Chuyên đề Phương trình vô tỉ

Phần I
Một số kiến thức liên quan
1/ Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Khi giải các phương trình ta thường phải dùng các phép biến đổi tương đương.
2/ Một phương trình được gọi là phương trình hệ quả của phương trình cho trước nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình đã cho. Khi giải phương trình, nếu ta dùng phép biến đổi đưa phương trình đã cho về một phương trình hệ quả thì ta phải thử lại.
3/Môt số bài toán cơ bản liên quan đến định lý đảo về dâu tam thức bậc hai:
 Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2+bx+c (a khác 0), f(x) có hai nghiệm x1;x2 thoả mãn:
x1<<x2 khi và chỉ khi af()<0.
f(x) có hai nghiệm trong khoảng khi và chỉ khi : 
f(x) có một nghiệm nằm trong , nghiệm còn lại nằm ngoài khi và chỉ khi .
4/ Một số kiến thức trong lý thuyết hàm số :
Hàm số y=f(x) xác định trên D. Khi đó phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D khi và chỉ khi g(m) thuộc vào tập giá trị của f(x) trên D.
Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên D, x0 thuộc D sao cho f(x0)=m ( trong đó m là hằng số ) thì phương trình f(x) =m có nghiệm duy nhất trên D.
Nếu f(x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biến trên D , x0 thuộc D sao cho f(x0)= g(x0) thì phương trình f(x) =g(x) có nghiệm duy nhất trên D.
5/ Nội dung phương pháp cần và đủ :
 Bài toán đặt ra là : tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x,m)=0 thoả mãn tính chất (P) nào đó.Khi giải bài toán này bằng phương pháp điều kiện cần và đủ ta tiến hành theo các bước sau : 
 Bước 1 : (tìm điều kiện cần) 
 Giả sử phương trình đã cho đã thoả mãn tính chất (P).Ta đi tìm điều kiện ràng buộc của m. Giả sử điều kiên ràng buộc của m là m.
 Bước2  : (tìm điều kiện đủ) : 
 Với m ta kiểm tra lại xem khi đó phương trình f(x,m)=0 đã thoả mãn tính chất (P) chưa.ở bước này nói chung ta thường thay các giá trị cụ thể của m vào để xét, những giá trị của m mà làm cho phương trình f(x,m)=0 thoả mãn tính chất (P) là đáp số bài toán.
Phần II
Một số dạng phương trình
 vô tỉ thường gặp.
Dạng 1 : dùng phép biến đổi tương đương
 .
 Thực tế ta hay gặp trường hợp n=1.ở dạng (**) học sinh yếu thường hay mắc sai lầm như sau: đặt điều kiện f(x) sau đó luỹ thừa 2n hai vế của phương trình để khử căn rồi giải phương trình này , sau đó kiểm tra điều kiện f(x) thấy thoả mãn, kết luận đó là nghiệm phương trinh. ở (*) cũng vậy , mặc dù đơn giản nhưng học sinh cũng hay quên điều kiện f(x) hoặc g(x) không âm.
 Bài tập áp dụng: giải phương trình:
.
.
.
.
Dạng 2 : 
Phương pháp giải dạng này là : tìm tập xác định của phương trình đã cho rồi bình phương hai vế ,thu gọn để quy về dạng I. Khi gặp phương trình dang: học sinh thường mắc sai lầm là: sau khi tìm tập xác định của phương trình đã cho đem bình phương hai vế , thu gọn để quy về dạng I. Trường hợp này rất nhiều khi ta thu được phương trình hệ quả( Do chưa chắc đã có: với mọi x thuộc tập xác định của phương trình). Giáo viên cần lưu ý học sinh điều này. Ta nên hướng dẫn học sinh chuyển sang vế phải để quy về dạng 2.
 Ví dụ: giải phương trình: 
 HD: 
 Pt có tập xác định là: D=
 Ta có: 
 Vậy nghiệm phương trình là x=0.
 Bài tập áp dụng: giải phương trình:
III/ Dạng 3: Dùng tính chất của hàm số:
 Cơ sở lý thuyết:
Cho f xác định trên D = (a ;b)
 f tăng (đồng biến) khi 
 f giảm (nghịch biến) khi 
Định lý: Nếu f có đạo hàm trên D = (a , b) và f không phải là hằng số thì:
 f tăng trên D. 
 f giảm trên D.
Tính chất: Nếu f đơn điệu thì phương trình f(x0 = 0 có tối đa một nghiệm và nếu chỉ ra được nghiệm thì đó chính là nghiệm duy nhất.
Từ đó ta có ứng dụng để giải phương trình hoặc chứng minh sự tồn tại nghiệm.
 Cách giải:
 Các vế của phương trình thường chứa các hàm số một biến. Tính chất của hàm số không thể không ảnh hưởng tới cách giải các bài toán đặt ra. Trong nhiều trường hợp, việc sử dụng các tính chất của hàm số giúp ta tìm được cách giải hợp lý và hiệu quả.
 *Chú ý: 
 -Trong nhiều trường hợp HS sau khi nhẩm được nghiệm thì vội vàng kết luận tính duy nhất của nghiệm, mà quên đi cơ sở kết luận nghiệm phải dựa vào tính chất của hàm số có mặt trong bài toán đó.
 -Ta có thể lập bảng biến thiên để giải quyết bài toán dễ dàng hơn.
 Một số ví dụ:
 Ví dụ 1: Giải phương trình: 
 Giải: Ta viết lại phương trình:
 Và nên 
 Phương trình: (*)
Xét 
nên f nghịch biến. Hơn nữa f(1) = 0
Do đó (*) 
Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 1
Ví dụ 2: Tìm a để phương trình có nghiệm:
 Giải: Xét y = f(x) =, D = R thì f là hàm lẻ.
 Ta có : 
 Đặt
nên g đồng biến.
Mà 
Bảng biến thiên:
x
 0 
 +
y
 1
-1
Vậy điều kiện để PT có nghiệm là 
Ví dụ 3: Giải phương trình: 
HD: Với phương trình vô tỷ này ta có thể chuyển vế, bình phương rồi khử dấu căn như cách thông thường. Tuy nhiên, nếu ta chú ý đến miền xác định của các hàm số và ta thấy ngay phương trình đã cho chỉ xác định với x = 2. Hơn nữa, x = 2 thoả mãn PT.
Vậy nghiệm của PT là x = 2.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
HD: Đây là một ví dụ về phương trình vô tỉ mà có thể dùng cách giải thông thường là bình phương 2 vế để khử căn. Tuy nhiên ta không vội làm điều đó mà để ý rằng: để PT có nghĩa thì 
Vậy PT vô nghiệm.
Ví dụ 5: giải phương trình 
Giải. Nếu ta bình phương để khử căn thức thì sẽ được một phương trình bậc 4 đầy đủ, việc giải nó rất phức tạp, nên ta tìm cách giải khác.
	Trước hết ta để ý rằng x = 3 nghiệm đúng phương trình. Nhưng khác với các ví dụ trước, hàm số ở vế trái không phải là hàm đơn điệu trong miền xác định của nó: . Tuy nhiên nếu ta xét khoảng 
Thì vế trái là hàm số đơn điệu tăng do đó x= 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho trong khoảng . Bây giờ ta xét đoạn . Ta có với thì , vế trái nên phương trình không có nghiệm trong đoạn .
Đáp số: x=3.
Ví dụ 6: giải phương trình:
 HD:
Pt đã cho có tập xác định là: D=. Ta dễ kiểm tra hàm đồng biến trên D. Mà f(2)=3. Do vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=2.
Pt đã cho có tập xác định là: D=. Ta dễ kiểm tra hàm đồng biến trên D, hàm g(x)= nghịch biến trên D . Mà f(0)=g(0). Do vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=0.
 Bài tập áp dụng: giải phương trình:
.
.
 IV.Dạng 4: đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai
 Ví dụ: giải phương trình:
.
.
.
 HD:
a. Đặt y=.Ta được pt: y2-y-20 = 0 
Nghiệm y = -4 bị loại.Với y = 5 ta tìm được các nghiệm x = 6 ; x = -3.
 b. Đặt y= (y > 0). Ta thấy y2=4x-3+2
Ta được phương trình : y2-y-6=0 
Nghiệm y=-2 bị loại. 
Với y=3 ta được .Trong phần dùng tính đơn điệu của hàm số ta đã tìm được nghiệm duy nhất của pt này là x = 2. Vậy pt ban đầu có nghiệm duy nhất x = 2.
 c. Phần này phép đặt ẩn phụ ở phần này được gọi là không hoàn toàn.Cụ thể như sau :
 Đặt y=. Ta được phương trình : y2-(x+3)y+3x=0
 Với y=3 ta được : 
Với y=x ta được : . PT vô nghiệm.
Vậy nghiệm của pt đã cho là : 
 Bài tập áp dụng: giải phương trình:
(x+5)(2-x)=3.
.
.
.
.
.
.
x+.
(4x-1).
 2(1-x).
V. Dạng 5: các pt vô tỉ quy về pt chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 Ví dụ: giải phương trình:
 .
 HD: 
Nhân cả hai vế của phương trình với ta được:
 Bài tập áp dụng: giải phương trình:
.
.
.
.
VI. Dạng 6: giải pt vô tỉ bằng phương pháp nhân liên hợp.
 Ví dụ: giải phương trình: .
Nếu ta dùng phép bình phương để khử căn thì ta thu được pt vẫn còn rất phức tạp, không quy được về các dạng quen thuộc. Khi đó giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi xem các số liệu trong bài toán có gì đặc biệt. Trong bài tập này ta thấy (4x+1)-(3x-2)=x+3. Do đó ta nghĩ đến việc nhân cả hai vế của pt với liên hợp của vế trái. Lưu ý khi nhân cả hai vế của pt với u(x) ta cần quan tâm xem liệu u(x) có luôn khác 0 trên tập xác định của pt hay không. Nếu có ta phải xét riêng trường hợp này.
 HD:
 Pt có tập xác định D = .Ta thấy .
 Do vậy pt đã cho tương đương với: 5(x+3)=(x+3) 
 (Vì x+3 . Bằng phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số ta tìm được nghiệm duy nhất của pt là x=2.
 Bài tập áp dụng: giải phương trình:
.
.
.
4(x+1)2=(2x+10)(1-2.
VII. Dạng 7: phương pháp lượng giác hoá.
 Ví dụ: giải phương trình: 
 HD: 
 Pt đã cho có tập xác định là: D=[-1;1]. Đặt x=cost , ()
Ta được pt: 4cos3t-3cost=.Pt này có 3 nghiệm thuộc là: . Do vậy pt đã cho có 3 nghiệm là :
 Bài tập áp dụng: giải phương trình:
.
.
.
.
VIII. Dạng 8: . Trong đó A = A(x) ; B = B(x) ; C = C(x).
 Phương pháp giải của dạng này là : lập phương hai vế của pt ta được: 
 A+B+3. Sau đó thế vào pt mới ta thu được: 
 . Ta thu gọn hai vế rồi lập phương một lần nữa quy về pt bậc cao.
Ta cần lưu ý cho học sinh các phép biến đổi trên chỉ là phép biến đổi hệ quả. Vì khi thế ta thu được (*). 
 Mà (*)
Như vậy khi được nghiệm của phương trình cuối cùng ta phải thay vào pt ban đầu để thử lại.
 Ví dụ: giải phương trình: 
HD: 
Lập phương hai vế của pt đã cho ta được: 
Thế vào pt trên ta được: 
Thay các giá trị x = 0 ; x =-1 vào pt ban đầu ta thấy chỉ có x =-1 là thoả mãn .Vậy nghiệm pt ban đầu là  x =-1.
 Bài tập áp dụng: giải phương trình:
.
.
IX. Dạng 9: đặt ẩn phụ đưa về hệ
 Ví dụ: giải phương trình: 
 ( Dạng tổng quát là: )
 ( Dạng tổng quát là: )
.
.
 HD:
 a. Đặt . Ta được hệ: .
Lấy (1) trừ (2) theo các vế tương ứng ta được: 
Với y=-x ta được : 
Với y=x+1 ta được: .
Vậy pt dã cho có hai nghiệm: .
 b. Đặt . Ta được hệ đối xứng loại 2 : .
 Sau khi giải hệ này ta thu được các nghiệm của hệ :(1 ; 1) ; (-2 ;-2)
 Vậy pt đã cho có hai nghiệm : x1=1 ; x2=-2.
 c. Đặt .Ta được hệ : .
Thế u=1-v vào pt u3+v2=1 ta được: (1-v)3+v2=1 .Giải pt này ta thu được 3 nghiệm : v1=0 ; v2=1; v3=3.Từ đó suy ra pt đã cho có 3 nghiệm: x1=1 ; x2=2 ; x3=10.
 d. Đặt . Ta được hệ đối xứng loại I:
 . Giải hệ này ta thu được hai nghiệm: (1;3) ; (3;1). 
 Từ đó tìm được các nghiệm của pt dã cho là: x1=-17 ; x2=23.
 Bài tập áp dụng: giải phương trình:
.
.
.
.
.
.
.
X. Dạng 10: một số phương trình vô tỉ không mẫu mực
 Dạng này đòi hỏi học sinh phải có sự sáng tao trong làm toán. Trong các bài toán ở dạng này ta thường dùng các phương pháp : nhận xét, đánh giá, dùng các bất đẳng thức cổ điển...
 Ví dụ: giải phương trình:
.
 HD: 
Pt có tập xác định D = [1;+). Với mọi x thuộc D ta thấy: 
 . Dấu bằng xảy ra .
 . Dấu bằng xảy ra .
 Từ đó dễ suy ra pt có nghiệm duy nhất x=1.
Ta cũng có thể giải bài toán này bằng phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.
 b. .
 HD: 
Pt có tập xác định D=[2 ;4] . Với mọi x thuộc D, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : .
Dấu bằng xảy ra .
 . Dấu bằng xảy ra .
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=3.
Ta cũng có thể dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá vế trái.
 c. 
 HD : 
Dễ thấy pt có tập xác định là R. áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có :
 Dấu bằng xảy ra 
 Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 0.
 d. .
 HD : 
Pt có tập xác định D=, áp dụng bđt Côsi ta có: 
 .
 Dấu bằng xảy ra .
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=1/16.
 đ. .
 HD : 
Ta thấy : .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = 1.
 . Dấu bằng xảy ra 
 Vậy nghiệm pt là .
 e.
HD: 
 +) Thay x = n; x= n+1 vào pt thấy thoả mãn.
 +) Nếu x < n thì . Do vậy mọi x < n không là nghiệm của pt.
 +) Nếu x > n+1 thì . Do vậy mọi x > n+1 không là nghiệm của pt.
 +) Nếu n < x < n+1thì : 
 . Suy ra mọi x thoả n < x < n+1 cũng không là nghiệm pt.
Vậy pt đã cho có hai nghiệm: x1=n ; x2=n+1.
 g. . (*)
Trong bài này học sinh rất dễ mắc sai lầm là đem chia cả hai vế của phương trình cho được pt: . Giáo viên nên tạo ra lời giải theo hướng này và yêu cầu học sinh tìm chỗ sai trong lời giải.
 HD:
 Pt có tập xác định 
+) Nếu thì (*) . Ta thấy . Do vậy mọi không là nghiệm pt.
+)Thay x=0 vào pt thấy thoả mãn.
+) Nếu thì (*) . Ta thấy . Do vậy mọi cũng không là nghiệm pt.
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=0.
 h. .
 HD
 +) Trước tiên ta đi chứng minh bđt :
 Dấu bằng ở bđt này xảy ra 
 +) áp dụng bđt trên ta có : 
Dấu bằng xảy ra 
 Bài tập áp dụng: giải phương trình:
.
.
.
.
.
XI. Dạng 11: các pt vô tỉ có chứa tham số.
 Đối với các pt vô tỉ có chứa tham số ta thường gặp các loại câu hỏi sau:
+) Tìm m để pt có nghiệm trên D.
+) Tìm m để pt có n nghiệm (n>1) trên D.
+)Tìm m để pt có nghiệm duy nhất.
+) Biện luận theo m số nghiệm của pt.
 Ví dụ1: tìm m để phương trình:
 a. có nghiệm.
 HD:
Cách 1: pt trên có tập xác định là R. Xét hàm : f(x)= .
 Ta có f’(x)=. .
 Dễ tính được : 
Ta có bảng: 
x
f’(x)
 - 0 +
f(x)
Nhìn vào bbt ta thấy pt có nghiệm khi và chỉ khi .
Cách 2 : pt đã cho 
Pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi pt (*) có nghiệm thuộc .Ta dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai được đáp số như trên.
 b. có nghiệm trên (0 ;1).
 HD : 
Đặt y = . Bằng cách lập bbt của hàm u(x)= 2x-x2 trên khoảng (0 ;1) ta được tập giá trị của y trên (0 ;1) cũng là (0 ;1). Ta được pt : y2+y = 1-m (*) . 
 Pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm trên (0 ;1)
Xét hàm f(y) = y2+y trên (0 ; 1). Ta thấy f(y) đồng biến trên (0 ;1) , do vậy hay tập giá trị của f(y) trên (0 ;1) là (0 ;2). Vậy pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi : 0< 1-m <2 hay -1 < m < 1.
Bài này học sinh thường mắc sai lầm là khi đặt ẩn phụ : y = v(x) học sinh thường không tìm hoặc tìm không chính xác tập giá trị của y trên D. Sau đó lập luận pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi pt ẩn y có nghiêm. GV chú ý phân tích kỹ giúp học sinh tránh sai lầm này.
 c. có 4 nghiệm phân biệt.
 HD : 
 Pt có tập xác định là [-3 ;1]. Đặt y = . Ta có bảng :
x
-3 -1 1
y
 2
0 0
Ta được pt ẩn y : 3-y2 + my = m2 y2- my + m2 -3 = 0.
Đặt f(y)= y2- my + m2 - 3 .Từ bbt ta thấy pt ban đầu có 4 nghiệm khi và chỉ khi f(y) có hai nghiệm phân biệt thuộc [0 ;2). Điều kiện cần và đủ là : 
 Giải hệ này ta được : .
 d..
 HD :
+) Điều kiên cần : giả sử x0 là nghiệm của phương trình đã cho thì ta thấy 1-x0 cũng là nghiệm của pt đã cho. Do vậy điều kiện cần để pt có nghiệm duy nhất là x0=1-x0 hay x0=1/2. Thay x0=1/2 vào pt ta được : .
 +) Điều kiện đủ : 
 Với m =0 khá dễ dàng thấy pt có nghiệm duy nhất x=1/2.
 Với m=-1 pt trở thành : .
 .
 Vơi m=1 pt trở thành: . Ta thấy x=0; x=1 khi thay vào pt đều thoả mãn.
Vậy đáp số bài toán là: m = 0; m =-1.
 Ví dụ2: biện luận theo m số nghiệm pt:
 .
HD: 
 Ta thấy pt luôn nhận x=0 là nghiệm với mọi m.Trên tập , pt đã cho tương đương với : (*)
 Số nghiệm của pt ban đầu bằng số nghiệm của pt (*) cộng với 1.
 Xét hàm trên . 
Ta có : . Ta tính được : 
Ta có BBT : 
x
 0 
f’(x)
 - -
f(x)
 	1
Nhìn vào bảng BT ta thấy:
 +) Nếu m>1 hoặc m<-1 thì pt f(x) =m có 1 nghiệm, suy ra PT ban đầu có hai nghiệm.
 +) Nếu thì PT f(x) =m vô nghiệm, suy ra PT ban đầu có một nghiệm.
 Bài tập áp dụng:
 Bài 1 : Tìm m để pt sau có nghiệm
 .
.
 .
.
m.
mx=
.
.
 Bài 2 : Tìm m để pt : 
 có hai nghiệm phân biệt.
 có 4 nghiệm phân biệt.
 có hai nghiệm.
Bài 3 : Tìm m để pt :
 có nghiệm duy nhất.
 có nghiệm duy nhất.
 có nghiệm duy nhất trên [3 ;5]
Bài 4 : Biện luận theo m số nghiệm pt:
.
.
.
Phần III : 
Một số khó khăn, thuận lơị và những quan điểm khi dạy học phần này.
1. Những khó khăn và thuận lợi khi dạy chủ đề này :
*) Khó khăn : 
Khi giải phương trình nhiều khi học sinh không nắm vững phép biến đổi đó tương đương hay hệ quả.
Kĩ năng tính toán của học sinh còn kém, một số học sinh khi biến đổi căn thức còn mắc nhiều sai lầm chẳng hạn như : 
Đối với học sinh lớp 10,việc vận dụng các định lý đảo về dấu tam thức bậc hai còn hạn chế. Khi vận dụng vào các dạng toán chứa tham số các em hay bỏ xót trường hợp hoặc đủ trường hợp nhưng tính toán không chính xác. Đối với học sinh lớp 12 khi lập bảng biến thiên ở các chứa tham sô các em tính các nhánh vô cực nhiều khi còn khó khăn.
*) Thuận lợi : chuyên đề này kiến thức không trìu tượng, có thể nói là khá dễ dạy, học sinh dễ thu lượm được các dạng cơ bản.
2. Một số quan điểm khi dạy học phần này :
Dạy cho đối tượng đại chà những dạng cơ bản, cho học sinh khá giỏi cả chuyên đề. Chú ý rèn kĩ năng tính toán cho học sinh.
Đối với học sinh lớp 10 , dạng có chứa tham số chỉ dừng ở mức độ nhất định, không nên quá sa đà vào dạng này.Những bài nào có thể dùng bbt của hàm bậc hai thì ta nên hướng dẫn học sinh theo hướng đó, không nên dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai làm phức tạp bài toán.
Khi học sinh học đến các dạng pt lượng giác , mũ , logarit, ta nên lồng ghép những loại này với phương trình vô tỉ.