66 Đề thi và đáp án vào lớp 10 môn Toán

ĐỀ SỐ 1.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 QUẢNG TRỊ Khĩa ngày 2 tháng 7 năm 2006 
 MƠN: TỐN
 ( Thời gian 120 phút, khơng kể thời gian giao đề ) 
Phần I : Trắc nghiệm khách quan ( 2.0 điểm ) 
Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng nhất.
	1. Biểu thức xác định với giá trị nào sau đây của x ?
A. x ≥ 
B. x ≤ 
C. x ≤ và x ≠ 0
D. x ≠ 0
 	2. Các đường thẳng sau, đường thẳng nào song song với đường thẳng y = 1 - 2x
A. y = 2x - 1
B. 
C. y = 2 - x
D. 
	3. Hai hệ phương trình và là tương đương khi k bằng 
A. -3
B. 3
C. 1
D. -1
	4. Điểm thuộc đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây ?
A. 
B. 
C. 
D. 
	5. Tam giác GEF vuông tại E, có EH là đường cao . Độ dài đoạn GH = 4, HF = 9. Khi đó độ dài đoạn EF bằng :
A. 13
B. 
C. 2
D. 3
 	6. Tam giác ABC vuông tại A, có AC = 3a, AB = 3a, khi đó sinB bằng 
A. 
B. 
C. 
D. a
	7. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 18cm, AC = 24cm . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng .
A. 30cm
B. 
C. 20cm
D. 15cm
	8. Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 6cm, AB = 8cm. Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh AC cố định được một hình nón . Diện tích toàn phần hình nón đó là 
A. 96p cm2
B. 100 p cm2
C. 144 p cm2
D. 150 p cm2
Phần II : Tự luận ( 8.0 điểm )
Bài 1: ( 1,5 điểm )
	Cho phương trình bậc hai, ẩn số x: x2 - 4x + m + 1 = 0 
1. Giải phương trình khi m = 3
2. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.
3. Tìm giá trị của m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 10 
Bài 2 : ( 1 điểm )
	Giải hệ phương trình : 
Bài 3: ( 1,5 điểm )
	Rút gọn biểu thức :
	1. 
	2. 
Bài 4: ( 4 điểm )
 Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B. Trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I . Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK ở P.
	1. Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp 
	2. Chứng minh AI.BK = AC.CB
	3. Chứng minh tam giác APB vuông .
	4. Giả sử A, B, I cố định . Hãy xác định vị trí của C sao cho tứ giác ABKI có diện tích lớn nhất .
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 1.
I/ Tr¾c nghiƯm kh¸ch quan.
1- C
2 - b
3 - a
4 - c
5 - d
6 - b
7 - d
8 - c
II/ tù luËn.
Bµi 1:
Khi m = 3, ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh : x2- 4x + 4 = 0 Þ (x - 2)2 = 0 Þ x = 2 lµ nghiƯm kÐp cđa ph­¬ng tr×nh.
Ph­¬ng tr×nh cã nghiƯm Û D’ ≥ 0 Û (-2)2 -1(m + 1) ≥ 0 Û 4 - m -1 ≥ 0 Û m ≤ 3. 
VËy víi m ≤ 3 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiƯm. 
Víi m ≤ 3 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiƯm . Gäi hai nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh lµ x1, x2 .Theo ®Þnh lý ViÐt ta cã : x1 + x2 = 4 (1), x1.x2 = m + 1 (2). MỈt kh¸c theo gt : x12 + x22 = 10 Þ (x1 + x2)2 - 2 x1.x2 = 10 (3). Tõ (1), (2), (3) ta ®­ỵc :16 - 2(m + 1) = 10 Þ m = 2 < 3(tho¶ m·n) . VËy víi m = 2 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiƯm tho¶ m·n ®iỊu kiƯn x12 + x22 = 10.
Bµi 2:
§iỊu kiƯn ®Ĩ hƯ cã nghiƯm: . §Ỉt Khi ®ã hƯ ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh :.Gi¶i hƯ nµy ta ®­ỵc (TM).
Víi ta cã : (TM).VËy (x;y) = (3 ; 2) lµ nghiƯm cđa hƯ ph­¬ng tr×nh ®· cho.
Bµi 3:
Ta cã 
 Þ A = (v× A > 0)
a
b
c
i
p
k
o
Gäi O lµ t©m ®­êng trßn ®­êng kÝnh IC 
V× PỴ . 
XÐt tø gi¸c PKBC cã (chøng minh trªn) (gt) . Suy ra. Suy ra tø gi¸c CPKB néi tiÕp ®­ỵc (®pcm) . 
Bµi 4:
	2. Ta cã KC ^ CI (gt), CB ^ AC (gt) Þ (cỈp gãc nhän cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc).XÐt hai tam gi¸c vu«ng AIC vµ BCK () cã (cm/t) .Suy ra DAIC ®ång d¹ng víi DBCK. Tõ ®ã suy ra (®pcm).
	3. Tø gi¸c CPKB néi tiÕp (c©u 1) (1) (2 gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung). L¹i cã (gt) Þ AỴ , mỈt kh¸c P Ỵ (cm/t) .Tõ ®ã suy ra tø gi¸c AIPC néi tiÕp Þ (2). Céng vÕ theo vÕ cđa (1) vµ (2) ta ®­ỵc : .MỈt kh¸c tam gi¸c ICK vu«ng t¹i C (gt) suy ra Þ , hay tam gi¸c APB vu«ng t¹i P.(®pcm)
	4. IA // KB (cïng vu«ng gãc víi AC) .Do ®ã tø gi¸c ABKI lµ h×nh thang vu«ng. Suy ra Þ Max SABKI Û Max nh­ng A, I, B cè ®Þnh do ®ã AI, AB kh«ng ®ỉi .Suy ra Max Û Max BK . MỈt kh¸c (theo c©u 2) .Nªn Max BK Û Max AC.CB . Mµ (kh«ng ®ỉi) .
DÊu “=” x¶y ra Û AC = BC Û C lµ trung ®iĨm cđa AB . VËy khi C lµ trung ®iĨm cđa AC th× SABKI lµ lín nhÊt .
ĐỀ SỐ 2.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 QUẢNG BÌNH Khĩa ngày 3 tháng 7 năm 2006
 MƠN: TỐN
 ( Thời gian 120 phút, khơng kể thời gian giao đề ) 
C©u 1: ( 2 ®iĨm )
 1) Ph©n tÝch x2 – 9 thµnh tÝch.
 2) x = 1 cã lµ nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh x2 – 5x + 4 = 0 kh«ng ?
C©u 2: ( 2 ®iĨm )
1) Hµm sè y = - 2x + 3 ®ång biÕn hay nghÞch biÕn ?
2) T×m to¹ ®é giao ®iĨm cđa ®­êng th¼ng y = - 2x + 3 víi trơc Ox, Oy
C©u 3: ( 1,5 ®iĨm )
 T×m tÝch cđa hai sè biÕt tỉng cđa chĩng b»ng 17. NÕu t¨ng sè thø nhÊt lªn 3 ®¬n vÞ vµ sè thø hai lªn 2 ®¬n vÞ th× tÝch cđa chĩng t¨ng lªn 45 ®¬n vÞ.
C©u 4: ( 1,5 ®iĨm )
Rĩt gän biĨu thøc: P = víi a, b 0 vµ a ≠ b
C©u 5: ( 2 ®iĨm )
Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i B, c¸c ®­êng cao AD, BE c¾t nhau t¹i H. §­êng th¼ng d ®i qua A vµ vu«ng gãc víi AB c¾t tia BE t¹i F
1) Chøng minh r»ng: AF // CH
2) Tø gi¸c AHCF lµ h×nh g× ? 
C©u 6: ( 1 ®iĨm )
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa A = (2x – x2)(y – 2y2) víi 0 x 2	
 0 y 
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 2.
C©u 1.
 1) Ph©n tÝch x2 – 9 thµnh tÝch
 x2 – 9 = (x + 3)(x - 3)
 2) x = 1 cã lµ nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh x2 – 5x + 4 = 0 kh«ng ?
Thay x = 1 vµo ph­¬ng tr×nh ta thÊy: 1 – 5 + 4 = 0 nªn x = 1 lµ nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh.
C©u 2.
1) Hµm sè y = - 2x + 3 ®ång biÕn hay nghÞch biÕn ?
Hµm sè y = - 2x + 3 lµ hµm nghÞch biÕn v× cã a = -2 < 0
2) T×m to¹ ®é giao ®iĨm cđa ®­êng th¼ng y = - 2x + 3 víi trơc Ox, Oy
 Víi x = 0 th× y = 3 suy ra to¹ ®é giao ®iĨm cđa ®­êng th¼ng y = - 2x + 3 víi trơc Ox lµ: (0; 3)
 Víi y = 0 th× x = suy ra to¹ ®é giao ®iĨm cđa ®­êng th¼ng y = - 2x + 3 víi trơc Oylµ: (; 0)
C©u 3. 
 T×m tÝch cđa hai sè biÕt tỉng cđa chĩng b»ng 17. NÕu t¨ng sè thø nhÊt lªn 3 ®¬n vÞ vµ sè thø hai lªn 2 ®¬n vÞ th× tÝch cđa chĩng t¨ng lªn 45 ®¬n vÞ.
 Gäi sè thø nhÊt lµ x, sè thø hai lµ y 
V× tỉng cđa hai sè b»ng 17 nªn ta cã ph­¬ng tr×nh: x + y = 17 (1)
Khi t¨ng sè thø nhÊt lªn 3 ®¬n vÞ th× sè thø nhÊt sÏ lµ x + 3 vµ sè thø hai lªn 2 ®¬n vÞ th× sè thø hai sÏ lµ y + 2.
V× tÝch cđa chĩng t¨ng lªn 45 ®¬n vÞ nªn ta cã ph­¬ng tr×nh: 
(x + 3)(y + 2) = xy + 45 
Û 2x + 3y = 39 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ ph­¬ng tr×nh: 
Gi¶i hƯ ph­¬ng tr×nh ta ®­ỵc 
C©u 4.
Rĩt gän biĨu thøc: P = víi a, b 0 vµ a ≠ b
P = víi a, b 0 vµ a ≠ b
C©u 5.
Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i B, c¸c ®­êng cao AD, BE c¾t nhau t¹i H. §­êng th¼ng d ®i qua A vµ vu«ng gãc víi AB c¾t tia BE t¹i F
a) Chøng minh r»ng: AF // CH
b) Tø gi¸c AHCF lµ h×nh g× ? 
a) Ta cã H lµ trùc t©m tam gi¸c ABC suy ra CH AB
d AB suy ra AF AB suy ra CH // AF
b) Tam gi¸c ABC c©n t¹i B cã BE lµ ®­êng cao nªn BE ®ång thêi lµ ®­êng trung trùc suy ra EA = EC , HA = HC, FA = FC
Tam gi¸c AEF = tam gi¸c CEH nªn HC=AF suy ra AH = HC = AF = FC nªn tø gi¸c AHCF lµ h×nh thoi
C©u 6.
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa A = (2x – x2)(y – 2y2) víi 0 x 2	
 0 y 
Víi 0 x 2	 0 y th× 2x-x2 0 vµ y – 2y2 0
¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C« si ta cã 2x – x2 = x(2 - x) 
	y – 2y2 = y(1 – 2y ) = 
(2x – x2)(y – 2y2) 
DÊu “=” x¶y ra khi x = 1, y = 
VËy GTLN cđa A lµ Û x = 1, y = 
ĐỀ SỐ 3.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 LẠNG SƠN MƠN: TỐN
 ( Thời gian 120 phút, khơng kể thời gian giao đề ) 
Bµi 1: ( 2 ®iĨm ).
 TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc:
a) 
b) 
Bµi 2: ( 1 ®iĨm ). 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x4 + 2008x3 - 2008x2 + 2008x - 2009 = 0 
Bµi 3: ( 1 ®iĨm ). 
Gi¶i hƯ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 4: ( 2 ®iĨm ). 
Mét ®éi c«ng nh©n hoµn thµnh mét c«ng viƯc, c«ng viƯc ®ã ®­ỵc ®Þnh møc 420 ngµy c«ng thỵ. H·y tÝnh sè c«ng nh©n cđa ®éi, biÕt r»ng nÕu ®éi t¨ng thªm 5 ng­êi th× sè ngµy ®Ĩ hoµn thµnh c«ng viƯc sÏ gi¶m ®i 7 ngµy, gi¶ thiÕt n¨ng suÊt cđa c¸c c«ng nh©n lµ nh­ nhau.
Bµi 5: ( 4 ®iĨm ). 
Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ cã AB > AC, ®­êng cao AH. Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨm A, vÏ nưa ®­êng trßn ®­êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, nưa ®­êng trßn ®­êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F.
Chøng minh tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt.
Chøng minh tø gi¸c BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp.
Chøng minh AE.AB = AF.AC.
Gäi O lµ giao ®iĨm cđa AH vµ EF. Chøng minh: p < OA + OB + OC < 2p, trong ®ã 2p = AB + BC + CA.
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 3.
Bµi 1.
a) 
b) 
HD: ¸p dơng h»ng ®¼ng thøc (a + b)3=a3 + b3 + 3ab(a + b)
LËp ph­¬ng hai vÕ ta cã:
	 	=> B3 - 3B - 18 = 0 
	 (B - 3)(B2 + 3B + 6) = 0 
	VËy B = 3
Bµi 2.
Bµi 3.
Bµi 4.
 	Gäi sè c«ng nh©n cđa §éi lµ x (x nguyªn d­¬ng)
	PhÇn viƯc ®éi ph¶i lµm theo ®Þnh møc lµ: 
	NÕu ®éi t¨ng thªm 5 ng­êi th× phÇn viƯc ph¶i lµm theo ®Þnh møc lµ: 
	Theo ®Çu bµi ta cã pt: 
	Ta ®­ỵc: x1 = 15 (tho¶ m·n); x2 = -20 (lo¹i)
	VËy ®éi c«ng nh©n cã 15 ng­êi.
Bµi 5.
a) Ta cã: (gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®­êng trßn)
	=> 
	=> Tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt.
b) Ta cã: mµ (tc ®­êng chÐo hcn)
	=> 
	Do ®ã: 
	=> BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp.
c) Ta cã: (cïng phơ víi ) mµ (®­êng chÐo hcn) 
	=> hay 
	XÐt DAEF vµ DACB ta cã:
	 (cm trªn)
	=> DAEF ®ång d¹ng DACB => 
d) Trong DOAB ta cã: 
	OA + OB > AB	(quan hƯ gi÷a 3 c¹nh cđa tam gi¸c)
t­¬ng tù:	OC + OA > AC
	OB + OC > BC
	=> 2(OA + OB + OC > AB + AC + BC
	=> 
	=> 	(1)
MỈt kh¸c, ta cã: 	OA < AB 	(do AH < AB)
	OC < AC	(do OH < AH)
	OB < BC
	=>	OA + OB + OC < AB + BC + CA
	=> 	OA + OB + OC < 2p	(2)
Tõ (1) vµ (2) => p < OA + OB + OC < 2p
ĐỀ SỐ 4.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 TP HCM MƠN: TỐN
 Năm học: 2007 - 2008
 ( Thời gian 120 phút, khơng kể thời gian giao đề ) 
Câu 1: ( 2 điểm ) 
Giải phương trình và hệ phương trình sau:
	a) 2x2 + 3x – 5 = 0	(1)
	b) 	(2)
Câu 2: ( 2 điểm )
 Thu gọn các biểu thức sau:
	a) A = 
	b) B = (x > 0; x ≠ 4).
Câu 3: ( 2 điểm )	
Cho phương trình x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)
	a) Chứng minh phương trình trên luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt.
	b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để .
Câu 4: ( 4 điểm )
Từ điểm M ở ngồi đường trịn (O) vẽ cát tuyến MCD khơng đi qua tâm O và hai tiếp 	tuyến MA, MB đến đường trịn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.
	a) Chứng minh MA2 = MC.MD.
	b) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng 5 điểm M, A, O, I , B cùng nằm trên 	một đường trịn.
	c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp được đường 	trịn. Suy ra AB là phân giác của gĩc CHD.
	d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường trịn (O). Chứng minh A, 	B, K thẳng hàng. 
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 4.
Câu 1: 
a) 2x2 + 3x – 5 = 0	(1)
Cách 1: Phương trình cĩ dạng a + b + c = 0 nên phương trình (1) cĩ hai nghiệm là:
	x1 = 1 hay x2 = .
Cách 2: Ta cĩ D = b2 – 4ac = 32 – 4.2.(–5) = 49 > 0 nên phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt là x1 = hoặc x2 = .
b) 	(2)
Cách 1: Từ (a) Þ y = 1 – 2x (c).  ...  MB + 2 MC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Câu 3. ( 3,5 điểm )
Cho ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau, lÊy ®iĨm I bÊt kú trªn ®oan CD.
	a) T×m ®iĨm M trªn tia AD, ®iĨm N trªn tia AC sao cho I lag trung ®iĨm cđa MN.
	b) Chøng minh tỉng MA + NA kh«ng ®ỉi.
	c) Chøng minh r»ng ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN ®i qua hai ®iĨm cè ®Þnh
Câu 4. ( 1,5 điểm )
Một ca nơ xuơi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách nhau 24 km ; cùng lúc đĩ, cũng từ A về B một bè nứa trơi với vận tốc dịng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nơ quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nơ. 
C©u 5. ( 1 điểm )
Cho ph­¬ng tr×nh 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, t×m m ®Ĩ ph­¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1; x2 tháa m·n: 3x1 - 4x2 = 11
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 19
Câu 1.
a)A = (n + 1)4 + n4 + 1 = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1)	
	 = (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1)	
	 = (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2	
	VËy A chia hÕt cho 1 sè chÝnh ph­¬ng kh¸c 1 víi mäi sè nguyªn d­¬ng n.	
b) Do A > 0 nªn A lín nhÊt A2 lín nhÊt.	
	XÐt A2 = (+ )2 = x + y + 2 = 1 + 2 (1)	
	Ta cã: (BÊt ®¼ng thøc C« si)	
	=> 1 > 2 (2)	
	Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = 1 + 2 < 1 + 2 = 2	
	Max A2 = 2 x = y = , max A = x = y = 	
Câu 2.
a) Víi mäi x ta cã (x + a)(x - 4) - 7 = (x + b)(x + c)
	Nªn víi x = 4 th× - 7 = (4 + b)(4 + c)	
	Cã 2 tr­êng hỵp: 4 + b = 1 vµ 4 + b = 7	
	 4 + c = - 7 4 + c = - 1
	Tr­êng hỵp thø nhÊt cho b = - 3, c = - 11, a = - 10	
	Ta cã (x - 10)(x - 4) - 7 = (x - 3)(x - 11)	
	Tr­êng hỵp thø hai cho b = 3, c = - 5, a = 2	
	Ta cã (x + 2)(x - 4) - 7 = (x + 3)(x - 5)	
b)
	Gäi D lµ ®iĨm trªn c¹nh AB sao cho: 	AD = AB. Ta cã D lµ ®iĨm cè ®Þnh 
Mµ = (gt) do ®ã = 	 
XÐt tam gi¸c AMB vµ tam gi¸c ADM cã M©B (chung)
	 	 = = 	
Do ®ã Δ AMB ~ Δ ADM => = = 2 
=> MD = 2MD (0,25 ®iĨm)
XÐt ba ®iĨm M, D, C : MD + MC > DC (kh«ng ®ỉi) 	 
Do ®ã MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC	
DÊu "=" x¶y ra M thuéc ®o¹n th¼ng DC
Gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa MB + 2 MC lµ 2 DC	
* C¸ch dùng ®iĨm M.
	- Dùng ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AB
	- Dùng D trªn tia Ax sao cho AD = AB	 
	M lµ giao ®iĨm cđa DC vµ ®­êng trßn (A; AB) 
Câu 3.
a) Dùng (I, IA) c¾t AD t¹i M c¾t tia AC t¹i N 
	 Do M©N = 900 nªn MN lµ ®­êng kÝnh
	VËy I lµ trung ®iĨm cđa MN	 
b) KỴ MK // AC ta cã : ΔINC = ΔIMK (g.c.g) 
 => CN = MK = MD (v× ΔMKD vu«ng c©n) 
VËy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA 
=> AM = AN = AD + AC kh«ng ®ỉi	 
	c) Ta cã IA = IB = IM = IN	 
VËy ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ΔAMN ®i qua hai ®iĨm A, B cè ®Þnh	.	 
Câu 4.
Gọi vân tốc thực của ca nơ là x (km/h). ( ĐK: x > 4 )
Vận tốc của ca nơ khi xuơi dịng là: x + 4
Vân tốc của ca nơ khi ngược dịng là: x – 4 
Thời gian khi ca nơ xuơi dịng là: 
Thời gian khi ca nơ ngược dịng là: 
Theo bài ra ta cĩ phương trình: + = 2 (*)
Giải phương trình (*) ta cĩ hai nghiệm x1 = 0 và x2 = 20.
Vậy vận tốc thực của ca nơ là 20 km/h
C©u 5.
	§Ĩ ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiƯm ph©n biƯt x1 ; x2 th× D > 0
	 (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0
	Tõ ®ã suy ra m ¹ 1,5	(1)	
MỈt kh¸c, theo ®Þnh lý ViÐt vµ gi¶ thiÕt ta cã:
Gi¶i ph­¬ng tr×nh 	
ta ®­ỵc m = - 2 vµ m = 4,125	(2)
§èi chiÕu ®iỊu kiƯn (1) vµ (2) ta cã: Víi m = - 2 hoỈc m = 4,125 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiƯm ph©n biƯt.
ĐỀ SỐ 20.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 Khĩa ngày 5 tháng 7 năm 2007 
 MƠN: TỐN
 ( Thời gian 120 phút, khơng kể thời gian giao đề ) 
Bài 1: ( 2 điểm )
 a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương m; n sao cho 2m + 1 chia hết cho n và 2n +1 chia hết cho m.
	 b) Cĩ bao nhiêu số cĩ 6 chữ số được cấu tạo bởi các chữ số 2, 3, 5 chia hết cho 9
Bài 2: ( 2 điểm )
Cho biểu thức:
Px=x3+3x2+ x2-4x2-1-4x3-3x2+ x2-4x2-1+4 (x≥1)
 	a) Rút gọn P(x)
b) Tìm x để P(x) = 1 
Bài 3: ( 1,5 điểm )
Một xe máy đi trên quãng đường AB với vận tốc 50km/h rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc là 45km/h. Biết tổng cộng quãng đường AB và BC dài 215km và thời gian đi trên quãng đường AB nhiều hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường AB, BC.
Bài 4: ( 3 điểm )
Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự ấy, (O) là đường trịn đi qua B,C. Kẻ từ A các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC, N là trung điểm của EF.
a) Chứng minh E, F nằm trên 1 đường trịn cố định khi (O) thay đổi
b) Đường thẳng FI cắt (O) tại E’. Chứng minh EE’ // AB.
c) Chứng minh tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác NOI nằm trên đường thẳng cố định khi (O) thay đổi.
Bài 5: ( 1,5 điểm )
Chứng minh rằng ∀n nguyên dương, đều cĩ:
 5n5n+1-6n(3n+2n) chia hết cho 91
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 20.
Bài 1.
a) 
–Xét trường hợp m ≥ n
Ta cĩ 0< 2n + 1 ≤ 2m +1 ≤ 3m
Mặt khác 2n + 1 chia hết cho m nên xảy ra các trường hợp:
*) 2n + 1 = 3m. Vì m ≥ n nên chỉ xảy ra trường hợp m = n = 1
*) 2n + 1 = 2m . Loại vì chẳn ≠ lẻ
*) 2n + 1 = m. Khi đĩ 2m + 1 = 4n + 3 và do đĩ 2m + 1 chia hết cho n khi và chỉ khi n = 1 hoặc n = 3. Và ta được các cặp nghiệm (m; n) = (3; 1), (7; 3)
–Xét trường hợp m < n.
 Giải tương tự ta được (m; n) = (1; 3), (3; 7)
Kết luận:
Các cặp số nguyên dương (m; n) thỏa mãn bài tốn là:
 (1; 1), (1; 3), (3; 1), (3; 7), (7; 3)
b) Gọi số cĩ 6 chữ số là A. Gọi x là số chữ số 2, y là số chữ số 3 và z là số chữ số 5 trong A. Ta cĩ: x≥0;y≥0;z≥0 và x + y + z = 6. 
Mặt khác A chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của A chia hết cho 9.
Hay nĩi cách khác 2x + 3y + 5z chia hết cho 9.
Như vậy, ta cĩ :
 x≥0;y≥0;z≥0x + y + z = 62x + 3y + 5z⋮9⟺x≥0;y≥0;z≥0x + y + z = 63x+y+z+2z-x⋮9⟺x≥0;y≥0;z≥0x + y + z = 62z-x⋮9
⟺x≥0;y≥0;z≥0x + y + z = 62z-x=02z-x=9⟺x≥0;y≥0;z≥02z-x=0y+3z=6 (1)x≥0;y≥0;z≥02z-x=9y+3z=15 (2) 
Hệ (1) cĩ các nghiệm là: (x; y; z) = (0; 6; 0), (2; 3;1), (4;0;2)
Hệ (2) cĩ nghiệm (1;0;5)
Với (x; y; z) = (0; 6; 0) cĩ 1 số A thỏa mãn bài tốn
Với (x; y; z) = (2; 3; 1) cĩ C62.C43=60 số A thỏa mãn bài tốn
Với (x; y; z) = (4; 0; 2) cĩ C64=15 số A thỏa mãn bài tốn
Với (x; y; z) = (1; 0; 5) cĩ C61=6 số A thỏa mãn bài tốn
Vậy cĩ tất cả 1 + 60 + 15 + 6 = 82 số thỏa mãn bài tốn.
Bài 2. 
a) Ta cĩ: x3 + 3x2 – 4 = (x + 2)2(x – 1)
Và do đĩ: x3+3x2+x2-4x2-1-4
=x+2x-1x+2x-1+ x-2x+1 (1)
Tương tự như vậy: x3 – 3x2 + 4 = (x – 2)2(x + 1)
Và: x3-3x2+x2-4x2-1+4
=x-2x+1x+2x-1+ x-2x+1 (2)
Ta giải phương trình: x+2x-1+ x-2x+1=0
⟺1≤x≤2x+22x-1=x-22(x+1)⟺1≤x≤2x3+3x2-4=x3-3x2+4 ⟺x=23 
Vậy miền xác định của P là: x≥1 x≠2x≠23
Với x thuộc miền xác định, từ (1) và (2) ta rút gọn được:P=x+2x-1(x-2)x+1 
b) Với x thuộc miền xác định, ta tìm x sao cho P = 1
Ta cĩ: P = 1 ⟺x+2x-1=x-2x+1
⟺x≥2x+22x-1=x-22(x+1)⟺x≥2x3+3x2-4=x3-3x2+4
⟺x≥2x=23x=-23 Hệ vơ nghiệm.
Vậy khơng tồn tại x sao cho P = 1
Bài 3. 
Gọi x, y là thời gian xe mắy lần lượt đi trên đoạn đường AB và BC ( ĐK: 0 < y < x).
Theo bài ra ta cĩ: 
phương trình : x – y = 0,5	
phương trình: 50x + 45y = 215	 
Giải được hệ phương trình: 	
Vậy thời gian xe máy đi trên đoạn đường AB là 2,5 giờ, thời gian xe máy đi trên đoạn đường BC là 2 giờ.
Bài 4. 
a) Vì AF là tiếp tuyến của đường trịn (O) nên ta cĩ: ∠AFB=∠ACF. 
Xét ∆AFB và ∆ACF, ta cĩ:
∠FAB=∠FAC
∠AFB=∠ACF 
Suy ra ∆AFB ∽∆ACF 
Suy ra: ABAF=AFAC
 ⟹AF2=AB.AC=const
 Suy ra E, F là các điểm nằm trên đường trịn (A, AB.AC )
b)	Vì AF là tiếp tuyến của đường trịn (O) nên ta cĩ:
∠EE'F=∠AFE (1)
Mặt khác: 
∠AFE=∠AEF (2)
Và:
 ∠AEF=∠AIF (4 điểm A, E, I, F cùng nằm trên đường trịn đường kính AO) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra được: ∠EE'F=∠AIF . Suy ra EE’ // AB (Theo dấu hiệu gĩc đồng vị của hai đường thẳng song song)
c) Xét ∠AKN và ∠AOI ta cĩ:
∠OAI = ∠KAN
∠ANK= ∠AIO=900
Suy ra ∆OAI ∽ ∆KAN
⟹AKAN=AOAI 
⟹AK.AI=AO.AN (1)
Mặt khác AO.AN=AF2=AB.AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AK.AI = AB.AC = const
Suy ra K là điểm cố định
Dễ dàng nhận thấy đường trịn ngoại tiếp tam giác ONI cũng chính là đường trịn ngoại tiếp tứ giác OIKN, suy ra tâm của đường trịn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên đường trung trực của KI là đường thẳng cố định. Từ đĩ ta cĩ (đpcm).
Bài 5.
 ∀n nguyên dương, ta cĩ:
5n5n+1-6n3n+2n=25n-18n-(12n-5n) 
Ở đĩ: 25n-18n⋮7 và 12n-5n⋮7
Suy ra 5n5n+1-6n3n+2n⋮7 (1)
Lại cĩ: 5n5n+1-6n3n+2n=25n-12n-(18n-5n)
Ở đĩ: 25n-12n⋮13 và (18n-5n)⋮13
Suy ra 5n5n+1-6n3n+2n⋮13 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra 5n5n+1-6n3n+2n⋮91 	 
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 Khĩa ngày 5 tháng 7 năm 2007 
 MƠN: TỐN
 ( Thời gian 120 phút, khơng kể thời gian giao đề ) 
Bài 1 : ( 1,5 điểm ) 
Gi¶i hƯ ph­¬ng tr×nh : 
Bµi 2: ( 3 điểm ) 
Cho biĨu thøc M =
T×m ®iỊu kiƯn cđa x ®Ĩ M cã nghÜa vµ rĩt gän M
T×m x ®Ĩ M = 5
T×m x Z ®Ĩ M Z.
Bài 3: ( 1,5 điểm )
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi từ B trở về A người đĩ tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
Bµi 4: ( 3 điểm )
 Cho ®­êng trßn (o) víi d©y BC cè ®Þnh vµ mét ®iĨm A thay ®ỉi vÞ trÝ trªn cung lín BC sao cho AC>AB vµ AC > BC . Gäi D lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung nhá BC. C¸c tiÕp tuyÕn cđa (O) t¹i D vµ C c¾t nhau t¹i E. Gäi P, Q lÇn l­ỵt lµ giao ®iĨm cđa c¸c cỈp ®­êng th¼ng AB víi CD; AD vµ CE.
	a. Chøng minh r»ng DE// BC
	b. Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp
	c. Gäi giao ®iĨm cđa c¸c d©y AD vµ BC lµ F
	Chøng minh hƯ thøc: = + 
C©u 5: ( 1 điểm )
	Cho a, b, clµ c¸c sè nguyªn kh¸c 0 tho¶ m·n:
 	Chøng minh r»ng: 
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 21.
Bài 1. 
§Ỉt : Ta cã : u ; v lµ nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh :
 ; 
 ; 
Gi¶i hai hƯ trªn ta ®­ỵc : NghiƯm cđa hƯ lµ : 
(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) vµ c¸c ho¸n vÞ. 
Bµi 2.
M = 
 a) §K 0,5®
 Rĩt gän M =
BiÕn ®ỉi ta cã kÕt qu¶: M = M = 
b)
 c) M = 
 Do M nªn lµ íc cđa 4 nhËn c¸c gi¸ trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; 4 
 do 
Bài 3. 
Gọi vận tốc khi đi là x (đơn vị tính km/h, điều kiện là x >0)
Vận tốc khi về là x + 4 ( km/h )
Thời gian khi đi là 24/x
Thời gian khi về là: 24/x+4 
Theo bài ra ta cĩ phương trình . 
Giải ra ta cĩ nghiệm x = 12 ( km/h )
Vận tốc khi đi từ A đến B là 12 km/h
Bµi 4.
VÏ h×nh ®ĩng – viÕt gi¶ thiÕt – kÕt luËn 
a) S®CDE = S® DC = S® BD = 
=> DE// BC (2 gãc vÞ trÝ so le) 
b) APC = s® (AC - DC) = AQC 
=> APQC néi tiÕp (v× APC = AQC
cïng nh×n ®oan AC) 
c) Tø gi¸c APQC néi tiÕp
CPQ = CAQ (cïng ch¾n cung CQ)
CAQ = CDE (cïng ch¾n cung DC)
Suy ra CPQ = CDE => DE// PQ
Ta cã: = (v× DE//PQ) (1)	
 = (v× DE// BC) (2)	 
Céng (1) vµ (2) : 
	=> (3)	 	 
ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy ra PQ = CQ 
Thay vµo (3) : 	 
C©u 5.
§Ỉt x1=
XÐt f(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3) = x3 - ux2 + vx - 1
Trong ®ã u = x1 + x2 + x3 =
 v = x1x2 + x2x3 + x3x1 = Z
NhËn xÐt: NÕu ®a thøc P(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d Z ; a0)
cã nghiƯm h÷u tØ x = (p, q Z; q0; (p, q) = 1)
th× p lµ ­íc cđa d cßn q lµ ­íc cđa a.
¸p dơng nhËn xÐt trªn ta cã
§a thøc f(x) cã 3 nghiƯm h÷u tØ x1, x2, x3 vµ c¸c nhiƯm nµy lµ ­íc cđa 1