Tổng hợp lý thuyết và bài tập Hình học 10

1 Các Khái niệm về vectơ
1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng, tức là ta trên đoạn thẳng đó, ta đã chỉ ra điểm
đầu và điểm cuối.
• Một vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B, ta kí hiệu # »AB.
• Trong một số trường hợp, nếu ta không cần chỉ ra điểm đầu và điểm cuối của vectơ, thì ta có thể viết
#»x, #»y , . . .
Ví dụ 1.1. Với ba điểm phân biệt A,B,C cho trước, có thể lập được bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm
cuối không trùng nhau?
Ví dụ 1.2. Cũng hỏi như trên, nhưng với 2009 điểm phân biệt A1, A2, . . . , A2009?
Định nghĩa 1.2. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối không trùng nhau gọi là vectơ - không, kí hiệu
#»
0 .
2 Hai vectơ cùng phương
2.1 Giá của một vectơ
Định nghĩa 2.1. Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của một vectơ.
Giá của vectơ
# »
AB là đường thẳng AB.
2.2 Hai vectơ cùng phương
Định nghĩa 2.2. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
3 Hai vectơ cùng hướng
Dựa vào hình vẽ, ta có thể biết hai vectơ cùng hướng hay ngược hướng.
Chú ý
• Hai vectơ cùng hướng thì sẽ cùng phương. Điều ngược lại không đúng.
• Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng.
• Vectơ - không thì cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
. 3.1. Xác định vị trí tương đối của ba điểm phân biệt A,B,C trong các trường hợp sau:
1.
# »
AB và
# »
AC ngược hướng.
2.
# »
AB và
# »
AC cùng phương.
4 Độ dài của một vectơ, hai vectơ bằng nhau
4.1 Độ dài của một vectơ
Định nghĩa 4.1. Độ dài của vectơ
# »
AB, kí hiệu | # »AB|, chính là độ dài đoạn thẳng AB. Độ dài của vectơ #»0
bằng 0.
Định nghĩa 4.2. Một vectơ có độ dài bằng 1 thì gọi là vectơ đơn vị.
1
4.2 Hai vectơ bằng nhau
Định nghĩa 4.3. Hai vectơ #»a và
#»
b , được gọi là bằng nhau, kí hiệu #»a =
#»
b nếu chúng có cùng độ dài và
cùng hướng.
. 4.1. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm các vectơ bằng
# »
OA.
. 4.2. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
# »
AB =
# »
DC.
. 4.3. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O và H là
trực tâm tam giác ABC.
1. Chứng minh rằng
# »
AH =
# »
DC.
2. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng
# »
AI =
# »
OM .
5 Tổng của hai vectơ
Định nghĩa 5.1. Cho hai vectơ #»a và
#»
b . Từ điểm A tuỳ ý, dựng
# »
AB = #»a . Từ B, dựng
# »
BC =
#»
b . Khi đó,
# »
AC được gọi là vectơ tổng của hai vectơ #»a và
#»
b . Kí hiệu
# »
AC = #»a +
#»
b .
5.1 Quy tắc ba điểm
Với ba điểm A,B,C tuỳ ý, ta luôn có
# »
AB +
# »
BC =
# »
AC.
5.2 Quy tắc hình bình hành
b
A
b
B
b
D
#»u
#»v
b
C
#»u + #»v
Cho hình bình hành ABCD, ta có
# »
AB +
# »
AD =
# »
AC.
5.3 Tính chất
Với mọi vectơ #»a ,
#»
b , #»c , ta có
1. #»a +
#»
b =
#»
b + #»a ;
2. #»a + (
#»
b + #»c ) = ( #»a +
#»
b ) + #»c ;
3. #»a +
#»
0 =
#»
0 + #»a = #»a .
. 5.1. Tính tổng #»u =
# »
AB +
# »
DE +
# »
FA+
# »
CD +
# »
EF +
# »
BC.
. 5.2. Cho sáu điểm A,B,C,D,E, F . Chứng minh rằng
# »
AD +
# »
BE +
# »
CF =
# »
AE +
# »
BF +
# »
CD.
. 5.3. Cho ba điểm phân biệt không thẳng hàng O,A,B. Với điều kiện nào thì
# »
OA+
# »
OB nằm trên đường
phân giác của góc ÂOB?
. 5.4. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm độ dài của vectơ
# »
AB +
# »
AC và
# »
AB +
# »
CB theo a.
2
. 5.5. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M , ta có
# »
MA+
# »
MC =
# »
MB +
# »
MD.
. 5.6. Cho tam giác ABC, về bên ngoài tam giác ta vẽ các hình bình hành ABMN , BCPQ, CARS. Chứng
minh rằng
1.
# »
MN +
# »
PQ+
# »
RS =
#»
0 .
2.
# »
MQ+
# »
PS +
# »
RN =
#»
0 .
. 5.7. Cho hai điểm phân biệt A và B cố định và số k > 0. Tìm tập hợp điểm M sao cho | # »MA+ # »MB| = k.
. 5.8. Cho các vectơ #»a ,
#»
b , #»c . Chứng minh rằng | #»a |+ | #»b | > | #»a + #»b |. Dấu bằng xảy ra khi nào?
. 5.9. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu | # »AD + # »BC| = | # »AB + # »DC|, thì AC ⊥ BD.
. 5.10. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính PQ = 2. Trên nửa đường tròn ta lấy các điểm A,B,C
khác P và Q. Chứng minh rằng | # »OA+ # »OB + # »OC| > 1.
6 Hiệu của hai vectơ
6.1 Vectơ đối của hai vectơ
Định nghĩa 6.1. Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dại và ngược hướng.
• Nếu #»a và #»b là hai vectơ đối nhau, ta kí hiệu #»a = − #»b hay #»b = − #»a .
• Vectơ đối của # »AB là − # »AB, và − # »AB = # »BA.
• Vectơ đối của #»0 là #»0 .
7 Tính chất
Tổng của vectơ #»a với vectơ đối của nó bằng vectơ - không.
7.1 Hiệu của hai vectơ
Định nghĩa 7.1. Hiệu của hai vectơ #»a và
#»
b , kí hiệu #»a − #»b , là tổng của vectơ #»a với vectơ đối của vectơ
#»
b .
#»a − #»b = #»a + (− #»b ).
7.2 Hiệu của hai vectơ chung điểm đầu
Với ba điểm A,B,C tuỳ ý, ta luôn có
# »
AB − # »AC = # »BC.
. 7.1. Dựng hiệu của hai vectơ #»a và
#»
b cho trước.
. 7.2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Hãy rút gọn các vector
1.
# »
CO − # »BA;
2.
# »
CO − # »OD + # »CB;
. 7.3. Cho năm điểm A,B,C,D,E. Chứng minh rằng
# »
AC +
# »
DE − # »DC − # »CE + # »CB = # »AB.
3
. 7.4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu | # »CA− # »CB| = | # »CA+ # »CB|, thì tam giác ABC vuông tại
C.
. 7.5. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện
# »
AB +
# »
AC vuông góc với
# »
AB − # »AC, thì
tam giác ABC cân.
. 7.6. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm độ dài của vectơ
# »
AB − # »BC theo a.
. 7.7. Cho lục giác đều ABCDEF . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác. Chứng minh rằng
# »
OA+
# »
OB +
# »
OC +
# »
OD +
# »
OE +
# »
OF =
#»
0 .
. 7.8. Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác. Chứng minh rằng
# »
OA+
# »
OB +
# »
OC +
# »
OD +
# »
OE =
#»
0 .
. 7.9. Chứng minh rằng nếu hai hình bình hành ABCD và A′B′C ′D′ có cùng tâm thì
# »
AA′ +
# »
BB′ +
# »
CC ′ +
# »
DD′ =
#»
0 .
. 7.10. Cho hình thoi ABCD có B̂AD = 60◦ và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính
| # »AB + # »AD|, | # »BA− # »BC|, | # »OB − # »DC|.
. 7.11. Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. Tính | # »OA− # »CB|, | # »AB+ # »DC|,
| # »CD − # »DA|.
8 Tích của một số thực với một vectơ
Định nghĩa 8.1. Cho số thực k và vectơ #»a . Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu k #»a , được xác
định như sau:
• Nếu k > 0, thì vectơ k #»a cùng hướng với vectơ #»a . Nếu k < 0, thì vectơ k #»a ngược hướng với vectơ #»a .
• Độ dài vectơ k #»a bằng |k| · | #»a |.
9 Tính chất
Cho các vectơ #»a và
#»
b ; cho các số thực k,m. Ta có
• k · ( #»a + #»b ) = k · #»a + k · #»b ;
• (k +m) · #»a = k · #»a +m · #»a ;
• (k −m) · #»a = k · #»a −m · #»a ;
• k(m · #»a ) = (km) · #»a ;
• k · #»a = #»0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc #»a = #»0 .
. 9.1. Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với M là điểm bất kì, ta
có
# »
MA+
# »
MB = 2
# »
MI.
. 9.2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G.
4
1. Chứng minh rằng
# »
GA +
# »
GB +
# »
GC =
#»
0 . Ngược lại, nếu
# »
MA+
# »
MB +
# »
MC =
#»
0 , thì M là trọng tâm
của tam giác ABC.
2. Chứng minh rằng với M là điểm bất kì, ta có
# »
GA+
# »
GB +
# »
GC = 3
# »
MG.
. 9.3. Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M sao cho
# »
MA+
# »
MB +
# »
MC +
# »
MD =
#»
0 .
. 9.4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng với M là điểm
bất kì, ta có
# »
MA+
# »
MB +
# »
MC +
# »
MD = 4
# »
MO.
. 9.5. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD. Chứng minh
rằng
# »
AB +
# »
CD = 2
# »
IJ .
. 9.6. Cho bốn điểm A,B,C,D. Gọi I, J lần là trung điểm của các cạnh BC, CD. Chứng minh rằng
2(
# »
AB +
# »
AI +
# »
JA+
# »
DA) = 3
# »
DB.
. 9.7. Cho tứ giác ABCD. Hãy dựng điểm G sao cho
# »
GA +
# »
GB +
# »
GC +
# »
GD =
#»
0 . Chứng minh rằng với
mọi điểm O, ta có
# »
OG =
1
4
(
# »
OA+
# »
OB +
# »
OC +
# »
OD).
. 9.8. Cho tam giác đều ABC và M là điểm bất kì. Kẻ MH,MK,MI lần lượt vuông góc với các cạnh
BC,CA,AB. Chứng minh rằng
# »
MA+
# »
MB +
# »
MC = 2(
# »
MH +
# »
MK +
# »
MI).
. 9.9. Cho tam giác ABC. Hãy xác định các điểm M,N,P sao cho
1.
# »
MA+
# »
MB − 2 # »MC = #»0 ;
2.
# »
NA+
# »
NB + 2
# »
NC =
#»
0 ;
3.
# »
PA− # »PB + 2 # »PC = #»0 .
. 9.10. Cho hai tam giác ABC và A′B′C ′ có trọng tâm lần lượt là G và G′. Chứng minh rằng nếu
# »
AA′ +
# »
BB′ +
# »
CC ′ =
#»
0 , thì G trùng G′.
. 9.11. Cho lục giác ABCDEF . Gọi P,Q,R, S, T, U lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD,
DE, EF , FA. Chứng minh rằng hai tam giác PRT và QSU có trọng tâm trùng nhau.
9.1 Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Định lí 9.1. Vectơ
#»
b cùng phương với vectơ #»a 6= #»0 khi và chỉ khi có số k sao cho #»b = k #»a .
9.2 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
Định lí 9.2. Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng là
# »
AB = k
# »
AC.
. 9.12. Cho bốn điểm A,B,C,M thoả mãn
# »
MA+ 2
# »
MB − 3 # »MC = #»0 .
. 9.13. Cho tam giác ABC, M và N thay đổi sao cho
# »
MN = 2
# »
MA+ 3
# »
MB − # »MC.
1. Tìm điểm I thoả mãn 2
# »
IA+ 3
# »
IB − # »IC = #»0 .
2. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
5
. 9.14. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
1. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh
# »
AH = 2
# »
OI.
2. Chứng minh
# »
OH =
# »
OA+
# »
OB +
# »
OC.
3. Chứng minh ba điểm O,G,H thẳng hàng.
. 9.15. Cho tam giác ABC. Gọi I, J là hai điểm xác định bởi
# »
IA = 2
# »
IB; 3
# »
JA+ 2
# »
JC =
#»
0 .
1. Tính
# »
IJ theo
# »
AB và
# »
AC.
Đáp số.
# »
IJ =
2
5
# »
AC − 2 # »AB.
2. Chứng minh đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
Đáp số.
# »
IJ =
6
5
# »
IG.
. 9.16. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M,N thoả 3
# »
MA + 4
# »
MB =
#»
0 và
# »
CN =
1
2
# »
BC.
Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
. 9.17. Cho tam giác ABC, trên BC lấy điểm D sao cho
# »
BD =
3
5
# »
BC, gọi E là điểm thoả mãn hệ thức
10
# »
EA + 2
# »
EB + 3
# »
EC =
#»
0 . Chứng minh ba điểm A,E,D thẳng hàng.
Hướng dẫn. Chọn E làm gốc.
# »
EA = −1
2
# »
ED.
. 9.18. Cho tam giác ABC, gọi D, I là các điểm xác định bởi 3
# »
DB − 2 # »DC = #»0 và # »IA+ 3 # »IB − 2 # »IC = #»0 .
Chứng minh ba điểm A, I,D thẳng hàng.
Hướng dẫn. Chọn hệ vectơ gốc { # »AB, # »AC}; # »AD = 2 # »AI.
. 9.19. Cho tam giác ABC, gọi M,N là các điểm xác định bởi
# »
MA+3
# »
MC =
#»
0 và
# »
NA+2
# »
NB+3
# »
NC =
#»
0 .
Chứng minh ba điểm M,N,B thẳng hàng.
Hướng dẫn. Chọn hệ vectơ gốc { # »BA, # »BC}; # »BM = 3
2
# »
BN.
9.3 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Định nghĩa 9.1. Cho hai vectơ ... g tròn x2 + y2 + 10x− 2y + 6 = 0 biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng 2x+ y − 7 = 0.
ĐS. 2x+ y − 1 = 0, 2x + y + 19 = 0.
. 20.4. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2 + y2 − 2x + 4y = 0 biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng x− 2y + 9 = 0.
ĐS. 2x+ y − 5 = 0, 2x+ y + 5 = 0.
. 20.5. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2 + y2 − 4x− 6y + 1 = 0 biết tiếp tuyến có hệ số góc
k = 2.
ĐS. 2x− y − 1−√60 = 0, 2x− y − 1 +√60 = 0.
31
20.3 Tiếp tuyến xuất phát, đi qua, kẻ từ một điểm cho trước
. 20.6. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2 + y2 + 2x − 4y = 0 biết tiếp tuyến đi qua điểm
A(4; 7).
ĐS. 2x− y − 1 = 0, x− 2y + 10 = 0.
. 20.7. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + x− 3y − 3 = 0. Gọi M,N là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ
điểm A(1;−2) đến (C). Tính độ dài đoạn thẳng MN .
ĐS. 3.
. 20.8. (B, 2006) Cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M(−3; 1). Gọi T1 và T2 là các
tiếp điểm của các tiếp tuyến kể từ điểm M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2.
ĐS. 2x+ y − 3 = 0.
. 20.9. (Minh hoạ, A, 2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình
x2 + y2 − 6x+ 5 = 0. Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C ) mà góc
giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60◦.
Đáp số. M1(0;
√
7) và M2(0;−
√
7).
. 20.10. (Dự bị 2, A, 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình
x2 + y2 = 1. Tìm các giá trị thực của tham số m để trên đường thẳng y = m tồn tại đúng hai điểm mà từ
mỗi điểm đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C ) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60◦.
. 20.11. (D, 2007) Cho đường tròn (C ) : (x− 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng d : 3x− 4y +m = 0. Tìm
m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA,PB tới (C ) sao cho tam
giác ABC đều (A,B là hai tiếp điểm).
Đáp số. m = 19,m = −41.
. 20.12. (Dự bị 1, khối D, 2006) Cho đường thẳng d : x−y+1 = 0 và đường tròn (C ) : x2+y2+2x−4y = 0.
Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó ta kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (C ) tại A và
B sao cho ÂMB = 60◦.
Đáp số. M1(3; 4) và M1(−3;−2).
. 20.13. (Đề minh hoạ, D, 2009) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương
trình (x− 4)2 + y2 = 4 và điểm E(4; 1). Tìm toạ độ điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được hai tiếp
tuyến MA,MB đến đường tròn (C ) (với A,B là các tiếp điểm) sao cho đường thẳng AB qua đểm E.
20.4 Tiếp tuyến tạo với đường thẳng cho trước một góc α
. 20.14. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2 + y2 = 25, biết rằng tiếp tuyến đó hợp với đường
thẳng x+ 2y − 1 = 0 một góc α mà cosα = 2√
5
.
Đáp số. y ± 5 = 0; 4x+ 3y ± 25 = 0.
. 20.15. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2 + y2 = 8, biết rằng tiếp tuyến đó hợp với trục Ox
một góc 45◦.
Đáp số. x+ y + 4 = 0, x+ y − 2 = 0, x− y + 4 = 0, x− y − 4 = 0.
32
20.5 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
. 20.16. (Dự bị 2006) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C1) : x
2 + y2 − 4y − 5 = 0 và (C2) : x2 + y2 − 6x+ 8y + 16 = 0.
Hướng dẫn. (C1) và (C2) ngoài nhau và có bán kính bằng nhau.
ĐS. 2x+ y + 3
√
5− 2 = 0; 2x+ y − 3√5− 2 = 0; y = −1; 4x − 3y − 3 = 0.
. 20.17. (Dự bị 2002) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C1) : x
2 + y2 − 10 = 0 và (C2) : x2 + y2 + 4x− 2y − 20 = 0.
Hướng dẫn. (C1) và (C2) cắt nhau và có bán kính bằng nhau.
ĐS. x+ 7y − 5 + 25√2 = 0;x+ 7y − 5− 25√2 = 0.
. 20.18. (CĐ Y tế Thanh Hoá, 2005) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C1) : x
2 + y2 − 4x− 2y + 4 = 0 và (C2) : x2 + y2 + 4x+ 2y − 4 = 0.
ĐS. x = 1, y = 2, 4x− 3y − 10 = 0,−3x − 4y + 5 = 0.
20.6 Vài bài khác
. 20.19. (Dự bị 2, B, 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai điểm A(3; 0) và B(0; 4).
Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với đường tròn đi qua trung điểm của các
cạnh tam giác OAB.
. 20.20. (Đại học Ngoại ngữ, 2000) Trong mặt phẳng cho ba điểm A(−1; 7), B(4;−3), C(−4;−1). Viết
phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Đáp số. (x+ 1)2 + (y − 2)2 = 5.
. 20.21. Cho đường tròn (S) có phương trình x2 + y2 = 16 và tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn, biết
A(0; 4). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác.
Đáp số. B(2
√
3;−2) và C(2√3;−2).
. 20.22. Cho đường tròn (C ) : x2 + y2 − 6x+ 2y + 6 = 0 và điểm M(1; 3). Viết phương trình đường thẳng
đi qua M và cắt đường tròn tại hai điểm A,B sao cho MA = AB.
Đáp số. x− y + 4 = 0 và 7x+ y − 10 = 0.
33
Mục lục
1 Các Khái niệm về vectơ 1
1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Hai vectơ cùng phương 1
2.1 Giá của một vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.2 Hai vectơ cùng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3 Hai vectơ cùng hướng 1
4 Độ dài của một vectơ, hai vectơ bằng nhau 1
4.1 Độ dài của một vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4.2 Hai vectơ bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5 Tổng của hai vectơ 2
5.1 Quy tắc ba điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.2 Quy tắc hình bình hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.3 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6 Hiệu của hai vectơ 3
6.1 Vectơ đối của hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
7 Tính chất 3
7.1 Hiệu của hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
7.2 Hiệu của hai vectơ chung điểm đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
8 Tích của một số thực với một vectơ 4
9 Tính chất 4
9.1 Điều kiện để hai vectơ cùng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
9.2 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
9.3 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
9.4 Tìm tập hợp điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
10 Trục toạ độ 8
11 Toạ độ của một vectơ trên trục - độ dài đại số của một vectơ 8
11.1 Toạ độ của một vectơ trên trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
11.2 Độ dài đại số của một vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
12 Hệ trục toạ độ 9
13 Toạ độ của một vectơ 9
13.1 Toạ độ của một vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
13.2 Toạ độ của một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
13.3 Các phép toán về vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
13.4 Toạ độ của một vectơ khi biết toạ độ hai điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
13.5 Toạ độ trung điểm của một đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
13.6 Toạ độ trọng tâm của một tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
34
14 Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0◦ đến 180◦ 11
14.1 Nửa đường tròn đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
14.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
14.3 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
14.4 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
15 Tích vô hướng của hai vectơ 13
15.1 Góc giữa hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
15.2 Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
15.3 Bình phương vô hướng của một vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
15.4 Tính chất của tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
15.5 Công thức hình chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
15.6 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
15.7 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
16 Hệ thức lượng trong tam giác 18
16.1 Định lí côsin trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16.2 Định lí sin trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16.3 Công thức trung tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16.4 Diện tích của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17 Phương trình đường thẳng 20
17.1 Phương trình tham số của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
17.2 Phương trình tham số của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
18 Phương trình tổng quát của đường thẳng 21
18.1 Phương trình đoạn thẳng theo đoạn chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
18.2 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
19 Đường tròn 28
19.1 Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
19.2 Vị trí tương đối của một điểm và một đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
19.3 Vị trí tương đối của một đường thẳng và một đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
20 Tiếp tuyến của đường tròn 31
20.1 Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
20.2 Tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến song song, vuông góc với đường thẳng cho trước;
có hệ số góc k cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
20.3 Tiếp tuyến xuất phát, đi qua, kẻ từ một điểm cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
20.4 Tiếp tuyến tạo với đường thẳng cho trước một góc α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
20.5 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
20.6 Vài bài khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Sắp chữ bằng LATEX bởi Trần Văn Toàn,
Giáo viên trường THPT chuyên Lương Thế Vinh,
Biên Hoà, Đồng Nai.
35