Bài tập Hình học 10 cơ bản & nâng cao - Tích vô hướng của hai vectơ & ứng dụng

 Vũ Mạnh Hùng 
Trường THPT Nguyễn Hữu Huân 
Bài Tập 
(09-2006) 
10 
Cơ Bản & Nâng Cao 
Vũ Mạnh Hùng - 17 - 
 Cho ΔABC với A = 120o, AB = 6cm, AC = 10cm. Tính BC, bán kính 
đường tròn ngoại tiếp ΔABC và diện tích ΔABC. 
 Cho ΔABC với A = 60o, AB = 5cm, BC = 7cm. Tính AC, R, r, đường cao 
AH. 
 Cho ΔABC với A = 120o, BC = 7 cm, AC = 5 cm. Tính AB, R, r, trung 
tuyến AM, độ dài phân giác trong AD. 
 Cho ΔABC có AB = 3 cm, BC = 5 cm, CA = 6 cm. Tính diện tích ΔABC, 
chiều cao AH và R. 
 Cho ΔABC vuông tại A có AB = 5, AC = 12, đường cao AH. 
 ¬. Tính bán kính các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ΔABC. 
 −. Vẽ đường phân giác trong AD của ΔABC. Tính DB, DC, AD. 
 Cho ΔABC với AB = 8cm và A = 60o nội tiếp trong đường tròn (O) bán 
kính R =
3
37 . Tính độ dài các cạnh BC, AC và diện tích ΔABC. 
 Cho ΔABC với A = 60o (B > C), bán kính các đường tròn ngoại tiếp, nội 
tiếp: R = 
3
313 cm , r = 
2
33 cm. Tính độ dài các cạnh và diện tích ΔABC. 
 Cho ΔABC với B = 60o, đường cao CH = 
2
37 , nội tiếp trong đường tròn 
bán kính R = 
3
313 . Tính độ dài các cạnh và diện tích ΔABC. 
* 
- 16 - Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ & Ứng Dụng 
 Trong ΔABC biết AB = c, BC = a, B = β. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho 
AM:MB = 3:2. Tính khoảng cách từ M đến trung điểm cạnh AC. 
 Cho ΔABC có AB = c, AC = b (b > c), trung tuyến AM vuông góc với AB. 
Tính BC. 
 Cho ΔABC vuông tại A, kéo dài BC về phía C một đoạn CD = AB = 3 cm, 
biết CAD = 30o. Tính các cạnh tam giác. 
ù 
 Cho ΔABC với AC = 13 cm, AB = 7 cm, BC = 15 cm. Tính B, bán kính 
đường tròn ngoại tiếp ΔABC và độ dài đường cao BH. 
 Cho ΔABC với A = 120o, BC = 7 cm, AC = 5 cm. Tính AB, bán kính 
đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ΔABC. 
 Cho ΔABC có A = 60o, BC = 7 cm và diện tích S = 103 cm2. Tính AB, 
AC. 
 Cho ΔABC có AC = 2 cm, AB = 3cm, BC = 4 cm. Tính A, B, C. 
 Cho hình bình hành ABCD có AB = 5 cm, AD = 8 cm, A = 60o. 
 ¬. Tính độ dài 2 đường chéo BD, AC và diện tích của hình bình hành. 
 −. Tính trung tuyến BM và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ΔABD. 
 Cho ΔABC có BC = 23, CA = 22, AB = 6 – 2. 
 ¬. Tính giá trị các góc A, B và độ dài đường cao AH của tam giác. 
 −. Tính độ dài phân giác trong AE của góc A. 
 Cho ΔABC với A = 120o, B = 45o, AC = 22 cm. 
 ¬. Tính BA, BC, R, r , S. 
 −. Gọi I là tâm đ.tròn nội tiếp ΔABC, tính bán kính đ.tròn ngoại tiếp ΔBIC 
 Cho ΔABC biết: 
31
Csin
2
Bsin
6
Asin
+== . 
 ¬. Tính các góc của ΔABC. −. Nếu AC = 4cm. Tính R, S. 
 Cho a = x2 + x + 1, b = 2x + 1, c = x2– 1. Định x để a, b, c là độ dài 3 cạnh 
một tam giác.Với x tìm được, chứng minh rằng tam giác có 1 góc bằng 120o. 
 Cho ΔABC với A = 60o, AB = 5, AC = 8. 
 ¬. Tính BC, diện tích ΔABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC. 
 −. Đường tròn đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại M, N. Tính MN. 
 Cho ΔABC có AB = 6 − 2, BC = 23, CA = 6 + 2. Tính góc A, bán 
kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC và đường cao AH. 
VECTƠ 
Vectơ 
 Tổng của hai vectơ a và b  là một vectơ, kí hiệu a + b , được định nghĩa như 
sau: Từ một điểm O tùy ý, vẽ OA = a, rồi từ A vẽ AB = b . Khi đó OB = a + b . 
 Hiệu của hai vectơ a và b , kí hiệu a – b , là một vectơ được định bởi: 
a – b = a + (– b) 
 Tích của số k với vectơ a , kí hiệu ka, là một vectơ cùng phương với a và: 
 Š Cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0. 
 Š ka = ka 
 Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Nếu a  0 : 
b  cùng phương với a  k: b = ka 
 
 “ BA = – AB. 
 “ OA + OB = OC với OC là đường chéo hình bình hành cạnh OA, OB. 
 “ AC = AB + BC, AC = BC – BA. 
 “ Nếu M là trung điểm đoạn AB và O là 1 điểm tuỳ ý thì: 
  MA + MB = 0 .  OA + OB = 2 OM . 
 “ A, B, C thẳng hàng  AB = kAC. 
 “ G là trọng tâm ΔABC  GA + GB + GC = 0 . 
 “ Nếu a  b  thì: ma + nb  = 0  m = n = 0. 
 “ So sánh 2 vectơ AB và CD: 
  Nếu AB  CD: Không so sánh. 
  Nếu AB  CD và AB = k.CD: AB k.CD khi AB CD
AB k.CD khi AB CD
 =⎨ = −⎩
JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJJG . 
 “ Tìm hệ thức liên hệ giữa 4 điểm M, A, B, C với A, B, C thẳng hàng: 
AB = kAC  MB – MA = k(MC – MA)  MA = MB kMC
1 k
−
−
JJJG JJJJG
. 
Chương 1
a b  
O B 
A 
a + b  
- 2 - Vectơ 
1/ Cho hình bình hành ABCD và CE = BD. Chứng minh : 
 ¬. AC + BD = AD + BC −. AB + BC + CD = AB + CE 
 ®. AC + BD + CB = DB + CE + BC 
2/ a, b , c cùng phương và c < b  < a. Khẳng định a + b  + c  a có đúng 
không? 
3/ Cho hình bình hành ABCD tâm O và M là 1 điểm tuỳ ý. Chứng minh: 
MA + MB + MC + MD = 4 MO. 
4/ Chứng minh trong hình bình hành ABCD tìm được duy nhất 1 điểm M sao 
cho MA + MB + MC + MD = 0 . 
5/ Cho lục giác đều ABCDEF. Chứng minh: AB + AC + AE + AF = 2AD. 
6/ Cho tứ giác ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và DC. 
Chứng minh AC + AD + BC + BD = 4 MN. 
7/ Cho ΔABC với M là trung điểm của AB, E là trung điểm của MC, AE cắt 
BC tại F, đường thẳng qua M song song với AE cắt BC tại H. Chứng minh: 
BH = HF = FC. 
8/ Cho ΔABC với D là trung điểm của AC, E là trung điểm của BD, AE cắt BC 
tại M. Chứng minh: BC = 3 BM. 
9/ Nếu M là điểm trên đoạn AB với AM:MB = 2:3 và O là 1 điểm tuỳ ý. 
Chứng minh: OM =  OA +  OB. 
 Cho ΔABC và ΔABC trọng tâm tương ứng G và G. Chứng minh rằng: 
GG = (AA + BB + CC). 
 Cho ΔABC với các trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng: 
AD + BE + CF = 0 . 
 Cho ΔABC trung tuyến AK, BM. Phân tích theo a = AK và b = BM các 
vectơ AB, BC, CA. 
 Cho ΔABC với trung tuyến AM, BN, CP và G là trọng tâm. 
 ¬. Chứng minh nếu O là 1 điểm tuỳ ý thì: 
OA + OB + OC = OM + ON + OP = 3 OG. 
 −. Biểu diễn AM, BN, CP  theo a = BC, b  = CA. 
 Trên cạnh Ox của góc xOy lấy 2 điểm A và B sao cho OA = a, AB = 2a. 
Qua A, B kẻ các đường thẳng song song cắt Oy lần lượt tại C, D với OC = b . 
Phân tích CD, OD, AC, BD, AD, CB theo a và b . 
Vũ Mạnh Hùng - 15 - 
 Cho hai đường tròn đồng tâm. Chứng minh tổng bình phương khoảng cách 
từ 1 điểm của đường tròn này đến 2 điểm mút của đường kính của đường tròn 
kia không phụ thuộc vào vị trí của điểm và đường kính. 
 Cho đường tròn tâm O bán kính R, điểm M nằm trên 1 đường kính của 
đường tròn với MO = a, AB là 1 dây cung bất kì song song với đường kính này. 
Tính MA2 + MB2. 
 Xác định tập hợp các điểm M thoả MA. MB = k, trong đó A, B là 2 điểm cố 
định và k  0 là hằng số. 
 Cho ΔABC vuông tại C. Xác định tập hợp các điểm M thoả: 
MA2 + MB2 = 2MC2. 
£. Diện tích 
 Cho ΔABC đều, N là 1 điểm trên cạnh AC sao cho AN = AC. Tính tỉ số 
các bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABN và ΔABC. 
 Cho ΔABC với A = α, BA = c, AC = b. Trên cạnh AC và AB lấy hai điểm 
M, N với M là trung điểm cạnh AC và dt(ΔAMN) = dt(ΔABC). Tính độ dài 
đoạn MN. 
 Cho ΔABC với AB = 2cm, trung tuyến BD = 1cm, BDA = 30o. Tính AD, 
BC và diện tích ΔABC. 
 Đường tròn bán kính R đi qua 2 đỉnh A, B của ΔABC và tiếp xúc với AC tại 
A. Tính diện tích ΔABC nếu A = α, B = β. 
 dt(ΔABC) = 153 cm2, A =120o, B > C. Khoảng cách từ A đến tâm đường 
tròn nội tiếp trong tam giác là 2cm. Tính độ dài trung tuyến BM của ΔABC. 
 Tính diện tích hình thoi ABCD nếu bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC 
và ΔABD là R và r. 
£. Tổng Hợp 
 Cho ΔABC đều, K và M là hai điểm trên AC và AB sao cho AK:KC = 2:1, 
AM:MB = 1:2. Chứng minh KM bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC. 
 Trong hình bình hành ABCD với AB = a, BC = b, B  = α. Tính khoảng cách 
giữa tâm của hai đường tròn ngoại tiếp ΔBCD và ΔDAB. 
 Cho ΔABC với A = α, C = β, AC = b. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD 
= 3DC. Qua B và D kẻ đường tròn tiếp xúc với AC. Tính bán kính đường tròn 
này. 
 Chứng minh trong ΔABC ta có OG2 = R2 –  (a2 + b2 + c2) với G là trọng 
tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam 
giác. 
- 14 - Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ & Ứng Dụng 
 Cho ΔABC, đường tròn nội tiếp trong tam giác tiếp xúc với các cạnh AB, 
BC, CA lần lượt tại M, D, N. Tính độ dài đoạn MD nếu NA=2, NC=3, C = 60o. 
 Đường tròn nội tiếp trong ΔKLM tiếp xúc với KM tại A. Tính độ dài đoạn 
AL nếu AK = 10, AM = 4, L = 60o. 
 Cho ΔABC với B = 60o, AB + BC = 11cm (AB > BC). Bán kính đường tròn 
nội tiếp trong ΔABC là 2:3 cm. Tính độ dài đường cao AH. 
 Cho ΔABC cân tại A với A = α. Đường tròn tâm trên BC bán kính r tiếp xúc 
với các cạnh AB, AC. Tiếp tuyến tại 1 điểm trên đường tròn cắt AB, AC tại M, 
N với MN = 2b. Tính BM, CN. 
 Cho ΔABC, đường tròn nội tiếp trong tam giác tiếp xúc với cạnh BC tại M. 
Tính độ dài 2 cạnh AB, AC nếu BM = 6cm, MC = 8cm và bán kính đường tròn 
nội tiếp là 4cm. 
£}. Định Lí Hàm Số Sin 
 Chứng minh nếu một tam giác có a:cosA = b:cosB thì tam giác đó cân. 
 Chứng minh trong ΔABC: 
a(sinB – sinC) + b(sinC – sinA) + c(sinA – sinB) = 0. 
 ΔABC cân tại A với A = 30o, AB = AC = 5cm. Đường thẳng qua B và tâm 
O đường tròn ngoại tiếp ΔABC cắt AC tại D. Tính BD. 
 Cho ΔABC, đường tròn bán kính r qua A, B cắt BC tại D. Tìm bán kính 
đường tròn qua 3 điểm A, D, C nếu AB = c, AC = b. 
 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm bán kính đường tròn đi qua trung điểm 
cạnh AB, tâm hình vuông và đỉnh C. 
 Trong đường tròn bán kính R kẻ hai dây cung MN, PQ vuông góc. Tính 
khoảng cách MP nếu NQ = a. 
 Trong ΔABC với BC = a, A = α, B = β. Tìm bán kính đường tròn tiếp xúc 
với AC tại A và tiếp xúc với BC. 
 Cho ΔABC với BC = a, B = β, C = γ. Đường phân giác góc A cắt đường 
tròn ngoại tiếp ΔABC tại K. Tính AK. 
£~. Độ dài trung tuyến 
 Trong ΔABC với M là trung điểm cạnh AB. Tính CM nếu AC = 6, BC = 4, 
C = 120o. 
 Cho đ.tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên AB lấy 2 điểm M, N sao cho 
AM = MN = NB. Chứng minh với mọi điểm P trên đường tròn PM2 + PN2 
không đổi. 
Vũ Mạnh Hùng - 3 - 
 Cho tứ giác ABCD với AB = a, BC = b , CD = c. Phân tích CA, DB, DA 
theo a, b, c. 
 Cho hình bình hành ABCD với H là trung điểm của AD, F và M là 2 điểm 
trên BC sao cho BF = MC = BC. Phân tích theo a = AB và b  = AD các vectơ 
AM, MH, AF . 
 Cho hình bình hành ABCD tâm O với H là trung điểm của OD, AH cắt CD 
tại F. Phân tích BD, AC, BH, AH, AF  theo a = AB và b = AD. 
 Trong hình thang ABCD tỉ số độ dài 2 cạnh đáy AD và BC bằng m. Đặt AC 
= a và BD = b . Phân tích theo a và b các vectơ AB, BC, CD, DA. 
 Cho hình thang ABCD đáy AB và CD, đường trung bình MP và O là trung 
điểm của MP với AB = a, CD = b , AD = c. Phân tích theo a, b , c các vectơ BC, 
AO, DO, OC và MP . 
 Cho ΔABC với AB = 10cm, BC = 8cm, CA = 5cm. Đường tròn nội tiếp 
trong ΔABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA tương ứng tại M, N, P. 
 ¬. Tìm độ dài các đoạn AM, BN, CP. 
 −. Nếu C ... ểm sao cho AP =kAB. Đặt AB = b, AC = c 
 ¬. Tính CP theo b, c, k. Định k để C, P, G thẳng hàng. 
 −. Tìm tập hợp các điểm M sao cho 4MA + MB + MC = MB – MC. 
 Cho ΔABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AM và P là điểm sao 
cho CM = 3 CP 
 ¬. Chứng minh rằng NB + 5NC = 6NP. 
 −. Gọi K là điểm sao cho AK = kAB. Tính PK, NK theo b = AB và c = AC. 
Định k để N, K, P thẳng hàng. 
 Cho hình bình hành ABCD, gọi M và N lần lượt là 2 điểm sao cho CM = 
CB, CN = CD. 
 ¬. Tính AM, AN theo b = AB và c = AC. 
 −. I, J là 2 điểm sao cho CI = αCD, BJ = βBI. Định α, β sao cho J là trọng 
tâm ΔAMN. 
 Cho ΔABC, M và N là 2 điểm sao cho BM = 2BC – AB, CN = kAC – BC. 
 ¬. Định k để C, M, N thẳng hàng. 
 −. Định k để MN qua trung điểm I của AC. Tính IM:IN. 
 Cho ΔABC, E và F là 2 điểm sao cho EC = – 2EA, FA = – 2FB. 
- 6 - Vectơ 
 ¬. Tính EF theo b = AB và c = AC. 
 −. I là trung điểm của EF, AI ∩ BC = K. Xác định điểm K và tính AI:AK. 
 Cho ΔABC và v = 3MA – 2MB – MC với M là điểm bất kì. 
 ¬. Chứng minh rằng v là vectơ không đổi. 
 −. Dựng AD = v. AD cắt BC tại E, chứng minh rằng 2EB + EC = 0. 
 ®. Dựng MN = v . Gọi P là trung điểm của CN, chứng minh rằng MP đi qua 
1 điểm cố định khi M thay đổi. 
÷ 
Trục Toạ Độ & Hệ Trục Toạ Độ 
| Trục toạ độ (trục, trục số): 
 ’ Trục là 1 đường thẳng trên đó có xác định 1 điểm O và 1 vectơ đơn vị i, kí 
hiệu (O,i). Trục còn được kí hiệu là xOx hoặc Ox. 
 ’ Toạ độ của điểm và vectơ trên trục: 
 + x là toạ độ của điểm M  OM = x.i . 
 + a là toạ độ của a  a = a.i. 
 ’ Độ dài đại số của AB trên trục, kí hiệu AB, là toạ độ của AB: AB = AB.i 
AB = | AB | n u AB i
| AB | n u AB i
⎨−⎩
JJJG JJJG G
JJJG JJJG GÆ
Æ

 
 ’ Hệ thức Chasles: AB + BC = AC. 
} Hệ Trục toạ độ: 
 ’ Toạ độ điểm và vectơ: 
 + M(x;y)  OM = x.i  + y.j. + a = (a1;a2)  a = a1.i + a2.j. 
Trong đó i = (1;0), j = (0;1) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy. 
 Giả sử a = (a1;a2) và b = (b1;b2). 
 ’ Vectơ bằng nhau – Toạ độ vectơ tổng, hiệu, tích vectơ với 1 số: 
 Œ a = b ⇔ a1 = b1, a2 = b2. 
 Œ a  b  = (a1  b1;a2  b2). Œ ka = (ka1;ka2). 
 ’ Toạ độ của AB: AB = (xB – xA;yB – yA). 
 ’ Hai vectơ cùng phương: a  b  ⇔ a = kb ⇔ 1 2
1 2
a a
b b
= (b1b2  0). 
Vũ Mạnh Hùng - 11 - 
 Cho ΔABC vuông tại A. Từ điểm I trên cạnh BC kẻ INAB cắt AC tại N và 
IMAC cắt AB tại M. Đặt AB = u , AC = v  và biết IB  = kIC . 
 ¬. Chứng minh MN = 
1k
k
− v + 1k
1
− u  
 −. Tìm k theo u và v để MN  AO (O là trung điểm của cạnh BC). 
ù 
 Cho a = (–1;2). Tìm toạ độ vectơ b cùng phương với a biết |b | = 1 0 . 
 Cho a = (2;–3). Tìm toạ độ b cùng phương với a biết a.b  = – 26. 
 Cho a = (–2;1). Tìm toạ độ b vuông góc với a biết |b | = 5. 
 Tìm x, y để các điểm A(2;0), B(0;2), C(0;7), D(x;y) là các đỉnh liên tiếp của 
hình thang cân. 
 Chứng minh ΔABC với A(1;3), B(–3;1), C(–2;–1) là tam giác vuông. Tìm D 
để ABCD là hình chữ nhật. 
 Cho A(5;–1), B(–1;3). 
 ¬. Tìm trên trục tung điểm P sao cho góc APB vuông. 
 −. Tìm trên trục hoành điểm M sao cho MA2 + 2MB2 nhỏ nhất. 
 Cho ΔABC với A(–3;6), B(9;–10), C(–5;4). Xác định tâm I và tính bán kính 
đường tròn ngoại tiếp ΔABC. 
 Chứng minh A(1;–1), B(5;1), C(3;5), D(–1;3) là các đỉnh của 1 hình vuông 
 Xác định toạ độ điểm M đối xứng với điểm N(1;4) qua đường thẳng đi qua 
hai điểm A(– 4;–1), B(5;2). 
 Cho 2 đỉnh đối diện của hình vuông ABCD: A(3;4), C(1;–2). Tìm hai đỉnh 
còn lại. 
 Cho 2 đỉnh kề nhau của hình vuông ABCD: A(–1;–3), B(3;5). Tìm 2 đỉnh 
còn lại. 
 Cho ΔABC với A(2;– 4), B(1;3), C(11;2), tìm toạ độ trực tâm H. 
 Cho ΔABC với A(–2;6), B(6;2), C(1;–3), tìm toạ độ chân đường cao CH và 
tính độ dài đường cao này. 
 Cho ΔABC với AB = (3;– 4), BC  = (1;5). Tính độ dài đường cao CH. 
 Cho ΔABC với A(3;–5), B(1;–3), C(2;–2), tìm toạ độ chân các đường phân 
giác trong và ngoài góc B. 
 Cho ΔABC cân tại A, biết A = 120o, B(–1;2), C(4;1). Tìm toạ độ đỉnh A. 
 Cho hình thoi ABCD với A(1;3), B(–1;–1). Tìm toạ độ C, D nếu đường 
thẳng CD đi qua điểm M(6;7). 
 Cho h.thoi ABCD với B(1;–3), D(0;4), A = 60o. Tìm toạ độ các đỉnh A, C. 
- 10 - Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ & Ứng Dụng 
 ¬. Tính AM  và PN. −. Xác định k để AM  PN. 
 Cho hình vuông ABCD có cạnh a = 5cm. 
 ¬. Xác định điểm I và J sao cho : IA – 3IB  = 0 , 3JC  + JD = 0 . 
 −. Tính IJ theo AB, AD . Suy ra tính tích vô hướng IJ.AC. 
 ®. Tìm tập hợp những điểm M sao cho (MA – 3MB).BD = 0. 
 Cho ΔABC với các đường trung tuyến AM, BN, CP. Các đường cao AD, 
BE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: 
 ¬. BA.BC = BH .BC = BH .BE. 
 −. AH. AM  + BH .BN + CH .CP = (AB2 + BC2 + CA2). 
 Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là giao điểm hai đường chéo. 
 ¬. Tính AC2, BD2, AC2 + BD2 biết AB = a, AD = b, BAD = ϕ. 
 −. Chứng minh rằng AB.AD = AE2 – BE2 = (AC2 – BD2). 
 Cho ΔABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi M, N là hai điểm sao 
cho AM  = AB, CN = CB. 
 ¬. Biểu diễn AN theo AB, AC. Tính AN. 
 −. Tinh AM .AN. Suy ra giá trị cạnh MN. 
 A, B, C là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của ΔABC. Hãy tính: 
BC.AA + CA.BB + AB.CC. 
 Cho ΔABC đều, gọi M, N là 2 điểm sao cho MB = – 2MC, NB = NC. 
 ¬. Phân tích AM , AN theo b = AB, c = AC. 
 −. P là 1 điểm sao cho AP = kAB. Xác định k để PN  PM. 
 ®. G là trọng tâm của ΔABC, phân tích AG theo AM  và AN. 
 ¯. Tìm tập hợp các điểm I sao cho: (IC + 2IB)(IA – 2IB) = 0. 
 Cho ΔABC với AB = 5 cm, AC = 7 cm, BC = 8 cm. 
 ¬. Tính giá trị góc B. 
 −. Gọi M, N là 2 điểm sao cho BM  = BA, BN = BC. Tính độ dài MN. 
 ®. Tìm điểm D trên AC sao cho BD  MN. 
 Cho ΔABC với A = 120o, AB = 3 cm, AC = 5 cm. 
 ¬. Tính độ dài cạnh BC và trung tuyến BM. 
 −. N là 1 điểm sao cho BN = kBC . Tính AN theo AB và AC . Xác định k để 
AN  BM. 
Vũ Mạnh Hùng - 7 - 
 ’ Toạ độ trung điểm M của đoạn AB : xM = A B
x x
2
+
, yM = A B
y y
2
+
. 
 ’ Toạ độ trọng tâm G của ΔABC: xG = A B Cx x x3
+ +
, yG = A B C
y y y
3
+ +
 Cho a = (2;–3), b = (5;4), c = (–2;–1). Tính toạ độ của 4a – 5b + c . 
 Cho a = (2;–3), b = (1;2), c = (9;4). Tìm p, q để c = pa + qb . 
 Cho a = (x;2y), b = (–2y;3x) và c = (4;–2). Xác định x, y để 2a – b = c. 
 Cho a = (3;–1), b = (1;–2), c = (–1;7). Biểu diễn p = a + b  + c theo a và b . 
 Cho 3 điểm A(–3;2), B(2;–1), C(5; 12). 
 ¬. Tìm điểm M sao cho AM = 3AB – 5AC. 
 −. Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng. Tìm điểm D sao cho 
ABDC là hình bình hành. 
 Cho A(–1;2), B(–3;–1). Tìm toạ độ điểm M đối xứng với B qua A. 
 Cho M(4;1), N(2;–1), P(3;–2) là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA của 
ΔABC. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác. 
 Cho ΔABC có A(–1;1), B(–3;–7), đỉnh C ở trên trục hoành, trọng tâm G ở 
trên trục tung. Tìm toạ độ của C, G. 
 Cho A(3;–2), B(6;4). Đoạn AB được chia thành 3 phần bằng nhau, tìm toạ 
độ các điểm chia. 
 Chứng minh các điểm A(1;2), B(–2;–3), C(7;12) nằm trên 1 đường thẳng. 
 Chứng minh tứ giác ABCD với A(–1;2), B(2;3), C(6;1), D(–6;–3) là hình 
thang. 
 Cho 2 vectơ không cùng phương a, b . Tìm x sao cho các vectơ c = (x – 2)a + 
b  và d = (2x + 1)a – b cùng phương. 
 Cho a = (3;5), b = (3;–2) và điểm I(2;–3). Nếu IM  = a + tb . Định t để O, M, I 
thẳng hàng. 
ø
 Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ 
& Ứng Dụng 
Tích vô hướng của hai vectơ 
 Định nghĩa: a.b = a.b .cos(a, b ). 
 ’ a ⊥ b  ⇔ a.b  = 0. ’ a.b  = | a || b | n u a b
| a || b | n u a b
⎨−⎩
G GG G
G GG GÆ
Æ

 . 
 ’ a2 = |a|2. ’ a.b  = a.cha b . 
 Biểu thức toạ độ: a.b = a1b1 + a2b2. 
 Độ dài (môđun) của vectơ: a = a2 + a2 . 
 Khoảng cách giữa 2 điểm: AB = AB = (x B − x A)2 + (y B − y A)2. 
 Góc của 2 vectơ: cos(a,b  ) = 
|b|.|a|
b.a = 
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
bb.aa
baba
++
+
. 
1/ Cho ΔABC vuông tại A và BC= a, B = 60o. Tính tích vô hướng CB.BA. 
2/ Cho ΔABC vuông cân tại A với BC = a. Tính tích vô hướng BC.CA. 
3/ Cho ΔABC, trên cạnh BC lấy 2 điểm E, F sao cho BE = EF = FC. Đặt AE = 
a, EB = b 
 ¬. Biểu thị AB, BC, AC theo a và b. 
 −. Tính AB.AC nếu b = 2, a = 5, (a,b ) = 120o. 
4/ Cho ΔABC với AB = c, CB = a và CA = b. Chứng minh 2a.c = a2 + c2 – b2 
5/ Xác định hình dạng của ΔABC nếu AB.AC = AC2. 
6/ Cho ΔABC vuông cân tại A. Tính cosin góc tù tạo bởi các trung tuyến của 
tam giác kẻ từ B và C. 
7/ Tính a + b, a – b nếu (a,b ) = 60o và a = 5, b = 8. 
8/ Cho a = 13, b = 19, a + b = 24. Tính a – b. 
9/ Cho a = – i + j và b = i + 3j. Tìm góc của 2 vectơ 
c = 4a + b và d = – a +  b . 
 Các vectơ a, b , c thoả a + b + c = 0 và |a| = 1, |b | = 3, |c| = 4. 
Tính a.b  + b.c + c.a. 
 Tính góc của 2 vectơ a và b  nếu biết |a| = |b |  0 và hai vectơ p  = a + 2b , q  = 
5a – 4b vuông góc với nhau. 
Chương II 
Vũ Mạnh Hùng - 9 - 
 Tính góc của 2 vectơ a và b biết 7a – 5b vuông góc với a + 3b và a – 4b 
vuông góc với 7a – 2b. 
 Các vectơ a và b  tạo với nhau góc 120o. Tìm x nếu |b | = 2|a| và vectơ a + xb  
vuông góc với vectơ a – b. 
 Cho 4 điểm tuỳ ý A, B, C, D. Chứng minh AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0. 
 Cho hai hình vuông cùng hướng OABC và OABC và M là trung diểm của 
AC. Chứng minh rằng OM  AC 
 Cho ΔABC với AB = b , AC = c. Phân tích BM theo b và c trong đó M là 
chân đường cao kẻ từ B. 
 Cho hình thang cân ABCD đáy lớn AB, góc nhọn ở đáy là 60o. Đặt AB = a, 
AD = b. Biểu diễn BC theo a, b . Tìm quan hệ giữa a và b để AC  BD. 
 Cho hình bình hành ABCD có AB = a và AD = b . Trên cạnh AD lấy 1 điểm 
M sao cho MA + 2MD = 0. 
 ¬. Chứng minh rằng 3BM = 2b – 3a. 
 −. Cho a = 2, b = 3 và (a,b ) = 60o. Tính BM.AC 
 ®. Gọi N = AC  BM. Chứng minh 5 AN = 2AC. 
 Cho ΔABC có đường cao CH và thoả hệ thức CA2 = AB.AH. 
 ¬. Chứng minh rằng ΔABC vuông tại C. 
 −. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của HC và HB. Chứng minh: AI  CJ. 
 Cho ΔABC có AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a. 
 ¬. Tính AB.AC, BC.BA. 
 −. Gọi E, F là 2 điểm sao cho AE = –  AC, AF = –  AB. Gọi I là trung 
điểm của đoạn EF. Chứng minh rằng AI  BC. 
 Cho ΔABC với AB = 8, AC = 3, BAC = 60o. Gọi E, F là 2 điểm sao cho BE 
= BC, CF = CA. 
 ¬. Chứng minh EF = (AC – 2AB). 
 −. Tính AB.AC, suy ra độ dài đoạn BC. 
 ®. I là một điểm trên BC sao cho BI = x. Xác định x để AI  EF. 
 ¯. Tìm tập hợp những điểm M sao cho (MA –3 MB)(MA +MB –2 MC) = 0. 
 Cho ΔABC đều, gọi M, N, P là các điểm sao cho BM = BC, CN = CA, 
AP = kAB. Đặt b  = AB, c = AC.