Tổng hợp đề thi vào 10 các tỉnh năm 2002 - 2003 môn Toán

Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội_ toán vòng 1 ‎
I (3đ)
1,Giải hệ: 
2,Giải pt:
II(3đ)
1)Tìm số có 4 chữ số t/m:
2)Tìm để pt có nghiệm nguyên. 
III(3đ)
vuông ở A. AH BC. . 
1) C/m tâm đường tròn ngoại tiếp AMN trùng tâm đ/tròn nt ABC
2) d1,d2 là 2 đt vuông với BC ở M,N. C/m d1,d2 tiếp xúc đường tròn nt ABC
IV(1đ)
Giả sử a,b nguyên dương t/m 
Tìm max:
P= 
Câu 1 : 
Câu 2 :
2) Đk cần là là số cp--> Đặt . Tách xong ta đc :
NX : và cùng tính chẵn lẻ , từ đó làm nốt ra kết quả.
Cách 2:
 ta có: 
Ta có 2 nghiệm của phương trình là 
Do chúng đều nguyên vậy, suy ra 
Do đó , mặt khác 16072 không chia hết cho 16 vậy không có p thỏa mãn cho phương trình trên có nghiệm nguyên
Cách 3:
Gọi và là nghiệm của phương trình ( , là các số nguyên ) 
Theo hệ thức Viét :
+ = 
= 
Vì và là các số nguyên nên 
là nguyên p lẻ 
là nguyên p chẵn 
VÔ LÝ 
Vậy không tồn tại p thỏa mãn
Câu 3 :
1) Gọi O là tâm nội tiếp . CM đc O là trung trực AM , AN--> O là tâm ngoại tiếp AMN.
2) Kẻ --> EF là đg kính--> đpcm.
Câu 4 :
Ta có Do đó vậy 
Giả sử và , ta có 
Do đó trong 2 số có một số nhỏ hơn 3.
Giả sử , xét ta có , lúc này 
Xét ta có
Mặt khác ta có 
Vậy 
Tóm lại đẳng thức xảy ra khi 
Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội_ toán vòng 2 ‎ 
Câu 1
1.Giải hệ phương trình :
2. Tìm giá trị lớn nhất của biều thức:
với 
Câu 2:
1.Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức:
.
2.Tìm số nguyên dương a,b,c sao cho là một số nguyên.
Câu 3: Cho nột tiếp (O). Giả sử các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhâu tại P nằm khác phía với A đối với BC. Trên cung BC không chứa A ta lấy điểm K(K khác B và C). Đường thẳng PK cắt đường tròn (O) lần thứ hai tại điểm Q khác A.
1) Chứng minh rằng các đường phân giác của các góc và đi qua cùng một điểm trên đường thẳng PQ.
2)Giả sử đường thẳng AK đi qua trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng AQ // BC
Câu 4:Cho phương trình (1) 
Trong đó các hệ số chỉ nhận một trong ba giá trị và . Chứng minh rằng là nghiệm của (1) thì 
Câu 1:
trừ vế theo vế dc
vì ko thể bằng 0 nếu bằng thì thay vào bài toán thấy vô lý
=>
thay ngược vào đề là ra
Bài 4:
->(vì các a nhận giá trị 1 0-1)
-> (): ()
giả sử |x| 2
->|x|-1 1-> VP < ( vô lí)
->đpcm
§Ò tuyÓn sinh vµo 10 - Chuyªn Lam S¬n (6)
Bµi 1: Cho K = ( - ) : ( + )
TÝnh K khi a = 3 +2
Bµi 2: Cho f(x) = x4 – 4x2 + 12x –9 
 	 a, Ph©n tich f(x) thµnh tÝch 
 b, Gi¶i ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 
Bµi 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh . 
Bµi 4 : T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh sau v« nghiÖm
Bµi 5: Cho (P ) y = x2- 2x –1 ; () y = x-1
a, T×m to¹ ®é giao ®iÓm A, B cña (P) vµ () .
b, T×m M ε(OX) sao cho MA + MB lµ nhá nhÊt 
Bµi 6: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
Bµi 7: Cho a,b lµ hai sè d­¬ng. Chøng minh r»ng :+ 
Bµi 8. Cho tam gi¸c ABC cã träng t©m G 
a, Chøng minh r»ng dt(GAB)®t(GCA),dt(GBC)
b, Gäi M,N,P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB,BC,CA. O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ABC . CMR O lµ trùc t©m cña MNP.
Bµi 9: Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB =a, BC = a, gäi M lµ trung ®iÓm cña BC
 CMR : AM ^ BD
Bµi 10: Cho h×nh chãp SABCD Cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng, SA ^ ®¸y . M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn BC , K lµ h×nh chiÕu cña S trªn DM . T×m quü tÝch cña ®iÓm K khi M di ®éng .
§¸p ¸n to¸n chung- TuyÓn sinh vµo 10 lam s¬n
Bµi
Néi dung
§ØÓm
1
(2®)
K = : 
 = Khi a= 3 + 2= (+ 1)2 => K = =2
1.0
1.0
2
(2®)
a, Ta cã f(x) = x4 - 4x2 + 12x - 9
 = x4- (2x - 3)2
 = (x2 + 2x - 3)(x2 - 2x + 3)
 =((x +1)2 - 2x2)(x2 - 2x + 3)
 =(x - 1)(x + 3)(x2 - 2x + 3)
b, f(x) = 0 t­¬ng ®­¬ng víi
VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x = 1, x = -3
1.0
1.0
3
(2®)
Ph­¬ng tr×nh 
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x= - 
1.0
1.0
1. 0
4
(2®)
HÖ ó y = mx-1 
 (m-)x= -1001 (*)
HÖ ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm ó (*) v« nghiÖm ó m - = 0
ó m = th× hÖ v« nghiÖm.
1.0
1.0
5
(2®)
a. Giao ®iÓm cña (P) vµ () lµ nghiÖm cña hÖ 
=> Giao ®iÓm A(0;-1) vµ B(3;2)
b. V× A(0;-1) vµ B( 3;2) n»m vÒ hai phÝa cña ox 
M cÇn t×m lµ giao ®iÓm cña ox vµ AB 
Trong ®ã AB : = ó x-y =1
M 
VËy M(1;0) th× MA+ MB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt 
1.0
1.0
6
2.0
HÖ ( v× 
VËy hÖ cã nghiÖm (0; 0) (;),(-;-)
1.0
1.0
7
2.0
BÊt ®¼ng thøc t­¬ng ®­¬ng víi 
 BÊt ®¼ng thøc ®· cho ®óng
DÊu b»ng x¶y ra ó a=b
1.0
1.0
8
(2®)
Ta cã : = = = 
 => dt(GBC) =dt(ABC)
T­¬ng tù :dt(GCA) = dt(ABC)
 dt(GAB) = dt(ABC) 
dt(GAB)=dt(GBC)=dt(GCA)
Ta cã ON ^ BC => ON^ MP => ON lµ ®êng cao cña MNP 
 MP // BC
 OM ^ AB => OM ^ NP Þ OM lµ ®êng cao cña MNP
 NP // AB
O lµ trùc t©m cña MNP
1.0
1.0
9
(2®)
Gäi H lµ giao ®iÓm cña AM vµ BD 
Trong vu«ng ABD ta cã BD ==a
	vu«ng cã AM = = 
V× M = AD => ==
HA = 2HM =BD=
HA2 + HD2= AD2
HAD vu«ng t¹i H
 -> AM ^ BD
1.0
1.0
10
(2®)
Ta cã : 
 => DM ^ (SAK)
Gãc 
-> K thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AD
1.0
1.0
“Luôn chúc mọi người hạn phúc và luôn vui vẻ”