ đề bài suy ra 
Mặt khác ta lại có Nên suy ra .
Như vậy dẫn đến 
Thử lại ta được nghiệm của hệ là .
Thí dụ 8. Giải hệ 
Giải. Chọn .
Từ pt đầu suy ra: . (1)
Từ pt hai suy ra: . (2)
Từ pt ba suy ra: . (3)	
Nếu thay vào hệ suy ra: hoặc 
Nếu từ (1) và (2) suy ra cộng tuyến.
Mà từ (3) có nên ta suy ra: .
Với 
Thay vào (1) ta được 
Với 
Thay vào (1) ta được hoặc 
Kết luận nghiệm của hệ (x;y;z) là: (0;0;1), (0;0;2), (0;4;0) và 
Thí dụ 9. Giả sử hệ có nghiệm. Cmr: .
Giải. Chọn . Từ hệ ta có: 
Mặt khác: , mà 
Như vậy suy ra: .(đpcm).
Thí dụ 10. Cho Có và . Tính .
Giải. Chọn Khi đó theo đề bài có: và . 
Do nên cộng tuyến với Theo gt có Nên .
Nếu 
Nếu 
Kết luận: 
Thí dụ 11. Giả sử hệ có nghiệm, cmr: 
Giải. Chọn và . Như vậy hệ tương đương với:
 , do nên ta suy ra ba véc tơ là đồng phẳng. Mặt khác ta dễ dàng kiểm tra được các góc . Điều này tương đương với hoặc =.
Nếu thì (đpcm)
Nếu = thì suy ra Theo hằng đẳng thức 
 (đpcm)
Thí dụ 12. Giả sử hệ có nghiệm, cmr: 
Giải. (Quy ước số 0 có dấu dương hoặc âm).
 Do vai trò của là như nhau nên ta chỉ cần chứng minh cho biến là đủ.
Từ hệ ta chỉ ra ngay được cùng dấu. Thật vậy không mất tổng quát:
Giả sử Ta ( Vô lí).
Giả sử Ta suy ra: .(Vô lí).
Nên ba số hoặc 
Ta có , theo gt suy ra:
 -Trường hợp .
Trong hệ tọa độ oxyz chọn điểm thay đổi, chọn như vậy từ gt và . Từ đây suy ra khi thay đổi thì luôn nằm trong góc phần tám thứ nhất và tạo với một góc không đổi. Chiếu lên trục ta xác định được hoành độ hay
, như vậy đạt giá trị lớn nhất phụ thuộc vào góc MOx . Xét trong góc tam diện ta luôn có Mặt khác không đổi nên đạt lớn nhất hay nhỏ nhất khi ba đường thẳng OA, OM, Ox là đồng phẳng Với thay vào hệ được .
Tức là trong trường hợp này .
 - Trường hợp Đặt với ta quay về trường hợp vừa xét 
Như vậy từ hai trường hợp cho ta kết quả 
Vai trò như nhau nên ta có được (đpcm)
Vận dụng tư tưởng này chúng ta giải quyết bài toán sau:
Thí dụ 13. Cho các số . Chứng minh rằng :
.
Giải. Chọn các véc tơ khi đó BĐT là:
Chia cả hai vế cho và chú ý đến ta có:
Gọi BĐT trở thành: 
Từ gốc tọa độ O kẻ ba véc tơ . Theo đề bài nên các đoạn thẳng OA, OB, OC nằm trong góc phần tám thứ nhất. Xét góc tam diện OA,OB,OC suy ra Suy ra 
Suy ra: 
Dấu = khi và .
Cuối cùng xin đưa ra một bài toán hình học nhưng cách giải lại mang đậm bản chất đại số.
Thí dụ 14. Cho hình chóp có vuông góc với nhau đôi một, là một điểm bất kì thuộc phần trong tam giác . Gọi lần lượt là góc giữa đường thẳng với . Chứng minh rằng 
Giải. Lấy trên các véc tơ đơn vị lần lượt là , . Theo đề bài suy ra :
- Ba véc tơ vuông góc với nhau đôi một.
-Tồn tại duy nhất bộ số thực để 
Từ suy ra 
Nhân hai vế lần lượt với các véc tơ và bình phương lên ta suy ra 
,, 
Như vậy theo suy ra: (đpcm).
------------------------------------------------------------