Bài tập tổng hợp véc tơ

BÀI TẬP TỔNG HỢP VÉC TƠ 
I. CÁC QUY TẮC CẦN NHỚ 
1) Quy tắc ba điểm : 
 Với ba điểm A , B , C bất kỳ ta luôn có : AB BC AC 
  
 hoặc AB AC CB 
  
2) Quy tắc hình bình hành : ABCD là hình bình hành  AB AD AC 
  
3) Quy tắc trung điểm : 
 M là trung điểm AB và I là điểm tùy ý  0MA MB 
  
 và 2IA IB IM 
  
4) Quy tắc trọng tâm : 
 G là trọng tâm của ABC và M là điểm tùy ý , ta có : 
 0GA GB GC  
   
 và 3MA MB MC MG  
   
5) Điều kiện thẳng hàng : A , B , C thẳng hàng  .AB k AC
 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
A. - Chứng minh các đẳng thức véc tơ 
Bài 1 Cho 4 điểm A , B , C , D . Chứng minh : 
 a) AB CD AD CB  
   
 b) AB CD
 
  AC BD
 
Bài 2 Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M tùy ý . Chứng minh : 2MA MC MB MD MO   
    
Bài 3 Cho  ABC . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB. Chứng minh : 
 a) 0AN CM KB  
   
 b) 0AM BN CK  
   
 c) AK BM AN BK KC   
    
Bài 4 Cho tứ giác ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD. Chứng minh 
 a) 2AC BD IJ 
  
 b) 2AD BC IJ 
  
Bài 5 Cho tứ giác ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm AC và BD. Chứng minh 2AB CD IJ 
  
Bài 6 Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N , I , J lần lượt là trung điểm AD , BC , AC , BD. Chứng minh : 
 a) 2AB DC MN 
  
 b) 2AB DC IJ 
  
Bài 7 Cho tứ giác ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm AB và CD. K là trung điểm EF. Chứng minh : 
 a) 4AB AC AD AK  
   
 b) 0KA KB KC KD   
    
 c) Với O là điểm tùy ý thì 4OA OB OC OD OK   
    
Bài 8 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O và M là điểm bất kỳ. 
 a) Tính MA MC ME 
  
 theo MO

 b) Chứng minh MA MC ME MB MD MF    
     
Bài 9 Cho ABC có trọng tâm G . Gọi H đối xứng với G qua B. Chứng minh : 5 0HA HB HC  
   
Bài 10 Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G’. Chứng minh : 
 a) 3 'AD BE CF GG  
   
 b) 3 'AE BF CD AF BD CE GG     
      
 c) Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm 
Bài 11 
Cho  ABC có trọng tâm G , trực tâm H và nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của A qua 
O. Chứng minh : 
 a) HB HC HD 
  
 b) 2HA HB HC HO  
   
 c) 2HA HB HC OA  
   
c) OA OB OC OH  
   
 d) Chứng minh O , G , H thẳng hàng 
Bài 12 
Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB , CD. 
a) Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh : 0KA KB KC KD   
    
b) Với I là điểm bất kỳ . Chứng minh 4IA IB IC ID IK   
    
c) Gọi E và F lần lượt là trung điểm AC và BD . Chứng minh EF đi qua điểm K. 
d) Gọi G1 là trọng tâm của BCD. Chứng minh A , K , G1 thẳng hàng 
e) Gọi G2 , G3 ,G4 lần lượt là trọng tâm của các CDA ,  DAB ,  ABC . Chứng minh các đường 
thẳng AG1 , BG2 , CG3 , DG4 đồng quy tại một điểm 
www.VNMATH.com
B. - Chứng minh ba điểm thẳng hàng 
Bài 13 
Cho ABC và điểm I , F sao cho 3 0IA IC 
  
 và 2 3 0FA FB FC  
   
.Chứng minh I , F , B thẳng hàng 
Bài 14 
Cho  ABC có các điểm M , N , K sao cho 2 0MB MC 
  
 ; 2 0NA NC 
  
 ; 0KA KB 
  
a) Biểu diễn các véc tơ ,KM KN
 
 theo các véc tơ ,AB AC
 
b) Chứng minh M , N , K thẳng hàng 
Bài 15 
Cho bốn điểm A , B , C , M thỏa mãn hệ thức 2 3 0MA MB MC  
   
. Chứng minh A , B , C thẳng hàng 
Bài 16 
Cho ABC . Trên Bc lấy điểm D sao cho 
2
5
BD BC
 
. Gọi E là điểm thỏa mãn 4 2 3 0AE EB EC  
   
. 
a) Phân tích ED

 theo hai véc tơ EB

 và EC

 b) Chứng minh ba điểm A , E , D thẳng hàng 
Bài 17 
Cho ABC , lấy M , N thỏa mãn : 3 4 3 0MA MB NB NC   
    
. Gọi G là trọng tâm của ABC. 
a) Chứng minh M , N , G thẳng hàng 
b) Phân tích AC

 theo hai véc tơ ,AG AN
 
. AC cắt GN tại K. Tính tỉ số 
KA
KB
Bài 18 
Cho hình bình hành ABCD . M , N là 2 điểm lần lượt trên đoạn AB và CD sao cho AB = 3AM , CD = 2CN. 
a) Tính AN

 theo hai véc tơ ,AB AC
 
b) Gọi G là trọng tâm BMN . Tính AG

 theo ,AB AC
 
c) Gọi I là điểm xác định bởi BI kBC
 
. Tính AI

 theo ,AB AC
 
và k. Tìm k để AI đi qua G 
Bài 19 
Cho  ABC có G là trọng tâm . I là trung điểm của AG và K là điểm thuộc AB sao cho AB = 5AK 
a) Phân tích các véc tơ , , ,AI AK CI CK
   
 theo hai véc tơ ,CA CB
 
b) Chứng minh ba điểm C , I , K thẳng hàng 
Bài 20 
Cho  ABC và I là điểm thuộc AC sao cho CA = 4CI. Điểm J là điễm sao cho 
1 2
2 3
BJ AC AB 
  
a) Chứng minh 
3
4
BI AC AB 
  
 b) Chứng minh ba điểm B , I , J thẳng hàng 
c) Dựng điểm J thỏa mãn đề bài d) Kéo dài AJ cắt BC tại K. Tính BK

 theo BC

Bài 21 
Cho  ABC , I là điểm thỏa mãn 5 7 0IA IB IC  
   
. Gọi G là trọng tâm  ABC. 
Chứng minh 
2 3
5 5
AM AB AC 
  
Bài 22 Cho  ABC , lấy I và J sao cho 2IA IB
 
 và 3 2 0JA JC 
  
a) Phân tích véc tơ IJ

 theo hai véc tơ ,AB AC
 
b) Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của  ABC 
c) Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Gọi K là điểm thỏa BK mBA
 
. Xác định m để K , G , D 
thẳng hàng 
Bài 23 Cho  ABC , gọi I là trung điểm BC . D và E là hai điểm sao cho BD DE EC 
  
. 
a) Chứng minh AB AC AD AE  
   
b) Phân tích AS AB AC AD AE   
    
 theo AI

c) Chứng minh ba điểm A , I , S thẳng hàng 
Bài 24 
Cho  ABC , lấy M , N , K sao cho : 2 2 0MB MC NA NC KA KB     
      
a) Phân tích ,KM KN
 
 theo hai véc tơ ,AB AC
 
b) Chứng minh M , N , K thẳng hàng 
www.VNMATH.com
C. Xác định điểm thõa mãn hệ thức véc tơ cho trước 
Bài 25 
Cho tam giác ABC . Xác định điểm M thỏa mãn điều kiện sau : 
 a) 0MA MB MC  
   
 b) 2 0MA MB MC  
   
 c) 2 0MA MB MC  
   
 d) 3 2 0MA MB MC  
   
 e) 5 2 0MA MB MC  
   
 f) 3 2 2 0MA MB MC  
   
 g) 4 3 0MA MB MC  
   
 h) 2 4 0MA MB MC  
   
 k) 2 4 3MA MB MC BC  
   
Bài 26 
Cho tam giác ABC , M là điểm tùy ý. Chứng minh các véc tơ sau không phụ thuộc vào vị trí của M : 
 a) 2a MA MB MC  
   
 b) 3 2b MA MB MC  
   
 c) 5 9 4b MA MB MC   
   
 d) 3 5 2  
   
d MA MB MC 
Bài 27 
Cho tứ giác ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vecto 3 7 2 2v MA MB MC MD   
    
 không 
phụ thuộc vào vị trí điểm M. 
Bài 28 
Cho hình bình hành ABCD . Xác định điểm M thỏa mãn các hệ thức sau : 
 a) 4AM AB AC AD  
   
 b) 4 0MA MB MC MD   
    
 c) 4 3 2 0MA MB MC MD   
    
 d) 2 2 3MA MB MC MD  
   
Bài 29 
Cho tứ giác ABCD . Xác định điểm M thỏa mãn các hệ thức sau : 
 a) 2MA MB MC DA  
   
 b) 2 2 0MA MB MC MD   
    
 c) 2 0MA MB MC MD   
    
 d) 2 2 3MA MB MC MD  
   
Bài 30 
Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là điểm tùy ý . Tính độ dài các véc tơ sau theo a: 
 a) 3u MA MB MC MD   
    
 b) 4 3 2u MA MB MC MD   
    
Bài 31 
Cho tứ giác ABCD. 
a) Xác định điểm I sao cho 0AB IB IC ID   
    
b) Tìm tập hợp điểm các điểm M sao cho u MA MB MC MD   
    
 cùng phương với AB

Bài 32 
Cho tam giác ABC , tìm tập hợp các điểm M sao cho : 
 a) MA MB MA MB  
   
 b) 2 4MA MB MB MC  
   
Bài 33 
Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện: 3 2 3MA MB MC MA MB MC    
     
Bài 34 
Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định. Tìm điểm M trên d sao cho : 
 a) 2u MA MB MC  
   
 có độ dài nhỏ nhất b) 3 2u MA MB MC  
   
 có độ dài nhỏ nhất 
Bài 35 
Cho tam giác ABC . Hai điểm M và N thỏa mãn 2 3MN MA MB MC  
   
. 
a) Xác định điểm I sao cho : 2 3 0IA IB IC  
   
b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định 
Bài 36 
Cho tam giác ABC. Và hai điểm M, N thỏa 4 3MN MA MB MC  
   
 a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M, N thay đổi. 
 b) Gọi E là điểm thỏa 2ME BN
 
 chứng minh đường thẳng ME luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài 37 
Cho tam giác ABC, M và N lần lượt là hai điểm thay đổi thỏa điều kiện: 3 3 4MN MA MB MC  
   
. 
 a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 
 b) Gọi P là điểm thỏa 2MP BN MB 
  
 chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định. 
www.VNMATH.com
Bài 38 
Cho hình bình hành ABCD có các điểm M , I , N lần lượt thuộc các cạnh AB , BC , CD sao cho AB = 3AM , 
BI = kBC , CD = 2CN. Gọi G là trọng tâm của tam giác MNB . Định k để AI đi qua G. 
Bài 39 
Cho tam giaùc ABC vaø M laø moät ñieåm tuøy yù. 
a) Chöùng minh raèng vector v MA 2MB 3MC  
   
 khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa M. 
b) Haõy döïng ñieåm I sao cho CI v
 
. 
c) Ñöôøng thaúng CI caét AB taïi N. Chöùng minh raèng NA 2NB 0 
  
 vaø CI 3CN
 
. 
d) Goïi D vaø E laø hai ñieåm sao cho BD DE EC 
  
. Haõy döïng p AB AC DA EA   
    
. 
D. Tính độ dài các véc tơ 
Bài 40 
Cho tam giác đều ABC cạnh là a. Tính AB AC
 
Bài 41 
Cho tam giác vuông ABC vuông tại B. Biết AB = 6 ; BC = 10. Tính BA BC
 
Bài 42 
Cho hình vuông ABCD tâm O , cạnh a. Xác định các véc tơ sau và tính độ dài của chúng : 
 a) v OA OB OC OD   
    
 b) u AD AB 
  
 c) w AD AC 
  
Bài 43 
Cho tam giác ABC đều , cạnh 2a. Tính độ dài các véc tơ : u BA BC 
  
 , .v CA CB 
  
Bài 44 
Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh a , có  060BAD  . Tính : | AB AD
 
| ; BA BC
 
 ; OB DC
 
. 
Bài 45 
Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính : AC BD
 
 và AB BC CD DA  
   
www.VNMATH.com