Toán 10 – Phương trình. Hệ phương trình. Bất phương trình

Page 1 of 50 
TOAN 10 – PT-HỆ PT-BĐT 
Câu 1. Tìm điều kiện xác định của phƣơng trình 
2
2 2 3 7
2 2 4
x x x
x x x
  
 
  
A. 2x B. 2x C. 2x D. x 
Câu 2. Tìm điều kiện xác định của phƣơng trình 3 2 2 6x x x 
A. 2x B. 2x C. 2x D. x 
Câu 3. Điều kiện xác định của pt 
2
5
2
1 2
x
x
x
  

 là 
A.
2
1
x
x



 B. 
2
1
x
x



 C. 2x  D. 
2
1
x
x


 
Câu 4. Tập nghiệm của phƣơng trình : 2x 3 x 3   là : 
A.  S 6,2 B.  S 2 C.  S 6 D. S  
Câu 5. Cho phƣơng trình 22x x x . Hỏi số nào sau đây là nghiệm của phƣơng trình: 
A. 1 B. 2 C.-1 D.-2 
Câu 6. Giải phƣơng trình 4 28 9 0x x 
A. 3, 3x x B. 1, 1x x C. 3, 1x x D. 3, 1x x 
Câu 7. Giải phƣơng trình 2 1 5x   
A. 2, 3x x B. 2, 3x x C. 2, 3x x D. 3, 1x x 
Câu 8. Giải phƣơng trình 
2 2 4 2x x   
A.  0;2 B.
 0; 2 C.
 0 D.  
Câu 9. Giải phƣơng trình 2 x x  
A.  1; 2 B.
 2 C.
 1 D.  
Câu 10. Tập nghiệm của phƣơng trình 
3 3
2
1 1
 
 
x
x
x x
 là : 
 A. S = 
3
1;
2
 
 
 
 B. S =  1 C. S = 
3
2
 
 
 
 D. S= 
Câu 11. Cho phƣơng trình 2 4 0x . Phƣơng trình nào sau đây tƣơng đƣơng với phƣơng trình đã cho 
A. 2x B. 2 4 0x x C. 
2 4
0
x x
x
D. 
1 1
2 4
2 2
x
x x
Câu 12. Xét các khẳng định sau đây: 
 1) x 2 1   x-2 = 1 2) x 2 x   x2 – x – 2 = 0 
 3) 2( x) 1 2x x 1 2x     4) 2x 1 2x x 1 2x     
 Ta có số khẳng định đúng là : 
 A. 1 B. 2 C.3 D.4 
Câu 13. Cho phƣơng trình bậc 2 
2a 0, 0x bx c a    . Phƣơng trình có nghiệm khi nào? 
A. 0 B. 0 C. 0 D. 0 
Câu 14. Hai số 1 2 và 1 2 là các nghiệm của phƣơng trình : 
A. 2 2 1 0x x B. 2 2 1 0x x C. 2 2 1 0x x D. 2 2 1 0x x 
Câu 15. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phƣơng trình : x
2
 –3x –1 = 0. Ta có tổng 2 21 2x x bằng : 
 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 
Page 2 of 50 
Câu 16. Phƣơng trình sau đây có bao nhiêu nghiệm : 4 22016 2017 0x x 
 A.2 B.3 C.4 D.1 
Câu 17. 
Câu 18. 
Câu 19. 
Câu 20. 
Page 3 of 50 
Câu 21. 
Câu 22. 
Page 4 of 50 
Câu 23. 
Câu 24. Điều kiện xác định của phƣơng trình 
2
2
1
x
x
 – 5 = 
2
3
1x
 là : 
A.  \ 1D R B.  \ 1 D R C.  \ 1 D R D. D = R 
Câu 25. Điều kiện xác định của pt 5 3 5x x x     là 
 A. 5x  B. 5x  C. 5x  D. x 
Câu 26 Số –1 là nghiệm của phƣơng trình nào ? 
 A. 
2 4 2 0x x B. 
22 5 7 0x x 
 C.
23 5 2 0x x D. 
3 1 0x 
Câu 27 Phƣơng trình: 5x 3 4x 4 3 5x     có tập nghiệm là: 
 A. S = {–1} B. S = 
3
5
 
 
 
 C. S =  D. S = 
3
1;
5
 
 
 
Câu 28 Tập nghiệm của pt
2 4
1 1
x
x x
là: 
 A.  2 B.  2 C.  2 D.  
 Câu 29 Hai phƣơng trình đƣợc gọi là tƣơng đƣơng khi : 
A. Có cùng dạng phƣơng trình B. Có cùng tập xác định 
 C. Có cùng tập hợp nghiệm D. Cả a, b, c đều đúng 
 Câu 30 Trong các khẳng định sau, phép biến đổi nào là tƣơng đƣơng : 
 A. 2 23 2 3 2      x x x x x x 
 B. 21 3 1 9    x x x x 
 C. 2 23 2 2 3      x x x x x x 
 D. Cả A , B , C đều sai . 
 Câu 31 Với m bằng bao nhiêu thì phƣơng trình sau vô nghiệm : 
2 4 3 6m x m
 A. 1 B. 2 C. –1 D. –2 
Page 5 of 50 
Câu 32 Khi phƣơng trình : x2 – 4x + m + 1 = 0 có 1 nghiệm bằng 3 thì nghiệm còn lại bằng : 
 A. 2 B. 1 C. 4 D. Kết quả khác 
 Câu 33 Pt nào là pt hệ quả của pt 2 4 0x  là đƣờng thẳng nào sau đây: 
A. 2 4x  B. 1 3x  C. x=2 D. 2x=4 
 Câu 34 Phƣơng trình x2 = 3x tƣơng đƣơng với phƣơng trình : 
 A. 2 2 3 2    x x x x B. 2
1 1
3
3 3
  
 
x x
x x
 C. 2 . 3 3 . 3  x x x x D. 2 2 21 3 1    x x x x 
Câu 35 Phƣơng trình x2 + m = 0 có nghiệm khi và chỉ khi : 
 A. m > 0 B. m< 0 C. m ≤ 0 D. m ≥ 0 
 Câu 36 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phƣơng trình : x
2
 –3x –1 = 0. Ta có tổng 2 21 2x x bằng 
 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 
 Câu 37 Tập nghiệm của phƣơng trình 
3 3
2
1 1
 
 
x
x
x x
 là : 
 A. S = 
3
1;
2
 
 
 
 B. S =  1 C. S = 
3
2
 
 
 
 D. Kết quả khác 
 Câu 38 Cho phƣơng trình ax4 + bx2 + c = 0 (1) (a khác 0) . 
 Đặt :  = b2–4ac, S = ,


b c
P
a a
. Ta có (1) vô nghiệm khi và chỉ khi : 
 A.  < 0 B.  < 0 hoặc 
0
0
0
 


 
S
P
 C.
0
0
 

S
 d)
0
0
 

P
Câu 39 Tập hợp nghiệm của phƣơng trình 2x 4 x 2   là: 
 A. { 0, 2} B. { 0} C. { 2} D.  
 Câu 40 Tập nghiệm của phƣơng trình : 2x 3 x 3   là : 
A.  S 6,2 B.  S 2 C.  S 6 D. S  
 Câu 41 Xét các khẳng định sau đây: 
 1) x 2 1   x-2 = 1 2) x 2 x   x2 – x – 2 = 0 
 3) 2( x) 1 2x x 1 2x     4) 2x 1 2x x 1 2x     
 Ta có số khẳng định đúng là : 
 A. 1 B. 2 C.3 D.4 
 Câu 42 Cho 2 phƣơng trình: x (x –2) = 3(x–2) (1) 
x(x 2)
3
x 2



 (2) 
 Ta nói: 
 A. phƣơng trình(1) là hệ quả của phƣơng trình (2) 
 B. phƣơng trình(1) và (2) là hai phƣơng trình tƣơng đƣơng 
 C. phƣơng trình(2) là hệ quả của phƣơng trình(1) 
 D. Cả 3 câu A,B,C đều sai 
 Câu 43 Khi giải phƣơng trình : 23 1 2 1 (1)  x x , ta tiến hành theo các bƣớc sau : 
 Bƣớc 1 : Bình phƣơng hai vế của ph.trình (1) ta đƣợc : 3x2 +1 = (2x+1)2 (2) 
 Bƣớc 2 : Khai triển và rút gọn (2) ta đƣợc : x2 + 4x = 0  x = 0 hay x= –4 
 Bƣớc 3 : Khi x=0, ta có 3x2 + 1 > 0. Khi x = – 4 , ta có : 3x2 + 1 > 0 
Page 6 of 50 
 Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là : {0 –4} 
 Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bƣớc nào? 
 a) Đúng b) Sai ở bƣớc 1 c) Sai ở bƣớc 2 d) Sai ở bƣớc 3 
Câu44. Cho phƣơng trình : ax+ b = 0 . Chọn mệnh đề đúng : 
 a) Nếu phƣơng trình có nghiệm thì a khác 0 
 b) Nếu phƣơng trình vô nghiệm thì a = 0 
 c) Nếu phƣơng trình vô nghiệm thì b = 0 
 d) Nếu phƣơng trình có nghiệm thì b khác 0 
Câu45. Phƣơng trình ax + b = 0 có tập nghiệm là R khi và chỉ khi : 
 a) a khác 0 b) a = 0 c) b = 0 d) a = 0 và b = 0 
Câu46. Tìm m để phƣơng trình: 2( 9) 3 ( 3)  m x m m (1) có nghiệm duy nhất : 
 a) m = 3 b) m = – 3 c) m = 0 d) m ≠  3 
Câu47. Phƣơng trình (m2 – 4m + 3)x = m2 – 3m + 2 có nghiệm duy nhất khi : 
 a) m  1 b) m  3 c) m≠1 và m≠3 d) m=1 hoặc m=3 
Câu48. Phƣơng trình (m2 – 2m)x = m2 – 3m + 2 có nghiệm khi : 
 a) m = 0 b) m = 2 c) m ≠ 0 và m ≠ 2 d) m ≠ 0 
Câu49. Cho phƣơng trình m2x + 6 = 4x + 3m . Phƣơng trình có nghiệm khi ? 
 a) m  2 b) m  –2 c) m  2 và m  –2 d. m 
Câu50. Phƣơng trình (m2 – 5m + 6)x = m2 – 2m vô nghiệm khi: 
 a) m =1 b) m = 6 c) m = 2 d) m = 3 
Câu51. .Phƣơng trình ax2 +bx +c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi : 
 a) a= 0 b) 
0
0


 
a
 hoặc 
0
0



a
b
c) a = b = 0 d) 
0
0


 
a
Câu52. .Phƣơng trình 2 (2 3) 2 3 0   x x 
 a) Có 2 nghiệm trái dấu. b) Có 2 nghiệm âm phân biệt 
 c) Có 2 nghiệm dƣơng phân biệt d) Vô nghiệm. 
Câu53. .Phƣơng trình x2 + m = 0 có nghiệm khi và chỉ khi : 
 a) m > 0 b) m< 0 c) m ≤ 0 d) m ≥ 0 
Câu54. .Cho phƣơng trình (m –1)x2 + 3x – 1 = 0. Phƣơng trình có nghiệm khi ? 
 a) 
5
4
 m b) 
5
4
 m . c) 
5
4
 m d) 
5
4
m 
Câu55. .Với giá trị nào của m thì phƣơng trình: 2 2( 2) 3 0    mx m x m có 2 nghiệm 
phân biệt. 
 a) m ≤ 4 b) m < 4 c) m < 4 và m ≠ 0 d) m ≠ 0 
Câu56. .Cho phƣơng trình: 2 2( 2) 1 0    mx m x m .Phƣơng trình có hai nghiệm 
 phân biệt khi và chỉ khi tham số m thỏa điều kiện: 
 a) m< 
4
, 0
5
 m b) m ≠ 0 c) 
4
5
 m d) 
4
, 0
5
  m m 
Câu57. .Cho phƣơng trình 2 0  ax bx c (1) Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định 
sau : 
 a) Nếu P < 0 thì (1) có 2 nghiệm trái dấu 
 b) Nếu P > 0 và S < 0 thì (1) có 2 nghiệm 
 c) Nếu P > 0 và S 0 thì (1) có 2 nghiệm âm. 
 d) Nếu P > 0 và S > 0 và  > 0 thì (1) có 2 nghiệm dƣơng 
Câu58. .Cho phƣơng trình ax2 + bx +c = 0 (a khác 0). Mệnh đề sau đúng hay sai ? 
 "Nếu phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt thì a và c trái dấu nhau." 
 a) Đúng b) Sai 
Câu59. .Điều kiện cần và đủ để phƣơng trình ax2+bx+c = 0 ( a khác 0) có hai nghiệm 
 phân biệt cùng dấu nhau là : 
Page 7 of 50 
 a) 
0
0
 

P
 b) 
0
0
 

P
 c)
0
0
 

S
 d) 
0
0
 

S
Câu60. .Cho phƣơng trình ax2+bx +c = 0 (a khác 0). Phƣơng trình có hai nghiệm âm 
 phân biệt khi và chỉ khi : 
 a)  > 0 và P >0 b)  >0 và P>0 và S>0 
 c)  > 0 và P >0 và S0 và S>0 
Câu61. .Cho phƣơng trình   23 1 (2 5) 2 3 0     x x . Hãy chọn khẳng định đúng 
trong các khẳng định sau : 
 a) Phƣơng trình vô nghiệm. b) Phƣơng trình có 2 nghiệm dƣơng. 
 c) Phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu. d) Phƣơng trình có 2 nghiệm âm. 
Câu62. .Với giá trị nào của m thì phƣơng trình (m –1)x2 + 3x –1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt 
trái dấu : 
 a) m > 1 b) m < 1 c)m d) Không tồn tại m 
Câu63. 2 và 3 là hai nghiệm của phƣơng trình : 
 a) 2 ( 2 3) 6 0   x x b) 2 ( 2 3) 6 0   x x 
 c) 2 ( 2 3) 6 0   x x d) 2 ( 2 3) 6 0   x x 
Câu64. Cho phƣơng trình : x2 + 7 x –260 = 0 (1) . Biết rằng (1) có nghiệm x1 = 13. 
 Hỏi x2 bằng bao nhiêu? 
 a) –27 b) –20 c) 20 d) 8 
Câu65. Tập nghiệm của phƣơng trình : 2 3 5  x x (1) là tập hợp nào sau đây ? 
 a) 
3 7
 ; 
2 4
 
 
 
 b) 
3 7
 ; 
2 4
 
 
 
 c) 
7 3
 ; 
4 2
 
  
 
 d) 
7 3
; 
4 2
 
 
 
Câu66. Phƣơng trình 2 4 2 4 0   x x có bao nhiêu nghiệm ? 
 a) 0 b) 1 c) 2 d) Vô số 
Câu67. .Cho phƣơng trình: |x – 2| = 2 – x (1). Tập hợp các nghiệm của phƣơng trình (1) 
là tập hợp nào sau đây? 
 a) {0, 1, 2} b) ( – ∞ , 2] c) [2, + ∞ ) d) N. 
Câu68. .Phƣơng trình |5x + 2| = –|5x – 2| có bao nhiêu nghiệm? 
 a) 0 b) 1 c) 2 d) Vô số nghiệm. 
Câu69. Tập nghiệm của phƣơng trình 
2 4 2
2
 

x x
x
 = 2x là : 
 a) S =  2 b) S =  1 c) S =  0 ; 1 d) Kết quả khác 
Câu70. Phƣơng trình sau có bao nhiêu nghiệm:  x x 
 a) 0 b) 1 c) 2 d) Vô số 
Câu71. Trong các phƣơng trình sau, phƣơng trình nào có nghiệm? 
 a) 3x
2
 + 5 = –2 1x b) x2 – 3 1 x = 4 + 5x 
 c) x
2
 + 2 = x + 4 d) x
2
 + 4 x + 6 = 0 
Câu72. .Phƣơng trình 4 2( 65 3) 2(8 63) 0    x x có bao nhiêu nghiệm ? 
 a) 2 b) 3 c) 4 d) 0 
Câu73. .Phƣơng trình – 4 22( 2 1) (3 2 2) 0    x x có bao nhiêu nghiệm ? 
 a) 2 b) 3 c) 4 d) 0 
Câu74. . Phƣơng trình 1 2x   có ngiệm là : 
a/ x = 3 ; b/ x = 1; c/ x = 3 ; x= -1; d/ x = 2. 
Câu75. . 22 2 3x x x     Có ngiệm là : 
a/ Vô nghiệm ; b/ x = 1 ; c/ x = 2 ; d/ x= 0 
Câu76. . Phƣơng trình 3 2x    có bao nhiêu nghiệm : 
a/ 1 ; b/ 2 ; c/ 3 ; d/ 0 
Page 8 of 50 
Câu77. . Phƣơng trình 2 7 10 3 1x x x    có bao nhiêu nghiệm : 
a/ 1 ; b/ 3 ; c/ 0 ; d/ 0 
Câu78. . Phƣơng trình 4 9 3 2x x   có nghiệm là : 
a/ x=1 ; b/ x = 2 ; c/ x = 3 ; d/ vô nghiệm 
Câu79. Phƣơng trình 4 29 8 0x x   
A. Vô nghiệm; B. Có 3 nghiệm phân biệt; 
C. Có 2 nghiệm phân biệt; D. Có 4 nghiệm phân biệt; 
Câu80. Phƣơng trình 1 2 3x x x     
A. Vô nghiệm; C. Có đúng 1 nghiệm; 
B. Có đúng 2 nghiệm; D.  ... 
minh. 
Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a,b,c, chöùng minh : 
2 2 2
2( )    a b c ab bc ca 
Ví duï 2: Cho x, y laø caùc soá thöïc döông thoûa maõn ñieàu kieän 
4
5
 yx . Chöùng minh raèng: 
 5
4
14

xx
Page 44 of 50 
Ví duï 3: Cho x,y,z laø caùc soá döông. Chöùng minh raèng: zxyzxyzyx 53423  
Ví duï 4: Chöùng minh raèng vôùi moïi moïi x,y döông ta coù: )(2
1122 yx
yx
yx  
Ví duï 5: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a,b,c, chöùng minh : 
 0)2()2()2(  baccaacbbccbaab 
Ví duï6: Cho x,y,z vaø xyz=1. Chöùng minh raèng : zyxzyx  333 
Ví duï 7: Cho x, y, z > 0 vaø x+y+z=xyz. Chöùng minh raèng : 33xyx 
Ví duï 8: Cho ba soá döông a, b, c . Chöùng minh raèng : 9





c
cba
b
cba
a
cba
Ví duï 9: Cho ba soá döông x,y,z thoûa maõn 1 zyx . Chöùng minh raèng : 
 10
111

zyx
zyx 
Ví duï 10: Cho a,b,c >0 vaø abc=1. Chöùng minh raèng : 
 3
b c c a a b
a b c
a b c
  
      
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 
I.BiÕn ®æi t-¬ng ®-¬ng,®¸nh gi¸ 
Bµi 1: CMR 211 22  aaaa a. 
Bµi 2: CMR  zyxxzxzzyzyyxyx  3222222  x,y,z. 
Bµi 3: CMR (x-2)(x-4)( x-6)(x-8) + 16  0 x. 
Bµi 4: Cho a,b,c tho¶ m·n a2 + b2 + c2 = 1. CMR 
abc + 2( 1 + a + b + c + ab + bc + ca)  0 
Bµi 5: Cho a,b,c > 0. CMR 
 1) NÕu ab  1 th× 
abba 



 1
2
1
1
1
1
22
. 
 2) NÕu a,b,c  1 th× 
abccba 





 1
3
1
1
1
1
1
1
333
. 
Bµi 6: Cho a,b,c tho¶ m·n 
bca
211
 . CMR 4
22






bc
bc
ba
ba
. 
Bµi 7: Cho a+b  0. CMR 
333
22





 

 baba
. 
Bµi 8: Cho a,b,c > 0. CMR 
322
3
22
3
22
3 cba
acac
c
cbcb
b
baba
a 






. 
Bµi 9: CMR  1,021111 22  ttttt . 
Bµi 10: CMR 1. a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a( b + c + d + e ) a,b,c,d,e 
 2.a2 + b2 + c2 + d2  a( b + c + d) a,b,c,d. 
Bµi 11.Cho x>0 CMR 
2
2
1 2
(x 1) ( 1) 16
x x
    
Bµi 12.Cho a,b>0 CMR 
a b
a b
b a
   . 
Page 45 of 50 
Bµi 13.Cho a,b>0 vµ 
1 1 2
1+a 1 b 1 ab
 
 
(Nh©n chÐo vµ ph©n tÝch). 
Bµi 14.Cho a,b,c>0 vµ a,b,c 1,CMR 
2 2 2
1 1 1 3
1+a 1 b 1 c 1 abc
  
  
(AD bµi 13 vµ ab abc). 
Bµi 15. 
II.BÊt ®¼ng thøc C«si 
Bµi 1: Cho a,b,c > 0. CMR 
1) a4 + b4 + c4  ab3 + bc3 +ca3 
2) 3a3 + 7b3  9ab2 
3) 53 532 abba  
4) ba
a
b
b
a
 
5) 
33335
2
5
2
5
2
5
2 1111
dcbaa
d
d
c
c
b
b
a
 
6) 
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a

3
3
3
3
3
3
Bài 2: Cho x , y,z > 0 tháa m·n xyz = 1. CMR *,3
2
1
2
1
2
1
Nn
zyx
nnn





 





 





 
Bµi 3: Cho x,y,z > 0 tho¶ m·n x + y + z = 1. 
a) CMR : 






x
1
1 






y
1
1 64
1
1 






z
. 
b) T×m GTNN cña : A = 






x
3
2 






y
3
2 






z
3
2 . 
Bµi 4: Cho a,b,c,m,n,p > 0. CMR: 
a)  a1  b1    3311 abcc  b)     333 mnpabcpcnbma  
Bµi 5: Cho a,b,c > 0. CMR: 
a) 
2
3





 ba
c
ac
b
cb
a
 (BÊt ®¼ng thøc Nesbit) 
b) NÕu abc = 1 th× :
      2
3
222





 bac
ab
acb
ca
cba
bc
 . 
Ba× 6. 
1. Cho a,b0,CMR. 
6
6 6 (a b)
a b
32

  
2. a b b c c a 2( a b c).        
Bµi7.Cho a,b,c>0,CM c¸c B§T sau 
1. 
2 2 2 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
b c c a a b 2abc
 
  
  
. 
2. 
3 3 3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 a b c
3,voi a +b +c =1 
b c c a a b 2abc
 
   
  
3. Cho thªm ®k :a+b=1 CMR 
Page 46 of 50 
 2 2
1 1 25
(a ) (b )
a b 2
    
 2 2
1 1 25
(a ) (b )
b a 2
    
 
1 1 25
(a )(b )
a b 4
   
 
1 1 25
(a )(b )
b a 4
   
Bµi 8:Cho a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c,CM c¸c B§T sau: 
1. 
1 1 1 1 1 1
b c a c a b a b c a b c
    
     
2. 
1 1 1 1 1 1
b c a c a b a b c a b c
    
     
3. 2 2 2
a b c
( ) ( ) ( ) 3
b c a c a b a b c
  
     
4. 
a b c
3
b c a c a b a b c
  
     
5. 
a b c
3
b c a c a b a b c
  
     
6. 
a b c
3
b c a c a b a b c
  
     
Bµi 9.Cho a,b,c>0,CM c¸c B§T sau 
1. 
ab bc ca a b c
a b 2c b c 2a c a 2b 4
 
  
     
2. 
1 1 1 1 1 1
a b 2c b c 2a c a 2b 4a 4b 4c
    
     
3. 
1 1 1 1 1 1
a 3b b 3c c 3a 4a 4b 4c
    
  
4. 
a b c 3
2(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
  
     
5. 
bc ca ab 3
2(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
  
     
6. 
1 1 1 1 1 1 1
( )
2 a b c(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
    
     
 Baøi 9: Cho caùc soá döông x,y,z thoûa maõn xyz=1. Chöùng minh raèng 
33
111 33
3333






zx
xz
yz
zy
xy
yx
 Khi nµo ñaúng thöùc xaûy ra? 
Baøi 10: Chöùng minh raèng vôùi moïi x R , ta coù: xxx
xxx
543
3
20
4
15
5
12


















Page 47 of 50 
 Khi naøo ñaúng thöùc xaûy ra? 
Baøi 11: Cho x,y,z laø caùc soá döông thoûa maõn 4
111

zyx
. Chöùng minh raèng : 
 1
2
1
2
1
2
1





 zyxzyxzyx
Baøi 12: Vôùi a,b,c laø ba soá thöïc döông thoûa maõn ñaúng thöùc abccabcab  , chöùng minh 
raèng: 3
222 222222






ca
ca
bc
bc
ab
ab
Bµi 13.(Kü thuËt co si ng-îc dÊu). 
1. Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=3 CMR: 
2 2 2
a b c 3
1 b 1 c 1 a 2
  
  
2. Cho a,b,c,d>0,CMR 
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
a b c d a b c d
a b b c c d d a 4
  
   
   
3. Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR 
2 2 2 2
1 1 1 1
2
1 a 1 b 1 c 1 d
   
   
4. Cho a,b,c>0 tho¶ m·n a+b+c=3,CMR 
2 2 2
a 1 b 1 c 1
3
b 1 c 1 a 1
  
  
  
5. Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR 
2 2 2 2
a b c d
2
1 b 1 c 1 d 1 a
   
   
6. Cho a,b,c,d>0 CMR 
4 4 4 4
3 3 3 3 3 3 3 3
a b c d a b c d
a 2b b 2c c 2d d 2a 4
  
   
   
7. Cho a,b,c0 tho¶ m·n a+b+c=3 CMR 
2 2 2
2 2 2
a b c
1
a 2b b 2c c 2a
  
  
8. Cho a,b,c 0 tho¶ m·n a+b+c=3 CMR
2 2 2
3 3 3
a b c
1
a 2b b 2c c 2a
  
  
9. Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR 
2 2 2 2
a 1 b 1 c 1 d 1
4
b 1 c 1 d 1 a 1
   
   
   
10. Cho a,b,c0 tho¶ m·n a+b+c=3 CMR
2 2 2
2 2 2
a b c 3
a b b c c a 2
  
  
Bµi 14(Kü thuËt thªm bít trong B§T COSI) 
1. Cho a,b,c>0 CMR 
2 2 2
a b c a b c
a b b c c a 2
 
  
  
(Thªm (a+b)/4..hoÆc COSI ng-îc ) 
2. Cho a,b,c>0 CMR
2 2 2
a b c
a b c
b c a
     (Thªm a,b,c) 
3. Cho a,b,c>0 CMR
3 3 3
a b c
a b c
bc ca ab
     (Thªm b+c) 
4. Cho a,b,c>0 vµ abc=1,CMR 
3 3 3a b c 3
(1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) 4
  
     
(Thªm(1+b)/8+(1+c)/8) 
Page 48 of 50 
5. Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR 
2 2 2 2
a b c d 4
b c d c d a d a b a b c 3
   
       
(Thªm (b+c+d)/9..) 
6. Cho a,b,c>0 CMR 
3 3 3 2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
     (Thªm a,b,c) 
7. Cho a,b,c>0 CMR 
4 4 4 3 3 3
2
2 2 2
a b c a b c
(Them a ..)
b c a b c a
     
8. Cho a,b,c>0 CMR 
3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
     (Thªm ab,bc,ca) 
9. Cho a,b,c>0 CMR
3 3 3 2 2 2
a b c a b c
b c c a a b 2
 
  
  
(Thªm 
2 2 2 a(b+c)a ,b ,c hoac ...
4
) 
10. Cho a,b,c>0 CMR
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
a b c a b c a a
.(Them 1..)
b c a b c a b b
       
III.BÊt ®¼ng thøc BunhiacèpSki 
Bµi 1: Cho a,b,c > 0. CMR: 
 a)    2333 111 cba
cba
cba 





 
 b)     2223333 cbacbacba  
 c)    33339 cbacba  
Bµi 2 : Cho a,b,c  
4
1
 tho¶ m·n a+b+c = 1. CMR: 211414147  cba 
Bµi 3 : CMR : 
 a) 11  xyyxxy víi x,y  1 
 b)    cbccacab  víi 0 < ca,b 
Bµi 4 : Cho a,b,c > 0. CMR: 
 a) ( a + b )4 8(a4 + b4) ; 
 b)    222222 dbcadcba  
 c) 
17
98
2 22  ba víi 2a + 3b  7 
 d) 3
222 222222






ca
ca
bc
bc
ab
ab
 víi ab + bc + ca = abc 
Bµi 5: Cho x,y > 0. T×m GTNN: 
 a) A = 
yx 4
14
 víi x + y = 1 
 b) B = x + y víi 6
32

yx
 c) C = 24 xx  
 d) D =
1
1
2 

x
x
Page 49 of 50 
IV.BÊt ®¼ng thøc vÒ trÞ tuyÖt ®èi: 
Bµi 1: Cho 10 zyx CMR: 4321  zyx 
Bµi 2: CMR :      ababbababa  11112 22 
Bµi tËp thªm : 
Bµi 1: Cho a,b,c > 0 tho¶ m·n a + b = c .CMR 4
3
4
3
4
3
cba  
Bµi 2: CMR 113 23  aaaa 
Bµi 3: T×m GTNN cña biÓu thøc: 
a) A = 
2
1
2
x
x  víi x > 0 ; B = 
2
1
3
x
x  víi x > 0 ; C = 
 22
2
1
1
x
x

 
b) 
2
2
2
2
2
2 111
z
z
y
y
x
x  biÕt r»ng x,y,z > 0 vµ x + y + z  1 
Bµi 4: Cho x,y > 0 tho¶ m·n x2 + y3  x3 + y4 . CMR 22233  yxyxyx 
Bµi 5:Cho x,y,z > 0 tho¶ m·n xyz( x + y + z) = 1.T×m GTNN P = (x+y)(x+z) 
Bµi 6: Cho a,b,c > 0.CMR: 
a) 
ba
c
ac
b
cb
a
ac
c
cb
b
ba
a











2 
b) (a + 1) (b + 1) (a + c) (b + c)  16abc 
c) cba
b
ac
a
cb
c
ba
ab
c
ca
b
bc
a







222
222222333
Bµi 7: Cho a,b,c -1,1 tho¶ m·n a + b + c = 0.T×m GTLN,GTNN cña P = a2 + b4 + c6 
Bµi 8: Cho a,b,c > 0 tho¶ m·n a+b+c = 1.T×m GTNN P = 
ba
c
ac
b
cb
a





222
Bµi 9: CMR: 
a) 2222 11 yxyxyyxx  
b) 




 

2
311 22
yx
yyxx 
c)      ababbababa  11112 22 
Bµi 10.CMR víi mäi a,bR ta cã
a b a b
1 a b 1 a b
 

   
,dÊu “=” s¶y ra khi nµo? 
Bµi 11: CMR: aaa   233 844
2
V.BÊt ®¼ng thøc dïng tÝnh ch¸t tØ sè 
 A.T/C:Cho ba sè d-¬ng a,b,c 
1. NÕu 
a a a c
1 thi 
b b b c

 

2. NÕu 
a a a c
1 thi 
b b b c

 

3. NÕu cho thªm d>0 th× NÕu 
a c a a c c
b d b b d d

   

Page 50 of 50 
 B.Bµi tËp 
1. Cho a,b,c>0,CMR 
a b c
1 2
a b b c c a
   
  
2. Cho a,b,c,d>0 CMR 
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
    
       
3. Cho a,b,c,d>0 CMR 
2a b c 2b c d 2c d a 2d a b
P
a b c b c d c d a d a b
       
   
       
 Kh«ng lµ sè 
tù nhiªn 
4. Cho a,b,c,d>0 CMR 
a b b c c d d a
2 3
a b c b c d c d a d a b
   
    
       
 Bµi tËp cñng cè : 
1) CMR : víi a,b,c > 0 bÊt k× ta cã : 
a) 
2
cba
ac
ca
cb
bc
ba
ab 






b) cba
b
ca
a
bc
c
ab
 
c) 
3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 a 2 b 2 c 1 1 1
a b b c c a a b c
    
  
2) a) Nếu 2 2 2 1a b c   thì 
1
1
2
ab bc ca     
b)  , , 0, 3a b c ab bc ca abc a b c       
c)  , , 0;1x y z => 2 2 2 2 2 21x y z x y y z z x      
d) Cho a,b,c > 0. CMR 
322
3
22
3
22
3 cba
acac
c
cbcb
b
baba
a 






.