Chuyên đề Hình 10: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng---------------------------------------------------- Created by NguyÔn V¨n Rin 
----------------------------------------------------Page 1-------------------------------------------------------- 
Vinh quang nhÊt kh«ng ph¶i lµ kh«ng bao giê ng· mµ lµ biÕt ®øng dËy sau mçi lÇn ng·. 
. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 Véctơ pháp tuyến (VTPT) của một đường thẳng là vectơ khác 0

 và có giá 
vuông góc với đường thẳng. 
 Phương trình tổng quát của đường thẳng: đi qua điểm 0 0( , )I x y và có VTPT 
( , )n a b

là: 
0 0( ) ( ) 0a x x b y y   
2 2
0 0( ) ( ) 0 a 0,   0a x x b y y x by c a b          . 
 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: đi qua hai điểm 
( ;0)A a , (0; )B b ( , 0a b  ) là 1
x y
a b
  . 
 Phương trình đường thẳng theo hệ số góc: đi qua điểm 0 0( , )I x y và có hệ số 
góc tan( , )k Ox Ot là 0 0( )y y k x x y kx m      . 
 Vị trí tương đối của hai đường thẳng: 
1 1 1 1:   0a x b y c    và 2 2 2 2:   0a x b y c    . 
Nếu 2 2 2, , 0a b c  thì: 
 1 cắt 2 
1 1
2 2
a b
a b
  . 
 1 1 11 2
2 2 2
a b c
a b c
     . 
 1 1 11 2
2 2 2
a b c
a b c
      . 
 Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng là vectơ khác 0

 và có giá song 
song hoặc trùng với đường thẳng. 
 Phương trình tham số của đường thẳng: đi qua điểm 0 0( , )I x y và có VTCP 
( ; )u a b

 là: 0 2 2
0
   ( 0)
x x at
a b
y y bt
 
 
 
. 
 Phương trình chính tắc của đường thẳng: đi qua điểm 0 0( , )I x y và có VTCP 
( ; )u a b

 là: 0 0  , ( , 0)
x x y y
a b
a b
 
  . 
Created by NguyÔn V¨n Rin----------------------------------------------------Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng 
 --------------------------------------------------Page 2------------------------------------------------------ 
Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ 
hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt. 
B. PHÂN DẠNG TOÁN 
 Dạng : Lập phương trình đường thẳng 
a. Dạng phương trình tổng quát: 
. Cách 1 
    Tìm một điểm 0 0( , )I x y thuộc đường thẳng. 
    Tìm một VTPT ( , )n a b

 của đường thẳng. 
    Khi đó, phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm 0 0( , )I x y và có 
VTPT ( , )n a b

là: 
0 0( ) ( ) 0a x x b y y   
2 2
0 0( ) ( ) 0 a 0,   0a x x b y y x by c a b          . 
. Cách 2: 
  Tìm một VTPT ( , )n a b

 của đường thẳng. 
  Giả sử đường thẳng đã cho có dạng 2 20,  (a 0)ax by c b     . 
  Đường thẳng đi qua điểm I nên thế vào phương trình trên tìm được c. 
Đặc biệt, giả sử đường thẳng d có phương trình : 0d ax by c   . 
Khi đó, 
 Nếu 'd d thì 'd có phương trình: ' : ' 0,   'd ax by c c c    . 
 Nếu ''d d thì ''d có phương trình: '' : '' 0d bx ay c   . 
b. Dạngphương trình tham số, chính tắc: 
  Tìm một điểm 0 0( , )I x y thuộc đường thẳng. 
  Tìm một VTCP ( ; )u a b

 của đường thẳng. 
  Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm 0 0( , )I x y và có 
VTCP ( ; )u a b

 là: 0 2 2
0
   ( 0)
x x at
a b
y y bt
 
 
 
. 
  Nếu , 0a b  thì phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm 
0 0( , )I x y và có VTCP ( ; )u a b

 là: 0 0
x x y y
a b
 
 . 
Đặc biệt, 
 d đi qua hai điểm ( , ),   ( , )A A B BA x y B x y thì có VTCP 
( ; )B A B Au AB x x y y   
 
. 
 Giả sử đường thẳng d có phương trình : 0d ax by c   . 
Khi đó, 'd d thì 'd có VTCP ' ( , )u a b

. 
 ''d d thì ''d có VTCP ''( , )u b a

 hoặc ''( , )u b a

. 
 d có hệ số góc k thì d có VTCP (1; )u k

. 
. Chú ý: 
 Đường thẳng cắt 2 trục tọa độ thì chọn dạng phương trình đoạn chắn. 
Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng---------------------------------------------------- Created by NguyÔn V¨n Rin 
----------------------------------------------------Page 3-------------------------------------------------------- 
Vinh quang nhÊt kh«ng ph¶i lµ kh«ng bao giê ng· mµ lµ biÕt ®øng dËy sau mçi lÇn ng·. 
 Nếu đường thẳng d có VTPT ( , )n a b

thì đường thẳng d có VTCP 
( , )u b a

hoặc ( , )u b a

. 
Ngược lại, nếu đường thẳng d có VTCP ( , )u a b

thì đường thẳng d có VTPT 
( , )n b a

hoặc ( , )n b a

. 
 Có vô số VTCP (VTPT) và chúng cùng phương với nhau nên ta có thể chọn 
tọa độ tỉ lệ và thỏa điều kiện vectơ khác 0

. 
1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng biết d: 
a. Đi qua (1;2)M và có VTPT ( 2;1)n 

. 
b. Đi qua (2; 3)M  và có VTCP (4;6)u

. 
c. Đi qua (2;0)A và (0; 3)B  . 
d. Đi qua ( 5; 8)M   và có hệ số góc 3k   . 
2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d: 
a. Đi qua ( 1; 4)M   và song song với đường thẳng ' : 3 5 2 0d x y   . 
b. Đi qua (1;1)N và vuông góc với đường thẳng 2 3 7 0x y   . 
3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d: 
a. Đi qua hai điểm (2;1)A và ( 4;5)B  . 
b. 
3 5
2
x t
y t
  

 
 c. 
5 1
2 7
x y 


. 
4. Lập phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng d: 
a. Đi qua điểm (2;1)M và có VTCP (3; 2)u  

. 
b. Đi qua điểm (1; 2)M  và có VTPT ( 5;3)n 

. 
c. Đi qua điểm (3;2)M và có hệ số góc 2k   . 
d. Đi qua điểm (3;4)A và (4;2)B . 
5. Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng: 
a. : 2 3 6 0d x y   . b. : 4 5d y x  . 
c. : 3d x  d. 
2 1
:
5 3
x y
d
 


. 
6. Cho hai điểm (4;0)P và (0; 2)Q  . Viết phương trình tổng quát của đường 
thẳng: 
a. Đi qua điểm (3;2)R và song song với đường thẳng PQ. 
b. Trung trực của PQ. 
7. Cho điểm ( 5;2)A  và đường thẳng 
2 3
:
1 2
x y
d
 


. 
Viết phương trình đường thẳng d’: 
a. Qua A và song song với d. 
b. Qua A và vuông góc với d. 
Created by NguyÔn V¨n Rin----------------------------------------------------Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng 
 --------------------------------------------------Page 4------------------------------------------------------ 
Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ 
hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt. 
8. Viết phương trình các đường trung trực của ABC biết ( 1;1)M  , (1;9)N , 
(9;1)P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. 
9. Một đường thẳng d đi qua điểm (5; 3)M  cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B 
sao cho M là trung điểm của AB. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng 
d. 
10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua (2;5)M và cách đều hai điểm 
( 1;2)P  và (5;4)Q . (HD: Xét 2TH d song song và không song song với đường 
thẳng PQ) 
11. Cho đường thẳng 1 : 2 2 0d x y   ; 2 : 2 0d x y   và điểm (3;0)M . Viết 
phương trình đường thẳng  đi qua M, cắt 1 2,d d lần lượt tại điểm A và B sao 
cho M là trung điểm của AB. 
12. Lập phương trình đường thẳng  đi qua (2;3)Q và cắt tia Ox, Oy tại hai 
điểm M, N khác O sao cho OM ON nhỏ nhất. 
Dạng : Vị trí tương đối, tương giao của hai đường thẳng: 
 Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 1 1 1:   0a x b y c    và 
2 2 2 2:   0a x b y c    ta xét số nghiệm của hệ phương trình: 
1 1 1
2 2 2
0
 (I)
0
a x b y c
a x b y c
  

  
. 
Nếu hệ (I) có một nghiệm thì 1 cắt 2 . 
Nếu hệ (I) vô nghiệm thì 1 2  . 
Nếu hệ (I) có vô số nghiệm thì 1 2   . 
Đặc biệt, Nếu 2 2 2 0a b c  thì: 
 1 cắt 2 
1 1
2 2
a b
a b
  . 
 1 1 11 2
2 2 2
a b c
a b c
     . 
 1 1 11 2
2 2 2
a b c
a b c
      . 
 Để tìm giao điểm của 2 đường thẳng 1 , 2 ta giải hệ phương trình (I). 
 Hai đường thẳng 1 21 2
1 2
. 0
. 0
n n
u u
 
    

 
  . 
 Ba đường thẳng 1 2 3, ,d d d đồng quy khi và chỉ khi giao điểm A của 1 2,d d 
thuộc đường thẳng 3d . 
Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng---------------------------------------------------- Created by NguyÔn V¨n Rin 
----------------------------------------------------Page 5-------------------------------------------------------- 
Vinh quang nhÊt kh«ng ph¶i lµ kh«ng bao giê ng· mµ lµ biÕt ®øng dËy sau mçi lÇn ng·. 
13. Xét vị trí tương đối và tìm giao điểm nếu có của 2 đường thẳng: 
a. : 2 5 3 0d x y   và ' : 5 2 3 0d x y   . 
b. : 3 4 0d x y   và 
1 3
' : 4 0
2 2
d x y   . 
c. :10 2 3 0d x y   và 
3
' : 5 0
2
d x y   . 
14. Xét vị trí tương đối và tìm giao điểm nếu có của 2 đường thẳng: 
a. 
1 5
:
2 4
x t
d
y t
  

 
 và 
6 5 '
' :
2 4 '
x t
d
y t
  

 
. 
b. 
1 4
:
2 2
x t
d
y t
 

 
 và ' : 2 4 10 0d x y   . 
c. 
2
:
2 2
x t
d
y t
  

 
 và 
3
' :
1 2
x y
d



. 
15. Biện luận theo tham số m vị trí tương đối của hai đường thẳng: 
: 2 0d mx y   và ' : 1 0d x my m    . 
16. Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc: 
1 : 8 0mx y    và 2 : 0x y m    . 
17. Tìm m để ba đường thẳng sau đây đồng quy: 
1 : 2 4 0d x y   ; 2 : 5 2 3 0d x y   và 3 : 3 2 0d mx y   . 
18. Cho đường thẳng 
2 3
:
x t
d
y t
 


 và (2;1)B . 
a. Tìm giao điểm của d với hai trục Ox, Oy. 
b. Tìm trên d điểm M sao cho đoạn BM ngắn nhất. 
19. Cho hai đường thẳng 1
3 2
:
4
x t
d
y t
 

  
 và 2
'
:
10 '
x t
d
y t


  
. 
a. Viết phương trình tổng quát của 1 2,  d d . 
b. Tìm giao điểm của 1 2,  d d . 
20. Cho đường thẳng 
2 2
:
3
x t
d
y t
 

 
. 
a. Tìm điểm M trên d và cách điểm (0;1)A một khoảng bằng 5. 
b. Tìm tọa độ giao điểm của d với đường thẳng 1 0x y   . 
21. Cho hai đường thẳng: 
1 : ( 1) 2 1 0m x y m      và 
2
2 : ( 1) 0x m y m     . 
a. Tìm giao điểm I của 1 và 2 . 
b. Tìm điều kiện của m để I nằm trên trục Oy. 
Created by NguyÔn V¨n Rin----------------------------------------------------Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng 
 --------------------------------------------------Page 6------------------------------------------------------ 
Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ 
hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt. 
22. Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm M của hai đường thẳng 
1 : 2 5 0x y    , 2 : 3 2 3 0x y    và 
a. d đi qua điểm ( 3; 2)A   . 
b. d cùng phương với đường thẳng ' : 9 0d x y   . 
c. d vuông góc với đường thẳng ": 3 1 0d x y   . 
23. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm (3;1)M và cắt 2 tia Ox, Oy lần 
lượt tại A và B sao cho: 
a. OA OB nhỏ nhất. 
b. OABS nhỏ nhất. 
c. 
2 2
1 1
OA OB
 nhỏ nhất. 
Dạng : Tìm hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng d. 
 .Cách 1: 
 Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A vuông góc với d. 
 Hình chiếu H là giao điểm của d và d’. 
 Cách 2: Dùng điểm tổng quát 
  ( ; )H d H  . 
  H là hình chiếu của A trên d . 0 ...AH u AH u    
    ... ho hai đường thẳng : 2 5 0d x y   và ' : 3 0d x y  . Tìm giao điểm và tính 
góc giữa d và d’. 
51. Cho ABC có (4; 1)A  , ( 3;2)B  và (1;6)C . Tính góc A và giữa hai đường 
thẳng AB, AC. 
52. Tìm các góc của tam giác ABC biết phương trình các cạnh của tam giác là: 
: 2 0, : 2 0, : 1 0AB x y AC x y BC x y       . 
53. Tìm các giá trị của m để đường thẳng : 1 0d mx y   hợp với đường thẳng 
' : 2 9 0d x y   một góc bằng 30o . 
54. Xác định các giá trị của a để góc tạo bởi hai đường thẳng 
2
:
1 2
x at
d
y t
 

 
 và 
' : 3 4 12 0d x y   bằng 45o . 
55. Tìm khoảng cách từ các điểm đến các đường thẳng tương ứng sau đây: 
a. (3;5),   : 4 3 1 0A x y    . b. (1; 2),   : 3 4 26 0B x y     . 
c. (3; 2),   : 3 4 11 0C x y     . 
56. Tính khoảng cách từ điểm (4; 5)M  đến các đường thẳng: 
a. 
4
:
2 3
x t
d
y t


 
 b. 
1 2
' :
2 5
x t
d
y t
  

 
. 
57. Tìm bán kính của đường tròn tâm ( 2; 2)C   và tiếp xúc với đường thẳng 
: 5 12 10 0x y    . 
58. Đường thẳng : 2 5 9 0x y    cắt 2 trục tọa độ tại A, B. Tính chiều cao OH 
của OAB . 
59. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: 
a. 1 : 48 14 21 0x y    và 2 : 24 7 28 0x y    . 
b. 1 : 0Ax By C    và 2 : ' 0Ax By C    . 
60. Tìm giá trị của m để khoảng cách từ (1;1)A đến đường thẳng 
: (2 1) 3 0mx m y     bằng 2. 
Created by NguyÔn V¨n Rin----------------------------------------------------Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng 
 --------------------------------------------------Page 12------------------------------------------------------ 
Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ 
hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt. 
.Dạng : Phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách. 
 Để tìm phân giác trong AD của ABC , ta lập phương trình 2 cạnh AB, AC 
rồi tìm phương trình 2 đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng AB, 
AC. Chọn đường phân giác trong tương ứng với 2 điểm B, C nằm khác 
phía. 
 Để tìm phương trình đường thẳng là tạp điểm cách đều hai đường thẳng 
(cắt nhau hoặc song song), cách đường thẳng cho trước một đoạn không 
đổi, ta gọi ( ; )M x y thỏa điều kiện rồi dùng quan hệ khoảng cách để lập 
phương trình. 
61. Viết phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng: 
a. 1 : 2 4 7 0x y    và 2 : 2 3 0x y    . 
b. 1 : 0x  và 2 : 0y  . 
62. Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai đường thẳng: 
a. 1 : 5 3 3 0x y    và 2 : 5 3 7 0x y    . 
b. 1 : 4 3 2 0x y    và 2 : 3 0y   . 
63. Tìm quỹ tích các điểm cách đường thẳng : 2 5 1 0x y     một khoảng cách 
bằng 3. 
64. Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng 
: 0ax by c    một khoảng bằng h cho trước. 
65. Viết phương trình của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và cách đều hai điểm 
(2;2)A và (4;0)B . 
66. Viết phương trình đường thẳng qua (10;2)P và cách đều hai điểm (3;0)A và 
( 5;4)B  . 
67. Cho hai điểm (1;1)A và (3;6)B . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và 
cách B một khoảng bằng 2. 
68. Cho ABC có (2;6)A , ( 3; 4)B   và (5;0)C . Viết phương trình các phân giác 
AD, BE. 
69. Viết phương trình phân giác d của góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng 
1 : 2 5 0d x y   và 2 : 2 2 0d x y   . 
70. Viết phương trình các đường phân giác trong và ngoài xuất phát từ đỉnh A của 
ABC biết (1;1)A , (10;13)B và (13;6)C . 
71. Biết các cạnh của ABC có phương trình : 4 0AB x y   , : 3 5 4 0BC x y   
và : 7 12 0AC x y   . 
a. Viết phương trình đường phân giác trong của góc A. 
b. Hãy cho biết gốc tọa độ O nằm trong hay nằm ngoài ABC . 
Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng---------------------------------------------------- Created by NguyÔn V¨n Rin 
----------------------------------------------------Page 13-------------------------------------------------------- 
Vinh quang nhÊt kh«ng ph¶i lµ kh«ng bao giê ng· mµ lµ biÕt ®øng dËy sau mçi lÇn ng·. 
72. Cho điểm (2;5)M và đường thẳng : 2 2 0d x y   . 
a. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua d. 
b. Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua M. 
73. Viết phương trình đường thẳng qua ( 2;0)A  và tạo bởi đường thẳng 
: 3 3 0d x y   một góc 45o . 
74. Cho hình vuông ABCD có tâm (4; 1)I  và phương trình cạnh 
: 2 1 0AB x y   . Lập phương trình hai đường chéo của hình vuông. 
75. Viết phương trình đường thẳng đường thẳng d đi qua (3;1)P và cắt 2 đường 
thẳng 1 : 2 3 0x y    , 2 : 3 2 0x y    tại A, B sao cho d tạo với 1 2,  thành 
một tam giác cân có đáy là đường thẳng AB. 
76. Cho ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng : 2 1 0AB x y   và 
: 3 5 0BC x y   . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng đường thẳng AC 
đi qua điểm (1; 3)M  . 
 . BÀI TẬP TỔNG HỢP 
77. Tìm điểm M trên đường thẳng : 2 0d x y   , cách đều hai điểm (0;4)E và 
(4; 9)F  . 
78. Cho đường thẳng 
2 2
:
1 2
x t
y t
  
 
 
 và điểm (3;1)M . 
a. Tìm điểm A trên  sao cho A cách M một khoảng bằng 13 . 
b. Tìm điểm B trên  sao cho đoạn MB ngắn nhất. 
79. Cho hai điểm (3; 1)A  , ( 1; 2)B   và đường thẳng : 2 1 0d x y   . 
a. Tìm tọa độ điểm C trên d sao cho ABC cân tại C. 
b. Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho AMB vuông tại M. 
80. Cho hai điểm (1;6)P , ( 3; 4)Q   và đường thẳng : 2 1 0x y    . Tìm tọa độ 
điểm N trên  sao cho NP NQ lớn nhất. 
81. Cho điểm (1;2)P và (3;4)Q . Tìm điểm M trên trục hoành sao cho MP MQ bé 
nhất. 
82. Chứng tỏ rằng họ đường thẳng ( 1) 2( 1) 3 0m x m y     luôn đi qua một điểm 
cố định. 
83. Cho đường thẳng : ( 2) ( 1) 2 1 0m m x m y m       và điểm (2;3)A . Tìm M để 
khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng m là lớn nhất. 
84. Cho điểm (4;6)M . Viết phương trình của đường thẳng đi qua M và cắt các 
trục Ox, Oy theo thứ tự tại ( ,0)A a và (0, )B b với , 0a b  sao cho: 
a. 60OABS  . b. M là trung điểm của AB. c. OABS bé nhất. 
85. Cho đường thẳng : 2 0x y    và điểm (2;0)A . 
a. Chứng tỏ rằng hai điểm A và gốc O nằm về cùng một phía đối với đường thẳng 
 . 
Created by NguyÔn V¨n Rin----------------------------------------------------Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng 
 --------------------------------------------------Page 14------------------------------------------------------ 
Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ 
hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt. 
Tìm điểm O’ đối xứng với O qua  . 
b. Tìm điểm M trên  sao cho độ dài của đoạn gấp khúc OMA ngắn nhất. 
86. Các cạnh của ABC được cho bởi : 4AB x y  , : 3 0BC x y  và 
: 3 8 0AC x y   . 
a. Tính các góc của ABC . 
b. Tính chu vi và diện tích ABC . 
c. Tính độ dài các bán kính r, R của đường tròn nộ tiếp và đường tròn ngoại tiếp 
ABC . 
. ĐỀ THI TUYỂN SINH 
87. (ĐH KHỐI D-2009) Cho ABC , (2;0)M là trung điểm của AB. Đường trung 
tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình: 7 2 3 0x y   và 
6 4 0x y   . 
Viết phương trình đường thẳng AC. 
 (ĐS: : 3 4 5 0AC x y   ) 
88. (ĐH KHỐI A-2009) Cho hình chữ nhật ABCD có (6;2)I là giao điểm của hai 
đường chéo AC và BD. Điểm (1;5)M thuộc đường thẳng AB. Trung điểm E của 
cạnh CD nằm trên đường thẳng 5 0x y   . Viết phương trình cạnh AB. 
(ĐS: : 5; 4 19 0AB y x y    ) 
89. (CĐSP HN-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABC có đỉnh 
(1;2)A , đường trung tuyến BM và đường phân giác trong CD có phương trình 
tương ứng là 2 1 0;   1 0x y x y      . Hãy viết phương trình đường thẳng BC. 
 (ĐS: : 4 3 4 0BC x y   ) 
90. (CĐ BTRE-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, biết đỉnh (4; 1)A  , 
phương trình một đường cao, một đường trung tuyến vẽ từ cùng một đỉnh lần lượt 
là 2 3 12 0;  2 3 0x y x y     . Viết phương trình các cạnh của tam giác. 
 (ĐS: : 3 7 5 0AB x y   , : 3 2 10 0AC x y   , : 9 11 5 0BC x y   ). 
91. (ĐH HPHÒNG-2004) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường 
thẳng 1 : 1 0d x y   ; 2 : 2 1 0d x y   và điểm (2;1)P . Viết phương trình đường 
thẳng qua P và cắt 1 2,d d lần lượt tại A, B sao cho P là trung điểm của AB. 
 (ĐS: : 4 7 0AB x y   ) 
92. (CĐSP VLONG-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABC với 
(1;3)A và hai đường trung tuyến xuất phát từ B và C lần lượt có phương trình là 
2 1 0x y   và 1 0y   . Lập phương trình các cạnh của ABC . 
 (ĐS: : 2 0, : 4 1 0, : 2 7 0AB x y BC x y AC x y         ) 
93. (ĐH KHỐI B-2008) Cho ABC , biết hình chiếu vuông góc của C trên AB là 
( 1;1)H  . Đường phân giác trong của góc A có phương trình 2 0x y   , đường 
cao kẻ từ B có phương trình 4 3 1 0x y   . Tìm tọa độ đỉnh C. 
Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng---------------------------------------------------- Created by NguyÔn V¨n Rin 
----------------------------------------------------Page 15-------------------------------------------------------- 
Vinh quang nhÊt kh«ng ph¶i lµ kh«ng bao giê ng· mµ lµ biÕt ®øng dËy sau mçi lÇn ng·. 
 (ĐS: 
10 3
;
3 4
C
 
 
 
) 
94. (CĐ KHỐI A-2009) Cho ABC có ( 1; 2)C   . Đường trung tuyến kẻ từ A và 
đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5 9 0x y   và 3 5 0x y   . 
Tìm tọa độ các đỉnh A, B. 
 (ĐS: (1;4), (5;0)A B ) 
95. (ĐH KHỐI A-2004) Trong mặt phẳng Oxy cho (0;2)A và ( 3; 1)B  . 
Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp OAB . 
 (ĐS: ( 3;1), ( 3;1)I H ) 
96. (ĐH KHỐI B-2004) Trong mặt phẳng Oxy cho (1;1),   (4; 3)A B  . Tìm tọa độ 
điểm C thuộc đường thẳng : 2 1 0d x y   sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 
6. 
 (ĐS: 
43 27
(7;3), ;
11 11
C C
  
 
 
) 
97. (ĐH KHỐI B-2007) Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm (2;2)A và hai đường 
thẳng 1 2: 2 0,   : 8 0d x y d x y      . Tìm B, C tương ứng trong 1 2,d d sao cho 
ABC vuông cân tại A. 
 (ĐS: (3; 1), (5;3)B C ; ( 1;3), (3;5)B C ) 
98. (ĐH KHỐI A-2006) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các đường thẳng 
1 2: 3 0,   : 4d x y d x y     và 3 : 2 0d x y  . Tìm tọa độ điểm M nằm trên 3d sao 
cho khoảng cách từ M đến 1d bằng 2 lần khoảng cách từ M đến 2d . 
 (ĐS: ( 22; 11), (2;1)M M  ) 
99. (ĐH KHỐI A-2005) Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng 1 : 0d x y  và 
2 : 2 1 0d x y   . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A thuộc 1d , C 
thuộc 2d , còn B, D thuộc trục hoành. 
 (ĐS: (1;1), (1; 1)A C  (0;0), (2;0)B D ; (2;0), (0;0)B D ) 
100. (ĐH KHỐI B-2009) Cho ABC đỉnh (1;4)A , hai đỉnh B, C nằm trên đường 
thẳng : 4 0x y    . Biết rằng diện tích ABC bằng 18. Tìm tọa độ các đỉnh B, 
C. 
 (ĐS: 
11 3 3 5
; , ;
2 2 2 2
B C
   
   
   
; 
3 5 11 3
; , ;
2 2 2 2
B C
   
   
   
) 
------------------HẾT-------------- 
Tµi liÖu l­u hµnh néi bé – NguyÔn V¨n Rin - §HSP HuÕ. 
Rinnguyen1991@gmail.com