Đề cương Toán 10 cuối năm

ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 
b) 
Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau:
m(m-6)x + m = -8x + m2 – 2
Bài 3: Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn phương trình:
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: |x| + |1-x| = m
HD: Điều kiện cần và đủ.
Bài 5: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
	3|x| + 2ax = 3a - 1
Bài 6: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
HD: 
Ycbt (1)& (2) mỗi pt có 2 nghiệm phân biệt nhưng không có no chung
 2 no phân biệt .
 G/s có nghiệm xo chung thì 
Bài 7: Biện luận số nghiệm của phương trình:
	|x - 2| + |x - 1| + |x| = m
Bài 8: Giải các phương trình sau:
|2 - |2 - x|| = 1
Bài 9: Tìm a để phương trình |2x2 – 3x - 2| = 5a – 8x - 2x2 có nghiệm duy nhất
Bài 10: Cho phương trình: (1+ m2)x2 – 2mx + 1 – m2 = 0 
CMR với mọi m > 1 phương trình luôn luôn có nghiệm.
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m.
HD: 
Bài 11: Cho phương trình: 
	Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m.
Bài 12: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 có đúng một nghiệm dương là x1. CMR phương trình cx2 + bx + a = 0 cũng có đúng một nghiệm dương gọi là x2.CMR x1 + x2 
Bài 13: Cho hai phương trình:
Với giá trị nào của a thì hai phương trình có nghiệm chung?
Với giá trị nào của a thì hai phương trình tương đương?
HD: a)Gọi xo là nghiệm chung 
Như vậy no chung nếu có thì bằng 1.Thay xo = 1 vào pt => a = -2.
Khi đó hai PT: 
 a = 1 hai PTVN.
b)Hai PT tương đương nếu mọi nghiệm của PT này là nghiệm của PT kia (loại theo ý a)) hoặc cùng vô nghiệm.
Bài 14: Cho phương trình: mx2 – 2(m + 1)x + 2m – 1 = 0 
Tìm m để phương trình có nghiệm
Khi phương trình có 2 no x1 & x2. Hãy tìm Min, Max của biểu thức 
P = 
Bài 15: Tìm Min, Max của hàm số y = 
Bài 16: Cho hàm số y = .Tìm p; q để Maxy = 9; Miny = -1.
Bài 17: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Bài 18: Giải và biện luận phương trình: 
Bài 19: Giải các phương trình vô tỷ sau:
a) 
b) 
c)
d) (x - 1)(x + 2) + 2(x - 1)
Bài 20: Cho phương trình: x2 + 4x – m = 0. Xác định m để phương trình:
Có nghiệm thuộc khoảng (-3; 1).
Có đúng một nghiệm thuộc (-3; 1).
Có hai nghiệm phân biệt thuộc (-3; 1).
Bài 21: Cho phương trình: x2 – 6x – 7 – m = 0. Xác định m để phương trình:
Có nghiệm thuộc D = 
Có đúng một nghiệm thuộc D.
Có hai nghiệm phân biệt thuộc D.
Bài 22:Cho phương trình .
Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập với tham số m.
Bài 23: Cho phương trình bậc hai: 
Xác định giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:
Bài 24: Cho hai phương trình bậc hai: 
CMR nếu hệ thức sau đây thỏa mãn thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm:
	.
BẤT ĐẲNG THỨC
I. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: 
Bài 1:Cho a + b + c 0. CMR:	 .
Hd: + + – 3abc = + – 3ab(a + b) – 3abc = (a + b + c)( + + – ab – bc – ca).
Bài 2: CMR a R thì 3(1 + + ) .
Hd: 3(1 + + ) – = 3[ – ] – 
= 3(1 + + a)(1 + – a) – 
Bài 3: CMR nếu a, b nếu a + b 2 thì + + .
Hd: [ + – ( + )] – [(a + b) – 2] = (a – 1) + (b – 1) – (a + b – 2) 
= [(a – 1) – (a – 1)] + [(b – 1) – (b – 1)] = ( + a + 1) + ( + b + 1) 0.
Bài 4: Cho a, b, c > 0. CMR: b + c + a bc + ca + ab.
Bài 5: Cho a, b, c, d > 0. CMR: + 
Bài 6: Cho a, b > 0. CMR:
a) Nếu ab 1 thì + .
b) Nếu ab < 1 thì + .
Bài 7: Cho a > c, b > c, c > 0. CMR: + 
Bài 8: Cho a + b 2. CMR: + + .
Hd: + = (a + b)( – ab + ) 2( – ab + )
Bài 9: a) a, b, c, d, e. CMR: 
 b) a, b, c. CMR: 
Hd: Chuyển vế phân tích thành tổng các bình phương.
Bài 10: Cho a, b, c, d > 0. CMR: 
II.BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN
Bài 1: CMR: nếu a 0, b 0 thì 3 + 7 9a.
	Hd: Ad BĐT cho 3 số dương 3, 4, 3
Bài 2: Cho a, b 0. CMR: 3 + 17 18a
Bài 3: Cho a, b, c > 0. CMR: (1 + )(1 + )(1 + ) 
Bài 4: Cho a, b, c 0. CMR: + + + + .	Hd: + 1 2
Bài 5: Cho a, b, c > 0. CMR: + + + + 
Bài 6: Cho a, b, c > 0. CMR: + + 
Bài 7: Cho a, b > 0. CMR: + + Hd: Cộng các phân số với 1, qui đồng.
Bài 8: Cho a, b, c > 0. CMR: + + 
Hd: ( + a) + ( + b) + (+ c)..
Bài 9: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. CMR: + + 
	Hd: Đặt . BĐT trở về bài 8
Bài 10: Cho a > 0 , b>0, c>0 và a + b + c = 3.CM: 
Bài 11: Cho a>1 và b>1 . CMR : a
Bài 12: Cho a > 0 , b > 0, và a + b + c = 1. CMR: 
Bài 13: Cho a > 0 , b >0, c > 0 CMR : 
	Hd: Ad BĐT : 
Bài 14: Cho a, b, c > 0 thỏa: + + 2. CMR: abc 
Hd: (1-) + (1- ) + 2. Tương tự, rồi nhân vế với vế
Bài 15: Cho a, b, c, d > 0 thỏa: + + + 3. CMR: abcd 
Tổng quát: Cho 0, i = 1, 2, ..., n, n 3, thỏa + ... + n – 1.CMR: ... .
Bài 16: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR: 
	Hd: a + 1 = a + (a + b + c) 
Tổng quát: Cho . CMR: 
Bài 17: Cho a, b, c, d > 0 . CMR: .
	Hd: 
Bài 18: Cho 0 a, b, c 1. CMR: + + + (1 – a)(1 – b)(1 – c) 1.
	Hd: ycbtVT + + 
	(1 – a)(1 – b)(1 – c) ( + + )
	(1 – a)(1 – b)(1 – c)(a+b+c) ( + + )
	Ad BĐT: (1 – a)(1 – b)(a+b+1)=> (1 – a)(1 – b)(1-c)c. Tương tự, phân tích .
Bài 19: Cho 0 a, b, c, d 1.
CMR: + + + + (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1-d) 1.
Bài 20: Cho 
III. ỨNG DỤNG CỦA BĐT TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN:
Bài 1: Tìm GTLN :
y = 	e) y = 
y = 	f) y = với 
y = với 0<x < 1 Hd:y = 3 +	g) y = (3-x)(4-y)(2x + 3y), 
y = 2x + với x > 0	 với x
Bài 2: Tìm GTNN của y
a) Cho a > 0, y = 	 b) Cho 
c) Cho 	 d)Cho 
Bài 3: Áp dụng BĐT: . Dấu “=” 
1. Với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, p: nửa chu vi
 + + 2( + + )	b) + + 6
2. Cho x, y > 0 & x +y . Tìm GTNN y = 
Hd: y = 
3. Cho x, y, z > 0 & x +y +z=1. Tìm GTNN y = 
Bài 4: BĐT về các cạnh trong tam giác
a)CMR: + + < 2(ab + bc + ca).	Hd: < 
b) CMR: + + > a + b + c.	Hd: Áp dụng kq ý a)
c) CMR: (a + b – c)(a – b + c)(b + c – a) < abc
d)CMR: b(a – b) + c(b – c) + a(c – a) 0 Hd: Đặt x = ; y = ; z = 
e) CMR: < 1.
VT===(a – b)(b – c)(c – a) <
f)Nếu a b c thì < 9bc
 g) + + 4p
	Hd: Đặt x = a + b – c , y = b + c – a , z = c + a – b . Ycbt 
 h)CMR: + + 4S + + + 
Hd: – + – + – 4S
 4(p – c)(p – b) + 4(p – a)(p – c) + 4(p – b)(p – a) 4S 
 (p – c)(p – b) + (p – a)(p – c) + (p – b)(p – a) (*)
Đặt p – a = x; p – b = y; p – c = z (x, y, z > 0) (*) 3xyz(x + y + z)
IV.BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA
1) CMR: a, b R: 3( + + 1) .
2) Cho a + b = 2. CMR + 2.
3) Cho x, y, z R, xy + yz + zx = 4. CMR: + + 
Hd: 3( + + ) 
4) Cho 2x + y 2. CMR: 2 + 
5) Giả sử phương trình + ax + b = 0 có nghiệm . CMR: 1 + + 
Hd: 
6) Nếu phương trình + a + b + ax + 1 = 0 có nghiệm thì: 5( + ) 4.
7) CM nếu là nghiệm PT: + a + bx + c = 0 thì: < 1 + + + 
8) Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca = abc. CMR: + + 
Hd: Đặt x = , y = , z = x + y + z = 1.ycbt: + + 
 ( + + )( + + ) hay (2x + y) (vì x, y > 0)
9) Với a, b, c > 0, + + 
CMR: + + 
10) CMR: + + + a + b , trong đó a, b > 0, a + b < 1.
11) Cho x y z. CMR: + + + + 
	Hd: ( + + )( + + ) ( + + )
	Mà T = + + - ( + + ) = 
	= 
12) Cho a, b, c > 0; abc = ab + bc + ca . CMR: + + < 
13) CMR: + + 
14) Tìm GTLN của: 
	a) ; 	 b) T = 2a + 3b với a, b thỏa mãn 
	c) y = 	d) y = 
15) Cho x, y, z thỏa . Tìm GTLN của P = x + y + z + xy + yz + zx.
16) Cho . Tìm GTLN của T = 
	Hd: T = =
17) Cho a, b > 0 thỏa . Tìm GTLN của T = . 
Hd: gt 2ab = (a + b)2 – 4 = (a + b -2) (a + b + 2) => 2T = a + b -2 -2
18) Cho các số thực x, y, z thỏa . Tìm Min, Max Q = xy + yz + zt + tx 
	Hd: Q = (xy + yz + zt + tx ) => MaxQ = 1 khi x = y = t = z = 
	 Mà Q = (x + z )(y + t) = - (y + t) => MinQ = 0 
19) CMR: (Hệ quả Bunhia)
20) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. CMR: 
	Hd: 
21) Tìm GTLN của hàm số: a) y = 
	 b) y = 
	Hd: a) Tìm GTLN nên chỉ xét x . y = 
22) Cho x, y > 0 & 	Hd: 
23) Cho a, b, c > 0 & ax + by = c. Tìm GTNN của A = 
	Hd: (a3 + b3)( )( ax + by)2 
24) Cho x, y, z > 0 & . Tìm GTNN của A = xyz; B = x + y + z; C = 
25) Tìm GTNN của hàm số y = + + + + + 
 	HD: + + & + + = 
26) Cho 3 số x, y, z > 0 & x(x - 1) + y(y -1) + z (z -1) . CMR: x + y + z 
	Hd: x(x - 1) + y(y -1) + z (z -1) . Ad Bunhia
27) CMR: ; 
28) G/s A + B + C + Bx + A = 0 (A 0) có nghiệm. CMR: + > 3
	Hd:A + B + C + B + A = 0 A( + ) + B( + ) + C = 0. (1)
Đặt + = X, đk 2. (1) A( – 2) + BX + C = 0 => A + BX + C – 2A = 0
 – = X + ; VT ( + 1) ( + 1)
 > = – 1 > 3
 + > 3
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt
Bài 1: Cho . Tìm GTNN của 	
Bài 2: Cho . Tìm GTNN của y = 
Bài 3: Tìm GTNN của 
Bài 4: Tìm GTLN và GTNN: 
Bài 5: Tìm GTNN của 
Bài 6: Cho , tìm GTLN của 	HD: Bunhia
Bài 7: Tìm GTLN & GTNN của 	HD: Ad Bunhia cho tử số 
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: GBPT 
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) |x- 2| > |x - 1| -3
h) 	g) 
i) | 5 - 4x | 2x – 1	k) |x2 – 2x + 8| >2x 
Bài 2: Giải và biện luận: 
a) 2(m-1)x + m(1-x) > 2m + 3	b) m2 – 4m + 3mx < m2x + 21
c) 	d) 
e) 	f) 2(m2 - 1)x < (3x +1)m +2
g) m( x- m ) 	h) 
i) bx + b bx + a2
	HD: h) Phân tích
Bài 3: GBPT
a) x + 	b) + 
c) + > 1	d) > x – 5
e) 0 & x <0 	f) – < 
g) < 21 + x	h) (5x + 2)(2 – x)(1 – 3x) 0.
i) 	k) 
Bài 4: Với giá trị nào của a thì hệ sau có đây nghiệm:
Bài 5: Tìm m để hệ bất phương trình (I) vô nghiệm 
HD: (m – )(x + m) < 0 (*) có nghiệm trong [– 1; 1] .
- Xét m 0 x > – m 
khi đó (*) có nghiệm trong [– 1; 1] – 1 < m < 0.
- Xét m = 0: (*) – < 0 x < 0 , có nghiệm trong [– 1; 1].
- Xét 0 0	=> nghiệm < x – 1.
- Xét m = 1: (*) (1 – x) < 0 vô nghiệm trong [– 1; 1].
- Xét m > 1: Trong [– 1: 1] thì m – > 0, m + x > 0 (*) vô nghiệm.
Bài 6: Tìm m để HBPT sau có nghiệm: 
HD:
Bài 7: Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a) x
b) < x – m
c) – > 
Bài 8: 	Xét dấu các biểu thức sau: 
f(x) = 
f(x) = 
f(x) = 
Bài 9: Cho tam thức: f(x) = 
Xác định m để 
 Xác định m để 
Bài 10: Tìm m để bất phương trình: luôn luôn vô nghiệm
Bài 11: Với giá trị nào của m thì biểu thức sau luôn xác định 
PHƯƠNG TRÌNH-BPT VÔ TỈ
Bài 1: a) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
	b) Giải & biện luận: 
Bài 2: GPT:
 (Nhân liên hợp)
 (Đặt ẩn phụ)
Bài 3: GPT:
	HD: Đặt y = . Đưa về hệ PT đối xứng loại II
	HD: Đặt Đưa về hệ PT đối xứng loại II
	HD: Đặt y = 
Bài 4:Tìm a để phương trình sau có nghiệm:
	a) 
 b) 
HD: b) Đặt ẩn phụ u, v ta có: TH: a = 0; TH: a Đk:
Bài 5: GPT:
 b) 
Bài 6: GPT:
Bài 7: GPT: 
 HD: Đặt 
Bài 8: GPT:
Bài 9:(Ad BĐT, TGT,)
	*Bunhia:
* CauChy:
 (Côsi từng số với số 1)
* TGT: 
cosx = 
Bài 10:GBPT:
Bài 11: GBPT:
 a) 	HD: Nhân liên hợp tử
 b) c) 
 d) e) 
Bài 12: GBPT: 
	HD: t = 
	HD: Bình phương, đặt ẩn phụ, đưa về PT bậc 2
	HD: t = 
	HD: Bình phương, t = 
Bài 13: GBPT:
	HD: Cm x>0 là nghiệm (dựa vào tính đồng biến)
HD: ĐK: 	PT
TH: 
TH: ,VN
TH: luôn đúng
Bài 14: Giải & biện luận:
Bài 15: GBPT:
Bài 16: GPT:
	HD: x = sint , 
	HD: y = , đưa về hệ đối xứng loại II
HD: = 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Bài 1: GHPT VÔ TỈ
	HD: Nhân PT (1) với , bình phương (2), trừ 2 PT
	HD: Đặt 
	HD:Cộng, ... D: x = cost, y = cosz, 
	HD: x = cost, 
	HD: |x| là no , |x|<1 đặt x = cost, 
 HD: x = cos2t
Bổ sung về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
1) GPT
a) = 4
b) = + x + 1
c) = – 2x + 8
2) Giải và biện luận phương trình:
a) = – + x + 2
b) = 
3) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt: = – 3x + m + 1.
4) GPT: 
a) = x
b) = 
c) 2 + = 30
d) + = 3
5) GPT: 
a) – + 1 = 0
b) + = 2
6) Giải PT: 
a) – = – . (1)
HD:đk: x , x 1.
(1) – = – (2) Xét hàm f(x) = – xác định trên miền R \ {0}.
f ’(x) = + > 0 x hàm đồng biến. (2) = = 
b) – = – + 
Bổ sung về phương trình vô tỉ
1) + = 
2) + + = 2 (1)
HD:Đặt u = ;v = ;w = 
Ta có 
	3) + + = 0	HD: VP luôn đồng biến
4) + = + (1)
HD: = ; = 
 x = 2.
GIẢI PT_BPT_HỆ PT_HBPT BẰNG PP HÀM SỐ
Bài 1: GPT: 
HD: ĐK: ; đồng biến trên ,no duy nhất x = -1
Bài 2: (ĐHNT TPHCM 97) GPT : 	
HD: 
	Bài 3: GBPT: 
	HD: ĐK: , VT đồng biến, f(3) = 8
	Bài 4: GPT:	
	HD: , kẻ bảng biến thiên Maxf(x) = 2
	Bài 5: Tìm m để PT: có nghiệm
	HD: Lập bảng biến thiên của vế trái
	Bài 6: Tìm a để BPT có nghiệm 
	HD: 
	 Bảng biến thiên, chú ý tính 
	Bài 7: Tìm m để PT: có nghiệm
	Bài 8: Biện luận theo số nghiệm của PT: 
	HD: 	 = 16 , lập bảng biến thiên
	Bài 9: Cho BPT: 
	Tìm a để BPT có nghiệm 
	HD: 
	Bài 10: Tìm m để BPT có nghiệm đúng 
	Bài 11: Tìm m để BPT có nghiệm.
HD: có nghiệm t
	Bài 12: (GTVT 97)
	Tìm m để đúng 
Bài 13: GBPT: 
	HD: đồng biến , 
Bài 14: Xác định m để các bất phương trình sau có nghiệm.
	a) 
	b) 
Bài 15: Tìm m để PT sau có nghiệm: 
HD: 
(Vô no), đồng biến, 
Kl: -1<m<1 thì pt có nghiệm
PHẦN LƯỢNG GIÁC
 Loại 1: | BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG
 Loại 2: | BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH
 Loại 3: | TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Bieát moät haøm soá löôïng giaùc, tính caùc haøm soá löôïng giaùc coøn laïi:
 Bài 4
Cho 
Cho 
Cho 
Cho 
Cho 
Cho 
Cho 
Cho 
Cho 
Cho 
Cho 
Cho 
Cho 
 Loại 4: |ĐƠN GIẢN MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
 Loại 5: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
 Chứng minh
 Chứng minh
Chứng minh
Chứng minh
 Bài 5 . Chứng minh rằng : 
 Loại 6: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
 Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau : 
 ( tiếp theo Loại 5- Trang 8)
Chứng minh vuông nếu: 
Chứng minh cân nếu:
Chứng minh đều nếu:
Chứng minh cân hoặc vuông nếu:
Hãy nhận dạng biết:
Ôn tập tổng hợp
C©u 1: 
1.1:Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh vµ bÊt ph­¬ng tr×nh sau:
a) b) c) .
d) e).
1.2: Gi¶i hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh sau:	
a. b. 
1.3: X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:
a. b. c.
1.4: X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh sau v« nghiÖm:
a. b. c. 
1.5: Mét xÝ nghiÖp gia c«ng ®å mÜ nghÖ s¶n xuÊt 2 lo¹i s¶n phÈm A vµ B. Muèn s¶n xu©t ra mét s¶n phÈm lo¹i A ph¶i cÇn30kg nguyªn liÖu vµ lµm viÖc trong 2h. Muèn s¶n xuÊt ra s¶n phÈm lo¹i B ph¶i cÇn 40kg nguyªn liÖu vµ lµm viÖc trong thêi gian lµ 1h. Trong mét ngµy xÝ nghiÖp lµm viÖc 11h vµ chØ mua ®­îc 240 kg nguyªn liÖu. Hái trong mét ngµy ph¶i s¶n xuÊt mçi lo¹i bao nhiªu s¶n phÈm ®Ó cã lîi nhuËn cao nhÊt, biÕt r»ng mçi s¶n phÈm lo¹i A lêi 100ngh×n ®ång, mçi s¶n phÈm lo¹i B lêi 120ngh×n ®ång.
1.6: V­ên trång c©y cµ phª cña b¸c Thu cã 10000 c©y, ®Õn mïa t­íi n­íc b¸c ph¶i dïng hai m¸y b¬m. M¸y 1 trong 1giê t­íi ®­îc 50 c©y vµ ph¶i tèn 2,2 lÝt nhiªn liÖu. M¸y 2 trong 1giê t­íi ®­îc 60 c©y vµ ph¶i tèn 2 lÝt nhiªn liÖu. Hái trong mét ngµy ph¶i cho sö dông mçi m¸y trong thêi gian bao l©u ®Ó ttiÕt kiÖm ®­îc tæng chi phÝ mµ vÉn ®¶m b¶o t­íi ®­îc hÕt v­ên cµ phª trong vßng 10 ngµy? BiÕt r»ng trong mét ngµy m¸y 1 ch¹y tèi ®a 15 giê, m¸y 2 ch¹y tèi ®a 9 giê, sè nhiªn liÖu tèi thiÓu dïng cho hai m¸y lµ 35 lÝt dÇu vµ tæng chi phÝ trung b×nh ( ngoµi nhiªn liÖu) cho mçi m¸y trong mét giê lµ 30000 ®ång.
1.7: Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh vµ bÊt ph­¬ng tr×nh sau:
a.
b.
c..
d.
 C©u 2: 
2.1: §iÒu tra 15 líp 10 cña mét tr­êng trung häc phå th«ng t¹i Thµnh phè S¬n T©y vÒ sè häc sinh cã m¸y vi tÝnh ë nhµ, ng­êi ta thu ®­îc sè liÖu sau;
10; 5; 7; 15; 2; 15; 6; 3; 10; 12; 14; 18; 8; 3; 9.
T×m sè trung b×nh vµ sè trung vÞ.
TÝnh ph­¬ng sai vµ ®é lÖch chuÈn.
2.2: KÕt qu¶ ®iÓm thi cña häc sinh ViÖt Nam trong hai k× thi olympic to¸n quèc tÕ IMO 2003 JAPAN vµ IMO 2004 Hellas nh­ sau:
§iÓm sè (2003)
§iÓm sè (2004)
42
37
42
36
26
35
23
35
21
27
18
26
T×m ®iÓm trung b×nh cña mçi häc sinh trong tõng n¨m 2003, 2004.
T×m ph­¬ng sai vµ ®é lÖch chuÈn. So s¸nh c¸c kÕt qu¶ cña 2 n¨m 2003,2004 vµ nªu nhËn xÐt vÒ ®é ph©n t¸n cña c¸c con ®iÓm.
2.3: §iÒu tra 42 häc sinh cña mét líp 10 vÒ sè giê tù häc ë nhµ, ng­êi ta cã b¶ng tæng sè sau:
Líp ( sè giê tù häc)
TÇn sè
[1;2)
8
[2;3)
10
[3;4)
12
[4;5)
9
[5;6)
3
N=42
T×m sè trung b×nh.
T×m mèt; sè trung vÞ thuéc ®o¹n nµo.
T×m ph­¬ng sai vµ ®é lÖch chuÈn vµ nªu ý nghÜa.
C©u 3: L­îng gi¸c
3.1 a) Cho víi . T×m c¸c gi¸ trÞ l­îng gi¸c cßn l¹i.
 b) Cho víi . T×m c¸c gi¸ trÞ l­îng gi¸c cßn l¹i.
 c) BiÕt víi . T×m c¸c gi¸ trÞ l­îng gi¸c cßn l¹i.
 d) BiÕt víi . T×m c¸c gi¸ trÞ l­îng gi¸c cßn l¹i.
3.2: Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
a) .
b) 
c) 
d) 
e) .
f) .
g) .
h) 
i) 
k) 
3.3: Rót gän biÓu thøc sau:
a) 
b) 
c) .
d) 
e) 
3.4: Cho c¸c gãc tho¶ m·n . Chøng minh r»ng 
3.5: Chøng minh r»ng víi mäi tam gi¸c ABC ta lu«n cã:
a..
b..
ÔN HÌNH HỌC
Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ cho các điểm A(-1; 0), B(3; 0). Tìm điểm C sao cho ABC có góc 
Bài 2: ABC có AB = 2; AC = 2., 
Tính cạnh BC
Tính trung tuyến AM
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC
Bài 3: Trong mp tọa độ cho hai điểm A(-1; 1), B(2; 4).
Tìm C trên trục Ox sao cho ABC vuông tại B
Tìm điểm D sao cho ABD vuông tại A
Bài 4: Cho ABC có AB = 13; BC = 14; CA = 15.
Tính diện tích S của tam giác 
Tính đường cao AH của tam giác
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC
Bài 5: Các cạnh ABC thỏa mãn : . CMR: Các góc của ABC đều nhọn và ta có đẳng thức 
HD: Từ gt a là cạnh lớn nhất. Xét TH ; TH: .
Bài 6:CMR Nếu ABC thỏa mãn hệ thức thì ABC vuông?
HD: Áp dụng CT Hêrông & a + b – c = 2(p - c); (a – b + c) = 2(p – b)
Bài 7: ABC có các góc đều nhọn. CMR: asinA, bsinB, csinC là các cạnh của một tam giác?
HD: Do vai trò bình đẳng nên ta chỉ cần cm: asinA 0 => .
Bài 8: Tìm độ dài đường phân giác trong AD của ABC biết A = 1200 , b = 3, c = b.
Bài 9: ChoABC biết A : B : C = 3 : 4 : 5. Tính a: b: c
HD: = t
Bài 10:
 a) thì ABC vuông
b) S = p(p – a) thì ABC vuông
 thì ABC đều
Bài 11: Cho ABC cân, AB = BC = 5, AC = 6, DAB & AD = 3, EAC và AE = 2
Tính diện tích ABC, BCE
BE cắt CD tại F. CMR: F là trung điểm BE
Tính diện tích BCF
Bài 12: Cho ABC thỏa mãn . CMR: C = 600 hoặc C = 1200
HD: Giải phương trình bậc hai ẩn c2 
Bài 13: Cho ABC. CMR: 
HD: a) Áp dụng b + c > a => (b + c)a > a2
 b) Áp dụng Cosi.
Bài 14:Cho ABC có BM & CN là các đường trung tuyến. CMR: Các điều kiện sau là tương đương với nhau
cotA = 2(cotB + cotC)
Bµi tËp vÒ ®­êng th¼ng.
Bµi 1: ViÕt ph­¬ng tr×nh cña ®­êng th¼ng trong mçi tr­êng hîp sau:
a) §i qua ®iÓm M(-2,-4) vµ c¾t trôc Ox, Oy lÇn l­ît t¹i A vµ B sao cho tam gi¸c OAB lµ tam gi¸c vu«ng c©n.
b) C¾t trôc Ox, Oy lÇn l­ît t¹i A vµ B sao cho tam gi¸c ABM lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i ®Ønh M(2,3).
c) §i qua ®iÓm M(5,-3) vµ c¾t trôc Ox, Oy lÇn l­ît t¹i A vµ B sao cho M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB.
Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC víi A(4,5), B(-6,-1), C(1,1).
a) ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c ®­êng cao cña tam gi¸c ®ã.
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c ®­êng trung tuyÕn cña tam gi¸c ®ã.
Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè vµ ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña c¸c ®­êng th¼ng trong mçi tr­êng hîp sau: 
a) §­êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(1,-4) vµ cã vÐct¬ chØ ph­¬ng .
b) §­êng th¼ng ®i qua gèc to¹ ®é vµ cã vÐct¬ chØ ph­¬ng .
c) §­êng th¼ng ®i qua ®iÓm I(0,3) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t .
d) §­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A(1,5) vµ B(-2,9).
Bµi 4: Cho ®­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh tham sè: 
a) T×m ®iÓm M n»m trªn ®­êng th¼ng ®ã vµ c¸ch ®iÓm A(0,1) mét kho¶ng b»ng 5.
b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng ®ã víi ®­êng th¼ng .
Bµi 5: ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua M(2,5) vµ c¸ch ®Òu hai ®iÓm P(-1,2) vµ Q(5,4).
Bµi 6: ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng vµ vµ tho¶ m·n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y:
a) §i qua ®iÓm (2,0).
b) vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng .
c) Cã vÐct¬ chØ ph­¬ng lµ .
Bµi 7: TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M(4,-5) ®Ðn c¸c ®­êng th¼ng sau ®©y:
a) . b) .
Bµi 8: Cho ®iÓm M(2,5) vµ ®­êng th¼ng .
a) T×m to¹ ®é ®iÓm M' ®èi xøng víi M qua .
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®èi xøng víi qua M.
Bµi 9: Cho ®­êng th¼ng vµ hai ®iÓm O(0,0), A(2,0).
a) Chøng minh r»ng hai ®iÓm A vµ O n»m vÒ cïng mét phÝa ®èi víi ®­êng th¼ng .
b) T×m ®iÓm ®èi xøng cña O qua .
c) Trªn , t×m ®iÓm M sao cho ®é dµi ®­êng gÊp khóc OMA ng¾n nhÊt.
Bµi 10: Mét h×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh n»m trªn hai ®­êng th¼ng vµ . T©m cña h×nh b×nh hµnh lµ ®iÓm I(3,5). ViÕt ph­¬ng tr×nh hai c¹nh cßn l¹i cña h×nh b×nh hµnh ®ã.
Bµi tËp vÒ ®­êng trßn:
Bµi 1: X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn:
a) b) 
c) d) .
Bµi 2: Cho ph­¬ng tr×nh (*)
X¸c ®Þnh m ®Ó (*) lµ ph­¬ng tr×nh cña mét ®­êng trßn.
Chøng minh t©m c¸c ®­êng trßn nµy di ®éng trªn mét ®o¹n th¼ng khi m thay ®æi.
ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn (*) biÕt nã cã b¸n kÝnh b»ng 1.
T×m b¸n kÝnh ®­êng trßn (*) biÕt nã tiÕp xóc víi .
Bµi 3: Cho ®­êng trßn (C): .
T×m t©m vµ b¸n kÝnh cña (C).
Cho A(3; -1). Chøng minh r»ng A lµ ®iÓm ë trong ®­êng trßn. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d qua A vµ c¾t (C) theo mét d©y cung cã ®é dµi nhá nhÊt.
Cho, chøng minh d’ c¾t (C) t¹i M, N. TÝnh ®é dµi d©y cung.
ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn ®i qua M, N, P víi P(-1, 2).
Bµi 4: ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn trong mçi tr­êng hîp sau:
§­êng kÝnh AB víi 
Cã t©m I(1, -2) vµ tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng 
Cã b¸n kÝnh R= 5, t©m thuéc Ox vµ ®i qua ®iÓm A(2, 4).
Cã t©m I(2, -1) vµ tiÕp xóc ngoµi víi ®­êng trßn .
TiÕp xóc víi hai trôc vµ cã t©m n»m trªn ®­êng th¼ng 
§i qua 3 ®iÓm A(-2, -1); B(-1, 4); C(4, 3).
§i qua 2 ®iÓm A(0, 2); B(-1, 1) vµ cã t©m trªn ®­êng th¼ng 
§i qua A(5,3) vµ tiÕp xóc ®­êng th¼ng t¹i ®iÓm T(1,-1).
Bµi 5: ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn 
C¸c bµi tËp ®· ch÷a.
Bµi tËp vÒ ®­êng elip:
Bµi 1: LËp ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip:
(E) cã ®é dµi hai trôc lÇn l­ît lµ 8 vµ 6.
(E) cã mét ®Ønh lµ (5, 0) vµ tiªu cù lµ 6.
(E) cã mét ®Ønh lµ (0, 3) vµ ®i qua ®iÓm M(4, 1).
(E) ®i qua hai ®iÓm vµ .
(E) cã tiªu ®iÓm vµ qua ®iÓm .
Tiªu cù lµ 4 vµ kho¶ng c¸ch tõ mét ®Ønh ®Õn tiªu ®iÓm lµ 5.
(E) cã tiªu ®iÓm vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®Ønh lµ 9.
(E) cã tiªu cù b»ng 6, t©m sai .
Ph­¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt c¬ së lµ .
Bµi 2: Cho elip (E) .
T×m trªn (E) ®iÓm M cã hoµnh ®é b»ng 2.
T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (E) vµ ®­êng th¼ng .
T×m trªn (E) ®iÓm M sao cho gãc .
T×m trªn (E) ®iÓm M sao cho .
T×m trªn (E) ®iÓm M sao cho .
T×m trªn (E) ®iÓm M cã tung ®é b»ng .
T×m trªn (E) ®iÓm M cã tung ®é gÊp ®«i hoµnh ®é.
T×m trªn (E) ®iÓm M c¸ch t©m O mét kho¶ng lµ .