Bài giảng Đại số Lớp 10 - Chương IV - Tiết 27: Bất đẳng thức - Nguyễn Thị Mai Hương

Tiết 27: Bất đẳng thức 
GV:NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG 
? 
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng: 
(Sai) 
b) 
a) 
c) 
(Đúng) 
(Đúng) 
I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 
? 
Chọn dấu thích hợp (=, ) để khi điền vào ô vuông ta được một mệnh đề đúng 
a) 
b) 
c) 
d) 
Với a là một số đã cho 
< 
> 
= 
> 
I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 
I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 
1. Khái niệm bất đẳng thức: 
Các mệnh đề dạng "a b" được gọi là bất đẳng thức 
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương 
- Ngược lại a<b là bất đẳng thức hệ quả của c<d thì 2 bất đẳng thức tương đương với nhau. 
KH: 
- Nếu mệnh đề đúng thì ta nói bất đẳng thức c<d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a<b. 
KH: 
I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 
I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương 
Các bất đẳng thức đã học: 
tùy ý 
Hãy chứng minh 
? 
I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương 
Chứng minh 
cộng -b vào hai vế bđt a<b ta được bđt hệ quả a-b<0 
cộng b vào 2 vế của bđt a-b<0 ta được b ất đẳng thức hệ quả a<b. 
Vì vậy 
Đảo lại: 
Để chứng minh một bất đẳng thức ta chỉ cần xét dấu của hiệu hai vế bất đẳng thức đó. 
Như vậy 
I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 
3. Tính chất của bất đẳng thức: 
Tính chất 
Tên gọi 
Điều kiện 
Nội dung 
Cộng hai vế của bđt với một số 
c>0 
Nhân hai vế của bđt với một số 
c<0 
Cộng hai bđt cùng chiều 
a>0, c>0 
Nhân hai bđt cùng chiều 
n nguyên dương 
Nâng hai vế của bđt lên một luỹ thừa 
a>0 
khai căn hai vế của một bđt 
* Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối. 
Với mọi a   , ta có: –|a|  ≤  a  ≤  |a| 
Với a  >  0, ta có: |x|  <  a  –a  <  x  <  a 
Với a  >  0, ta có: |x|  >  a  x   a 
Với a, b   , ta có: 
|a|  −  |b|  ≤  |a  +  b|  ≤  |a|  +  |b| 
a b : gọi là bất đẳng thức ngặt 
Các mệnh đề hoặc cũng được gọi là bất đẳng thức 
hoặc 
: gọi là bất đẳng thức không ngặt 
Chú ý: 
! 
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si) 
1. Bất đẳng thức Cô-si 
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng 
Đẳng thức 
xảy ra khi và chỉ khi a = b 
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si) 
Hãy chứng minh bất đẳng thức cô-si 
Nhắc lại: 
Để chứng minh một bất đẳng thức ta chỉ cần xét dấu của hiệu hai vế bất đẳng thức đó. 
Như vậy để chứng minh bất đẳng thức 
Ta cần chứng minh 
1. Bất đẳng thức Cô-si 
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si) 
1. Bất đẳng thức Cô-si 
Thật vậy 
Ta có: 
Vậy 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Tức là khi a = b 
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si) 
Cho một số dương a và số nghịch đảo của nó là 
Hãy áp dụng bất đẳng thức cô- si cho 2 số dương này 
Ta có 
vậy 
Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2 
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si) 
Hệ quả 1 
Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2 
Ví dụ 4: Cho a, b, c là ba số dương bất kỳ, chứng minh 
Giải. 
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si) 
Hệ quả 2 
Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y 
Chứng minh: 
Đặt S = x + y. Áp dụng bđt cô-si ta có: 
Do đó 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy tích xy đạt giá trị Max bằng 
Khi và chỉ khi 
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si) 
Hệ quả 2 
Ý NGHĨA HÌNH HỌC 
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. 
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si) 
Hệ quả 3 
Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y 
Ý NGHĨA HÌNH HỌC 
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. 
Hãy chứng minh tương tự 
Mở rộng, cho ba số a  ≥  0, b  ≥  0, c  ≥  0, ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 
Giải. AD BĐT Coossi cho 3 số dương a, b, c : 
Ví dụ 6: Chứng minh nếu a, b, c là ba số dương thì 
Khi nào xảy ra đẳng thức. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Bài tập 1 : Chứng minh rằng 
Giải 
Ta có: 
Dấu “=“ (Đẳng thức) xảy ra 
Vậy 
Dấu “=” xảy ra 
Bài tập 2 : Chứng minh rằng 
Giải 
Ta có: 
Dấu “=“ (Đẳng thức) xảy ra 
AD BĐT Cosi cho 2 số dương