Bài giảng môn Toán Lớp 10 sách Kết nối tri thức - Chương IV - Bài 10: Vecto trong mặt phẳng tọa độ

CHƯƠNG I 
§7. Các khái niệm mở đầu 
§8. Tổng và hiệu của hai vectơ 
§9. Tích của một vectơ với một số 
§10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ 
§11. Tích vô hướng của hai vectơ 
Bài tập cuối chương 4 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
CHƯƠNG I 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 
1 
BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 
2 
BÀI TẬP 
3 
TOÁN HÌNH HỌC 
➉ 
10 
VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng tọa độ. Trong khoảng thời gian đó, tâm bão di chuyển thẳng đều từ vị trí có tọa độ (13,8;106,3) đến vị trí có tọa độ (14,1;106,3). D ự a vào thông tin trên, liệu ta có dự đoán được vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì trong khoảng thời gian 12 giờ đó không? 
Hình 4.31. Ta có thể dùng một phần mặt phẳng tọa độ để mô tả một phạm vi nhất định trên Trái Đất mà vị trí x 0 vĩ bắc, y 0 kinh đông của tâm ấp thấp được thể hiện bởi điểm có tọa độ (x;y). 
Trong bài học này, ta gắn cho mỗi vectơ trên mặt phẳng tọa độ một cặp số để có thể làm việc với vectơ thông qua cặp số đó. 
 HĐ1: Trên trục số , gọi là điểm biểu diễn số và đặt . Gọi là điểm biểu diễn số , là điểm biểu diễn số . Hãy biểu thị mỗi vectơ theo vectơ . 
 Hướng dẫn: 
Nhận xét về độ dài của các vectơ so với độ dài vectơ ? 
Nhận xét về hướng của các vectơ so với vectơ ? 
1. T ỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 
 Trục toạ độ (còn gọi là trục, hay trục số ) là một đường thẳng mà trên đó đã xác định một điểm và một vectơ có độ dài bằng 1. Điểm gọi là gốc toạ độ, vectơ gọi là vectơ đơn vị của trục. Điểm trên trục biểu diễn số (hay có toạ độ ) nếu . 
Ví dụ: 
 thì điểm có tọa độ là . 
 Chú ý: Điểm gốc có tọa độ là . 
1. T ỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 
 HĐ2: Trong hình 4.33: 
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ theo các vectơ . 
b) Hãy biểu thị vectơ theo các vectơ ; từ đó biểu thị vectơ theo các vectơ . 
 Hướng dẫn: 
a) Ta có: 
b) Ta có: 
1. T ỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 
 Trên mặt phẳng, xét hai trục có chung gốc và vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị của trục là , vectơ đơn vị của trục là . Hệ gồm hai trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ . Điểm gọi là gốc tọa độ, trục gọi là trục hoành ; trục gọi là trục tung . Mặt phẳng chứa hệ trục gọi là mặt phẳng tọa độ hay mặt phẳng . 
1. T ỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 
 Với mỗi vectơ trên mặt phẳng , có duy nhất cặp số sao cho 
 . Ta nói vectơ có tọa độ và viết hay . 
Các số tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của . 
 Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ . 
 VD1: Tìm tọa độ của các vectơ đơn vị tương ứng của các trục . 
 Giải: Vì 
 Vì 
 Luyện tập 1: Tìm tọa độ của vectơ ? 
 Giải: Vì 
1. T ỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 
2 . BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 
 HĐ3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho , , . 
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ , , theo các vectơ , . 
b) Tìm tọa độ của các vectơ , . 
c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ , . 
 Hướng dẫn: 
a) ; 
 ; 
b) 
c) ; . Suy ra 
 Cho hai vectơ và . Khi đó: 
 với 
 VD2: Cho và . 
a) Tìm tọa độ vectơ ; .	b) Hỏi có cùng phương hay không? 
 Hướng dẫn: 
a) Vì , nên . 
Ta có nên . 
b) Do nên hai vectơ cùng phương. 
 Nhận xét: Vectơ cùng phương với vectơ khi và chỉ khi tồn tại số sao cho (hay là nếu ). 
2 . BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 
 HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Gọi , tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm trên trục hoành và trục tung 
a) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu thị theo và tính độ dài của theo . 
b) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu thị theo và tính độ dài của theo . 
c) Dựa vào hình chữ nhật , tính độ dài của theo , . 
d) Biểu thị theo các vectơ đơn vị , . 
2 . BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 
Hình 4.35 
 Hướng dẫn: 
a) 
 . 
 HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Gọi , tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm trên trục hoành và trục tung 
a) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu thị theo và tính độ dài của theo . 
b) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu thị theo và tính độ dài của theo . 
c) Dựa vào hình chữ nhật , tính độ dài của theo , . 
d) Biểu thị theo các vectơ đơn vị , . 
2 . BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 
Hình 4.35 
 Hướng dẫn: 
b) 
 . 
 HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Gọi , tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm trên trục hoành và trục tung 
a) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu thị theo và tính độ dài của theo . 
b) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu thị theo và tính độ dài của theo . 
c) Dựa vào hình chữ nhật , tính độ dài của theo , . 
d) Biểu thị theo các vectơ đơn vị , . 
2 . BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 
Hình 4.35 
 Hướng dẫn: 
c) Độ dài của vectơ 
 HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Gọi , tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm trên trục hoành và trục tung 
a) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu thị theo và tính độ dài của theo . 
b) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu thị theo và tính độ dài của theo . 
c) Dựa vào hình chữ nhật , tính độ dài của theo , . 
d) Biểu thị theo các vectơ đơn vị , . 
2 . BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 
Hình 4.35 
 Hướng dẫn: 
d) 
 Nếu điểm có tọa độ thì vectơ có tọa độ và có độ dài . 
 Chẳng hạn, cho thì vectơ và . 
Nhận xét: 
Với , ta lấy điểm thì . Do đó . 
 Chẳng hạn, vectơ có độ dài là . 
2 . BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 
 HĐ5: Trong mặt phẳng tọa độ , cho các điểm và . 
a) Tìm tọa độ của các vectơ , . 
b) Biểu thị vectơ theo các vectơ , và tìm tọa độ của vectơ . 
c) Tìm độ dài của vectơ . 
2 . BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 
 Hướng dẫn: 
a) Ta có 
 . 
b) Ta có 
 . 
c) Ta có 
 . 
 Với hai điểm và thì và khoảng cách giữa hai điểm , là 
 VD3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho ba điểm , , . 
Tìm tọa độ của các vectơ , . 
So sánh các khoảng cách từ tới và . 
b) Ba điểm , , thẳng hàng không? 
c) Tìm điểm để là một hình thoi. 
2 . BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 
 Hướng dẫn: 
a) Ta có 
 . 
 . 
Khoảng cách từ tới và là: 
 . 
b) Hai vectơ , không cùng phương (vì ) 
Do đó , , không thẳng hàng. 
 Với hai điểm và thì và khoảng cách giữa hai điểm , là 
 VD3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho ba điểm , , . 
Tìm tọa độ của các vectơ , . 
So sánh các khoảng cách từ tới và . 
b) Ba điểm , , thẳng hàng không? 
c) Tìm điểm để là một hình thoi. 
2 . BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 
 Hướng dẫn: 
c) 
Các điểm không thẳng hàng và , nên là một hình thoi . 
Vậy . 
 Luyện tập 2 : 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm , . 
a) Các điểm , , có thẳng hàng không? 
b) Tìm điểm để là một hình bình hành. 
2 . BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 
 Hướng dẫn: 
a) Ta có 
Hai vectơ , không cùng phương (vì ) 
Do đó các điểm , , không cùng nằm trên một đường thẳng. 
Vậy , , không thẳng hàng. 
 Luyện tập 2 : 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm , . 
a) Các điểm , , có thẳng hàng không? 
b) Tìm điểm để là một hình bình hành. 
2 . BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 
 Hướng dẫn: 
b) 
Các điểm , , không thẳng hàng nên là một hình bình hành khi và chỉ khi . 
Vậy . 
CHƯƠNG I 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 
1 
BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 
2 
BÀI TẬP 
3 
TOÁN ĐẠI SỐ 
➉ 
10 
VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho ba điểm , , . 
a) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng . 
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác . 
a) Điểm là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi . 
Mặt khác . 
Do đó, (*) tương đương với . Vậy .	 
b) Điểm là trọng tâm của khi và chỉ khi (**) . 
 Mặt khác 
Suy ra . 
Do đó, (**) tương đương với . Vậy . 
Giải: 
Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định toạ độ vị trí của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo. 
Gọi ( ). 
 . 
 . 
 cùng phương 
 . 
Quãng đường cơn bão đi được sau 9 giờ là: 
 . 
Vận dụng. 
Trong 12 giờ, tâm bão được dự báo di chuyển thẳng đều từ tới vị trí có toạ độ . Gọi toạ độ của là . Bạn hãy tìm mối liên hệ giữa hai vectơ và rồi thể hiện mối quan hệ đó theo toạ độ để tìm . 
Bài giải 
Ta có . 
 . 
 . 
Dùng chức năng SLOVE của MTCT ta tìm được hai nghiệm của phương trình là: . 
 Vậy . 
Chú ý : - Trung đ iể m của đoạn thẳng có toạ độ là . 
- Trọng tâm của tam giác có toạ độ là . 
Để thể hiện một phần Trái Đất trên một bản đồ phẳng người ta dùng một phép chiếu bản đồ, với độ sai khác nhất định giữa bản vẽ và thực địa (thường được quy định với từng loại bản đồ), về nguyên tắc, phạm vi thể hiện càng hẹp thì càng chính xác. 
Trong vận dụng này, ta chỉ tính toán trong phạm vi một đoạn đường đi ngắn của tâm bão. 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
4.16. Trong mặt phẳng toạ độ , cho các điểm . 
a) Tính độ dài của các đoạn thẳng , , . 
b) Chứng minh rằng tam giác vuông cân. 
a) , . 
b) . 
Vì nên vuông tại 
Mà nên vuông cân tại . 
 BÀI TẬP 
Bài giải 
4.17. Trong mặt phẳng toạ độ , cho các vectơ và các điểm . 
a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ và . 
b) Các điểm có thẳng hàng hay không? 
c) Tìm điềm để là một hình bình hành. 
a) ; ; . 
Suy ra . 
b ) Ta có: . 
Vì nên không cùng phương, suy ra không thẳng hàng. 
c) Ta có: . 
Do đó: là một hình bình hành khi và chỉ khi 
 . 
 BÀI TẬP 
Bài giải 
 4.18. Trong mặt phẳng toạ độ , cho các điểm . 
a) Hãy chứng minh rằng là ba đỉnh của một tam giác. 
b) Tìm toạ độ trung điểm của đoạn thẳng . 
c) Tìm toạ độ trọng tâm của . 
d) Tìm điểm để là trọng tâm của . 
a) Ta có: . 
Vì nên không cùng phương. 
Suy ra là ba đỉnh của một tam giác. 
b) . 
 BÀI TẬP 
Bài giải 
c) . 
d) Gọi . Ta có: 
 . 
 4.19. Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng toạ độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ . Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng toạ độ) tại thời điểm sau khi khởi hành giờ. 
Gọi . 
 ; . 
Quảng đường tàu thủy chạy được sau giờ là: . 
Ta có: 
 . 
 và cùng phương nên 
 . 
Thay vào ta có: 
 BÀI TẬP 
Bài giải 
 . 
Vậy . 
 4.20. Trong Hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có toạ độ . Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào? 
Quân mã di chuyển theo hình chữ L, mỗi nước  đi  gồm tổng cộng 3 ô: tiến 1 ô rồi quẹo trái hoặc quẹo phải 2 ô và ngược lại; tiến 2 ô rồi quẹo trái hoặc quẹo phải 1 ô và ngược lại. Khác với toàn bộ  quân cờ trong bàn cờ vua,  mã  không bị cản bởi bất cứ quân nào và có thể nhảy qua tất cả các quân khác trên đường đi của mình. 
Vậy Quân mã có thể ở các vị trí sau: 
 BÀI TẬP 
Bài giải 
Bài giải 
 . 
B 
 . 
A 
 . 
C 
 . 
D 
C 
CÂU 1 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
 Gọi tọa độ . 
Trong hệ tọa độ , cho . Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức ? 
III 
Suy ra , , . 
Ta có 
Vậy . 
Bài giải 
 . 
B 
 . 
A 
 . 
C 
 . 
D 
A 
CÂU 2 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
 Gọi tọa độ . 
Trong mặt phẳng , cho các điểm . Tìm điểm biết rằng . 
III 
Khi đó ta có: , , . 
Theo giả thiết ta có: . 
Vậy . 
Bài giải 
 . 
B 
 . 
A 
 . 
C 
 . 
D 
C 
CÂU 3 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
 Ta có: Tứ giác là hình bình hành . 
 Các điểm , , lần lượt là trung điểm các cạnh , , của tam giác . Tọa độ đỉnh của tam giác là 
III 
Nên hai đường chéo và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 
Do đó . 
Vậy . 
Bài giải 
 . 
B 
 . 
A 
 . 
C 
 . 
D 
B 
CÂU 4 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
 Vì thuộc trục nên . 
Cho , . Tìm tọa độ điểm thuộc trục sao cho ba điểm , , thẳng hàng? 
III 
Suy ra , . 
Để ba điểm , , thẳng hàng thì 
Vậy . 
 . 
Bài giải 
B 
A 
 . 
C 
 . 
D 
C 
CÂU 5 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
 Do là trung điểm của đoạn thẳng nên ta có . 
Trong mặt phẳng , cho hai điểm . Tìm tọa độ điểm sao cho là trung điểm của đoạn thẳng . 
III 
Vậy tọa độ điểm . 
Gọi tọa độ . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
C 
CÂU 6 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
Gọi 
Trong hệ tọa độ cho tam giác có và trọng tâm . Tìm tọa độ đỉnh ? 
III 
Vì là trọng tâm tam giác nên 
Vậy tọa độ đỉnh . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
B 
CÂU 7. 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
Vì là trung điểm nên 
Trong hệ tọa độ cho tam giác có , trọng tâm và trung điểm cạnh là Tổng hoành độ của điểm và là 
III 
Vì là trọng tâm nên 
Suy ra 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
C 
CÂU 8. 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
Gọi 
Trong hệ tọa độ cho ba điểm , , . Tìm tọa độ điểm để tứ giác là hình bình hành. 
III 
Vậy tọa độ đỉnh . 
Ta có 
Tứ giác là hình bình hành 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
B 
CÂU 9. 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
Từ là hình bình hành và là trọng tâm suy ra . 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình bình hành có . Điểm là trọng tâm tam giác . Tìm tọa độ điểm . 
III 
Với thì . 
Do đó tọa độ điểm . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
C 
CÂU 10. 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
Gọi là tọa độ trung điểm của cạnh 
 Trong hệ tọa độ cho hình chữ nhật có , và là tâm của hình chữ nhật. Tìm tọa độ trung điểm của cạnh 
III 
Gọi là tọa độ trung điểm của cạnh 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
B 
CÂU 11. 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
Gọi tọa độ . 
Trong hệ tọa độ cho tam giác có Gọi lần lượt là trung điểm của . Tìm tọa độ vectơ ? 
III 
Do là trung điểm của cạnh 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
B 
CÂU 12. 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
Gọi tọa độ . 
Trong hệ tọa độ cho tam giác có , , lần lượt là trung điểm của các cạnh . Tìm tọa độ đỉnh ? 
III 
Từ giả thiết, ta suy ra 
P 
N 
M 
C 
B 
A 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
D 
CÂU 13. 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
Điểm 
Trong hệ tọa độ , cho hai điểm . Tìm tọa độ điểm thuộc trục hoành sao cho thẳng hàng. 
III 
Ta có và 
C 
D 
Bài giải 
Câu 14 
 Trong hệ tọa độ cho ba điểm và Tìm điểm thuộc trục hoành sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. 
Ta có 
B 
A 
 . 
B 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
D 
CÂU 15. 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
Gọi điểm . 
 Trong mặt phẳng tọa độ cho các điểm , , . Tọa độ điểm thỏa mãn là 
III 
 . 
Vậy . 
Bài giải 
 / 
B 
A 
C 
D 
A 
CÂU 16. 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
Nhận xét: nằm cùng phía đối với trục hoành. 
 Trong hệ tọa độ , cho hai điểm , . Biết trên trục hoành sao cho chu vi tam giác nhỏ nhất. Giá trị của nằm trong khoảng nào sau đây? 
III 
Ta có: 
 . 
 . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
A 
CÂU 17. 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
Gọi là trọng tâm tam giác . . 
 Trong mặt phẳng , cho tam giác có đỉnh , , . Điểm thuộc trục tung sao cho nhỏ nhất có tung độ là 
III 
Ta có . 
 tung 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
A 
CÂU 18. 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . 
 Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có , , . Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . 
III 
Ta có: .