Tuyển tập 25 đề thi và đáp án vào lớp 10 môn Toán 2010- 2011

TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN
ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN
Năm học 2010 – 2011
Thời gian làm bài 120 phút
 Câu 1(2.0 điểm):
 1) Giải phương trình: 
 2) Giải hệ phương trình: 
 Câu 2:(3.0 điểm)
 a) Rút gọn biểu thức: A = với x 0 và x 4.
 b) Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 2 cm và diện tích của nó là 15 cm2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.
 Câu 3: (2,0 điểm)
 Cho phương trình: x2- 2x + (m – 3) = 0 (ẩn x)
 Giải phương trình với m = 3.
 Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn điều kiện: x12 – 2x2 + x1x2 = - 12
 Câu 4:(3 điểm)
 Cho tam giác MNP cân tại M có cậnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn ( O;R). Tiếp tuyến tại N và P của đường tròn lần lượt cắt tia MP và tia MN tại E và D.
Chứng minh: NE2 = EP.EM
Chứng minh tứ giác DEPN kà tứ giác nội tiếp.
Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt đường tròn (O) tại K 
 ( K không trùng với P). Chứng minh rằng: MN2 + NK2 = 4R2.
-----------Hết----------
Giải
Câu I.
a, Vậy tập nghiệm của phương trình S=
b, Vậy nghiệm của hệ (x;y) =(10;5)
Câu II.
a, với x 0 và x 4.
Ta có: 
b, Gọi chiều rộng của HCN là x (cm); x > 0
 Chiều dài của HCN là : x + 2 (cm)
Theo bài ra ta có PT: x(x+2) = 15 .
Giải ra tìm được :x1 = -5 ( loại ); x2 = 3 ( thỏa mãn ) .
Vậy chiều rộng HCN là : 3 cm , chiều dài HCN là: 5 cm.
Câu III.
a, Với m = 3 Phương trình có dạng : x2 - 2x x = 0 hoặc x = 2 
Vậy tập nghiệm của phương trình S=
b, Để PT có nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì .
Theo Vi-et :
Theo bài: x21 -2x2 + x1x2 = - 12 => x1(x1 + x2 ) -2x2 =-12
 2x1 - 2x2 = -12 ) ( Theo (1) )
hay x1 - x2 = -6 . 
Kết hợp (1) x1 = -2 ; x2 = 4 Thay vào (2) được :
m - 3 = -8 m = -5 ( TM (*) )
Câu IV .
a, NEM đồng dạng PEN ( g-g)
b, ( do tam giác MNP cân tại M )
=> .
Hai điểm N; P cùng thuộc nửa mp bờ DE và cùng nhìn DE 
dưới 1 góc bằng nhau nên tứ giác DNPE nội tiếp .
c, MPF đồng dạng MIP ( g - g ) 
.
MNI đồng dạng NIF ( g-g )
Từ (1) và (2) : MP2 + NI2 = MI.( MF + IF ) = MI2 = 4R2 ( 3).
 ( cùng phụ ) 
=> 
=> NK = NI ( 4 ) 
Do tam giác MNP cân tại M => MN = MP ( 5) 
Từ (3) (4) (5) suy ra đpcm .
Câu V .
+) k=0 . Phương trình (1) có dạng 8x-6=0 ó x=
+) k 0 thì (1) phải có nghiệm ó= 16 - k (k - 6) 0 
.
Max k = 8 x = .
Min k = -2 x = 2 .
Sở GD& ĐT Nghệ An KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Đề chính thức 
 NĂM HỌC 2008 - 2009
I Phần trắc nghiệm : ( 2 điểm)
Em hãy chọn một phương án đúng trong các phương án trả lời ( A, B, C, D) của từng câu sau rồi ghi vào bài làm .
Câu 1 ( 0,5 điểm )
 Đồ thị hàm số y = - 3x + 4 đi qua điểm :
A.(0;4) B.(2;0) C.(-5 ; 3) D . (1; 2)
Câu 2 ( 0,5 điểm ) 
 bằng :
A. - 7 B.- 5 C.7 D. 5
Câu 3 ( 0,5 điểm ) 
Hình tròn đường kính 4cm thì có diện tích là :
A. 16 (cm2) B. 8 (cm2) C. 4 (cm2) D.2 (cm2) 
Câu 4 ( 0,5 điểm ) 
 Tam giác ABC vuông ở A , biết tgB = và AB = 4 . Độ dài cạnh AC là :
A.2 B .3 C.4 D.6	
II) TỰ LUẬN (8điểm)
Câu 1 (3điểm)
 Cho biểu thức 
 a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.
 b) Tìm giá trị của x để P = .
 c) Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức .
 Câu 2 (2điểm)
Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà trong 2 ngày thì xong công việc. Nếu người thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ và người thứ 2 làm tiếp trong một ngày thì xong công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc ?
 Câu 3 (3điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại M . Trên cung nhỏ AM lấy điểm E. ( E A; M )Kéo dài BE cắt AC tại F.
a). Chứng minh rằng từ đó suy ra tứ giác MEFC nội tiếp .
b) Gọi K là giao điểm ME và AC. Chứng minh AK2 = KE . KM
c). Khi điểm E ở vị trí sao cho AE + BM = AB. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác của và thuộc đoạn thẳng AB .
 ............ Hết .................
Họ và tên thí sinh : ................................ ...........Số báo danh : 
Đề chính thức 
Sở GD& ĐT Nghệ An KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
 NĂM HỌC 2008 - 2009
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi : Toán
( Hướng dẫn chấm này gồm 3 trang )
I . PHẦN TRẮC NGHIỆM : (2đ)
 Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm .
Câu 1 : A Câu 2 : D Câu 3 : C Câu 4 : B 
Câu
Nội dung
Điểm
1
3 điểm
a
(1,5đ)
ĐKXĐ của P :
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
b
(0,75đ)
Với 
0,25
0,25
Kết hợp với điều kiện ta cóvới x = 169 thì P = 5 /4
0,25
Với 
0,25
0,25
( Học sinh có thể áp dụng BĐT Cối cho hai số dương và 
ta có thì vẫn cho điểm tối đa )
0,25
Đẳng thức xẩy ra = 4
 x = 4 (TMĐK)
Vậy GTNN của M là 4 khi x = 4
0,25
2
2 điểm 
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x ( ngày)
Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y ( ngày)
Điều kiện : x > 0 , y > 0 (Nếu điều kiện x > 2 , y > 2 vẫn cho điểm )
0,25
 Một ngày người thứ nhất làm được ( công việc ) ; người thứ hai làm được (công việc ) . Ta có phương trình += (1)
0,25
 Trong 4 ngày , người thứ nhất làm được ( công việc ) 
Vì người thứ nhất làm trong 4 ngày rvà người thứ hai làm tiếp trong một ngày thì xong việc nên ta có phương trình + = 1 (2)
0,25
 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
0,25
Giải đúng 
0,5
 Đối chiếu với điều kiện thoả mãn 
 Vậy : Người thứ nhất làm một mình trong 6 ngày thì xong việc 
 Người thứ hai làm một mình trong 3 ngày thì xong việc 
0,25
3
 3 điểm 
Vẽ hình đúng 
0,25
 a
(1 điểm)
 Vì AC AB nên AC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
Ta có (sđ - sđ ) = sđ
0,25
sđ 
0,25
Ta có Mà ( chứng minh trên)
0,25
 Suy ra MÈC là tứ giác nội tiếp 
0,25
Xét và có : + chung 
 + = ( bằng sđ )
0,25
 đồng dạng với (g-g).
0,25
0,25
c 
1điểm
0,25
TH 1: lúc đó tứ giác AEMB là hình thang cân có AE = BM = 
Suy ra phân giác của và cắt nhau tại trung điểm của AB
0,25
TH 2 : 
Không mất tính tổng quát , giả sử 
Vẽ phân giác cắt đeọan AB tại I
( Vì , nên tia MI luôn nằm giữa hai tia MA và MB )
Trên AB lấy điểm P sao cho AP = AE . Do AE + BM = AB nên ta có BP + BM 
 cân tại B .
0,25
Ta có cân tại A 
Suy ra tứ giác PIEM nội tiếp được 
0,25
 (cùng bù với ) . Kết hợp với (1) 
 Hay EI là phân giác của .
 Vậy phân giác của và cắt nhau tại I thuộc đoạn AB 
Kết hợp cả hai trường hợp trên , ta có ĐPCM
0,25
Ghi chú : 
+ Nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì khônh chấm bài hình .
+ Học sinh làm cách khác đúng vân cho điểm tối đa .
+ Điểm bài thi glà tổng đieemr thành phần của tưnhgf câu hỏi trong đề thi , điểm lẻ đến 0,25.
Bộ giáo dục đào tạo	cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học sư phạm hà nội	
Đ? ch?nh thức
đ? thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi th? sinh thi vào trường chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút 
Câu 1:
1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm tất các giá tr? nguyên của x để biểu thức A c? giá tr? nguyên
Câu 2: 
Cho hai đường thẳng 
(d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m – 1
(d2): y = m2x + m – 2 Với m là tham số
1. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m
2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đường thẳng cố đ?nh.
Câu 3 : 
Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ 
1. Chứng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19
2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x2 + y2 = 17
Câu 4 : 
Cho hình vuông ABCD c? độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đ?u. Các đường thẳng BK và AD cắt nhau ở P.
1. T?nh độ dài KC theo a
2. Trên AD lấy I sao cho CI cắt BP ở H. 
Chứng minh CHDP là nội ti?p.
3. Gọi M và L lần lượt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM = 
Câu 5: Giải phương trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2
----------------------------------H?t-----------------------------------
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải th?ch gì thêm
Họ và tên th? sinh.................................................................số báo danh
Giải đ? thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi th? sinh thi vào trường chuyên)
Câu 1:
1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm tất các giá tr? nguyên của x để biểu thức A c? giá tr? nguyên
Hướng dẫn 
1. 
2. 
X?t 
x+3
-15
-5
-3
-1
1
3
5
15
x
-18
-8
-6
-4
-2
0
2
12
2A
4
6
8
18
-12
-2
0
2
A
2
3
4
9
-6
-1
0
1
Vậy thì A nguyên
Câu 2: 
Cho hai đường thẳng 
(d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m – 1
(d2): y = m2x + m - 2 Với m là tham số
1. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m
2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đường thẳng cố đ?nh.
Hướng dẫn 
1.Giải hệ 
ta đựợc 
2.ta c? 
Vởy I thuộc đường thẳng y=-x-3 cố đ?nh 
Câu 3 : 
Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ 
1. Chứng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19
2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x2 + y2 = 17
Hướng dẫn
1.T? (1) ta c? x-y=z-1x2-2xy+y2=1-2z+z2 x2+y2=2xy+1-2z+z2 (*)
T? (2) ta c? xy=-z2+7z-10 thay vào (*)
ta c? x2 + y2 =2(=-z2+7z-10 )+z2 -2z -+1 x2 + y2 = -z2 + 12z -19 (đpcm)
2. ta c? -z2 + 12z – 19=17z2-12z+36=0z=6 thay vào ta c? hệ 
 Hệ c? 2 nghiệm (x,y,z)=(-1;4;6);(-4;1;6)
Câu 4 : 
Cho hình vuông ABCD c? độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đ?u. Các đường thẳng BK và AD cắt nhau ở P.
1. T?nh độ dài KC theo a
2. Trên AD lấy I sao cho CI cắt BP ở H. 
Chứng minh CHDP là nội ti?p.
 3.Gọi M và L lần lượt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM = 
Hướng dẫn
1.Kẻ KQ BC trong tam g?ac vuông BQK c? BK=a; KBQ=300 nên áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông BKQ ta c? 
 nên 
áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông CKQ ta c?
2.X?t tam giácvuông DCI c? DC=a; nên nên DCI=300 theo GT ta c? KBC=300 suy ra DPH=300 (So le) 
Vởy DPH=DCH =300 nên theo QT cung chứa g?c 2 điểm P ; C thuộc cung chứa g?c 300 dựng trên DH hay tứ giác CHDP nội ti?p 
3. Kẻ KE AB thì HA=HB và KE//AP x?t tam giác ABP c? HA=HB; KH//AP nên KP=KB=a gọi N là trung điểm KB thì LN//CD và ; MN//KP; 
Vởy tam giác MNL cân tại N c? (cạnh tương ứng //) Nên tam g?c MNL đ?u suy ra ( đpcm)
Câu 5: Giải phương trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2 (*)
Hướng dẫn
 Đặt x2 -5x + 1-=a; x2 - 4=b thì a-b=-5(x-1) suy ra 
N?u thì a=6b ta c? PT
N?u b=6a ta c? PT
PT(*) c? 4 nghiệm
Bộ giáo dục đào tạo	 cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học sư phạm hà nội	 Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đ? ch?nh thức
đ? thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi th? sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài :150 phút 
Câu 1: 
 1.Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoả mãn 
	Chứng minh rằng 
 2.Chứng minh rằng số là số nguyên dương
Câu 2:
Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai đi?u kiện sau 
Phương trình c? 2 nghiêm a và b
Phương trình c? 2 nghiêm c và d
 Chứng minh rằng
a-c=c-b=d-a
a+b+c+d=30
Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dương với n>1 .Đặt 
 Chứng minh rằng:
	1.N?u m>n thì 
	2.N?u S là số ch?nh phương thì m=n
Câu 4 Cho tam g?ac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy 
các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN
1.Chứng minh đi ...  MB + 2 MC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Câu 3. ( 3,5 điểm )
Cho ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau, lÊy ®iÓm I bÊt kú trªn ®oan CD.
	a) T×m ®iÓm M trªn tia AD, ®iÓm N trªn tia AC sao cho I lag trung ®iÓm cña MN.
	b) Chøng minh tæng MA + NA kh«ng ®æi.
	c) Chøng minh r»ng ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh
Câu 4. ( 1,5 điểm )
Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km ; cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. 
C©u 5. ( 1 điểm )
Cho ph­¬ng tr×nh 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, t×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 tháa m·n: 3x1 - 4x2 = 11
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 19
Câu 1.
a)A = (n + 1)4 + n4 + 1 = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1)	
	 = (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1)	
	 = (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2	
	VËy A chia hÕt cho 1 sè chÝnh ph­¬ng kh¸c 1 víi mäi sè nguyªn d­¬ng n.	
b) Do A > 0 nªn A lín nhÊt A2 lín nhÊt.	
	XÐt A2 = (+ )2 = x + y + 2 = 1 + 2 (1)	
	Ta cã: (BÊt ®¼ng thøc C« si)	
	=> 1 > 2 (2)	
	Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = 1 + 2 < 1 + 2 = 2	
	Max A2 = 2 x = y = , max A = x = y = 	
Câu 2.
a) Víi mäi x ta cã (x + a)(x - 4) - 7 = (x + b)(x + c)
	Nªn víi x = 4 th× - 7 = (4 + b)(4 + c)	
	Cã 2 tr­êng hîp: 4 + b = 1 vµ 4 + b = 7	
	 4 + c = - 7 4 + c = - 1
	Tr­êng hîp thø nhÊt cho b = - 3, c = - 11, a = - 10	
	Ta cã (x - 10)(x - 4) - 7 = (x - 3)(x - 11)	
	Tr­êng hîp thø hai cho b = 3, c = - 5, a = 2	
	Ta cã (x + 2)(x - 4) - 7 = (x + 3)(x - 5)	
b)
	Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AB sao cho: 	AD = AB. Ta cã D lµ ®iÓm cè ®Þnh 
Mµ = (gt) do ®ã = 	 
XÐt tam gi¸c AMB vµ tam gi¸c ADM cã M©B (chung)
	 	 = = 	
Do ®ã Δ AMB ~ Δ ADM => = = 2 
=> MD = 2MD (0,25 ®iÓm)
XÐt ba ®iÓm M, D, C : MD + MC > DC (kh«ng ®æi) 	 
Do ®ã MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC	
DÊu "=" x¶y ra M thuéc ®o¹n th¼ng DC
Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña MB + 2 MC lµ 2 DC	
* C¸ch dùng ®iÓm M.
	- Dùng ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AB
	- Dùng D trªn tia Ax sao cho AD = AB	 
	M lµ giao ®iÓm cña DC vµ ®­êng trßn (A; AB) 
Câu 3.
a) Dùng (I, IA) c¾t AD t¹i M c¾t tia AC t¹i N 
	 Do M©N = 900 nªn MN lµ ®­êng kÝnh
	VËy I lµ trung ®iÓm cña MN	 
b) KÎ MK // AC ta cã : ΔINC = ΔIMK (g.c.g) 
 => CN = MK = MD (v× ΔMKD vu«ng c©n) 
VËy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA 
=> AM = AN = AD + AC kh«ng ®æi	 
	c) Ta cã IA = IB = IM = IN	 
VËy ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ΔAMN ®i qua hai ®iÓm A, B cè ®Þnh	.	 
Câu 4.
Gọi vân tốc thực của ca nô là x (km/h). ( ĐK: x > 4 )
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: x + 4
Vân tốc của ca nô khi ngược dòng là: x – 4 
Thời gian khi ca nô xuôi dòng là: 
Thời gian khi ca nô ngược dòng là: 
Theo bài ra ta có phương trình: + = 2 (*)
Giải phương trình (*) ta có hai nghiệm x1 = 0 và x2 = 20.
Vậy vận tốc thực của ca nô là 20 km/h
C©u 5.
	§Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 th× D > 0
	 (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0
	Tõ ®ã suy ra m ¹ 1,5	(1)	
MÆt kh¸c, theo ®Þnh lý ViÐt vµ gi¶ thiÕt ta cã:
Gi¶i ph­¬ng tr×nh 	
ta ®­îc m = - 2 vµ m = 4,125	(2)
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn (1) vµ (2) ta cã: Víi m = - 2 hoÆc m = 4,125 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt.
ĐỀ SỐ 20.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 Khóa ngày 5 tháng 7 năm 2007 
 MÔN: TOÁN
 ( Thời gian 120 phút, không kể thời gian giao đề ) 
Bài 1: ( 2 điểm )
 a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương m; n sao cho 2m + 1 chia hết cho n và 2n +1 chia hết cho m.
	 b) Có bao nhiêu số có 6 chữ số được cấu tạo bởi các chữ số 2, 3, 5 chia hết cho 9
Bài 2: ( 2 điểm )
Cho biểu thức:
Px=x3+3x2+ x2-4x2-1-4x3-3x2+ x2-4x2-1+4 (x≥1)
 	a) Rút gọn P(x)
b) Tìm x để P(x) = 1 
Baøi 3: ( 1,5 điểm )
Một xe máy ñi treân quaõng ñöôøng AB vôùi vaän toác 50km/h roài ñi tieáp quaõng ñöôøng BC vôùi vaän toác laø 45km/h. Bieát toång coäng quaõng ñöôøng AB vaø BC daøi 215km vaø thôøi gian ñi treân quaõng ñöôøng AB nhieàu hôn thôøi gian ñi treân quaõng ñöôøng BC laø 30 phuùt. Tính thôøi gian oâ toâ ñi treân moãi ñoaïn ñöôøng AB, BC.
Bài 4: ( 3 điểm )
Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự ấy, (O) là đường tròn đi qua B,C. Kẻ từ A các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC, N là trung điểm của EF.
a) Chứng minh E, F nằm trên 1 đường tròn cố định khi (O) thay đổi
b) Đường thẳng FI cắt (O) tại E’. Chứng minh EE’ // AB.
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOI nằm trên đường thẳng cố định khi (O) thay đổi.
Bài 5: ( 1,5 điểm )
Chứng minh rằng ∀n nguyên dương, đều có:
 5n5n+1-6n(3n+2n) chia hết cho 91
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 20.
Bài 1.
a) 
–Xét trường hợp m ≥ n
Ta có 0< 2n + 1 ≤ 2m +1 ≤ 3m
Mặt khác 2n + 1 chia hết cho m nên xảy ra các trường hợp:
*) 2n + 1 = 3m. Vì m ≥ n nên chỉ xảy ra trường hợp m = n = 1
*) 2n + 1 = 2m . Loại vì chẳn ≠ lẻ
*) 2n + 1 = m. Khi đó 2m + 1 = 4n + 3 và do đó 2m + 1 chia hết cho n khi và chỉ khi n = 1 hoặc n = 3. Và ta được các cặp nghiệm (m; n) = (3; 1), (7; 3)
–Xét trường hợp m < n.
 Giải tương tự ta được (m; n) = (1; 3), (3; 7)
Kết luận:
Các cặp số nguyên dương (m; n) thỏa mãn bài toán là:
 (1; 1), (1; 3), (3; 1), (3; 7), (7; 3)
b) Gọi số có 6 chữ số là A. Gọi x là số chữ số 2, y là số chữ số 3 và z là số chữ số 5 trong A. Ta có: x≥0;y≥0;z≥0 và x + y + z = 6. 
Mặt khác A chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của A chia hết cho 9.
Hay nói cách khác 2x + 3y + 5z chia hết cho 9.
Như vậy, ta có :
 x≥0;y≥0;z≥0x + y + z = 62x + 3y + 5z⋮9⟺x≥0;y≥0;z≥0x + y + z = 63x+y+z+2z-x⋮9⟺x≥0;y≥0;z≥0x + y + z = 62z-x⋮9
⟺x≥0;y≥0;z≥0x + y + z = 62z-x=02z-x=9⟺x≥0;y≥0;z≥02z-x=0y+3z=6 (1)x≥0;y≥0;z≥02z-x=9y+3z=15 (2) 
Hệ (1) có các nghiệm là: (x; y; z) = (0; 6; 0), (2; 3;1), (4;0;2)
Hệ (2) có nghiệm (1;0;5)
Với (x; y; z) = (0; 6; 0) có 1 số A thỏa mãn bài toán
Với (x; y; z) = (2; 3; 1) có C62.C43=60 số A thỏa mãn bài toán
Với (x; y; z) = (4; 0; 2) có C64=15 số A thỏa mãn bài toán
Với (x; y; z) = (1; 0; 5) có C61=6 số A thỏa mãn bài toán
Vậy có tất cả 1 + 60 + 15 + 6 = 82 số thỏa mãn bài toán.
Bài 2. 
a) Ta có: x3 + 3x2 – 4 = (x + 2)2(x – 1)
Và do đó: x3+3x2+x2-4x2-1-4
=x+2x-1x+2x-1+ x-2x+1 (1)
Tương tự như vậy: x3 – 3x2 + 4 = (x – 2)2(x + 1)
Và: x3-3x2+x2-4x2-1+4
=x-2x+1x+2x-1+ x-2x+1 (2)
Ta giải phương trình: x+2x-1+ x-2x+1=0
⟺1≤x≤2x+22x-1=x-22(x+1)⟺1≤x≤2x3+3x2-4=x3-3x2+4 ⟺x=23 
Vậy miền xác định của P là: x≥1 x≠2x≠23
Với x thuộc miền xác định, từ (1) và (2) ta rút gọn được:P=x+2x-1(x-2)x+1 
b) Với x thuộc miền xác định, ta tìm x sao cho P = 1
Ta có: P = 1 ⟺x+2x-1=x-2x+1
⟺x≥2x+22x-1=x-22(x+1)⟺x≥2x3+3x2-4=x3-3x2+4
⟺x≥2x=23x=-23 Hệ vô nghiệm.
Vậy không tồn tại x sao cho P = 1
Baøi 3. 
Gọi x, y laø thôøi gian xe mắy lần lượt đi treân ñoaïn ñöôøng AB vaø BC ( ĐK: 0 < y < x).
Theo bài ra ta có: 
phöông trình : x – y = 0,5	
phöông trình: 50x + 45y = 215	 
Giaûi ñöôïc heä phöông trình: 	
Vậy thời gian xe máy đi trên đoạn đường AB là 2,5 giờ, thời gian xe máy đi trên đoạn đường BC là 2 giờ.
Bài 4. 
a) Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có: ∠AFB=∠ACF. 
Xét ∆AFB và ∆ACF, ta có:
∠FAB=∠FAC
∠AFB=∠ACF 
Suy ra ∆AFB ∽∆ACF 
Suy ra: ABAF=AFAC
 ⟹AF2=AB.AC=const
 Suy ra E, F là các điểm nằm trên đường tròn (A, AB.AC )
b)	Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có:
∠EE'F=∠AFE (1)
Mặt khác: 
∠AFE=∠AEF (2)
Và:
 ∠AEF=∠AIF (4 điểm A, E, I, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AO) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra được: ∠EE'F=∠AIF . Suy ra EE’ // AB (Theo dấu hiệu góc đồng vị của hai đường thẳng song song)
c) Xét ∠AKN và ∠AOI ta có:
∠OAI = ∠KAN
∠ANK= ∠AIO=900
Suy ra ∆OAI ∽ ∆KAN
⟹AKAN=AOAI 
⟹AK.AI=AO.AN (1)
Mặt khác AO.AN=AF2=AB.AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AK.AI = AB.AC = const
Suy ra K là điểm cố định
Dễ dàng nhận thấy đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI cũng chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác OIKN, suy ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên đường trung trực của KI là đường thẳng cố định. Từ đó ta có (đpcm).
Bài 5.
 ∀n nguyên dương, ta có:
5n5n+1-6n3n+2n=25n-18n-(12n-5n) 
Ở đó: 25n-18n⋮7 và 12n-5n⋮7
Suy ra 5n5n+1-6n3n+2n⋮7 (1)
Lại có: 5n5n+1-6n3n+2n=25n-12n-(18n-5n)
Ở đó: 25n-12n⋮13 và (18n-5n)⋮13
Suy ra 5n5n+1-6n3n+2n⋮13 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra 5n5n+1-6n3n+2n⋮91 	 
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 Khóa ngày 5 tháng 7 năm 2007 
 MÔN: TOÁN
 ( Thời gian 120 phút, không kể thời gian giao đề ) 
Bài 1 : ( 1,5 điểm ) 
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh : 
Bµi 2: ( 3 điểm ) 
Cho biÓu thøc M =
T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó M cã nghÜa vµ rót gän M
T×m x ®Ó M = 5
T×m x Z ®Ó M Z.
Bài 3: ( 1,5 điểm )
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
Bµi 4: ( 3 điểm )
 Cho ®­êng trßn (o) víi d©y BC cè ®Þnh vµ mét ®iÓm A thay ®æi vÞ trÝ trªn cung lín BC sao cho AC>AB vµ AC > BC . Gäi D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá BC. C¸c tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i D vµ C c¾t nhau t¹i E. Gäi P, Q lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña c¸c cÆp ®­êng th¼ng AB víi CD; AD vµ CE.
	a. Chøng minh r»ng DE// BC
	b. Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp
	c. Gäi giao ®iÓm cña c¸c d©y AD vµ BC lµ F
	Chøng minh hÖ thøc: = + 
C©u 5: ( 1 điểm )
	Cho a, b, clµ c¸c sè nguyªn kh¸c 0 tho¶ m·n:
 	Chøng minh r»ng: 
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 21.
Bài 1. 
§Æt : Ta cã : u ; v lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh :
 ; 
 ; 
Gi¶i hai hÖ trªn ta ®­îc : NghiÖm cña hÖ lµ : 
(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) vµ c¸c ho¸n vÞ. 
Bµi 2.
M = 
 a) §K 0,5®
 Rót gän M =
BiÕn ®æi ta cã kÕt qu¶: M = M = 
b)
 c) M = 
 Do M nªn lµ íc cña 4 nhËn c¸c gi¸ trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; 4 
 do 
Bài 3. 
Gọi vận tốc khi đi là x (đơn vị tính km/h, điều kiện là x >0)
Vận tốc khi về là x + 4 ( km/h )
Thời gian khi đi là 24/x
Thời gian khi về là: 24/x+4 
Theo bài ra ta có phương trình . 
Giải ra ta có nghiệm x = 12 ( km/h )
Vận tốc khi đi từ A đến B là 12 km/h
Bµi 4.
VÏ h×nh ®óng – viÕt gi¶ thiÕt – kÕt luËn 
a) S®CDE = S® DC = S® BD = 
=> DE// BC (2 gãc vÞ trÝ so le) 
b) APC = s® (AC - DC) = AQC 
=> APQC néi tiÕp (v× APC = AQC
cïng nh×n ®oan AC) 
c) Tø gi¸c APQC néi tiÕp
CPQ = CAQ (cïng ch¾n cung CQ)
CAQ = CDE (cïng ch¾n cung DC)
Suy ra CPQ = CDE => DE// PQ
Ta cã: = (v× DE//PQ) (1)	
 = (v× DE// BC) (2)	 
Céng (1) vµ (2) : 
	=> (3)	 	 
ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy ra PQ = CQ 
Thay vµo (3) : 	 
C©u 5.
§Æt x1=
XÐt f(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3) = x3 - ux2 + vx - 1
Trong ®ã u = x1 + x2 + x3 =
 v = x1x2 + x2x3 + x3x1 = Z
NhËn xÐt: NÕu ®a thøc P(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d Z ; a0)
cã nghiÖm h÷u tØ x = (p, q Z; q0; (p, q) = 1)
th× p lµ ­íc cña d cßn q lµ ­íc cña a.
¸p dông nhËn xÐt trªn ta cã
§a thøc f(x) cã 3 nghiÖm h÷u tØ x1, x2, x3 vµ c¸c nhiÖm nµy lµ ­íc cña 1