Bài tập Đại số 10 - Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình

 Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa 
ĐẠI SỐ 10 
Chương 4. 
Bất Đẳng Thức 
Bất Phương Trình 
SAVE YOUR TIME&MONEY 
SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILL 
SUIT YOUR PACE 
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
2
Chương 4 . Bất Đẳng Thức . Bất Phương Trình 
§ 1. Bất đẳng thức 
A. Tóm tắt giáo khoa . 
 1. A > B Ù A – B > 0 ; A < B Ù A – B < 0 
 A ≥ B Ù A – B ≥ 0 ; A ≤ B Ù A – B ≤ 0 
2. Tính chất : 
 (a) A > B và B > C => A > C 
 (b) A > B Ù A + C > B + C 
 (c) A > B Ù A.C B.C
A.C B.C
>⎧⎨ <⎩ 
 (d) Nếu A, B > 0 : A > B Ù A B> 
 A > B Ù 3 3A B> 
 (e) 
A B
A C B D
C D
>⎧ => + > +⎨ >⎩ 
 (f) 
A B 0
C D 0
> >⎧⎨ > >⎩ => AC > BD 
3. Bất đẳng thức Cô-si : 
 * Định lí : Với mọi a , b 0≥ : a bab
2
+≤ 
 Đẳng thức xảy ra Ù a = b 
* Hệ quả : 
• 1a 2
a
+ ≥ 
• Nếu a , b ≥ 0 và a + b = s thì giá trị lớn nhất của ab là s2 / 4 khi a = b 
• Nếu a , b ≥ 0 và ab = p thì giá trị nhỏ nhất của a + b = 2 p khi a = b 
4.Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối. 
 * |x| ≤ a Ù - a ≤ x ≤ a 
 * |x| ≥ a Ù x a
x a
≥⎡⎢ ≤ −⎣ 
 * |a + b| ≤ |a| + |b| ; |a - b| ≥ ||a| - |b|| 
B. Giải toán . 
Dạng 1 : Chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương. 
 Các phép biến đổi tương đương (b) , (c) , (d) thừơng được dùng để biến đổi bất đẳng thức 
cần chứng minh A ≥ B tương đương với C ≥ D , cuối cùng dùng định nghĩa :C ≥ D Ù C – D ≥ 0 
. 
Ví dụ : Chứng minh các bất đẳng thức sau : 
a) 2(a3 + b3 ) ≥ (a + b)(a2 + b2 ) ∀ a , b và a + b > 0 
b) 4x2 + y2 ≥ 4x + 4y - 5 , ∀ x, y 
c) x2 – 4xy + 5y2 + 2x – 8y + 5 ≥ 0 , ∀ x, y 
d) x 1 9 x 4− + − ≤ , ∀ x ∈ [1 ; 9] 
nếu C > 0 
nếu C < 0 
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
3
Giải :a) Bất đẳng thức cần CM Ù 2(a3 + b3 ) – (a + b)(a2 + b2 ) ≥ 0 (định nghĩa) \ 
 Ù (a + b)[2(a2 + b2 – ab) - (a2 + b2 )] ≥ 0 
 Ù (a + b)(a2 + b2 – 2ab) ≥ 0 
 Ù (a + b)(a – b)2 ≥ 0 
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì a + b > 0 và (a – b)2 ≥ 0 
 b) Bất đẳng thức cần CM Ù (4x2 – 4x + 1) + (y2 – 4y + 4) ≥ 0 
 Ù (2x – 1)2 + (y – 2)2 ≥ 0 ( bất đẳng thức đúng ) 
c) Bất đẳng thức cần CM Ù x2 – 2(2y – 1)x + 5y2 – 8y + 5 ≥ 0 
(viết thành đa thức bậc 2 theo x , với hệ số là y) 
 Ù [x2 – 2(2y - 1)x + (2y – 1)2 ] – (2y – 1)2 + 5y2 – 8y + 5 ≥ 0 (thêm bớt số hạng để 
đưa về hằng đẳng thức a 2 – 2ab + b2 ) 
 Ù [x – 2y + 1]2 + y2 – 4y + 4≥ 0 ( rút gọn ) 
 Ù ( x – 2y + 1)2 + (y – 2)2 ≥ 0 ( bất đẳng thức đúng ) 
 d) Hai vế đều dương , bình phương hai vế , ta được bất đẳng thức tương đương : 
2( x 1 9 x ) 16− + − ≤ Ù(x – 1) + (9 – x) + 2 (x 1)(9 x) 16− − ≤ ( khai triển) 
 Ù 2 2( x 10x 9)− + − ≤ 8 ( rút gọn ) 
 Ù 2x 10x 9− + − ≤ 4 ( nhân hai vế cho ½ ) 
 Ù - x2 + 10x – 9 ≤ 16 ( bình phương hai vế ) 
 Ù x2 – 10x + 25 ≥ 0 ( rút gọn ) 
 Ù (x – 5)2 ≥ 0 ( bất đẳng thức đúng ) 
Dạng 2 : Chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cô- si 
 Sử dụng một trong các dạng : a bab
2
+≤ ; a + b ≥ 2 ab 
 Hoặc các dạng tương đương : a2 + b2 ≥ 2ab ; ab ≤ 
2
ba 22 + (2 bất đẳng thức này đúng với 
mọi a, b ) 
Ví dụ 1 : CMR : 
 a) (x 1)(5 x)− − ≤ 2 , ∀ x ∈ [1 ; 5] b) x 4x 5
−
+ ≤ 
1
6
 , ∀ x ≥ 4 
 c) x + 9
x 1− ≥ 7 , ∀ x > 1 d) 
24x 8x 1
x
+ + ≥ 12 , ∀ x > 0 
Giải a) Vì x ∈ [ 1 ; 5] nên x – 1 ≥ 0 và 5 – x ≥ 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không 
âm x – 1 và 5 – x , ta có : 
 (x 1)(5 x)− − ≤ (x 1) (5 x) 22
− + − = 
 Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương bằng cách bình phương hai vế rồi chuyển 
vế như trong dạng toán 1. 
 b) Ta có : 
1x 4 (x 4)9
3
− = − ( nhân và chia cho 3 = 9 để đưa về dạng ab ) 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x – 4 và 9 : 
 x 4− = 9)4x(3
1 − ≤ 1 (x 4) 9 x 5.3 2 6
− + += 
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
4
Chia hai vế cho x + 5 > 0 , ta được bất đẳng thức : 
x 4 1
x 5 6
− ≤+ ( đpcm) 
 Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương bằng cách nhân hai vế cho x + 5 > 0 rồi 
chuyển vế như trong dạng toán 1. 
 c) Ta có : x + 
9
x 1− = ( x – 1) + 
9
x 1− + 1 ( thêm 1 bớt 1 để đưa về dạng a + 
9
a
) . Áp dụng 
bất đẳnghức Cô – si cho hai số dương : x – 1 và 9
x 1−
, ta được : 
(x – 1) + 9
x 1− ≥ 2. 
9(x 1). 2. 9 6
x 1
− = =− 
 Suy ra : x + 9
x 1− ≥ 6 + 1 ( cộng hai vế cho 1 ) 
 ≥ 7 ( đpcm) 
 Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương bằng cách nhân hai vế cho x - 1 > 0 rồi 
chuyển vế như trong dạng toán 1. 
 d) Ta có : 
24x 8x 1
x
+ + = 4x + 1
x
 + 8 ( Chia tử và mẫu ) 
 Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho 4x và 1
x
 , ta được : 
 4x + 1
x
 ≥ 12. 4x. 4
x
≥ 
 Suy ra : 
24x 8x 1
x
+ + ≥ 4 + 8 = 12 ( đpcm) 
Ghi chú : (1) Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương như trong dạng toán 1 . 
 (2) Đặc trưng của phưong pháp chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cô – si là ta 
chỉ phân tích một vế rồi sử dụng bất đẳng thức Cô- si cho hai số thích 
hợp , kết hợp với tính chất của bất đẳng thức, để so sánh với vế còn lại . 
 (3) Trong 4 bài toán này , nếu ta dấu giá trị của vế phải , ta được bài toán đi tìm giá trị lớn 
nhất ( bài a , b ) hay giá trị nhỏ nhất ( bài c , d) của một biểu thức 
Ví dụ 2 : CM các bất đẳng thức sau : 
 a) 
2 2 2
2 2 2
a b c a c b
b c a c b a
+ + ≥ + + , với mọi a , b, c ≠ 0 . 
 b) (a + b)(b + c) (c + a) ≥ 8abc với mọi a , b, c ≥ 0 . 
 c) (a + b + c) ( 1 1 1
a b c
+ + ) ≥ 9 , (a , b , c > 0 ). 
 Khi nào đẳng thức xảy ra ? 
Giải a) Trong bài này , ta sử dụng bất đẳng thức Cô - si kết hợp với tính chất (e) . Áp dụng bất 
đẳng thức Cô- si cho các cặp số không âm , ta có : 
2 2 2 2
2 2 2 2
a b a b2 .
b c b c
+ ≥ = 2 a
c
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
5
2 2 2 2
2 2 2 2
b c b c2 .
c a c a
+ ≥ = 2 b
a
2 2 2 2
2 2 2 2
c a c a2 .
a b a b
+ ≥ = 2 c
b
 Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều vế với vế , rồi chia hai vế cho 2 , ta được 
đpcm . 
 b) Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các cặp số không âm , ta có : 
 a + b ≥ 2 ab > 0 
 b + c ≥ 2 bc > 0 
 c + a ≥ 2 ca > 0 
 Nhân ba bất đẳng thức cùng chiều vế với vế , ta được đpcm . 
 c) Ta có : (a + b + c) ( 1 1 1
a b c
+ + ) = 1 + 1 + 1 + ( a b
b a
+ ) + ( a c
c a
+ ) + ( b c
c b
+ ) 
 Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các cặp số trong dấu ngoặc , ta được : 
 a b
b a
+ ≥ 2 . a b. 2
b a
= (1) , a c b c2 (2) ; 2 (3)
c a c b
+ ≥ + ≥ 
 Suy ra : (a + b + c) ( 1 1 1
a b c
+ + ) ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (4) ( đpcm) 
 Đẳng thức xảy ra ở (4) Ù Đẳng thức xảy ra đồng thời xảy ra ở (1) , (2) , (3) 
 Ù a b a c b c; ;
b a c a c b
= = = Ù a2 = b2 = c2 
 Ù a = b = c 
Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối . 
 Ta thường sử dụng các công thức trong phần 4 để chứng minh bất đẳng thức có chứa giá trị 
tuyệt đối hay giải bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối . 
Ví dụ : a) CM : |5 – x| + |x + 10| ≥ 15 với mọi x . 
 b) Giải bất phương trình : |x – 3| ≤ 5 
 c) Giải bất phương trình : |2x – 3| ≥ x2 
Giải 
 a) Áp dụng bất đẳng thức |a| + |b| ≥ |a + b| , ta có : 
 |5 – x| + |x + 10| ≥ | 5 – x + x + 10 | = 15 : đpcm . 
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi x . 
 b) Ta có phép biến đổi tương đương : 
 |x – 3| ≤ 5 Ù - 5 ≤ x – 3 ≤ 5 
 Ù 3 – 5 ≤ x ≤ 3 + 5 ( chuyển vế số 3 ) 
 Ù - 2 ≤ x ≤ 8 
 c) Ta có phép biến đổi tương đương : 
 |2x – 3| ≥ x2 Ù 
2
2
2x 3 x
2x 3 x
⎡ + ≥⎢ + ≤ −⎣
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
6
 Ù 
2
2
x 2x 3 0 (1)
x 2x 3 0 (2)
⎡ − − ≤⎢ + + ≤⎣
 (1) Ù (x + 1)(x – 3) ≤ 0 Ù 
x 1 0
x 3 0
x 1 0
x 3 0
⎡ + ≥⎧⎨⎢ − ≤⎩⎢⎢ + ≤⎧⎢⎨ − ≥⎢⎩⎣
 Ù 1 x 3
x
− ≤ ≤⎡⎢ ∈∅⎣ 
 Ù - 1 ≤ x ≤ 3 
(2) Ù (x + 1)2 + 2 ≤ 0 Ù x ∈ ∅ 
 Vậy bất phương trình có nghiệm : - 1 ≤ x ≤ 3 . 
Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất ( GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức số T . 
Cách 1 ( Phân tích ) : 
• Để tìm GTNN của T , ta viết T dưới dạng : T = f 2(x) + m trong đó m là 
 giá trị không đổi .Thế thì : T ≥ m , ∀ x 
 Tìm x để T = m ( đẳng thức xảy ra) 
 Kết luận : GTNN của T là m . 
• Để tìm GTLN của T , ta viết T dưới dạng : T = - f 2(x) + M trong đó M 
 giá trị không đổi .Thế thì : T ≤ M , ∀ x 
 Tìm x để T = M ( đẳng thức xảy ra) 
 Kết luận : GTLN của T là M . 
Cách 2 ( Dùng bất đẳng thức Cô- si) 
 Tương tự như trên , tìm M ( hay m) sao cho : T ≤ M ( hay T ≥ m ) 
Ví dụ 1 : a) Tìm GTNN của biểu thức T = 2x2 + y2 – 2xy – 4x 
 b) Tìm GTLN của biểu thức T = 2x + x2 – x4 
Giải a) Ta có : T = (x2 – 2xy + y2 ) + (x2 – 4x + 4) – 4 
 = (x – y)2 + (x – 2)2 – 4 
Vì (x – y)2 ≥ 0 và (x – 2)2 ≥ 0 , ∀ x , y , do đó : T ≥ - 4 , ∀ x, y 
Đẳng thức xảy ra Ù 
2
2
(x y) 0
x y 2
(x 2) 0
⎧ − =⎪ = =⎨ − =⎪⎩
Vậy GTNN của T là – 4 . 
 b) Ta có : T = 2 - (1 – 2x + x2 ) – (1 - 2x2 + x4 ) 
 = 2 – (1 – x)2 – (1 – x2)2 
 Vì - (1 – x)2 ≤ 0 và - (1 – x2 )2 ≤ 0 , ∀ x , do đó : T ≤ 2 , ∀ x . 
Đẳng thức xảy ra Ù 
2
22 2
x 1(1 x) 0
x 1(1 x ) 0
=⎧ − = ⎧⎪ ⎨ ⎨ =− =⎪ ⎩⎩
Ù x = 1 
Vậy GTLN của T là 2 . 
Ví dụ 2 : a) Tìm GTNN của T = 
4 2
2
4x 3x 9
x
− + ( x ≠ 0 ) 
 b) Tìm GTLN của T = (2x 3)(5 3x)+ − ( - 3/2 ≤ x ≤ 5/3 ) 
 c) Cho a , b , c > 0 và a + b + c = 1 , tìm GTNN của biểu thức : 
 T = 1 1 1( 1)( 1)( 1)
a b c
− − − 
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
7
 Giải a) Ta có : T = 4x2 – 3 + 2
9
x
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 4x2 và 2
9
x
, ta có : 
 4x2 + 2
9
x
 ≥ 2. 2 294x . 12x = => T ≥ 12 – 3 = 9 
Đẳng thức xảy ra Ù 4x2 = 2
9
x
 Ù x4 = 9
4
 Ù x2 = 3
2
 Ù a = 
2
3± 
Vậy GTNN của T là 9 . 
 b) Ta có : T = 3 5 3 52(x ).3( x) 6. (x )( x)
2 3 2 3
+ − = + − 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (x + 3
2
) và ( 5
3
 - x) , ta có : 
 T ≤ 
3 5x x
2 36.
2
+ + −
 = 196.
12
 = 19
2 6
Đẳng thức xảy ra Ù x + 3
2
 = 5
3
 - x Ù x = 1
12
Vậy GTLN của T là 19
2 6
Ta có : T = 1 a 1 b 1 c. .
a b c
− − − 
 = (b c)(c a)(a b)
abc
+ + + (thế 1 – a = b + c , 1 – b = c + a .) 
Dùng bất đẳng thức Cô-si , CM được : (b + c)(c + a)(a + b) ≥ 8abc ( Xem dạng toán 2. Ví dụ 2 .(b)) 
, suy ra : T ≥ 8 . 
Đẳng thức xảy ra Ù a = b = c = 1/3 
Vậy GTNN của T là 8 
C. Bài tập rèn luyện 
4.1. CM các bất đẳng thức sau bằng pp biến đổi tương đương : 
 a) x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx , ∀ x, y , z 
 Suy ra : x4 + y4 + z4 ≥ xyz(x + y + z) 
 b) 3a2 + b2 + 4c 2 + 9d2 ≥ 2a(b + 2c + 3d) , ∀ a , b , c, d 
 c) 4a2 + 9b2 + 5 ≥ 4(a + 3b) , ∀ a , b 
 d) x2 – 4xy + 7y2 + 2x – 10y + 4 ≥ 0 , ∀ x , y 
4.2. CM các bất đẳng thức sau bằng pp biến đổi tương đương : 
 a) 
2 2
2 2
x xy y 1
x xy y 3
− + ≥+ + , ∀ x, y > 0 
 b) 
3
2 2
a 2a b
a ab b 3
−≥+ + , ∀ a, b > 0 
 c) ab + 2 2(1 a )(1 b) 1− − ≤ , ∀ a , b ∈ [ - 1 ; 1] 
 d) 
1 1 1 1 1y( ) (x z) (x z)( )
x z y x Z
+ + + ≤ + + 
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
8
4.3 . CM : 2 2 2 2 2 2a b c d (a c) (b d)+ ... x1 = m - 2 , x2 = 2 
 * x1 < x2 Ù m < 4 : bất phương trình có nghiệm m - 2 ≤ x ≤ 2 
 * x1 > x2 Ù m > 4 : bất phương trình có nghiệm 2 ≤ x ≤ m - 2 
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
44
 * x1 = x2 Ù m = 4 : x ∈ ∅ 
4.46. a) (1) Ù m – 1 < x < m + 1 
Giải (2) : * m > 0 : x m => hệ có nghiệm vì m < m + 1 
 * m 0 => hệ có nghiệm vì m – 1 < m 
 * m = 0 : hệ có nghiệm – 1 < x < 1 và x ≠ 0 
Vậy hệ có nghiệm với mọi m. 
 b) Giải (1) : 
m 2 0
x 1
− <+ . 
 * m > 2 : x - 1 * m = 2 : x ∈ ∅ 
Giải (2) : (3x + 1 )(x – 2m + 7) < 0 
Tam thức có 2 nghiệm x1 = - 1/3 và x2 = 2m – 7 . (2) có nghiệm khi -1/3 ≠ 2m – 7 Ù m ≠ 10/3 và 
tập nghiệm của (2) là khoảng giữa x1 và x2 . 
 * Khi m > 2 : S1 = ( - ∞ ; - 1 ) . Vì – 1/3 > - 1 nên hệ có nghiệm khi 2m – 7 < - 1 Ù m < 3 . 
Vậy 2 < m < 3 . 
 * Khi m - 1 nên hệ có nghiệm 
Vây hệ có nghiệm khi 2 < m <3 hay m < 2 
4. 47 . a) 
⎩⎨
⎧
>+−−=Δ
≠
04m4m3
0m
2
Ù - 2 < m < 2/3 và m ≠ 0 
b) 2 nghiệm trái dấu Ù P = 0
m
8m4 <+ Ù - 2 < m < 0 
c) 2 nghiệm đều âm Ù 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
<+=
>+=
>+−−=Δ
0
m
)2m(2S
0
m
)2m(4P
04m4m3' 2
Ù m ∈ ∅ 
d) * m = 0 : - 4x + 8 = 0 Ù x = 2 : nghiệm dương duy nhất => nhân m = 0 
* P < 0 Ù- 2 < m < 0 
* 
⎩⎨
⎧
>
=Δ
0S
0Ù 3/2m
0mhay2m
2mhay3/2m =⎩⎨
⎧
>−<
−==
Vậy : - 2 < m ≤ 0 hay m = 2/3 
4. 48. a) Đặt t = x – 1 Ù x = t + 1 , phương trình thành : 
 (t + 1)2 – (2m + 1)(t + 1) + 2m + 2 = 0 
Ù t2 – (2m – 1)t + 2 = 0 (*) 
Vì x > 1 Ù t > 0 nên YCBT Ù (*) có hai nghiệm dương 
b) PT luôn có hai nghiệm phân biệt : x = m , x = m + 1 . 
YCBT Ù 0 ≤ m ≤ 5 , 0 ≤ m + 1 ≤ 5 
 Ù 0 ≤ m ≤ 4 
4. 49. a) Điều kiện : 4x + 1 ≥ 0 Ù x ≥ - ¼ 
Hai vế đều không âm , bình phương, ta được : 
 4x + 1 ≤ 4x2 – 4x + 1 Ù 4x2 – 8x ≥ 0 
 Ù x ≤ 0 hay x ≥ 2 
So với điều kiện , ta được nghiệm : - ¼ ≤ x ≤ 0 hay x ≥ 2 
 b) Điều kiện : 
2
2
x 3x 2 0
2x 4x 0
⎧ − + ≥⎪⎨ − ≥⎪⎩
Ù 20
20
12 ≥≤⎩⎨
⎧
≥≤
≤≥
xhayx
xhayx
xhayx
 (1) 
Hai vế đều không âm , bình phương ta được : 
 x2 – 3x + 2 ≤ 2x2 – 4x Ù x2 – x – 2 ≥ 0 
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
45
 Ù x ≤ -1 hay x ≥ 2 (2) 
Từ (1) và (2) , BPT có nghiệm : x ≤ - 1 hay x ≥ 2 
 c) Điều kiện : x + 1 ≥ 0 Ù x ≥ - 1 
 * Nếu 2x – 4 < 0 Ù x < 2 : VT dương , VP âm nên BPT thỏa . Vậy – 1 ≤ x < 2 là nghiệm . 
 * Nếu 2x – 4 ≥ 0 Ù x ≥ 2 : Hai vế đều không âm , bình phương, ta được : 
 x + 1 > 4x2 – 16x + 16 Ù 4x2 – 17x + 15< 0 
 Ù 5/4 < x < 3 
So với điều kiện x ≥ 2 , ta được nghiệm : 2 ≤ x < 3 
Vậy BPT có nghiệm : - 1 ≤ x < 2 hay 2 ≤ x < 3 Ù - 1 ≤ x < 3 
 d) Điều kiện : 4x – x2 > 0 Ù 0 < x < 4 
Nhân hai vế cho 24 xx − > 0 , ta được : 
 (4x – x2)(x + 2) ≤ 2x + 7 Ù x3 – 2x2 – 6x + 7 ≥ 0 
 Ù (x – 1)(x2 – x – 7) ≥ 0 
Lập bảng xét dấu trên khoảng (0 ; 4) , BPT có nghiệm : 0 ≤ x ≤ 1 hay 
2
291+ ≤ x < 4 . 
4. 50. a) Hàm số xác định khi f(x) = mx2 – (2m + 1)x + m + 1 ≥ 0 
 * m = 0 : D = ( - ∞ ; 1] 
 * m ≠ 0 : f(x) có 2 nghiệm x1 = 1 ; x2 = 
m 1
m
+
= 1 + 
1
m
 Khi m > 0 : x1 D = ( - ∞ ; x1] U [x2 ; + ∞ ) 
 Khi m x2 => D = [ x2 ; x1] 
b) YCBTÙ [2 ; + ∞ ) ⊂ D 
* Khi m > 0 : YCBT Ù x2 ≤ 2 Ù m ≥ 1 
* Khi m < 0 : YCBT không thỏa . 
Vậy m ≥ 1 thì hàm số xác định với mọi x ≥ 2 . 
4.51. YCBT Ù f(x) = (m + 1)x2 – 4x + m + 4 ≥ 0 , ∀ x . 
* m = - 1 : không thỏa 
* 
2
m 1 0
' m 5m 0
+ >⎧⎨Δ = − − ≤⎩
 Ù m ≥ 0 
4.52. (b) Ta có : f(x) = 
2x 1 0 x 2 0 x 2
x 2
− − > + < −+ 
Vậy f(x) chì có một khoảng dương là : ( - ∞ ; - 2) 
4.53.(c) Ta có : f(x) = [(x + 3)2 + 4x2 ][ (x + 3)2 – 4x2 ] 
 = [(x + 3)2 + 4x2 ][ - 3x2 + 6x + 9] 
Dấu của f(x) là dấu của – 3x2 + 6x + 9 , do đó f(x) 3 
Vậy có 2 khoảng âm của f(x). 
4.54. (b) BPT Ù 
2 22x 5x 2 2x 0
x(x 2)
− + − >− Ù 
5x 2 0
x(x 2)
− + >− 
Vì x > 0 do đó ta được nghiệm : 2/5 có x = 1 
4.55 . (a) Vì bất phương trình có tập nghiệm là [ - 1 ; 3] , do đó – 1 và 3 là hai nghiệm của tam 
thức x2 + mx + n = 0 Ù S = - m = - 1 + 3 = 2 và P = n = (-1)3 = 
- 3 . Vậy m + n = - 1 
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
46
4.56. (d) BPT (1) Ù x ≤ - 2 hay x ≥ 0 
BPT (2) Ù 0 < x < ¼ . Vậy hệ có nghiệm : 0 < x < ¼ 
4.57 (a) Ta có : x2 – 2mx + m – 3 ≥ 0 , ∀ x . Điều này xảy ra khi ∆’ = m2 – m + 
3 ≤ 0 Ù m ∈ ∅ 
4.58. (b) Ta có : a = m2 + m + 5 > 0 , ∀ m và ∆’ = - m2 – m – 1 0 . ∀ x => 
tập nghiệm là R. 
§ 6.TRĂC NGHIỆM CUỐI CHƯƠNG 
A. Câu hỏi . 
1. Tìm x để mệnh đề sau là đúng : 
2
2x 1 3 2x (x 1) x 2 (3 2x)(x 1)
x 2 x 1
⎧ + > −⎪ => + + > − +⎨ + > +⎪⎩
 a) x ≥ - 2 b) – 1 ≤ x ≤ 3/2 c) x ≥ - 1 d) mọi x 
2. Tìm x để mệnh đề sau là đúng : 
 2 2
1 1x 3 x 4
x 3 x 4
− > + => <− + 
 a) x > 3 b) x < 3 c) mọi x d) x ∈ ∅ 
3. Nếu xy > 1 và z < 0 , bất đẳng thức nào sau đây là đúng ? 
 (I) x > z (II) xyz < - 1 (III) xy 1
z z
< 
 a) chỉ (I) b) chỉ (II) c) chỉ (III) d) Cả ba đều sai . 
4. GTNN của biểu thức : f(x) = 2
9 4
x x
− + 1 là một : 
 a) số nguyên âm b) số nguyên dương c) số hữu tỷ âm d) số hữu tỷ dương 
5. GTLN của biểu thức : f(x) = 4 x - 3x + 1 là một : 
 a) số nguyên b) số hữu tỷ dương c) số hữu tỷ âm d) số vô tỉ 
6. GTNN của biểu thức : f(x) = 4x 9 x 1
x 1
+ −− là : 
 a) 12 b) 2 13 c) 4 13 d) 36 
7. Cho a2 + 4b2 = a2 b2 , a , b > 0 , GTNN của ab là : 
 a) 1/4 b) 2 c) 4 d) đáp số khác 
8. BPT |2x – 1 | + x ≤ 5 có bao nhiêu nghiệm nguyên 
 a) vô số b) 0 c) 6 d) 7 
9. BPT |x 1| 1
|x 1| 3
− <+ + có nghiệm là : 
 a) x > - 3/2 b) x ≥ 1 hay x ≤ - 1 c) – 1 < x < 1 d) x ∈ R 
10. Biết 2m 1 2
m 1
− <− , BPT (m + 1)x + m – 3 < 2x – m - 1 có nghiệm là : 
 a) x > - 2 b) x 2 d) x < 2 
11. Biết BPT : (2 - m)x + m + 4 > m2 x + m2 thỏa với mọi x , vậy m thuộc : 
 a) ( - 6 ; - 3) b) (- 3 ; 0) c) (0 ; 3) d) ( 3 : 10) 
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
47
12. Biết hàm số : f(x) = 2(m m 1)x 2m+ + − xác định với mọi x ≥ 1 , vậy : 
 a) m > 0 b) m < 0 c) m ∈ R d) m ∈ ∅ 
13. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A( - 11 ; 20) , B( 15 ; - 23) và C( 22 ; - 34) và đường thẳng d 
: 2x – y – 5 = 0 . Phát biều nào dưới đây là đúng : 
 a) d cắt cạnh AB và cạnh AC b) d cắt cạnh AC và BC 
 c) d cắt cạnh BC và cạnh AB d) d không cắt cạnh nào của tam giác ABC 
14. Miền nào là miền nghiệm của hệ bất phương trình : 
|x| 2
x y 2 0
⎩ ( Hình 1) 
 a) (I) b) (II) c( (III) d) (IV) 
 Hình 1 Hình 2 
15. Miền nào là miền nghiệm của hệ bất phương 
trình : 2x - | y – 1| ≤ 3 
 a) (I) và (II) b) (II) và (III) c) (III) và (II) d) Cả (II) , (III) và (IV) 
 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để tam thức f(x) = 2x2 – 2(m + 2)x + 5m + 2 luôn luôn 
dương ? 
 a) 4 b) 5 c) 6 d) vô số 
17. Biết bất phương trình : x2 + 4x - m + 5 ≤ 0 có tập nghiệm là [ a ; b] với b – a = 3 , vậy giá trị m 
gần đúng với số nào dưới đây ? 
 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 
18. BPT : 
2 2x 2x 1 x 4x 1
x 2 x 4
+ − − +<+ − có bao nhiêu nghiệm nguyên âm ? 
 a) 0 b) 1 
 c) nhiều hơn 1 nhưng hữu hạn d) vô số 
19. BPT : 22
3 4x x 3
x 4x
≥ − +− có tập nghiệm là : 
 a) x ≠ 0 ; 4 b) 0 4 d) đáp số khác 
20. Hệ BPT :
x 2 x 1
x 2 x 1
1 9
x
+ −⎧ ⎪⎩
 có nghiệm là : 
O 
x 
y
(I) 
(II) 
(III) 
(IV) O
x
y
(I)
(II)
(III)
(IV)
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
48
 a) x < - 1 v 1/9 < x < 2 b) 1/9 < x < 2 
 c) – 1 2 d) 0 < x < 1/9 
B. Bảng trả lời : 
1(b) 2(a) 3(c) 4(d) 5(b) 6(c) 7(c) 8(d) 9(d) 10(a) 
11(c) 12(c) 13(a) 14(b) 15(d) 16(b) 17(a) 18(b) 19(c) 20(d) 
C. Hướng dẫn giải . 
1.(b). Mệnh đề đúng nếu 3 – 2x ≥ 0 và x + 1 ≥ 0 Ù - 1 ≤ x ≤ 3/2 
2.(a) Ta có : 1 1 b a
a b ab
−− = , do đó a > b => 1 1
a b
 0 . 
Vậy mệnh đề đúng nếu (x – 3)(x2 + 4) > 0 Ù x > 3 
3. (c) (I) sai nếu x < 0 , chẳng hạn x = - 3 , y = - 1 còn z = = - 1 
* Nhân hai vế của xy > 1 cho z (II) sai khi z > - 1 
* Chia hai vế của xy > 1 cho z < 0 , ta được : xy 1
z z
< : Vậy (c) đúng 
4. (d) f(x) = 
23 2 4 51
x 3 9 9
⎛ ⎞− − + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ => GTNN là 
5
9
 khi 3 2 90 x
x 3 2
− = = 
5. (b) f(x) = 27 2 73( x )
3 3 3
− − ≤ . GTLN là 7/3 khi 4x
9
= 
6. (c) f(x) = 4(x 1) 4 49 x 1 13 x 1
x 1 x 1
− + + − = + −− − 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi : 4 13 x 1 4 13
x 1
+ − ≥− 
Vậy GTNN là 3 13 
7. (c) Vì a2 + 4b2 ≥ 4ab, suy ra : a2 b2 ≥ 4ab => ab ≥ 4 
GTNN của ab là 4 khi 
a 2 2
b 2
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
8. (d) * x ≥ ½ : 3x – 1 ≤ 5 Ù x ≤ 2 : ½ ≤ x ≤ 2 
* x < ½ : 1 – x ≤ 5 Ù x ≥ - 4 : - 4 ≤ x < ½ 
Vậy – 4 ≤ x ≤ 2 : có tất cả 7 nghiệm nguyên 
9. (d) BPT Ù |x – 1| < |x + 1| + 3 
* Xét x ≥ 1 : x – 1 < (x + 1) + 3 Ù - 1 < 4 : x ≥ 1 
* Xét – 1 - 3/2 : - 1 < x < 1 
* Xét x ≤ - 1 : 1 – x < (- x – 1) + 3 Ù 1 < 2 : x ≤ - 1 
Vậy x ∈ R . 
Cách khác : Vì |x – 1| = | (x +1) – 2| x ∈ R . 
10.(a) BPT Ù (m – 1)x < 2 – 2m Ù (m – 1)x < - 2(m – 1) 
Ta có : 2m 1 2
m 1
− <− Ù 
1 0
m 1
<− Ù m < 1 
Suy ra m – 1 - 2 
11. (c) BPT Ù (m2 + m – 2) x < 4 + m – m2 
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
49
 YCBT Ù 
2
2
m m 2 0
4 m m 0
⎧ + − =⎪⎨ + − >⎪⎩
 Ù m = 1 
12. (c) Hàm số xác định khi (m2 + m + 1)x – 2m ≥ 0 Ù x ≥ 2 2mm m 1+ + 
YCBT Ù 22 2m 1 m m 1 0m m 1 ≤ − + ≥+ + Ù m ∈ R . 
13. (a) Thế tọa độ A, B, C vào biều thức d(x ; y) , ta có : d(A) 0 , d(C) > 0 . Vậy d 
cắt cạnh AB và cạnh AC 
14. (b) (1) |x| < 2 Ù - 2 < x < 2 
 (II) và (IV) thỏa 
 (2) Vẽ ∆ : x + y = 2 : điểm O(0 ; 0) không thỏa (2) . Vậy (II) thỏa hệ . 
15. (d) 
 |y - 1| ≥ 2x – 3 Ù y 1 2x 3 2x y 2
y 1 2x 3 2x y 4
− ≥ − − ≤⎡ ⎡⎢ ⎢− ≤ − + + ≤⎣ ⎣ 
Ù (II) hay (III)
(III) hay (IV)
⎡⎢⎣ 
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là (II) , (III) và (IV) 
16. (b) Ta có : 
2
2
a 2 0
m 6m 0
' (m 2) 2(5m 2) 0
= >⎧ − <⎨ = + − + <⎩+ 
Ù 0 < m < 6 
Vậy có 5 giá trị nguyên của m 
17. (a) Ta có : ∆’ = m – 1 . Khi ∆ > 0 , BPT có nghiệm là [ x1 ; x2 ] 
Và x2 – x1 = 
2 ' 2 m 1
a
Δ = − , Vậy : 2 m 1 3 4(m 1) 9− = − = 
Ù m = 13/4 = 3, 25 
18. (b) BPT Ù x(x 2) 1 x(x 4) 1
x 2 x 4
+ − − +<+ − Ù 
1 1x x
x 2 x 4
− < ++ − 
Ù 2x 2 0
(x 2)(x 4)
− >+ − 
O 
x
y 
(I
(II
(III) 
(IV O x
y
(I
(II
(IIIa
(IV
∆
(IIIb)
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
50
Lập bảng xét dấu , ta được nghiệm : x > 4 hay – 2 < x < 1 . Vậy BPT có nghiệm âm duy nhất là x = 
- 1 
19. (c) Đặt t = x2 – 4x : 
 BPT Ù 3 t 3
t
≥ − + Ù 
2t 3t 3 0
t
− + ≥ Ù t > 0 
Ù x2 – 4x > 0 Ù x 4 
20.(d) (2) Ù 0 < x < 1/9 
(1) Ù 6x 0
(x 2)(x 1)
<− + . Ta thấy mọi x ∈ (0 ; 1/9) đều thỏa (2) , do đó hệ có nghiệm 0 < x < 1/9