Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

 1
Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa 
Phương Pháp Tọa Độ 
 Trong Mặt Phẳng 
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
 2
 § 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng 
A. Tóm tắt giáo khoa . 
 1. Vectơ n
G
 khác 0
G
 vuông góc đường thẳng ∆ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) 
của ∆ . 
• Phương trình của đường thẳng qua M0( x0 ; y0 ) và có VTPT n
G
 = (a ; 
b) là : a(x – x0) + b(y – y0) 
• Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng : ax 
+ by + c = 0 
trong đó n
G
 = (a ; b) là một VTPT . 
• ∆ vuông góc Ox Ù ∆ : ax + c = 0 
∆ vuông góc Oy Ù ∆ : by + c = 0 
∆ qua gốc O Ù ∆ : ax + by = 0 
∆ qua A(a ; 0) và B(0 ; b) Ù ∆ : x y 1
a b
+ = ( Phương 
trình theo đọan chắn ) 
• Phương trình đường thẳng có hệ số góc là k : y = kx + 
m với k = tanφ , φ là góc hợp bởi tia Mt của ∆ ở phía trên Ox và tia 
Mx 
 2. Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2 : a2x + b2y + c 2 = 0 
 Tính D = a1 b 2 – a2 b1, Dx = b1 c 2 – b2 c1 , Dy = c 1 a 2 – c2 a1 
• ∆1 , ∆2 cắt nhau Ù D ≠ 0 . Khi đó tọa độ giao điểm là : 
x
y
Dx
D
D
y
D
⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
• ∆1 // ∆2 Ù x
y
D 0
D 0
D 0
=⎧⎪ ≠⎡⎨⎢⎪ ≠⎣⎩
• ∆1 , ∆2 trùng nhau Ù D = Dx = Dy = 0 
Ghi chú : Nếu a2, b2 , c2 ≠ 0 thì : 
• ∆1 , ∆2 cắt nhau Ù Ù 
2
1
2
1
b
b
a
a ≠ . 
n
G
a
G
∆
φ
M
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
 3
• ∆1 // ∆2 Ù 
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a ≠= 
• ∆1 , ∆2 trùng nhau Ù 
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a == 
B. Giải tóan . 
 Dạng tóan 1 : Lập phương trình tổng quát của đường thẳng : Cần nhớ : 
• Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) và vuông góc n
G
= (a; 
b) là : a(x – x0 ) + b(y – y0) = 0 
• Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) và cùng phương 
)a;a(a 21= là : 
2
o
1
o
a
yy
a
xx −=− 
• Phương trình đường thẳng song song đường thẳng : ax + by + c = 0 có 
dạng : ax + by + m = 0 với m ≠ c . 
• Phương trình đường thẳng qua M(x0 ; y0 ) : 
 a(x – x0 ) + b(y – y0) = 0 ( a2 + b2 ≠ 0 ) 
• Phương trình đường thẳng qua A(a ; 0) và B(0 ; b) là : x y 1
a b
+ = 
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có A(3 ; 2) , B(1 ; 1) và C(- 1; 4) . Viết phương 
trình tổng quát của : 
 a) đường cao AH và đường thẳng BC . 
 b) trung trực của AB 
 c) đường trung bình ứng với AC 
 d) đuờng phân giác trong của góc A . 
Giải a) Đường cao AH qua A(3 ; 2) và vuông góc BC
JJJG
 = (- 2 ; 3) có phương trình 
là : - 2( x – 3) + 3(y – 2) = 0 Ù - 2x + 3y = 0 
Đường thẳng BC là tập hợp những điểm M(x ; y) sao cho )1y;1x(BM −−= 
cùng phương )3;2(BC −= nên có phương trình là : x 1 y 1
2 3
− −=− ( điều kiện cùng 
phương của hai vectơ) Ù 3(x – 1) + 2(y – 1) = 0 Ù 3x + 2y – 5 = 0 
b) Trung trực AB qua trung điểm I( 2 ; 3/2 ) của AB và vuông góc AB
JJJG
= (- 2 ; - 
1) nên có phương trình tổng quát là : 2(x – 2) + 1.(y – 3/2) = 0 Ù 4x + 2y – 11 = 
0 
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
 4
c) Đường trung bình ứng với AB qua trung điểm K( 0 ; 5/2) và cùng phương AB
JJJG
= (- 2 ; - 1) . Đường này là tập hợp những điểm M(x ; y) sao cho 
)
2
5y;0x(KM −−= cùng phương )1;2(AB −−= nên có phương trình là : 
 x 0 y 5 / 2
2 1
− −= ( điều kiện cùng phương của hai vectơ) 
 Ù x – 2y + 5 = 0 
d) Gọi D(x ; y) là tọa độ của chân đường phân giác trong . Theo tính chất của 
phân giác : DB AB
ACDC
= −
JJJG
JJJG 
Mà AB = 2 2 2 22 1 5,AC 4 2 2 5+ = = + = , do đó : 
 DB 1 2DC DC
2DC
= − = −
JJJG JJJJJG JJJGJJJG 
 Ù 2(1 x) x 1 x 1/ 3
2(1 y) y 4 y 2
− = + =⎧ ⎧⎨ ⎨− = − =⎩ ⎩ 
Vậy D = (1/3 ; 2) . Vì yA = yD = 2 nên phương trình AD là y = 2 . 
Ví dụ 2 : Cho hình chữ nhật ABCD , phương trình của AB : 2x – y + 5 = 0 , 
đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , và tâm hình chữ nhật là I( 4 ; 5 ) . Viết 
phương trình các cạnh còn lại 
Giải Vì AD vuông góc với AB nên VTPT n
G
 = (2 ; - 1) của AB là VTCP của AD 
Phương trình AD qua O là : x y
2 1
= − Ù x + 2y = 0 
Tọa độ A là nghiệm của hệ : 
2x y 5 0
x 2y 0
− + =⎧⎨ + =⎩ 
Giải hệ này ta được : x = - 2 ; y = 1 => A(- 2 ; 1) 
I là trung điểm của AC , suy ra : 
A C I C
A C I C
x x 2x 8 x 10
y y 2y 10 y 9
+ = = =⎧ ⎧⎨ ⎨+ = = =⎩ ⎩
: C(10 ; 9) 
Đường thẳng CD song song với AB nên n
G
 = (2 ; - 1) 
cũng là VTPT của CD . CD qua C(10 ; 9) , do đó phương trình CD là : 
 2(x – 10) - (y – 9) = 0 Ù 2x – y – 11 = 0 
Đường thẳng BC qua C và song song AD , do đó phương trình BC là : 
A B 
D C 
I 
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
 5
Ù(x – 10) + 2(y – 9) = 0 Ù x – 2y – 28 = 0 
Ví dụ 3 : Cho đường thẳng d : 3x – 4y – 12 = 0 . 
 a) Tính diện tích của tam giác mà d hợp với hai trục tọa độ . 
 b) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng của d qua trục Ox . 
 c) Viết phương trình đường thẳng d” đối xứng của d qua điểm I(- 1 ; 1) . 
Giải : a) Cho x = 0 : - 4y – 12 = 0 Ù y = - 3 => d cắt Oy tai A(0 ; - 3) 
Cho y = 0 : 3x – 12 = 0 Ù x = 4 => d cắt Ox tai B(4 ; 0) 
Diện tích tam giác vuông OAB là : ½ .OA.OB = ½ . 3. 4 = 6 đvdt 
b) Gọi A’(0 ; 3) là đối xứng của A 
qua Ox . Ta có d’ qua A’ và B , 
cùng phương )3;4(B'A −= có 
phương trình là : 
3
3y
4
0x
−
−=− Ù 
3x + 4y – 12 = 0 
c) Gọi B1là đối xứng của B qua I 
=> B1 (- 6 ; 2) . Đường thẳng d” 
qua B1và song song với d , có phương trình : 
 3(x + 6) – 4(y - 2) = 0 Ù 3x – 4y + 26 = 0 
*Ví dụ 4 : Viết phương trình đường thẳng qua M(3 ; 2) , cắt tia Ox tại A, tia 
 Oy tại B sao cho : 
a) OA + OB = 12 
b) hợp với hai trục một tam giác có diện tích là 12 
Giải : Gọi A(a ; 0) và B(0 ; b) với a > 0 , b > 0 , 
phương trình đường thẳng cần tìm có dạng : 
x y 1
a b
+ = . Vì đường thẳng qua M(3 ; 2) nên : 
3 2 1
a b
+ = (1) 
A 
B
x
y 
A
B 
A’
B1
I
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
 6
 a) OA + OB = 12 Ù a + b = 12 Ù a = 12 – b (2) 
Thế (2) vào (1) : 3 2 1
12 b b
+ =− 
 Ù 3b + 2(12 – b) = (12 – b)b 
 Ù b2 – 11b + 24 = 0 
 Ù b = 3 hay b = 8 
• b = 3 : a = 9 , phương trình cần tìm : x y 1 x 3y 9 0
9 3
+ = + − = 
• b = 8 : a = 4 , phương trình cần tìm : x y 1 2x y 8 0
4 8
+ = + − = 
b) Diện tích tam giác OAB là ½ OA.OB = ½ ab = 12 Ù a = 24/b (3) 
Thế (3) vào (1) : 3b 2 1
24 b
+ = Ù b2 + 16 = 8b 
 Ù (b – 4)2 = 0 Ù b = 4 
Suy ra : a = 6 , phương trình cần tìm là : x y 1
6 4
+ = Ù 2x + 3y – 12 = 0 
Dạng 3 : Tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng . 
Ví dụ 1 : Tìm vị trí tương đối của cac đường thẳng sau : 
a) 9x – 6y – 1 = 0 , 6x + 4y – 5 = 0 
b) 10x – 8y + 2/3 =0 ; 25x – 20y + 5/3 = 0 
Giải a) Ta có : 9 6
6 4
−≠ nên hai đường thẳng cắt nhau . 
b) Ta có : 10 8 2 / 3 2
25 20 5 / 3 5
−= = =− nên hai đường thẳng trùng nhau . 
* Ví dụ 2 : Cho d : (m + 1)x – 2y + m + 1 = 0 
 d’ : mx - 3y + 1 = 0 
a) Định m để hai đường thẳng cắt nhau . Tìm tọa độ giao điểm M. 
b) Tìm m ∈ Z để tọa độ giao điểm là số nguyên . 
Giải a) Tọa độ giao điểm M là nghiệm của hệ : 
(m 1)x 2y m 1 0 (1)
mx 3y 1 0 (2)
+ − + + =⎧⎨ − + =⎩ 
Hai đường thẳng cắt nhau Ù D = 3mm2)1m(3
3m
21m −−=++−=−
−+
 ≠ 0 
Ù m ≠ - 3 
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
 7
Ta có : Dx = 13
1m2
−
+−
= - 2.1 + 3(m + 1) = 3m +1 
 Dy = =++ m1
1m1m
m(m + 1) – 1.(m+1) = m2 - 1 
Tọa độ giao điểm M : 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+
+=
+=
3m
1m- 
D
D
=y 
3m
1-3m- . 
D
D =x 
2
y
x
b) Ta có : x = 3(m 3) 8
m 3
− + +
+ = - 3 + 
8
m 3+ 
 y = 
3m
83m +−+− 
Để x và y ∈ Z thì 8 chia hết cho (m + 3) 
Ù (m + 3) ∈ { ± 1 ; ± 2 ; ± 4 ; ± 8 } 
Ù m ∈ {- 2 ; - 4 ; - 1 ; - 5 ; 1 ; - 7 ; 5 ; - 11 } 
Ví dụ 3 : Cho đường thẳng d : 2x + y - 13 = 0 và điểm A (1 ; 1) 
a) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và vuông góc d . 
b) Tìm tọa độ hình chiếu của A lên d và tọa độ điểm A’ , đối xứng của A 
qua A . 
Giải a) Đường thẳng d’ vuông góc d nên VTPT n
G
 = (2 ; 1) của d là VTCP của d’ 
. Suy ra phương trình của d’ là : 
 x 1 y 1
2 1
− −= Ù x – 2y + 1 = 0 
b) Tọa độ giao điểm H của d và d ‘ thỏa hệ : 
2x y 13 0
x 2y 1 0
+ − =⎧⎨ − + =⎩ Ù 
x 5
y 3
=⎧⎨ =⎩ : H(5 ; 3) , là hình chiếu của 
A lên d.. 
 H là trung điểm của AA’ , suy ra : 
 )5;9('A:
5yy2y
9xx2x
AH'A
AH'A
⎩⎨
⎧
=−=
=−=
. 
C. Bài tập rèn luyện 
 3.1. Cho đường thẳng d : y = 2x – 4 
H
A
A’ 
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
 8
 a) Vẽ đường thẳng d . Xác định giao điểm A và B của d với Ox và Oy.Suy 
ra diện tích tam giác OAB và khoảng cách từ O tới d. 
 b) Viết phương trình đường thẳng d’ song song với d , cắt Ox tại M , Oy 
tại N sao cho MN = 3 5 
3.2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d : 
 a) qua điểm A(1 ; - 2) và có hệ số góc là 3 . 
 b) qua B ( - 5; 2 ) và cùng phương a
G
 = ( 2 ; - 5) 
 c) qua gốc O và vuông góc với đường thẳng : y = 2 3
4
x− 
 d) qua I(4 ; 5) và hợp với 2 trục tọa độ một tam giác cân . 
 e) qua A(3 ; 5) và cách xa điểm H(1 ; 2) nhất. 
3.3 . Chứng minh các tập hợp sau là các đường thẳng : 
a) Tập hợp những điểm M mà khoảng cách đến trục hoành gấp đôi khoảng 
cách đến trục tung . 
b) Tập hợp những điểm M thỏa 2 2 2MA MB 2MO+ = với A(2 ; 1 ) và B( 
1 ; - 2) 
3. 4 . Cho tam giác ABC có A(4 ; 1) , B(1 ; 7) và C(- 1; 0 ) . Viết phương trình 
tổng quát của 
a) Đường cao AH , đường thẳng BC . 
b) Trung tuyến AM và trung trực của AB 
c) Đường thẳng qua C và chia tam giác thành hai phần , phần chứa điểm A 
 có diện tích gấp đối phần chứa điểm B . 
3. 5. Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC và CA là : 
 AB : x – 3 = 0 
 BC : 4x – 7y + 23 = 0 
 AC : 3x + 7y + 5 = 0 
 a) Tìm tọa độ A, B, C và diện tích tam giác . 
 b) Viết phương trình đường cao vẽ từ A và C . Suy ra tọa độ của trực tâm H 
3. 6.Cho hai đường thẳng d : mx – y + m + 1 = 0 và d’ : x – my + 2 = 0 
 a) Định m để hai đường thẳng cắt nhau . Tìm tọa độ giao điểm M , suy ra M di 
động trên một đường thẳng cố định . 
 b) Định m để d và d’ và đường thẳng ∆ : x + 2y – 2 = 0 đồng quy. 
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
 9
3. 7. Cho hai điểm A(5 ; - 2) và B(3 ; 4) . Viết phương trình của đường thẳng d 
qua điểm C(1 ; 1) sao cho A và B cách đều đường thẳng d . 
3.8. Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3x – y – 2 = 0 và x + y – 2 = 0 . 
Viết phương trình hai cạnh còn lại biết tâm hình bình hành là I(3 ; 1) . 
 * 3. 9 . Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là I(1 ; 3) , trung điểm AC là 
J(- 3; 1) . Điểm A thuộc Oy và đường BC qua gốc tọa độ O . Tìm tọa độ điểm A , 
phương trình BC và đường cao vẽ từ B . 
* 3.10. Cho điểm M(9 ; 4) . Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt hai tia Ox 
và tia Oy tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất . 
* 3.11. Cho điểm M(3 ; 3) . Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt Ox và Oy 
tại A và B sao cho tam giác MAB vuông tại M và AB qua điểm I(2 ; 1) . 
D. Hướng dẫn hay đáp số : 
3.1. a) A(2 ; 0) , B(0 ; - 4) ; S = 4 đvdt . 
Ta có : 
5
4OH
16
5
16
1
4
1
OB
1
OA
1
OH
1
222 ==>=+=+= 
 b) Phương trình d’ có dạng : y = 2x + m , cắt Ox tại M(- m/2 ; 0) , cắt Oy 
tại N(0 ; m) . Ta có MN = 
2
5|m|ONOM 22 =+ = 3 5 
Suy ra : m = ± 6 . 
 3.2  ...  Suy ra : a < c . Vậy cônic là hypebol và : 
b2 = 8 . 
b) 
2
9
c
a 2 = Ù 2a2 = 9c (1) . Vì cônic qua M ∈ Oy nên cônic là êlip và b2 = 5 
Vậy : a2 = 5 + c2 . Thếvào (1) : 2(5 + c2) = 9c Ù 2c2 – 9c + 10 = 0 
Ù c = 2 hay c = 5/2 . . . 
c) Ta có : a = 5 và 
c
|c5|
c
cac
c
a 22222 −=−=− = 4 . 
Ù ⎢⎣
⎡
=
=⎢⎢⎣
⎡
=−−
=−+⎢⎢⎣
⎡
=−
=−
5c
1c
05c4c
05c4c
c45c
c4c5
2
2
2
2
• c = 1 < a : cônic là êlip : 
4
y
5
x 22 + = 1 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 93
• c = 5 > 5 : cônic là hypebol : 
1
20
y
5
x 22 =− 
3.133. a) M(x ; y) ∈ (C) Ù 
222 )3x.(
2
1y)1x(e
);M(d
MF −=++=Δ . . 
..Lập phương trình tổng quát các cônic bằng định 
nghĩa biết tiêu điểm F 
3. 134. Ta tìm hình chiếu H của O lên Δ thì tiêu 
diểm F là điểm đối xứng của H qua O . 
H(2 ; - 2) => F(- 2 ; 2) . 
M(x ; y) ∈ (P) Ù MF = d(M ; Δ) 
Ù (x + 2)2 + (y – 2)2 = 
2
)4yx( 2−− . Khai triển và rút gọn, ta được phương trình 
tổng quát cần tìm . 
3.135. Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc Δ : x – y + 2 = 0 . Đường 
này cắt Oy tại F(0 ; 2) là tiêu điểm của cônic. Ta 
có : c = IF = 2 2 , ),I(d
c
a 2 Δ= = 4 2 => a2 = 
16 Ù a = 4 . 
Vậy e = c/a = 2 : cônic là êlip 
3.136. Gọi M(x ; 0) là giao điểm ∈ Ox , ta có : 
 MF = 2. d(M ; Δ) 
Ù x2 + 9 = 4. 
2
)0x( 2+ 
Ù x = ± 3 . . . . 
3.137. a) Xét điểm O(0 ; 0) và đường thẳng Δ : x 
– y – 1= 0 , ta có : 
 MO = 22 yx + ; 
 d(M ; Δ) = 
2
|1yx| −− 
y
x
O
F
H
y
x
O
I
F
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 94
PT Ù 2
);M(d
MO =Δ . Vậy tập hợp là một hypebol tiêu điểm 
 O và đường chuẩn Δ . 
b) Xét điểm F(1 ; 0) và Δ : x + y = 0 . Tập hợp là parabol . 
c) PT Ù 2(x2 + y2 ) = x2 - 2x + 1 Ù Ù 2 |1x|yx 22 −=+ 
Xét O(0 ; 0) và Δ : x – 1 = 0 : tập hợp là êlip 
d) 2(x2 +y2 ) = x2 + y2 + 2xy - 2x - 2y + 1 
Ù 2(x2 + y2) = (x + y – 1)2 Ù 
2
|1yx|yx 22 −+=+ 
Xét O và Δ : x + y – 1 = 0 : tập hợp là parabol . 
e) 2xy = 2 . Cộng hai vế cho x2 + y2 + 2x 2 + 2y 2 + 2 
Ù x2 + y2 + 2xy + 2x 2 + 2y 2 + 2 = x2 + y2 + 2x 2 + 2y 2 + 4 
Ù (x + y + 2 )2 = (x + 2 )2 + (y + 2 )2 Ù 
2.
2
|2yx|)2y()2x( 22 ++=+++ 
Xét F( - 2 ; 2 ) và Δ : x + y + 2 = 0 : tập hợp là hypebol tiêu điểm 
 F , đường chuẩn Δ , e = 2 . 
 3.138. * Nếu m tập hợp ∅ 
* Nếu m = 0 : x = y = 0 => tập hợp là {O} 
* Nếu m > 0 : xét O và Δ : x – 2 = 0 , ta có : m
),M(d
MO =Δ 
• m < 1 : êlip 
• m = 1 : parabol 
• m > 1 : hypebol 
§ 9.Trắc nghiệm cuối chương . 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 95
A. Đề : 
1. Phương trình đường thẳng qua A(3 ; - 2) và có vectơ chỉ phương (- 2 ; 6) là : 
 a) 3x + y – 7 = 0 b) – x + 3y + 9 = 0 
 c) x + 3y + 3 = 0 d) 3x – y – 11 = 0 
2. Cho tam giác ABC với A(2 ; 4) , B(2 ; 1) và C(5 ; 0 ) . Trung tuyến CM qua 
điểm N có hoành độ 20 và tung độ bằng ? 
 a) - 12 b) - 12, 5 c) - 13 d) – 13, 5 
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song : 3x – 4y + 2 = 0 và 3x – 4y – 3 = 
0 là : 
 a) 1 / 5 b) 1 c) 5 d) đáp số khác 
4. Có 2 điểm M thuộc Ox và cách đường thẳng 2x – y + 5 = 0 một khoảng là 2 
5 , tích hai hoành độ của chúng là : 
 a) – 75/4 b) – 25/ 4 c) – 225 / 4 d) đáp số khác 
5. Hai đường thẳng d : mx + y – 5 = 0 và d’ : (m – 3) x + 5 y + m = 0 song song 
khi m = 
 a) 4/3 b) – 4/3 c) 3/4 d) – 3/4 
6. Đường thẳng d : 3x – 2y + 8 = 0 tiếp xúc với đường tròn tâm I(1; - 1) , bán 
kính là : 
 a) 5
13
 b) 13 c) 13 d) đáp số khác 
7. Gọi α là góc của hai đường thẳng : y = 5x + 3 và x - 5y – 1 = 0 , thế thì cos α 
= 
 a) 1/ 26 b) 2/ 13 c) 5/ 13 d) 0 
8. Có hai đường thẳng y = kx và hợp với d : x – y = 0 một góc là 600 . Tổng hai 
giá trị của k là : 
 a) 1 b) – 8/ 3 c) – 8 d) - 1 
9. Phương trình đường tròn có đường kính AB với A(- 3 ; 1) và B(5 ; 7) là : 
 a) x2 + y2 + 2x + 8y – 8 = 0 b) x2 + y2 - 2x + 8y – 8 = 0 
 c) x2 + y2 + 2x - 8y – 8 = 0 d) x2 + y2 - 2x - 8y – 8 = 0 
10 Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình : x2 + y2 – 2x + 2my + 10 = 0 
là phương trình đường tròn ? 
a) 0 b) 5 c) 7 d) vô số 
11. Có hai đường tròn có bán kính 10 và qua A (- 3 ; 2) và B(1 ; - 6) . Một đường 
tròn có tung độ tâm là : 
a) - 6 b) - 9 c) - 2 d) 7 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 96
12. Đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 cắt đường thẳng x – y + 1 = 0 theo 
một dây cung có độ dài là : 
a) 1 b) 2 c) 3 d) đáp số khác 
13. Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với Oy tại A(0 ; 5) và có tâm thuộc đường thẳng 3x – 
y - 5 = 0 .B.àn kình đường tròn gần nhất với số nào dưới đây : 
 a) 3, 1 b) 3, 2 c) 3, 3 d) 3, 4 
14. Đường tròn (C) : x2 + y2 + 6x – 4y + 3 = 0 có bán kính là : 
 a) 10 b) 3 c) 4 d) 29 
15. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) : x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0 biết tiếp 
tuyến song song với ∆ : 3x – 4y + 12 = 0 
 a) 4x - 3y – 27 = 0 b) 4x +3 y – 11 = 0 
 c) 3x – 4y + 23 = 0 d) 3x - 4y + 27 = 0 
16. Elip : 4x2 + 8y2 = 32 có tiêu cự là : 
 a) 2 b) 4 c) 2 3 d) 4 2 
17. Cho elip : 
2 2
1
9 5
x y+ = . Câu nào sau đây là sai ? 
 a) Một tiêu điểm của elip là ( - 2; 0) 
 b) Một đỉnh trên trục nhỏ là (0 ; 5 ) 
 c) Độ dài trục lớn là 6 
 d) Diện tích hình chữ nhật cơ sở là 3 5 
18. Elip có một tiêu điểm là F ( 3 ; 0 ) cách đỉnh B một khoảng là 5 , có độ dài 
trục nhỏ là : 
 a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 
19. Elip (E) : 
2 2
1
5 1
x y+ = . Điểm M ( 3; 1) trên (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một 
góc vuông . Tung độ dương của M là : 
 a) ½ b) 1 c) 2 d) đáp số khác 
20. Cho elip (E) : 
2 2
1
9 5
x y+ = . Điểm M trên (E) thỏa F1M – F2M = 2 . Hoành độ 
của M gần nhất với số nào dưới đây ? 
a) 1, 4 b) 1, 5 c) 1, 6 d) 1, 7 
21. Cho parabol y2 = 2px qua điểm M( 2 ; 6) . Khoảng cách từ M đến đường 
chuẩn là : 
 a) 6, 5 b) 9 c) 11 d) đáp số khác 
22. Parabol y2 = x có tiêu điểm là : 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 97
 a) ( ¼ ; 0 ) b) (1 /2 ; 0 ) c) (0 ; ¼ ) d) (0 ; ½) 
23. Parabol y2 = 2px (p > 0 ) qua điểm M có tung độ 2 và cách đường chuẩn một 
khoảng là 5. Ta được hai parabol có tổng hai giá trị của p là : 
 a) 5 b) 10 c) 4 d) đáp số khác 
24. Cho (P) : y2 = 4x . Đường thẳng d qua F có hệ số góc 1 , cắt (P) tại M và N . 
Độ dài MN bằng : 
 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 
25. Hypebol : 2x2 – 4y2 = 8 : 
 a) có tiêu cự là 2 2 b) có một tiệm cận là : y = 1
2
x 
 c) Câu (a) và (b) đều đúng d) Câu (a) và (b) đều sai . 
26. Một điểm M bất kì trên hypebol (H) : 
2 2
1
8 2
x y− = . Tích khoảng cách từ M 
đến hai tiệm cận bằng : 
 a) 4
5
 b) 8
5
 c) 16
5
 d) không xác định . 
27. Hypebol có tiêu điểm F(10 ; 0 ) và một tiệm cận là : y = 2x . Hypebol có độ 
dài trục thực bằng : 
 a) 2 5 b) 4 5 c) 8 5 d) đáp số khác 
28. Hypebol : 
2 2
2 2 1
x y
a b
− = qua điểm M ( 5 ; 4) và có một tiệm cận là y = x 2 . 
Thế thì ab = 
 a) 17 2 b) 34 c) 34 2 d) đáp số khác 
29. Hypebol có một đỉnh là A1 ( - 4 ; 0 ) và đỉnh này cách tiệm cận một khoảng là 
2 . Thế thì độ dài trục ảo gần nhất với số nào dưới đây ? 
 a) 4, 3 b) 4, 4 c) 4, 5 d) 4, 6 
30. Elip (E) : 
2 2
16 4
x y+ = 1 và hypebol (H) : 
2 2
2 2 1
x y
a b
− = có cùng tiêu điểm và độ 
dài trục thực của (H) bằng độ dài trục nhỏ của (E) . Vậy (E) và (H) cắt nhau tại 
bốn điểm nằm trên đường tròn có bán kính là : 
 a) 2 b) 2 2 c) 4 d) 8 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 98
B. Bảng trả lời : 
1. (a) 2.(b) 3. (b) 4.(a) 5. (d) 
6.(b) 7. (c) 8.(b) 9.(d) 10.(d) 
11. (a) 12.(b) 13. (c) 14.(a) 15. (c) 
16.(b) 17. (d) 18.(b) 19.(a) 20.(b) 
21.(a) 22.(a) 23.(b) 24.(d) 25.(d) 
26.(b) 27.(b) 28.(a) 29.(d) 30.(b) 
C. Hướng dẫn giải 
1. (a) 
2.(b) Phương trình trung tuyến là : 5x + 6y – 25 = 0 . Cho x = 20 : y = -12 , 5 
3.(b) Khỏang cách giữa 3x – 4y + 2 = 0 và 3x – 4y – 3 = 0 là 1 . 
4.(a) Gọi M(x ; 0) : | 2x 5 | 2 5
5
+ = Ù |2x + 5| = 10 Ù x = 5/2 hay x = - 15/2 
Vậy có 2 điểm M và tích 2 hoành độ là – 75/4 . 
5.(d) d // d’ Ù m 1 5
m 3 5 m
−= ≠ −
m 3 5m
m 25
− =⎧⎨ ≠ −⎩ Ù m = - ¾ 
6.(b) R = d(I, d) = 13 13
13
= 
7.(c) 
8. (b) Phương trình đường thẳng cần tìm : kx – y = 0 . Ta có : 
0
2
| k 1| 1cos 60
2k 1
+ = =+ 
Ù 3k2 + 8k + 3 = 0 => k1 + k2 = - 8/3 . 
9. (d) 
10. (d) a2 + b2 – c = m2 – 9 > 0 Ù m > 3 hay m < - 3 : vố số giá trị m nguyên . 
11.(a) Gọi I(a ; b) là tâm : 
2 2
2 22 2
a 2b 3IA IB
(a 3) (b 2) 100IA R 100
= +⎧ = ⎧⎪ ⎨ ⎨ + + − == =⎪ ⎩⎩
Thế , ta được : b2 + 4b – 12 = 0 Ù b = - 6 hay b = 2 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 99
12. (b) (C) có tâm I(1 ; - 2) , R = 3 . Khỏang cách d từ I đến đường thẳng là : 3 
/ 2 
Suy ra độ dài dây cung là : 2. 2 2R d 2 9 8 2− = − = 
13.c Vì đường tròn tiếp xúc Oy tại A( 0 ; 5) nên tâm I(a ; 5) . I ∈ 3x – y – 5 = 0 Ù a = 
10/3 
Bán kính đường tròn là 10/3 = 3,333 . 
14. (a) (C ) có tâm I( - 3/2 ; 5/2 ) , bán kính R = 
46
4
=> MT2 = IM2 + R2 = 9 => MT = 3 
15. (c) 
16. (b) 
17 (d) Hình chữ nhật cơ sở có diện tích là 4ab = 12 5 
18. ( b) Tam giác OBF cho : OB2 = BF2 - OF2 = 25 – 9 = 16 => BF = b = 4 
Vậy độ dài trục nhỏ là 8 . 
19.(a) Ta c ó hệ : 
2 2
2
2 2
5 5 11/ 4 | |
24
x y
y y
x y
⎧ + =⎪ => = => =⎨ + =⎪⎩
Vậy tung độ dương của M là ½ . 
20 (b) Ta có hệ : 1 2 1
1 2 2
6 4
2 2
FM F M FM
FM F M F M
+ = =⎧ ⎧⎨ ⎨− = =⎩ ⎩
Suy ra : F1M2 – F2M2 = 4cx = 12 => x = 3/2 
21(a) . (P) : y2 = 2px qua điểm (2 ; 6) Ù 36 = 4p Ù p = 9 
Khoảng cách từ M đến đường chuẩn là : x + 
2
p = 2 + 4, 5 = 6, 5 
22( a) . 
23.(b) Gọi (x ; 2) là tọa độ của M , ta có hệ : 
4 2
5
2
px
px
=⎧⎪⎨ + =⎪⎩
=> 2 5
2
p
p
+ = ( x > 0 ) 
Ù p2 – 10p + 4 = 0 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 100
Phương trình này có 2 nghiệm và tổng là 10 . 
24 (d) . Phương trình đường thẳng d : y = x – 1 . Phương trình hoành độ giao 
điểm M , N : (x – 1)2 = 4x Ù x2 – 6 x + 1 = 0 (1) 
 Gọi x1 , x2 là hoành độ của M , N , ta có : 
 MN = FM + FN = (1 + x1 ) + (1 + x2 ) = 2 + x1 + x2 = 8 
25(d) . 
2 2
1
4 2
x y− = : 
 * có c = 6 => tiêu cự là 2 6 : (a) sai . 
 * có tiệm cận là : y = ± x 2 /2 : (b) sai . 
26(b) . (H) : 2x2 – 8y2 = 16 . Phương trình hai tiệm cận : x ± 2y = 0 
Tích khoảng cách là : 
2 242 2 8.
5 55 5
x yx y x y −+ − = = 
27(b) . Ta có : c = 10 và b = 2a . Suy ra : a2 + b2 = 100 Ù 5a2 = 100 Ù a = 2 5 
Vậy độ dài trục thực là 4 5 . 
28(a). Ta có hệ : 2 2
2 2
25 16 1
2
a b
b a
⎧ − =⎪⎨⎪ =⎩
 Ù 
2
2
17
34
a
b
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
=> ab = 17. 2 
29(d) . Ta có : a = 4 . Phương trình một tiệm cận là : bx + 4y = 0 . Khoảng cách từ 
A1 đến tiệm cận là : 
2
4
2
16
b
b
− =
+
Ù 16b2 = 4b2 + 64 Ù b2 = 16/ 3 . 
Vậy độ dài trục ảo là : 2b = 2. 4
3
≈ 4, 6 
30(b). Ta có : 2a = 4 Ù a = 2 . Ngoài r a: 16 – 4 = a2 + b2 = 4 + b2 Ù b2 = 8 . 
Vậy (H) : 
2 2
1
4 8
x y⎧ − =⎨⎩
. Tọa độ giao điểm của (E) và (H) : 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 101
2 2
2 2
4 16
2 8
x y
x y
⎧ + =⎪⎨ − =⎪⎩
 Ù 
2
2
16
3
8
3
x
y
⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
=> x2 + y2 = 8 
Vậy 4 giao điểm thuộc đường tròn tâm O , bán kính là 2 2