Các bài toán nâng cao dành cho ban tự nhiên lớp 10

Các bài toán nâng cao dành cho ban tự nhiên
1,Tập hợp và các phép toán.
Cho tập hợp E={1;2;3;4}.Hãy tìm các tập con X và Y của tập E sao cho với mọi tập con A của tập E ta đều có AY=AX
Cho hai tập A và B .Các mệnh đề sau đúng hay sai?
xAB khi chỉ khi xA hoặc xB
xAB khi và chỉ khi xA hoặc xB
xA\B khi và chỉ khi xA hoặc xB
Cho A,B,C là các tập hợp thỏa mãn chứng minh A B.Điều đảo lại có đúng không?
2,Số gần đúng và sai số.
1. Một vật thể có thể tích V=180,57 cm3 0.05 cm3 .Xác định số chữ số chắc và sai số tương đối của giá trị gần đúng ấy.
2. Cho giá trị gần đúng của số =1,25992104 với 6 chữ số chắc .hãy viết giá trị gần đúng của dưới dạng chuẩn và tính sai số tuyệt đối của giá trị này?
3,phương pháp quy nạp toán học.(n là số tự nhiên )
1. chứng minh 1+2+3++n=n(n+1)/2
2. chứng minh 1.4+2.7++n(3n+1)=n(n+1)2
3. Cho a-1 chứng minh (1+a)n1+na (bất đẳng thức Bernouilli)
4. chứng minh trong đó có n dấu căn.
Chương II.Hàm số bậc nhất và hàm bậc hai.
1,hàm số bậc nhất .
Cho hàm số y=.Tìm m để y xác định với mọi x>1.
Tìm hàm số y=f(x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ.
Cho hai hàm số cùng phụ thuộc tham số m :
 Hàm số y=f(x) =(m+)(x+2) có đồ thị là đường thẳng dm và hàm số y=g(x)=(m-)x+m2-1 có đồ thị là đường thẳng ∆m.
Có hay không giá trị m để dm//∆m. ?
Cmr các đường thẳng dm(khi m thay đổi) luôn đồng quy tại một điểm cố định trong khi đường thẳng ∆m không đi qua điểm cố định nào cả.
2,Hàm số bậc hai.
Cho parabol (P) có phương trình y=ax2+bx+c luôn tiếp xúc với đường thẳng (d) : y=2x+1 tại A(1 ;3)
Tính b,c theo a.
Tìm quỹ tích đỉnh của (P) khi a thay đổi.
Tìm các điểm trong (Oxy) mà (P) không thể đi qua .
Cho hàm số y=f(x) =x2-2(m+1/m)x+m trong đó m là tham số khác 0. Giả sử và .Hãy tìm các giá trị của m sao cho y2-y1=8.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
Viết phương trình parabol biết 
Parabol đi qua A(0;2),B(-1;7),C(1;1)
Parabol có đỉnh toạ độ I(2;5) và đi qua A(1;4)
Parabol đi qua A(2;0) B(-2;-8) và đạt cực trị bằng 1.
Parabol có đỉnh A(1;-2) và chắn đường thẳng (d): y=x+1 một dây cung MN=
3, Các yếu tố cố định của một họ đường cong.
Tìm các điểm cố định của họ đường cong y=m2x2+2(m-1)x+m2-1 theo 2 cách.
cmr các parabol trong họ parabol Pm vừa tiếp xúc nhau vừa tiếp xúc với một đường thẳng cố định
cmr tất cả các đường thẳng thuộc họ (dm) cho bởi phương trình y=2mx-m2+2m đều tiếp xúc với một parabol cố định có trục đối xứng // với trục tung.
Cho hàm số y= với m là tham số .Trên mặt phẳng toạ độ hãy tìm tất cả các điểm mà đồ thị hàm số không thể đi qua .
4,Tìm tập xác định của hàm số 
Bài 1:tìm tập xác định của hàm số 
Bài2 : Tìm m để hàm số sau xác định trên :
Bài 3: Tìm m để hàm số có tập xác định là R.
5,sự biến thiên của hàm số 
Khảo sát sự biến thiên của các hàm số 
6,Tính chẵn lẻ của hàm số 
Xét tính chẵn lẻ của hàm số 
Tìm m để đồ thị hàm số có trục đối xứng là Oy
Chương III.Phương trình và hệ phương trình .
1,phương trình và hệ phương trình bậc nhất .
Giải hệ phương trình :
Cho hệ phương trình với tham số m: xác định những giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình có nghiệm nguyên?
Cho (x;y) là nghiệm của hệ : .Lập hệ thức độc lập giữa x và y với m.
Cho hệ phương trình Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x2+y2 nhỏ nhất.
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) sao cho xy lớn nhất.
2.phương trình và hệ phương trình bậc hai.
Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất | x2+2mx+1 | =x+1
Cho hệ phương trình 
Chứng minh với mọi m thì hệ phương trình có nghiệm .
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình khi m=0
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
3,hệ phương trình đẳng cấp.
1. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
2. Giải hệ phương trình 
3. Cho hệ phương trình .Tìm m để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm .
4. giải hệ phương trình 
5. Giải hệ phương trình 
4,phương trình bậc hai.
Tìm m để phương trình có nghiệm (có nghiệm trái dấu).
Tìm m để -2 xen giữa các nghiệm của phương trình (m+3)x2-3(m-1)+4m=0
Cho phương trình x3+(m-1)x2-3mx+2m-4=0
chứng minh phương trình có 1 nghiệm không phụ thuộc m.
Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm .
Khi m tìm nghiệm bé nhất (có thể) của phương trình 3x2-(m+23)x+2m+22=0
Tìm m để x2+x+m+1=0 có 2 nghiệm thỏa mãn 
Tìm m để phương trình x2-2(m+2)x+4m+5=0có 2 nghiệm thỏa mãn a, đều dương b, 
Tìm m để phương trình 3x2+4(m-1)x+m2-4m+1=0 có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn 
Tìm m để phương trình x2-(m+2)+m2+1=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn 
Tìm hệ thức độc lập với m liên hệ với các nghiệm của mỗi phương trình sau a, x2+mx+2m-3=0 b, (m+2)x2-(m+4)x+2-m=0
Cho phương trình (m-5)t2-2mt+m+4=0 Gọi S và P là tổng và tích của 2 nghiệm .Trong mặt phẳng toạ độ Oxy gọi M(S;P) với x=S,y=P.chứng minh khi m thay đổi thì các điểm M luôn chạy trên một đường thẳng cố định. Tính T=
5,ứng dụng của biệt thức ∆
Tính gía trị nhỏ nhất ,gtln của biểu thức Q=
Tìm a,b để Q=đạt gtln=4 và gtnn=-1
chứng minh rằng luôn có Qvới 
Q=x2+2xy+3y2+2x+6y+3
Q=4x2+13y2-12xy-4y+1
tìm m để Q=x2+4y2+my+3
Tìm gtnn của Q=(x-2y+1)2+(2x+ay+5)2 trong đó a là một số thực cho trước.
giả sử x,y liên hệ với nhau bởi biểu thức Q=36x2+16y2-9=0 hãy tìm gtnn,gtln của U=y-2x+5
Cho x,y là các số thực liên hệ với nhau bởi Q=(x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0 chứng minh rằng 
Cho x,y,z thoả mãn chứng minh 
Cho a+b+c=6 chứng minh rằng a2+b2+c2 
6,Dấu hiệu nhận biết phương trình bậc hai có nghiệm .
cho hai phương trình x2+p1x+q1=0 và x2+p2x+q2=0 và p1.p22(q1+q2) khi đó có ít nhất một trong 2 phương trình có nghiệm .
chứng minh rằng có ít nhất 1 trong 3 phương trình sau có nghiệm ax2+2bx+c=0 và bx2+2cx+a=0 và cx2+2ax+b=0
Tìm a để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt .
Tìm a đẻ phương trình có một nghiệm duy nhất.
Tìm a để phương trình (a+1)x2-(8a+1)x+6a=0 có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng (0;1)
Cho m.tìm nghiệm lớn của phương trình x2+(2m-6)x+m-11=0
7.Tìm giá trị nhỏ nhấtvà lớn nhất bằng tam thức bậc hai.
Tìm gía trị nhỏ nhất ,giá trị lớn nhất của hàm số f(x)=x2+2x+3 trên D= E=
giả sử x,y là nghiệm của hpt tìm a để U=x2+y2 đạt gía trị nhỏ nhất .
Tìm giá trị lớn nhất gía trị nhỏ nhất của y=
tìm m để x2-2mx+2no đúng 
Cho f(x)=x2+(m+1)x+2 tìm m để 
8.phương trình vô tỉ,bpt vô tỉ
GiảI phương trình 
GiảI phương trình 
GiảI phương trình 
GiảI phương trình 
GiảI phương trình 
GiảI phương trình 
GiảI phương trình 
GiảI phương trình 
GiảI phương trình 
HVCNBCVT 2000.GiảI phương trình 
GiảI phương trình 
Cho phương trình 
GiảI phương trình khi m=5
Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 
GiảI phương trình 
GiảI phương trình 
 GiảI phương trình 
GiảI phương trình 
GiảI phương trình 
Cho phương trình tìm tập hợp các gía trị của m để phương trình có lẻ số nghiệm .
GiảI phương trình 
gvbl phương trình với tham số a 
GiảI phương trình 
Chương IV.bất đẳng thức và bất phương trình .
I, bất đẳng thức Cauchy.
1,bất đẳng thức Cauchy .
Với a,b,c 0 cmr 
Với a,b,c 0 cmr 
Với 0<a,b,c<1 chứng minh rằng 
Với a,b,c >0 thỏa mãn điều kiện chứng minh rằng 
Với a,b,c,d>0 thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=1 chứng minh rằng 
Với a,b,c>0 chứng minh rằng 
Cho a,b,c>1 chứng minh rằng 
Cho a,b,c,x,y,z>0 chứng minh rằng 
Với a,b,c>0chứng minh rằng 
Với a,b,c>0 chứng minh rằng 
Với a,b,c>0 thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3.chứng minh rằng 
2,Một số phép biến đổi cơ bản.
A,Nhóm đối xứng.(Sử dụng hạ bậc từng vế bất đẳng thức ).
Với a,b,c>0 chứng minh rằng 
Với a,b,c là các số không âm,chứng minh rằng 
B,Khử căn
Với xi>0 và yi>0 , i= chứng minh rằng 
Với a,b,c,d là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=1 chứng minh rằng 
Với a,b,c không âm chứng minh rằng 
C,Nhóm các hệ số có tổng bằng 1.
Với a,b,c không âm chứng minh rằng 
Với a,b,c không âm chứng minh rằng 
D,Nhóm theo bậc.
Với a,b,c>0 chứng minh rằng 
Với a,b,c>0 chứng minh rằng 
E,Đổi biến .
Với a,b,c>0 và thỏa mãn a.b.c=1 chứng minh rằng 
Với a,b,c>0 chứng minh rằng 
Với a,b,c>0 ,a.b.c=1 chứng minh rằng 
F,Các bài tập củngcố.
Với a,b,c>0 chứng minh rằng 
Với a,b,c,d không âm ,chứng minh rằng 
Với a,b,c>0 chứng minh rằng 
Với a,b,c>0 chứng minh rằng 
Với a,b,c>0 chứng minh rằng 
Với a,b,c>0 chứng minh rằng 
Với a,b,c>0 và a.b.c=1 chứng minh rằng 
Với a,b,c>0 chứng minh 
3.Dạng lũy thừa.
*,Sử dụng định lí sin,cos
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R=1,Gọi lần lượt là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉmh A,B,C của tam giác ABC.Tìm giá trị nhỏ nhất của 
giả sử P là một điểm bất kỳ trong tam giác ABC.Kí hiệu x=PA,y=PB,z=PC và p,q,r theo thứ tự là độ dài các khoảng cách từ P đến cách cạnh BC,CA,AB.chứng minh minQ=2 với Q=
Cho tam giác ABC và x,y,z là các số thực không đồng thời bằng 0.chứng minh zcosA+2zxCosB
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác ,x,y,z là các số thực thoả mãn x+y+z=.Tìm gía trị nhỏ nhất của Q=
Cho tam giác ABC và các số x,y,z không đồng thời bằng 0.cm 
cho tam giác ABC .Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức Q=
Cho tam giác ABC chứng minh Q= 
II,phương trình và bất phương trình quy về bậc hai(giải theo nhiều cách)
Giải phương trình | x2-3x+1 | =- 2x2+6x-3
Giải phương trình 
Giải bpt 
Giải bpt 
Tìm m bpt nghiệm đúng 
Tìm m để bpt có nghiệm .