Các vấn đề liên quan đến hàm số

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
1 
CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM 
I. MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ: D = {x∈R | y = f(x)∈R} 
Hàm số Tập xác định Hàm số Tập xác định Hàm số Tập xác định 
( )xAy = ( ) 0xA ≥ tgxy = π+π≠ k
2
x ( ) ( )xBlogy xA= ( )( )⎩⎨
⎧
≠<
>
1xA0
0xB
( )
( )xB
xAy = ( ) 0xB ≠ gxcoty = π≠ kx ⎢⎣
⎡= x
x
e
a
y )0a(x >∀ 
( )n2 xAy = ( )( )+∈ ≥Zn 0xA ⎢⎣
⎡=
xarccos
xarcsin
y 1x1 ≤≤− ⎢⎣
⎡=
xln
xlog
y 0x >∀ 
( )1n2 xAy += ( )+∈∈∀ Zn Dx ( )[ ] ( )xBxAy = ( ) 0xA > ( ) (( ) ( )⎢⎣
⎡ ±=
xgxf
xgxf
y D
)
 gf DDD ∩= 
II. MIỀN (TẬP) GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D} 
 1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D 
Hàm f(x) f(D): MGT Hàm f(x) f(D): MGT ( )
( ) bxf
axf
≥
≤
( ) ( ]
( ) [ )+∞=
∞−=
,bDf
a,Df
( )
( ) bxfa
bxfa
<<
≤≤
( ) [ ]
( ) ( )b,aDf
b,aDf
=
=
 2. Đánh giá biểu thức bằng các BĐT: 
( )[ ] ( )
( )( )2222
2
dcbabdac :skyBunhiacôp .ab2 b a :Côsi BĐT *
định. xác xA làm xa, aaxA *
++≤+≥+
∀∀≥+
III. HÀM HỢP gof 
 [ ]( ) ( )[ ]
( ){ }
( ) ( ){ }⎢⎣
⎡
⊂∧≠
∈∧∈=
≠=∈∀
∃⇒φ=
gfff
gfgf
fg
ooofg
fgoff
fffo
DT0T,D
DT;DxfDx|x
D *
fggf và xfgxfg:Dx *
ZD:fgDT *
ZD:gvàTD:f hàm haicủa hợp hàmlà fg
o
o
o
∩
6∩
66
IV. HÀM CHẴN – LẺ y=f(x) ĐỐI XỨNG QUA O: 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) Dx lẽ khôngchẵn khôngHàm :xfxf lẽ f :Dx xfx-f
chẵnf:Dx xfxf ∈∀±≠−⇒⎥⎦
⎤
∈∀−=
∈∀=−
V. GIỚI HẠN HÀM SỐ: 
 1. Phương pháp 1: Khử dạng vô định 
0
0
Cơ sở của phương pháp là làm xuất hiện dạng trong biểu thức hàm các thừa số (x - x0), để rồi giản ước chính các thừa số đó của tử 
số và mẫu số trong 
( )
( )xg
xflim
0xx→
 với các chú ý: 
• Nếu tử và mẫu là các đa thức, sử dụng phép chia đa thức tử và mẫu cho (x - x0). Riêng ở đây ta dùng thủ thuật chia Hormer. 
• Nếu chỉ ở tử hoặc mẫu có chứa căn thức, ta nhân cho tử và mẫu một lượng liên hợp của căn thức đó. 
 llh llh 3 23 3 3 3A B A B A B A AB B+ ←⎯→ − ± ←⎯→ ± + 
Nếu tử và mẫu đều có chứa căn thức, ta sẽ nhân vào tử và mẫu cùng hai lượng liên hợp giao hoán tương ứng. 
• Không loại trừ các khả năng sử dụng nhanh các hằng đẳng thức: 
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
2 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3 3 2 2
4 4 2 2 n n n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1
a b a b a b a b a b a ab b
a b a b a b a b a b a b a a b a b ... ab b− − − − −
− = − + ± = ± ± +
− = + − + − = − + + + + + 
• Để ý rằng việc biến đổi sơ cấp có thể làm dạng vô định này trở thành dạng vô định khác. Chẳng hạn: 
 ( ) ( ) đó) tự thứ theo 0 (dạng xgxflim
0x
∞×→ 
 2. Phương pháp 2: Khử dạng vô định ∞
∞
• PP1: Đặt số mũ lớn nhất của các đa thức thành phần ở tử và mẫu làm nhân tử chung để khử vô định. 
• PP2: Dùng các định lý giới hạn tương đương: ( )
( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ =ε>ε++++
⎪⎩
⎪⎨⎧ >−++⇒−∞→
>++⇒+∞→
⇒∞→
∞→
0x lim và 0a với;x
a2
bxa~cbxax /3
)0a(;ax~cbxaxx
)0a(;ax~cbxaxx 2/
xa~xPx 1/
x
2
2
2
n
nn
 3. Phương pháp 3: Khử dạng vô định ∞−∞ 
Cơ sở của phương pháp tìm giới hạn này là: 
1/ Sử dụng lượng liên hợp. 
2/ Sử dụng biểu thức tiệm cận: ( )x
a2
bxa~cbxax2 ε++++ trong đó: a > 0 và ( ) 0xlim
x
=ε
∞→
3/ Sử dụng các hằng đẳng thức. 
4/ Không dùng hàm số tương đương cho dạng tổng. 
 4. Phương pháp 4: Giới hạn của hàm lượng giác 
• TH1: Khi (x tính bằng radian) 0x →
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
u x 0 u x 0
22
2u x 0
sin u x tgu x
lim 1 hay sinu x ~ u x lim 1 hay tgu x ~ u x
u x u x
1 cos u x 1 1lim hay 1-cos u x ~ u x
2 2u x
→ →
→
= =
− ⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎡ ⎤⎣ ⎦
Không loại trừ nhân các lượng liên hợp lượng giác. 
 ( ) ( ) ( ) ( )llh llh1 sin u 1 sin u 1 cos u 1 cos u+ ←⎯→ − + ←⎯→ − 
• TH2: Khi hàm lượng giác có dạng vô định (x tính bằng rađian) 0xx →
* Đặt: 
⎩⎨
⎧
→⇒→
+=⇔−=
0txx
txx
xxt
0
0
0
* Khi: 0't,xx'txx 00 →−=⇒→ 
Ghi chú: không sử dụng hàm tương đương cho tổng số. 
 5. Hàm kẹp: 
( ) ( ) ( ) { }
( ) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧ =⇒==
∈∀≤≤
→→→
LxglimLxhlimxflim
x|Vx,xhxgxf
0
00
0
xx
xxxx
0x
 6. Hàm chứa giá trị tuyệt đối: 
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
x x x x
x x x x
lim f x L lim f x L
lim f x 0 lim f x 0
→ →
→ →
⎧ = ⇒ =⎪⎨ = ⇒ =⎪⎩
 7. Hàm liên tục: * 
( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧ =Δ=
∈∀∈
→Δ→
0lim hayxfxflim
Dx,Rxf
y0x0xx
00
0
0
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
3 
* Liên tục tại x0: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎢⎢⎣
⎡
=
=
⇒==
−
+
−+
→
→
→→ trái tục liên :xfxflim
phảitụcliên:xfxflim
xfxflimxflim
0
xx
0
xx
0
xxxx
0
0
00
 8. Công thức giới hạn: 
( )
( )
( )
( )
( )
sin x
lim 1
x 0 x
tgx
lim 1
x 0 x
lim U x 0
x 0
sin U x
lim 1
x 0 U x
tgU x
lim 1
x 0 U x
1 cos x 1
lim 2x 0 2x
=→
=→
=→
=→
=→
− =→
xlim a
x
xlim a 0
x
xlim e
x
 a 1xlim e 0
x
xe
lim
x x
xlim x.e 0
x
xlim a 0
x 0 a 1xlim a
x
= +∞→+∞
+=→−∞
= +∞→+∞
>+=→−∞
= +∞→+∞
=→−∞
+=→+∞ < <
= +∞→−∞
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫⎪⎬⎪⎭
lim log xax
lim log xax 0
lim ln x
x
 a 1lim ln x
x 0
ln x
lim 0
x x
lim x. ln x 0
x 0
lim log xax 0 a 1
lim log xax 0
= +∞→+∞
= −∞+→
= +∞→+∞
>= −∞+→
+=→+∞
−=+→
= −∞→+∞ < <= +∞−→
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫⎪⎬⎪⎭
* Quy tắc Lopitan: 
( )
( )
( )
( )x'g
x'flim
xg
xflim
00 xxxx →→
= 
VI. ĐẠO HÀM: 
( ) ( ) ( )
x
xfxxflim
x
ylimx'f 00
xxxx0 00 Δ
−Δ+=Δ
Δ= →Δ→Δ 
hay: ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
−
−=
⇒−
−=
−
+
→
−
→
+
→
0
0
xx
0
0
xx
0
0
xx0
xx
xfxflimx'f trái ĐH
xx
xfxflimx'f phảiĐH
xx
xfxflimx'f
0
0
0
0
0
⇒ f có đạo hàm tại x0 ⇔ ( ) ( )−+ = 00 x'fx'f . Nếu ( ) ( )−+ ≠ 00 x'fx'f thì f không có đạo hàm tại x0. 
 1. Chứng minh hàm số liên tục: 
Cơ sở của phương pháp để chứng minh một hàm f liên tục tại x0, cần làm 3 bước: 
B1: Kiểm tra ; tìm số trị f(xf0 Dx ∈ 0) (1) 
B2: Tìm ( ) Rbxflim
0xx
∈=
→
 (2) 
B3: So sánh (1) và (2); nếu ( ) ( ) bxfxflim 0xx 0 ==→ , hàm f liên tục tại x = x0. ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00xxxx00
xx
00
xx x tại tục liên f thì xfxflimxflim
x phải bêntục liên f thì ,xfxflim
x trái bêntục liên f thì ,xfxflim
00
0
0 ==⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=
−+
−
+
→→
→
→
Ghi chú 1: Không loại trừ sử dụng ba phương pháp sau đây để chứng minh hàm liên tục tại x0: 
 (1) PP2: f là hàm sơ cấp xác định tại x0 ⇒ f liên tục tại x0. 
 (2) PP3: ⇒ f liên tục tại x0ylim
0x
=Δ→Δ 0. 
 (3) PP4: f khả đạo hàm tại x0 ⇒ f liên tục tại x0. 
Ghi chú 2: Ngoài ra, khi chứng minh hàm f liên tục trên một tập thì sử dụng các định nghĩa: 
 ĐN1: f liên tục trong ( ) ( )b;axmọitại tục liên fb,a 0 ∈⇔ 
 ĐN2: f liên tục trên [ ]
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⇔
 btại trái tục liên f
a tại phảitục liên f
ba; trong tục liên f
b;a 
 2. Tìm đạo hàm tại một điểm: 
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
4 
B1: Tính 
( ) ( ) R bnếu và b
xx
xfxflim
x
ylim
0
0
xx0x 0
∈=−
−=Δ
Δ
→→Δ
B2: Tồn tại f’(x0)=b. Khi chỉ tồn tại một trong hai giới hạn: 
* 
( ) ( ) ( )+
→
=−
−
+ 0
0
0
xx
x'f
xx
xfxflim
0
: đạo hàm bên phải điểm x0. 
* 
( ) ( ) ( −
→
=−
−
− 0
0
0
xx
x'f
xx
xfxflim
0
): đạo hàm bên trái điểm x0. 
Ghi chú: Nếu x0 là điểm thông thường của tập xác định, ta có thể dùng công thức tìm y’=f’(x) rồi thay vào ta có f’(x0). 
 3. Tính đạo hàm bằng định nghĩa: 
( ) Dx;Rx'f
x
ylim
0x
∈∀∈=Δ
Δ
→Δ
ta làm ba bước cơ bản: 
B1: Gọi Δx là số gia của biến số tại x tùy ý trong D, Δy là số gia của hàm số tương ứng. Ta tính Δy từ: y + Δy = f(x + Δx). 
B2: Lập tỷ số 
x
y
Δ
Δ
B3: Tính ( ) Rxgx
ylim
0x
∈=Δ
Δ
→Δ ; thì kết luận: f’(x) = g(x). 
Đạo hàm Vi phân 
1) Hàm cơ bản: ( )
( )
( )
22 v
'v
v
1
v
'v.uv'.u
v
u
'v.uv'.u'v.u
'v'u'vu
số) hằng:(c 'u.c'u.c
−=
′
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒−=
′
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+=
±=±
=
2) Hàm hợp: 
Cho u = u(x); y = f(u) đều khả đạo hàm thì hàm hợp y = 
(fou)(x) = f[u(x)] cũng khả đạo hàm và y’ = u’(x).f’[u(x)] 
hay y0 = y’u.u’x. 
3) Hàm ngược: 
Cho: 
( )
( )⎩⎨
⎧
=→
→
xfyx
DfD:f
. Khả đạo hàm theo x và có hàm 
ngược: . 
( )
( )⎩⎨
⎧
=→
→
−
−
yfxy
DDf:f
1
1
Ta có: 
x
y
y
x 'y
1'x
'x
1'y =⇔= 
1) Định nghĩa: ( ) ( ) ( )xd.x'fdyxfy =⇒= 
2) Quy tắc vi phân: ( )
( )
2v
dv.udu.v
v
ud
dv.udu.vv.ud
dvduvud
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+=
±=±
3) Hàm hợp: [ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )xux
xxxxo
'u.'y'y
uf.'u'yufufy
=⇒
=⇒==
4) Hàm logarit: ( )[ ] ( ) ( )( )0xu;xuy xv >= 
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +==⇒
u
'uvuln'v'u'ulnvy'y 
 4. Bảng tính đạo hàm: 
Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x) Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x) ( )nn u;x ( )'u.u.n;x.n 1n1n −− sinx cosx 
C 0 cosx -sinx 
x 1 tgx xtg1
xcos
1 2
2 += 
( )u;x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ u2 'u;x2 1 ex ex
x
1
 2x
1− ax axlna 
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
5 
 lnx 
x
1
cotgx ( )xgcot1
xsin
1 2
2 +−=− logax alnx
1
 5. Đạo hàm cấp cao: 
Khi cần tính đạo hàm cấp (n): y(n) = f(n)(x), người ta sử dụng phương pháp tính quy nạp bằng ba bước cơ bản như sau: 
• Tính y’, y”, y’”... để dự đoán công thức của: y(n) = f(n)(x) (1) 
• Giả sử (1) đúng , tức là ta có: y1k ≥∀ (k) = f(k)(x) (2) 
• Lấy đạo hàm hai vế biểu thức (2) để chứng minh: 
y(k+1) = f(k+1)(x); đúng 1k ≥∀ 
Kết luận: Công thức (1) là đạo hàm cấp (n) cần tìm. 
 6. Ứng dụng của đạo hàm: 
• Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại một điểm f’(x0) nếu tồn tại hệ số góc của tiếp 
tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tại điểm đó: 
ϕ
M(x ,y )0 0
(h.1)
t
x
(C): y = f(x)( 0x' )ftgk =ϕ= (là ý nghĩa hình học của đạo hàm) 
• Nếu một hàm f có đạo hàm tại x0 thì hàm f liên tục tại điểm x0. 
• Nhưng một hàm f liên tục tại x0 thì chưa chắc có đạo hàm tại điểm x0. 
• Một hàm f không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm x0. 
• Giả sử hàm f : y = f(x) có đạo hàm y’=f’(x) trên D, ta có: 
) f là hàm hằng trên D ( ) )1(Dx;0x'f ∈∀=⇔ 
) f đồng biến trên D ( ) )2(Dx;0x'f ∈∀≥⇔ 
) f nghịch biến trên D ( ) )3(Dx;0x'f ∈∀≤⇔ 
Để ý trong (2) và (3), đạo hàm thể hiện một hàm số đơn điệu nghiêm cách (đồng biến hay nghịch biến) trong D có thể bằng không 
tại những giá trị rời rạc của biến số (xem h.2) nhưng không thể triệt tiêu trong một khoảng tùy ý của (xem h.3). ( ) D; ⊂βα
y
x
x0,1
f'(x )=00,1
f'(x )=00,2
x0,2 ba
B
(h.2)
A
0
C
D
y
α
f'(x )=0
x0 ( ; )
0,1
∀ ∈ α β
x0 βa b
(h.3)
A
0
C D
x
B
x0
a
b
f(b)
0
(C) : y = f(x)
y
x
x0
a
b
B
 ...  
IV. ĐƯỜNG CONG (Cm) TIẾP XÚC NHAU TẠI 1 ĐIỂM CỐ ĐỊNH: 
• Tìm điểm cố định M(x0,y0) của đường cong (Cm). 
• CM f’(x0) = hằng số ∀m ⇒ tiếp tuyến của (Cm) tại M cố định. 
Chú ý: 
1. Tìm M cố định nếu hệ A = B = 0 có nghiệm kép x0 ⇒ (Cm). 
2. CM đồ thị y = f(x,m) tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định. 
V. CHỨNG MINH (Cm) TIẾP XÚC VỚI 1, 2 ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH: 
Cho (Cm): y = f(x,m) và (d): y= g(x) = ax + b là đường thẳng cố định. 
• Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (d) là: f(x,m) = g(x) (*) 
• Điều kiện để (*) có nghiệm kép ∀m 
( )
( ) ( )
( ) ( )⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
==
=
=+∀=Δ
⇔
kx'gm,x'f
xgm.xf
0BAmdạngm,0
VI. CHỨNG MINH (Cm) TIẾP XÚC VỚI 1 ĐƯỜNG CONG CỐ ĐỊNH: 
 1. Cách 1: Phân tích 
( ) ( ) ( ) ⇒+±= 2baxxgm,xf Phương trình hoành độ giao điểm. 
f(x,m)=g(x) có nghiệm kép ⇒ y = g(x) là đường cong cố định phải tìm. 
 2. Cách 2: ( )
( )( ) ( )xg m Khửm theo hàmđạo0m,x'f
m,xfy
m
⇒⇒
⎩⎨
⎧
=
=
VII. CM 2 ĐỒ THỊ y = f(x) VÀ g(x) TIẾP XÚC NHAU TẠI 2 ĐIỂM CỐ ĐỊNH: 
• Phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) có bậc ≥ 4 và có 2 nghiệm kép x1 và x2 khác nhau. 
• Trường hợp bậc 4. 
BB1: Viết phương trình hoành độ giao điểm dưới dạng: f(x) - g(x) = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 212221 x,xxxxxaxgxf ⇒−−=−⇔ 
BB2: Hoặc đưa f(x) - g(x) = 0 về dạng: ( ) ( ) 0cbxaxxx 220 =++− 
Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép ≠ x0. 
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
33 
VIII. CHỨNG MINH HỌ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC MỘT PARABOL CỐ ĐỊNH: 
 1. Cách 1: Cho họ đường cong (Dm): y = f(x,m) 
• Gọi (P): y = g(x) = ax2 + bx + c là Parabol cố định cần tìm. 
• Phương trình hoành độ giao điểm của (Dm) và (P): f(x,m) = g(x) (*). 
• (Dm) tiếp xúc (P) ⇔ có nghiệm kép, ∀m ⇔ Δ = 0; ∀m (1). ⇔ Am2 + Bm + C = 0 ⇔ A = B = C = 0; ∀m. 
 2. Cách 2: Biến đổi hàm y = f(x,m) về dạng: f(x,m) = g(x) + (αx + m)2 với g(x) = ax2 + bx + c (P). 
Phương trình hoành độ giao điểm (Dm) và (P) là f(x,m) = g(x) ⇔ ((αx + m)2 = 0 ⇒ PT này có nghiệm kép nên (Dm) TX (P). 
 3. Cách 3: Xét hệ phương trình 
( )
( ) ( ) cbxaxy:P m Khử m,x'f
m.xfy 2
m
++=⇒⇒
⎩⎨
⎧ =
IX. ỨNG DỤNG CỦA ĐIỂM CỐ ĐỊNH HỌ ĐƯỜNG CONG: 
• Phụ trợ cho việc tìm nghiệm của phương trình bậc cao phần được đơn giản hơn: Bài toán điểm cố định của họ đường cong 
(Cm) nằm trên Ox. 
• Dựng đường thẳng chứa tham số trong mặt phẳng tọa độ: Bài toán biện luận quay - bằng đồ thị số nghiệm một phương trình. 
• Tìm tiếp tuyến cố định của họ đường cong (Cm): Bài toán tiếp tuyến cố định của (Cm) tại điểm cố định. 
• Điểm cố định của các đường cong trong Hình học giải tích: Bài toán cực trị và quỹ tích. 
• Khi có vô số điểm cố định của họ đường cong (Cm) sắp xếp, đệm đầy trên một đường cong (T) cố định, ta có: Bài toán bao 
hình của họ đường cong. 
X. BAO HÌNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG: 
• Định nghĩa: Bao hình của họ đường cong (Cm); ∀m ∈ Dm, là đường (Γ), mà tại mỗi điểm trên (Γ) thì chính (Γ) lại tiếp xúc với 
ít nhất một đường (C0) của họ đường cong (Cm). 
• Muốn tìm bao hình bằng phương pháp (PP1) của họ (Cm); ∀m ∈ Dm, ta thực hiện ba bước: 
BB1: Gọi (x0,y0) là những điểm mà (Cm) qua: y0 = fm(x0) ⇔ F(m) = 0; ∀x0 ∈ Df (1) 
BB2: Áp đặt (1) có nghiệm kép hay nghiệm bội y0 = g(x0); ∀x0 ∈ Df. 
BB3: Kết luận ( ) ( ) ( )⎩⎨
⎧
∈
=Γ
f0
m
Dx
C họcủa hình baolà xgy
: 
Ghi chú: 
• Để áp đặt F(m) = 0; ∀x0 ∈ Df; có nghiệm kép ta còn dùng đạo hàm (điều kiện tiếp xúc) như sau: 
 ( ) ( )( )⎩⎨
⎧
=
∈∀=
0m'F
Dx0;mF
:1PP f0
• Khi biết được dạng (Γ) (hay dự đoán được) ta còn hai phương pháp để tìm bao hình nữa là: 
) (PP3) Dạng (Γ) : y = g(x) (ta chỉ biết dạng của nó là hàm bậc nhất, bậc hai, bậc ba, bậc bốn, nhất biến hữu tỷ...) 
) Áp đặt phương trình hoành độ giao điểm: fm(x) = g(x) có nghiệm kép; ∀m ∈ Dm, để suy ra phương trình chính xác của 
(Γ) : y = g(x). Gọi là phương pháp kinh điển. 
) (PP4) Biết dạng (Γ) : y = g(x). Phân tích: fm(x) = [Gm(x)]2 + g(x). 
Lúc đó: fm(x) = g(x) ⇔ [Gm(x)]2 = 0 (có nghiệm kép) 
Nên: (Γ) : y = g(x) là bao hình cần tìm. Gọi là phương pháp phân tích đoán nhận. 
CHỦ ĐỀÀ 11: ĐỒ THỊ CÓ TÂM 
HOẶC TRỤC ĐỐI XỨNG 
I. TÂM ĐỐI XỨNG: 
Định nghĩa: Điểm I(x0;y0) gọi là tâm đối xứng của đồ thị (C) nếu: ( ) ( )
( )
( )⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
=
=⇔
∈∀=++−
0xf
0xf"
 chung nghiệm có chẵn bậc hàmĐạo
)1(Dx,y2xxfxxf
0
4
0
000
 1. Chứng minh I(x0;y0) là tâm đối xứng: 
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
34 
• Đổi trục bằng tịnh tiến theo vectơ ( ) ( ) (XfY2
yYy
xXx
y;xOI
0
0
00 =⇒⎩⎨
⎧
+=
+== ) 
• Chứng minh f(X) là hàm số lẻ. 
 2. Chú ý: 
• Chứng minh 1 điểm I(x0;y0) cho trước làm tâm đối xứng dùng (2). 
• Tìm tâm đối xứng chưa biết dùng (1). 
II. TRỤC ĐỐI XỨNG: 
Định nghĩa: Đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C) khi: 
( ) ( ) ( )
( )
( )
f x x f x x 10 0
f' x 00Đạo hàm 
f x 00
− = +
=
′′′ =
⎡⎢⎢ ⎧⎪⎢ ⎨⎢ ⎪⎩⎣
 1. Chứng minh x = x0 là trục đối xứng: 
• Đổi trục bằng tịnh tiến ( ) ( ) (XfY2
Yy
xXx
0;xOI 00 =⇒⎩⎨
⎧
=
+== ) 
• f(X) là hàm chẵn. 
 2. Chứng minh (d) có trục đối xứng x = 0 // Oy: 
• Gọi I(x0,0) ∈ x = x0, ( )XfOI ⇒ : hàm chẵn, hệ số bậc lẻ bằng 0. 
• (d): y = ax + b làm trục đối xứng của (C): y = f(x). 
Chọn (Δ) ⊥ (d). Tìm (Δ) ∩ (C). I là trung điểm AB ⇒ I ∈ (d). 
III. MỘT SỐ TÍNH CHẤT THƯỜNG GẶP: 
 Phương pháp dời trục tịnh tiến: ( )[ ] IXY OI:TT Oxy:OITT 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
f X f X ; d : x x : trục đối xứngx X x I x ; y 1 1 00 0 0
y Y y f X f X ; I x ; y : tâm đối xứngY f X0 2 2 0 0
− = == + ⇒ ⇒
= + − = −=
⎡⎧⎧⎪ ⎪ ⎢⎨ ⎨⎪ ⎢⎪⎩ ⎩ ⎣
 Chú ý: 
1. Hàm bậc 2: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− 0;
a2
bI . Trục đối xứng: 
a2
bx −= qua đỉnh ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−
a4
;
a2
bS 
2. Hàm bậc 3: Tâm đối xứng là điểm uốn ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
a3
bf;
a3
bI 
3. Hàm bậc 4: Hàm chẵn .0I ≡⇒
4. Hàm nhất biến: Tâm đối xứng ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
c
a;
c
dI giao điểm của TCĐ và TCN. 
5. Hàm hữu tỷ 
1
2
: ( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −− 2'a
'ab2b'a;
a
bI giao điểm của TCĐ và TCX. 
CHỦ ĐỀÀ 12: KHOẢNG CÁCH 
I. KHOẢNG CÁCH: 
1. Khoảng cách giữa 2 điểm A(xA,yA) và B(xB,yB) là B )( ) ( 2AB2AB yyxxAB −+−= 
2. Khoảng cách từ M(x0;y0) đến (Δ): Ax + By + C = 0 là: [ ] 22
00
,M
BA
CByAx
d +
++=Δ 
3. Trường hợp đồ thị có ΔABC: ( ) ( )AC,ABdet
2
1AC,ABsin.AC.AB
2
1dt ABC ==Δ 
Chú ý: 
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
35 
1. Tích khoảng cách từ 1 điểm di động trên đồ thị đến 2 đường tiệm cận không đổi. 
Tìm TCĐ (Δ1), TCX (Δ2). 
M(x0,y0) ∈ (C). Tính d1[M, (Δ1)] và d2[M, (Δ2)] ⇒ d1d2 = hằng số. 
2. Tổng các khoảng cách từ 1 điểm trên đồ thị đến 2 đường tiệm cận hoặc đến 2 trục tọa độ ngắn nhất dùng BĐT Côsi. 
3. Khoảng cách 2 điểm trên đồ thị ngắn nhất dùng BĐT Côsi. 
II. TÌM ĐIỂM NGUYÊN TRÊN (Cm): y = f(x): 
BB1: Gọi (x0;y0) là điểm mà (C) đi qua ⇔ y0 = f(x0) (1) 
BB2: Quan sát (1) để có các phân tích theo các loại hàm như sau: 
• Đối với hàm phân thức: ( ) ( )11dcx baxxfy ++== ;hay: ( ) ( 12dcx CBxAxxfy 2 + ++== ); ta sử dụng phép 
chia Horner để đưa (1) về dạng: 
dcx
xy : hoặc;
dcx
y
0
0
0
0 0 +
γ+β+α=+
γ+α= 
Áp đặt: Zy
c
d\Zx 00 ∈⇒⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧−∈ ; thì phải có: 
( ) ( )( )γγγ=+∧⎢⎣
⎡
∈β+α
∈α
 của số ướclà US với ;USdcx
Zx
Z
0
0
• Đối với hàm đa thức là giả phân thức (mẫu số là hằng): ( )1n2n021n01n000 a...xaxaxa1y +−− ++++α= 
Áp đặt: ( ) ZyZx;a...xaxaxa 001n2n021n01n00 ∈⇒∈∀α++++ +−− # 
BB
)
3: Tìm (x0;y0) để kết luận số điểm nguyên của (C). 
CHỦ ĐỀÀ 13: ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ (Cm) CẮT Ox LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG. TẬP HỢP 
I. y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (Cm): ( ) (*0yOxCm =⇔∩ 
(*) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng. 
( ) ( )
x x 2x1 3 2 Nếu (*) có 3 nghiệm m ? nhận
x mb 2 Nếu (*) có 1 nghiệm m ? loạix x x1 2 3 a
y' 0
y ,yCĐ CT hoặc f x f x 01 2
y " 0
b
f 0
3a
+ = ⇒ =⇒ ⇒ ⇒
⇒ =+ + = −
Δ =
∃ <
=
− =
⎡⎧ ⎡⎪⎢⎨ ⎢⎢ ⎣⎪⎢⎩⎢ ⎧⎢ ⎪⎢ ⎪⎧⎢ ⎪⎨ ⎨⎢⎩ ⎪⎢ ⎛ ⎞⎪⎢ ⎜ ⎟⎪⎢ ⎝ ⎠⎩⎣
II. y = f(x) = ax4 + bx2 + c (Cm): 
( ) (*0yOxCm =⇔∩ ) . Đặt t = x2 ≥ 0 thì: ( )
t 9t0 1 2
P 0 b2t x hệ t t m1 2S 0 a
ct 9t1 2 t t1 2 a
=Δ >
> − ⇒ + = − ⇒>
= =
⎧⎪⎧ ⎪⎪⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎪⎩
III. TÂPHỢP: Tìm tập hợp các điểm M di động (đỉnh Parabol, tâm đối xứng, điểm cực trị, trung điểm dây cung...) 
 1. QUỸ TÍCH MỘT ĐIỂM LƯU ĐỘNG TRONG KHẢO SÁT HÀM SỐ: 
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
36 
BB1: Xác định tọa độ 
( )
( ) ( ) Rm;1mgy
mgx
M
2M
1M ∈∀
⎩⎨
⎧
=
=
BB2: Khử tham số m trong (1) bằng phép thế, phép so sánh, phép cộng các phương trình thành phần để rút ra một phương trình hệ 
quả của (1) là: F(xM;yM); ∀m ∈ Dm. 
BB3: Giới hạn khoảng chạy của xM hay yM dựa vào Dm, lúc đó ta đã giới hạn cho quỹ tích. 
BB4: Kết luận quỹ tích là: 
• Cả đường cong (Γ): F(x;y) = 0 (nếu không có giới hạn của các khoảng chạy). 
• Một phần đường cong (Γ): F(x;y) = 0 (nếu đã bỏ đi các khoảng mà xM hay yM không chạy trên đó, do bước giới hạn quỹ tích 
mà có). 
Ghi chú: 
• Các dạng quỹ tích thường gặp 
Dạng 1: Quỹ tích trung điểm một dây cung lưu động trên (C): y = f(x). 
Dạng 2: Quỹ tích điểm uốn - điểm cực trị của (C): y = f(x). 
Dạng 3: Quỹ tích tâm đối xứng của (C): y = f(x). 
Dạng 4: Quỹ tích điểm liên hợp điều hòa với các điểm tương giao trên (C): y = f(x). 
Dạng 5: Các loại quỹ tích khác. 
• Đôi khi người ta còn tìm quỹ tích bằng định nghĩa như sau qua ba bước cơ bản: 
BB1: Lấy M(x0;y0) có tính chất p(1) ⇒ F(x0;y0) = 0. 
BB2: Giới hạn khoảng chạy nếu có. 
BB3: Kết luận quỹ tích là toàn bộ đường (Γ): F(x0;y0) hoặc một phần (Γ) nếu như có giới hạn. 
 2. ĐỊNH m ĐỂ M TỒN TẠI: 
(x,y được xác định) ⇒ Giới hạn quỹ tích. 
Chú ý: 
1. Nếu 
x c (không đổi) Quỹ tích M là đường x c // Oy.
M
y g(m) Giới hạn quỹ tích (nếu có).
= =⇒
=
⎧ ⎧⎨ ⎨⎩ ⎩
2. Nếu 
x f(m) Quỹ tích M là đường y c // Ox.
M
y c (không đổi) Giới hạn quỹ tích (nếu có).
= =⇒
=
⎧ ⎧⎨ ⎨⎩ ⎩
 3. QUỸ TÍCH TRUNG ĐIỂM DÂY CUNG: 
Nếu (d) cắt (C) tại 2 điểm A, B. Tọa độ trung điểm I của AB. 
x x bBAxI Khử m giữa x và y Quỹ tích I (giới hạn nếu có).2 2a
y PT của (d)
+= = − ⇒ ⇒
=
⎧⎪⎨⎪⎩
 4. QUỸ TÍCH CỰC TRỊ HÀM HỮU TỶ: 
( )
( )
Tiệm cận đứng x ?
u' x Khử tham số Quỹ tích0Tiệm cận xiên y 
v ' x0
=
⇒ ⇒=
⎫⎪⎬⎪⎭