Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức (thường dùng trong phổ thông)

 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
 (thường dùng trong phổ thông)
Phương pháp 1 :Phương pháp dùng quy ước
 A > B A – B > 0 (dùng định nghĩa để chứng mimh)
A.Phương pháp: muốn chứng minh A>B ta xét hiệu A-B>0 và phân tích hiệu thành tổng hoậc là tích các dương.
I.áp dụng
 ví dụ 1: 
 cho a,b,c là 3 số cùng dấu và a > b > c .Chứng minh:
 a3b2 + b3a2+c3a2 a3 c 2+c 3b 2+b 3a2.
Giải :
 Xét hiệu : 
 A= a3b2 + b3a2+c3a2- a3 c 2+c 3b 2+b 3a2 
 =(c-a)(b-a)(c+a)(ab+bc+ca)
 vì a,b,c cùng dấu nên ab+bc+ca > 0 
 do a>b>c nen c-a0 
 a3b2 + b3a2+c3a2 a3 c 2+c 3b 2+b 3a2.
Vd2: 
 Cho a,b c là 3 số thực ma a+b+c.CM:
 Xét hiệu :
 ==
 vậy : .
Vd3: 
 CMR nếu 0 <x thì ta có: 
 .
Vd4: CTR: thì 
Vd5: Cho a,b,c là 3 số dương tuỳ ý
 .
Vd6: Cho ab>1.CMR:
phương pháp 2 :Sử dụng bất đẳng thức đã biết và các phép toán.
A.Kiến thức :
a.Bất đẳng thức cauchy:
 Cho n số không âm : a1 ,.,an..ta có bất đẳng thức :
 2
 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 =.=an
b.Bất đẳng thức bunhiacôpski:
 cho 2 cặp số (a,b)và (c,d) ta có bất đẩng thức:
 ( ac +bd ) ( a2+c2)(b2+d2).
 Dấu ’’ =’’ khi và chỉ khi = .
c: .Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
 |x| - |y| |x+y| |x| +|y|
 |x| - |y| |x-y| |x| + |y|
 | a+ | 2
d.Đẳng thức trong tam giác:
 a - c < b < a + c
 a – b < c < a + b
 b – c < a < b + c.
B.áp dụng:
Vd1: Cho a,b, c > 0 .chứng minh rằng :
Giải:
 áp dụng BĐT Cauchy cho 6 số khong âm ta được :
 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
vd2 : Chứng minh các BĐT sau :
HD:
a) sử dụng cong thức lượng giác và áp công thức bunhiacôpski cho 2 cập số(a+b;ab-1)và (sin2x;cos2x).
b)áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương 1+a2,1+b2.
vd3:
 Cho tam giác ABC.CMR:
(HD: áp dụng BĐT Cau chy )
vd4:
 Chứng minh 
 với mọi tam giác.
(HD:áp dụmg BĐT Cauchy)
Vd5:
 Cho a,b,c là độ 3 cạnh của một tam giác.CMR:
 với a<b<c.
(HD: áp dụng BĐT trong tam giác)
Phương pháp 3: áp dụng tam thức bậc 2
1.Phương pháp:
+tính chất thường được áp dụng là
 af(x) 	
 .
+) điều kiện có nghiệm của tam thức bậc 2: xét )
2.Ví dụ áp dụng:
vd1:Cho ABC là một tam giác bất kỳ .CMR ta đều có:
	giải
	tacó 
vì cos1	 
vậy (2) đúng mọi x nên (1) đúng.
Vd2:
CMR: 
 nếu 
Giải:
Xét tam thức bậc 2 : f(x) = 
Ta có < 0 (gt)
Vậy f(x) có hai nghiệm ,do đó > 0 nghĩa là :
 > 0 >đpcm.3
Vd3:
Cho a3 > 36 và abc = 1. CMR:
 > (1).
Vd4: 
cho 4 số a,b,c,d thực .CMR:
vd5:
 	ta đều có:
 vd5: CMR :
 Nếu 3 số a,b,c thoả mãn các điều kiện sau:
 +b+c>0; ab +bc +ca >0; abc > 0;
 thì a>0 ; b >0 ; c >0
vd5: cho 3 số a.b,c lần lượt là độ dài ba cạnh của một tam giác .CMR:
 >
vd 6: CMR: nếu 3 số a,b,c thoả mãn đk:
 =2 (1)
 =1 (2)
 thì 
phương pháp 4 Dùng phép chứng minh phản chứng.
1,pp chung :
 giả sử cần phải chứng minh BĐT nào đó đúng .ta giả sử bđt đó sai và kết hợp với gt để suy ra đièu vô lý:
 +,điều trái với gt’
 +trái vưói một điều đúng.
 +sai vô lý là hai điều trái ngược nhau.
2.các ví dụ áp dụng:
vd1: 
 nếu a + b < 2 thì một trong 2 số a và b nhỏ hơn 1.
 Giải .
Giả sử 2 số a và b đều lớn hơn hoặc bằng 1 tức là a và b1 a+b2(trái với gt). 
vậy a<1 hoặc b < 1.
Vd2: CMR nếu thì ít nhất một trong hai phương trình 
 có nghiệm.
Giải:
Giả sử cả hai pt đã cho vô nghiệm ,khi đó :
< 0 ;< 0
< 0 < 0
<< 0.(vô lý).
Vậy có ít nhất một trong hai pt đã cho có nghiệm.
3.bài tập áp dụng:
 bài 1:cho a,b,c (0;2).CMR có ít nhất một trong các BĐT sau là sai:
> ;>;>.
Bài 2: cho a,b,c 0.chứng minh có ít nhất 1 trong các pt sau có nghiệm:
 =0;
 =0;
 =0
bài 3:
 cho a,b,c .CMR có ít nhất một trong các bất đẳng sau la sai:
 >;> ;>.
Bài 4:
 Cho a,b,c.CMR có ít nhất mmột trong các BĐT sau là sai:
 2-b)>1;b(1-c)>1;c(1-a)>1;
	 bai5:
 CMR trong 3 BĐT sau đây có ít nhất một BĐT sau là đúng:
phương pháp 5: Phương pháp quy nạp	
I.Phương pháp chung :
 Có 2 cách cơ bản để chưngs minh bằng quy nạp:
cách 1:tiến hành theo các bước sau:
1.chưng tỏ BĐT đúng với n = n0(với n0 là một số tự nhiên bé nhất từa nhận được yêu cầu của đề bài).
2.giả sử BĐT đúng với n = k.
3.từ đó suy ra BĐt đúng với n= k +1.
 Nếu thực hiện được các điều kiện trên thì theo nguyên lý quy nạp kết luận BĐT
 đúng với mọi số tụ nhiên n
Cách2: quy nạp theo kiểu cauchy: giả sử cần chứng minh BĐ T đúng mọi số tự nhiên
 n. ta có tiến hành như sau:
 1,CM BĐT đúng với n = 2.
 2,giả sử BĐT đúng với n=k. ta sẽ chứng minh BĐT đúng với n = 2k.
 3,giả sử BĐT đúng với n=k (k
 ta sẽ chứng minhBĐT đúng với n=k-1.
 II,Các bài toán minh hoạ:
Bài 1: cho a,b n là số tự nhiên n.CM:
Giải :
 +) n=1 BĐT trở thành (đúng).
 Vậy (*) đúng với n=1;
+)giả sử BĐT (*) đúng với n=k ta có: 
+) ta sẽ chứng minh BĐT đúng với n=k+1 nghĩa là chứng minh	(2)
từ (1) ta cónên suy ra 
để CM (2) ta cần chứng minh:
vậy (4) đúng . theo nguyên lý quy nạp suy ra BĐT (*) đung với mọi số nguyên dương n.
đẳng thức xảy khi:
+ n=1 thì đẳng thức xảy ra .
+ nếu n>1 thì dẳng thức xảy ra khi a=b.
bài tập 2: CMR với n nguyên ,n>1 thì 
 > 
giải :
+n=2 ta có =1+>2
vậy BĐT đúng với n=2.
+giả sử BĐT đúng với n=k tức là:>
+ta CM BDT đúng với n=k+1 nghĩa là :
 +> (2)
từ (1) ta có :
 > =>=
chứng tỏ BĐT đúng với n =k+1. theo nguyên lý quy nạp BĐT đúng vơi mọi số nguyên lớn hơn 1.
Bài tập 3: CMR với mọi số tự nhiên ta có :
 (*)
HD: đặt S = ta sẽ CM: S bằng phương pháp quy nạp.
Bài tập 4
 CMR:
 a) 
 b) a,b c 
bài tập 5:
 cho 
 HD CM BĐT trên bằng phương pháp quy nạp Cau chy.
Bài tập 6: CMR với mọi số nguyen đương n>1 ta có:
 >
bài tập CMR với mọi số nguyên dương n ta có:
bài tập 8:
 cho CMR (1-x1)(1-xn)
phương pháp 6: Phương pháp hình học
I. Phương pháp chung:
-áp dụnh cho các bài toán chứa căn thứcvà biểu thức trong căn có thểbiến đổi thành tổng các bình phương.Sau đó ta đặtchung vào tam giác,tứ giác. rồi áp dụngcác bất đẳng trong tam giác để chứng minh bất đẳng thức.
II.Bài tập minh hoạ:
Bài tạp 1:CMR:
	giải:
	đặt:S = 
+) nếu x=3 thì S =4.
+) nếu x .ta dựng tam giác ABC vuông tại A có
= 5; AB = 
trên AC lấy điểm D sao cho 	=1
ta thấy rằng BC=	=	BD =	 =	
mà theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:
=AC-AD=5-1=4
	4 <4 (2)
từ (1) (2) ta có S < 4	suy điều phải chưng minh.
Bài tập 2:CMR với x,y,z ,tdương thì:
HD: do x,y,z,t >0 nên tồn tại một tứ giác ABCD sao cho AC vuông góc BD tại O
đặt OA =x;OB=y;OC=z;OD=t .rồi sau đó ta áp dụng các tính chất của tam giác để chứng minh.
Bài tập 3: gọi a,b,c là 3 cạnh của một tam giác có đương tương ứng la CMR:
	.
HD: qua C kẻ Cx//AB.lấy điểm D đx với A qua Cx(AC=CD).trong tam giác vuông 
Ta xét tính chất: =BD2< (BC+CD)2 từ đó suy ra phải chưng minh.
Bai tập 4:CMR:
bài tập 5:
x,,y,z là 3 số tuỳ ý.CMR:
.
Phương pháp 7:áp dụng giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số
PP chung:
B1:tìm ra hàm số để xét sao cho thuận lợi trong việc chưng minh.
B2:lập BBT của hàm số và tính giá trị cực trị.
B3.dựa vào BBT để chứng minh.
II Các ví dụ áp dụng :
Vd1: cho ba số x,y,z thoả mãn =1.CMR:
 .
Giải:
Từ gt ta có 0 < x,y,z <1.khi đó (1)
.
Xét hàm số f(t)=t(1-t2) = -t3+t với t
	=-3t2+1;
	= 0; t= vì t > 0
ta có BBT sau:
T
 0 1
F’(t)
 + 0 --
F(t)
 0 0
Từ BBT ta có: f(t).do đó 0<x(1-x2)
 .tương tự:
 cộng (1) (2) (3) từng vế ta được Đpcm.
 Vd2: CMR: 
 1 + ln(x+
 vd3: cho a,b .
 vd4: cho số nguyên n>1.CMR: .
 Vd5: cho x,y,z [o;1]. CM:
 .
Phương pháp 8: BĐT tích phân.
I.phương pháp chung:
Ta thươngf sử dụng các tích chất sau:
1)nếu . Dấu “=” khi và chỉ khi f(x)= 0.
2)nếu .đấu “=” khi và chỉ khi f(x) = g(x)
	 3) ta có 
4) nếu 
khi giải các bài tập dạng này chúng ta thường dùng các BĐT,khảo sát hàm số,tính bị chặn của hàm sinx,cosx ,để chặn hàm dưới dấu tích phân.Sau đó dùng các tính chất trên dể giải.
II.bài tập:
Bài tập 1:chưng minh các BĐt tích phân sau:
HD:
a) vì:
áp dụng BĐt Cauchy ta có:
vậy .
b)áp dụng tính đơn điệu của hàm sốvà sử dụng tính chất 
c,tưong tự câu b.
d,sử dụng tính chất bị chặn của hàm cosx và sử dụng tính chất 4.
Bài tập 2:
Cho f(x) ,g(x) là hai hàm số liên tục ,xđ trên [a,b].CMR:
 .
HD:
Với mọi số thực y ta có 
Khi đó 
.
Sau đó ta áp dụng địng lý về dấu của tam thức bậc đối với y.
Bài tập 3:cho hàm số liên tục xđ trên [0,1] va f(x).
CMR:
Bài tập 4:CMR:
Phương pháp 9: Sử dụng lượng giác.
I,phương pháp chung:
+) ta có thể áp dụng pp lượng giác để CM một bài toán ĐT đặc biệt trong BĐT có chứa số hạng nằm trong[-1,1](ta đặt thành sinhoặc nếu có hệ thức xy=1 thì ta có thể đặt .
II.bài tập:
Bài 1:
Cho 4 số thực x,y,u,v thoả mãn x2+y2=u2+v2= 1.CMR:
HD:
Có thể đặt và 
Khi đó :
Do đó suy ra 
Bài tập 2:
CMR với mọi số dương a,b,c,d ta có:
HD: ta có (1)(2)
để CM (2) ta có lấy x,y là 2 góc nhọn đặt :
khi đó (2) có:cos(x-y).vậy ta có điều phải CM.
Bài tập 3:CMR:
HD:đặt x= với a
Bài tập 4:cho a,b,c,d thực vơi 
CMR: 
HD:đặt với 
Bài tập 5:CMR từ 4 số cho trước luôn có thể chọn ta được 2 số x,y sao cho:
 .
Hd:áp dụng công thức .
 Phương pháp 10: áp dụng tính đơn điệu của hàm số:
I.Phương pháp chung:
Ta áp dụng dấu của đạo hàm để biết tính tăng hay giảm của hàm số 
và suy ra két quả của BĐT.
f tăng trong D
+) f’(x)f giảm trong D
(dấu “=” chỉ xảy ra tại các điểm rời rạc).
II.bài tập áp dụng:
Bài tập1:
CMR: 1+xln(x+ với mọi x
Giải :
Đặt f(x) =1+ xln( là biểu thức hàm số liên tục trong [o, +Ơ ]
có đạo hàm f’(x) = ln(. Vậy hàm số tăng trên [o, +Ơ .]
do vậy ta có:
khi x=0 thì f(0)= 0 nên ta được:
 1+xln(x+ với mọi x
bài tập 2: cho 4 số dương a,b,c,d.Đặt a+b+c+d= e.
CMR:
a) 
b) 
giải:
HD:
từ a+b+c+d =e ta có : 
 và vì a,b,c,d >0 nên 0 < .
 Xét hàm số mũ cơ số dương nhỏ hơn 1 là nghịch biến có dạng:. Khi đó ta sẽ có điều phải CM.
Bài tập 3: cho tam giác ABC vuông tại C .
 CMR với mọi số tự nhiên n>2 ta có BĐT: an +bn < cn.
Bài tập 4: chứng minh rằng với mọi x>0 ta đều có :
HD: đặt f(x ) = sinx-x
bài tập 5: chứng minh rằng với 00 ta có:
 .
 Hd: đặt f(x)= và chứng tỏ giảm trong[0;+Ơ) với 0<a<1.
Phương pháp 11: áp dụng định lý Lagrange.
I.Phương pháp :
Hàm số f: y=f(x) liên tục trên [a,b] và khả vi trong(a,b)
II.bài tập áp dụng”
Bài1: Chưng minh rằng: với 0 <a
HD: f(x) = tgx liên tục trong (0;).
đạo hàm tồn tại trong (0;). Theo định lý Lagrange cho hàm số trong [b,a] (0;). Ta có : với cosa <cosc < cosb nênta có :
 .
Bài 2:
Chưng minh rằng nếu 0<a<b thì:
Bài 3:
Chứng minh rằng với hai số a,b bất kỳ ta đều có :
 .
HD:
Dặt f(x)=arctgx là hàm số liên tục trong R và có đạo hàm sau đó áp dụng định Lagrange.
Phương pháp 12: Biến đổi tương đương.
I.Phương pháp :
Giả sử cần chứngminh bất đẳng thức AB. ta dùng tính chất cơ bản và các phép toán về BĐT ta biến đổi tương đương AB 
Nếu BĐT C D đúng thì BĐT AB đúng .
Ta được điều phải chứng minh.
II.Bài tập áp dụng:
Bài 1: 
 chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta đều có:
 . (1)
 HD:
 Biến đổi (1) về dạng: (a-b)2 +(b-1)2 +(a-1)2 .(2).luôn đúng mọi a,b.
 Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 2: 
 chứng minh rằng với mọi số thực a,b,x,y ta có:
 HD: đưa về dạng (ax + by)2 .
Bài 3:
 Chứng minh rằng nếu a,b là các số thực dương thì ta có BĐT:
 .
Bài 4:
 Cho a,b,c là ba số dương .Chứng minh: 
Bài 5:
 Chứng tỏ rằng mọi a,b không âm thì:
Bài 6:
 chứng minh rằng nếu a+b thì .