Đề cương ôn tập Toán Lớp 10 - Hàm số bậc nhất và bậc hai

HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
Trong chương trình môn Toán THCS, học sinh đã nắm được các khái niệm hàm số, hàm số bậc nhất, hàm số , hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến. Chủ để này ôn tập và bổ sung các khái niệm cơ bản về hàm số, tập xác định, đồ thị của hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ, xét chiều biến thiên của hàm số và áp dụng vào việc khảo sát các hàm số bậc nhất, bậc hai.
ççç
§1. Đại cương về hàm số
A. Lý thuyết
STUDY TIP
+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi xác định và .
+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi 
+ Biểu thức xác định 
1. Định nghĩa hàm số
Cho một tập hợp khác rỗng . Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là ; số đó gọi là giá trị của hàm số f tại x. Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm số f, tập các giá trị của hàm số gọi là tập giá trị của hàm số. Ta viết .
2. Tập xác định của hàm số
Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực x sao cho giá trị của biểu thức được xác định, hay nói đơn giản là ta có thể tính được .
Các bước tìm tập xác định của hàm số :
+ Bước 1: Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định;
+ Bước 2: Viết kết quả tìm được ở bước 1 dưới dạng tập hợp.

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số sau:
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) .
khi và chỉ khi xác định và .
+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi và 
Lời giải
a) Biểu thức xác định khi và chỉ khi . Vậy .
STUDY TIP
Cho a là một số dương.
+ 
;
+ 
b) Biểu thức xác định khi và chỉ khi . Vậy .
c) Biểu thức xác định khi và chỉ khi .
Vậy .
Chú ý: Lời giải sai: .
d) Biểu thức xác định khi và chỉ khi
.
Vậy .
3. Đồ thị của hàm số
Cho hàm số xác định trên tập D. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ với , gọi là đồ thị của hàm số . Nói cách khác, và .
Ví dụ 2: Đồ thị của hàm số đi qua điểm nào sau đây?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Với thì .
Vậy đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm .
Đáp án D.
Ví dụ 3: Cho hàm số xác định trên đoạn có đồ thị là đường gấp khúc được cho như trong hình dưới đây:
Dựa vào đồ thị hàm số, hãy chỉ ra:
a) ;
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn ;
c) Dấu của trên khoảng .
Lời giải
a) ;
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là , đạt được tại hoặc ;
c) với mọi .
* Sự tương giao của các đồ thị:
Cho hai hàm số và có đồ thị lần lượt là và .
Các bước tìm tọa độ giao điểm của và :
+ Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của và:
 (*).
+ Bước 2: Giải phương trình (*).
+ Bước 3: 
- Nếu (*) vô nghiệm: Kết luận hai đồ thị không có giao điểm.
- Nếu (*) có n nghiệm thì hai đồ thị có n giao điểm. Thay các nghiệm của (*) vào một trong hai biểu thức hoặc để tìm tung độ các giao điểm (thường ta thay vào các biểu thức đơn giản hơn) rồi chuyển sang bước 4.
+ Bước 4: Viết tọa độ của các giao điểm.

Ví dụ 4: Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của đồ thị hai hàm số và .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: (*).
Ta có 
.
Vậy (*) có nghiệm duy nhất .
Thay vào hàm số ta được .
Vậy đồ thị hai hàm số đã cho có một giao điểm duy nhất có tọa độ là .
4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
* Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên tập D.
Giá trị lớn nhất
 
Giá trị nhỏ nhất
 
* Các bước tìm giá trị lớn nhất của hàm số (tương tự cho tìm giá trị nhỏ nhất):
+ Bước 1: Tìm tập xác định D (nếu đề bài chưa cho).
+ Bước 2: Chứng minh .
+ Bước 3: Chỉ ra tồn tại sao cho .
+ Bước 4: Kết luận .
STUDY TIP
Khi tìm GTLN, GTNN của hàm số, nhất định phải chỉ ra đẳng thức xảy ra khi nào rồi mới kết luận. 
Ví dụ 5: Cho hàm số . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên tập xác định của nó.
Lời giải
Điều kiện xác định: .
Do đó .
Ta có . Mặt khác .
Vậy .
Lời giải sai: Ta có . Do đó giá trị lớn nhất của hàm số là 1.
Lời giải này sai do đẳng thức không xảy ra với bất cứ giá trị nào của x.
Thật vậy, , vô lí.
5. Tính chẵn, lẻ của hàm số
* Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên tập D.

Định nghĩa
Đồ thị
Hàm số chẵn
 
Đối xứng qua trục Oy
Hàm số lẻ
 
Đối xứng qua gốc O
STUDY TIP
Tập xác định của một hàm số chẵn (lẻ) là một tập đối xứng. 
* Nhận xét: Trong các khẳng định dưới đây, ta coi hai hàm số là có cùng tập xác định. Khi đó ta có:
- Tổng của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn.
- Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số lẻ.
- Tích của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn.
- Tích của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn.
- Tích của một hàm số lẻ và một hàm số chẵn là một hàm số lẻ.
* Lưu ý: Tập D có tính chất là một tập đối xứng qua điểm , và thường được gọi là tập đối xứng.
* Các bước chứng minh hàm số là hàm số chẵn (hoặc là hàm số lẻ):
+ Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số (nếu chưa cho). Chỉ ra D là tập đối xứng.
+ Bước 2: Chứng minh thì (hoặc ).
STUDY TIP
Để chứng minh hàm số không phải là hàm số chẵn, ta cần chỉ ra: Hoặc D không phải là tập đối xứng (tức là mà ), hoặc sao cho (chỉ cần chỉ ra một trong hai điều kiện là đủ). Tương tự như vậy đối với hàm số lẻ.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng hàm số là hàm số lẻ.
Lời giải
Tập xác định là tập đối xứng.
Ta có .
Vậy f là hàm số lẻ.
Ví dụ 7: Xét tính chẵn, lẽ của các hàm số sau:
	a) ;	b) 
Lời giải
a) Tập xác định là tập đối xứng.
Ta có và .
Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.
b) Tập xác định . Dễ thấy D không phải là một tập đối xứng.
Thật vậy với thì . Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.
* Nhận xét: Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ, chẳng hạn hai hàm số ta vừa xét trong ví dụ trên.
6. Sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.

Định nghĩa
Điều kiện tương đương
Đồ thị
 đồng biến trên K
 
 
Đi lên từ trái sang phải (theo chiều tăng của đối số)
 nghịch biến trên K
 
 
Đi xuống từ trái sang phải (theo chiều tăng của đối số)
Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của hàm số. Kết quả xét chiều biến thiên của hàm số được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.
Các bước lập bảng biến thiên của hàm số :
+ Bước 1: Tìm tập xác định (nếu đề bài chưa cho);
+ Bước 2: Lập rồi rút gọn tỉ số ;
+ Bước 3: Xét dấu tỉ số thu được ở bước 2, từ đó suy ra các khoảng biến thiên của hàm số;
+ Bước 4: Ghi kết quả thu được vào bảng biến thiên.

Ví dụ 8: Lập bảng biến thiên của hàm số .
Lời giải
Tập xác định: .
Ta có và . Do đó:
+ Nếu thì Hàm số nghịch biến trên khoảng .
+ Nếu thì Hàm số đồng biến trên khoảng .
Từ đó ta có bảng biến thiên:
Lưu ý: Hàm số với c là hằng số được gọi là hàm số hằng (hay hàm số không đổi). Đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua điểm và song song hoặc trùng với trục Ox.
Ta có thể suy ra chiều biến thiên của hàm số dựa vào đồ thị. Chẳng hạn, cho hàm số xác định trên có đồ thị được cho như trong hình dưới đây:
Khi đó hàm số có bảng biến thiên như sau:
Nhận xét:
* Cho hai hàm số và cùng xác định trên .
+ Nếu và cùng đồng biến (cùng nghịch biến) trên K thì đồng biến (nghịch biến) trên K.
+ Nếu đồng biến (nghịch biến) trên K thì đồng biến (nghịch biến) trên K với mọi nghịch biến (đồng biến) trên K với mọi .
Dạng 1
B. Các dạng toán điển hình
STUDY TIP
Không rút gọn biểu thức của hàm số khi tìm tập xác định của nó. 
Tìm tập xác định của hàm số 
Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số .
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải
Điều kiện xác định: . Vậy .
Đáp án D.
STUDY TIP
+ 
+ 
+ 
+ 
Lưu ý: Nếu rút gọn rồi khẳng định là sai. Vì với thì biểu thức ban đầu không xác định.
Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Điều kiện xác định .
Vậy .
Dạng 2
Đáp án C.
Đồ thị của hàm số
Ví dụ 3: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Với thì . Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho.
STUDY TIP
Một đường thẳng song song hoặc trùng với trục Oy cắt đồ thị hàm số nhiều nhất tại một điểm. 
Đáp án C.
Ví dụ 4: Đường cong trong hình nào dưới đây không phải là đồ thị của một hàm số dạng ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Đường cong trong hình D không phải là đồ thị của một hàm số dạng vì mỗi giá trị ứng với hai giá trị phân biệt của y.
Đáp án D.
Ví dụ 5: Hình dưới đây là đồ thị của hàm số có tập xác định là .
a) Tìm số nghiệm của phương trình .
	A. 0	B. 1	C. 2	D. 3
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình có 3 nghiêm phân biệt.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
a) Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số và .
Đồ thị hàm số là đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.
STUDY TIP
Số giao điểm của đồ thị hai hàm số và là số nghiệm của phương trình 
Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại một điểm duy nhất.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.
Đáp án B.
b) Ta có: (*).
(*) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số và . Đồ thị hàm số là đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng m.
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt.
Quan sát trên đồ thị hàm số ta thấy nếu thì đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt.
Vậy các giá trị nguyên cần tìm của m là .
Đáp án A.
Ví dụ 6: Hình dưới đây là đồ thị của hàm số có tập xác định là .
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình .
	A. 
	B. 
	C. 
	D. .
Lời giải
Quan sát trên đồ thị ta thấy (đồ thị của hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành).
Vậy .
Đáp án B.
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số và cắt nhau tại hai điểm phân biệt và sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
	A. 0	B. 4	C. 7	D. 9
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số:
 (*).
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt
 (*) có hai nghiệm phân biệt (**).
Khi đó và là hai nghiệm của (*).
Theo Viet ta có . Do đó .
Ta có .
Vậy với mọi m thỏa mãn (**); .
Vậy với thì T đạt giá trị lớn nhất bằng 9.
Dạng 3
Đáp án D.
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
(Phần này chỉ mang tính chất giới thiệu. Chủ đề “Bất đẳng thức” sẽ viết kĩ hơn về nội dung này)
Ví dụ 8: Cho hàm số xác định trên đoạn có đồ thị được cho như trong hình dưới đây:
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của trên đoạn . Tính .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Quan sát trên đồ thị ta thấy (ứng với ), (ứng với ). Vậy .
Đáp án B.
Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
	A. 0	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Tập xác định .
+ .
+ .
Vậy .
Đáp án B.
Lời giải sai: . Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0.
Lời giải này sai do đẳng thức không xảy ra với bất cứ giá trị nào của x. Thật vậy, , vô lí.
Ví dụ 10: Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số . Tính .
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải
Tập xác định .
Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có :
;
.
Vậy .
Cách 2: (Sử dụng tập giá trị của hàm số)
Gọi là một giá trị bất kì thuộc tập giá trị của hàm số đã cho. Khi đó phải tồn tại một giá trị x sao cho (*). Ta coi (*) là phương trình ẩn x, tham số .
+ Nếu thì ...  của bể nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất là chiều dài 10m, chiều rộng 5m, chiều cao thước của bể nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất là chiều dài 10m, chiều rộng 5m, chiều cao m.
II. HÀM SỐ BẬC NHẤT
Câu 1: Đáp án D.
Ta có: ;
;
.
Do đó có 3 cặp đường thẳng song song, đó là:
 và ;
 và ;
 và .
Câu 2: Đáp án B.
Cách 1: Đường thẳng đi qua hai điểm là và và .
Điểm đối xứng với A, B qua trục tung lần lượt là và .
Áp dụng kết quả “Đường thẳng đi qua hai điểm và , trong đó a, b là các số thực khác 0, có phương trình là ”, ta có phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua trục tung là: 
.
Vậy .
Cách 2: Gọi d là đường thẳng và là đường thẳng đối xứng với d qua trục tung.
Ta có nếu thì .
Vậy .
Câu 3: Đáp án C.
Cách 1: 
Vậy .
Cách 2: 
Suy ra .
Vậy .
Câu 4: Đáp án C.
Ta có 
.
Ta thấy với thì .
Vậy .
Do đó .
Câu 5: Đáp án B.
Ta có bảng sau:
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số:
Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi .
Câu 6: Đáp án C.
Nửa đường đi của tia sáng nằm phía trên trục hoành (ứng với ) đi qua gốc tọa độ và điểm nên có phương trình .
Nửa đường đi của tia sáng nằm phía dưới trục hoành (ứng với ) đi qua gốc tọa độ và điểm nên có phương trình .
Vậy hàm số có đồ thị trùng với đường đi của tia sáng đã cho là
.
Câu 7: Đáp án A.
Với thì
.
Do đó .
Đặt .
Ta cần tìm m sao cho với mọi (1).
Gọi và là hai điểm thuộc đồ thị của hàm số . Khi đó đồ thị hàm số là đường thẳng AB. Do đó điều kiện có nghĩa là đoạn thẳng AB nằm hoàn toàn phía trên trục hoành. Điều này xảy ra khi và chỉ khi cả hai đầu mút A, B của đoạn thẳng đều nằm phía trên trục hoành, có nghĩa là .
Giải hệ tìm được . Vậy không có giá trị nguyên âm nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 8: Đáp án C.
Ta có bảng biến thiên của hàm số:
Từ đó suy ra:
, và , còn giá trị lớn nhất của hàm số trên thì không tồn tại.
Vậy có 3 khẳng định đúng.
Câu 9: Đáp án A.
Ta có bảng sau:
Vậy .
Từ đó ta có đồ thị của hàm số:
Suy ra .
Vậy .
Do đó .
III. HÀM SỐ BẬC HAI
Câu 1: Đáp án A.
Ta thấy với mọi m:
Khi thì .
Vậy .
Do đó tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là .
Câu 2: Đáp án C.
Parabol quay bề lõm xuống dưới .
Parabol cắt Oy tại điểm có tung độ dương .
Đỉnh của parabol có hoành độ dương mà nên suy ra .
Câu 3: Đáp án D.
Hàm số có giá trị nhỏ nhất là .
Suy ra hàm số có giá trị lớn nhất là .
Câu 4: Đáp án A.
Hoành độ của đỉnh .
Tung độ của đỉnh:
Vậy đỉnh I của thuộc parabol .
Câu 5: Đáp án A.
Phương trình hoành độ giao điểm của và :
 (*).
(*) có a, c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Do đó và luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m. Khi đó là hai nghiệm phân biệt của (*).
Theo Viet ta có .
Ta có .
Suy ra 
.
Vậy I luôn thuộc parabol với mọi m.
Chú ý: Cho hai điểm , . Trung điểm của đoạn thẳng AB là .
Câu 6: Đáp án B.
Từ giả thiết suy ra parabol đi qua điểm .
Từ đó ta có .
Vậy .
Câu 7: Đáp án C.
Cách 1: Đặt .
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .
Cách 2: Ta có
; .
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là .
Câu 8: Đáp án D.
Ta có .
Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 3.
Câu 9: Đáp án C.
Gọi phương trình của parabol quỹ đạo là . Từ giả thiết suy ra parabol đi qua các điểm , và .
Từ đó ta có
.
Vậy phương trình của parabol quỹ đạo là .
Giải phương trình 
 ta tìm được một nghiệm dương là .
Câu 10: Đáp án D.
Vì đường thẳng có một điểm chung duy nhất với và đường thẳng cắt tại hai điểm có hoành độ là và 5 nên suy ra tọa độ đỉnh của là:
.
Vậy đi qua ba điểm , và .
Từ đó ta có hệ
.
Vậy .
Câu 11: Đáp án A.
Phương trình hoành độ giao điểm của và :
 (1).
(1) có hai nghiệm dương phân biệt
 (2).
Theo Vi-et ta có .
 (thỏa mãn (2)).
Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 12: Đáp án C.
Ta có .
Vì nên đồ thị hàm số là một parabol quay bề lõm lên trên và có điểm thấp nhất là đỉnh .
Từ đó ta xét các trường hợp sau:
* Trường hợp 1:
 (1).
Khi đó .
Vậy ta phải có 
 (không thỏa mãn (1)).
* Trường hợp 2:
 (2).
Khi đó .
Ta phải có .
Chỉ có thỏa mãn .
* Trường hợp 3:
 (3).
Khi đó .
Ta phải có hoặc .
Chỉ có thỏa mãn .
Vậy .
Câu 13: Đáp án C.
Đồ thị hàm số là một parabol quay bề lõm lên trên và có đỉnh có hoành độ .
Ta có 
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy .
Ta thấy nếu thì 
,
.
Ngược lại nếu thì
,
.
Vậy 
.
Vậy . Do đó tổng bình phương các phần tử thuộc S bằng 2.
Câu 14: Đáp án B.
Đặt .
Bất phương trình
 thỏa mãn với mọi khi và chỉ khi
.
Ta có 
.
Từ đó ta có đồ thị của hàm số như sau:
Suy ra .
Vậy .
Suy ra có 2014 giá trị nguyên thuộc đoạn của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 15: Đáp án C.
Ta có 
Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng .
Vẽ đồ thị hàm số :
- Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số .
- Bước 2: Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số .
- Bước 3: Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số .
Quan sát đồ thị ta thấy phương trình có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi .
Vậy .
IV. ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 2
Câu 1: Đáp án A.
Với thì điểm không thuộc đồ thị của hàm số.
Câu 2: Đáp án D.
Xem lại Ví dụ 13 – dạng 4, §1. Đại cương về hàm số.
Câu 3: Đáp án B.
Hoành độ của đỉnh: Tung độ của đỉnh: .
Câu 4: Đáp án D.
Rõ ràng không phải là các hàm số lẻ.
Xét hàm số: .
+ TXĐ: là tập đối xứng.
+ 
 Hàm số là hàm số lẻ.
Câu 5: Đáp án C.
Câu 6: Đáp án B.
Dễ thấy hàm số là hàm số chẵn. Do đó đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung.
Câu 7: Đáp án D.
TXĐ: .
 ta có:
Do đó: : 
.
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng và .
Câu 8: Đáp án A.
Trên khoảng : Đồ thị hàm số có chiều đi xuống từ trái qua phải.
Câu 9: Đáp án B.
Hàm số xác định
.
Câu 10: Đáp án A.
Tập xác định: .
:
.
Ta có: :
 Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .
Câu 11: Đáp án A.
.
Ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 12: Đáp án B.
Xem lại Ví dụ 4 – dạng 2, §1. Đại cương về hàm số.
Câu 13: Đáp án B.
Khoảng đối xứng với khoảng qua điểm .
Hàm số f là hàm số chẵn xác định trên D nên D là tập đối xứng qua điểm .
Mà nên .
Mặt khác đồ thị của f đối xứng qua trục Oy. Mà f đồng biến trên .
Do đó f sẽ nghịch biến trên .
Câu 14: Đáp án C.
 là đỉnh của .
 thuộc parabol
.
Do đó đỉnh của là .
Câu 15: Đáp án C.
Phương trình hoành độ giao điểm của và :
 (1)
Đặt: thì (1) trở thành (2)
Phương trình (2) có nên có 2 nghiệm trái dấu. Suy ra (1) có 2 nghiệm phân biệt và có hai giao điểm.
Câu 16: Đáp án D.
Phương trình hoành độ giao điểm của và :
 (*)
 và có điểm chung
 có nghiệm 
 Có 4 giá trị nguyên âm của m để và có điểm chung, đó là: .
Câu 17: Đáp án C.
Từ giả thiết suy ra điểm cao nhất của cổng cách mặt đất một khoảng bằng 8m.
Câu 18: Đáp án D.
Phương trình hoành độ giao điểm:
 hoặc .
Tổng tung độ các điểm chung:
.
Câu 19: Đáp án B.
.
Quan sát bảng biến thiên ta thấy đường thẳng cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt
.
Câu 20: Đáp án A.
Cách 1: Đường thẳng đi qua 2 điểm và .
Suy ra và lần lượt là các điểm đối xứng với A và B qua Ox.
Do đó đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua trục hoành có phương trình là:
.
Cách 2: Gọi d là đường thẳng: và là đường thẳng đối xứng với d qua Ox.
Ta có nếu thì .
Do đó phương trình của là:
.
Câu 21: Đáp án A.
Phương trình hoành độ giao điểm
.
 và .
Câu 22: Đáp án A.
Phương trình hoành độ giao điểm:
 (*)
 cắt tại hai điểm phân biệt
 có 2 nghiệm phân biệt
 (**)
Khi đó: 
 hoặc , cả hai giá trị này của m đều không thỏa mãn (**). Vậy A là đáp án đúng.
Câu 23: Đáp án B.
Các hàm số chẵn là (II) và (IV).
Câu 24: Đáp án A.
Phương trình hoành độ giao điểm:
 (*)
(*) có 2 nghiệm phân biệt
Kết hợp với (1):
 Trên đoạn có 16 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán, đó là các giá trị .
Câu 25: Đáp án C.
Phương trình hoành độ giao điểm:
 (1)
Đặt thì (1) trở thành:
 (2)
(1) có 4 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm lớn hơn 2 còn ba nghiệm kia nhỏ hơn 1
 (2) có 2 nghiệm thỏa mãn 
.
Câu 26: Đáp án C.
 Có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 27: Đáp án C.
 đi qua .
Tung độ của đỉnh là 
 (*)
Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. Suy ra có hai bộ số thõa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 28: Đáp án C.
Từ bảng biến thiên ta thấy .
Từ đó đáp án đúng là C.
Câu 29: Đáp án D.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là .
Câu 30: Đáp án A.
Đồ thị hàm số :
Suy ra, các giá trị nguyên của m để phương trình có 8 nghiệm phân biệt là 1, 2, 3.
Câu 31: Đáp án C.
Ta có: .
 thuộc tập xác định của hàm số.
Có .
Vậy .
Câu 32: Đáp án D.
Ta có: 
.
Dấu bằng xảy ra khi:
.
Vậy MA bé nhất bằng khi .
Câu 33: Đáp án C.
.
Vậy tập xác định của hàm số là .
Câu 34: Đáp án C.
Ta có: .
.
Vậy .
(Xem lại Ví dụ 8, Bài 3 – Hàm số bậc hai hoặc có thể dùng chức năng Table của MTCT).
Câu 35: Đáp án C.
Tập xác định: 
Ta có 
 thì 
.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 36: Đáp án B.
Loại ngay A và D vì các hàm số này có tập xác định không phải là khoảng .
Với hàm số :
+ Tập xác định: ;
+ :
.
Vậy hàm số đồng biến trên .
Câu 37: Đáp án D.
Ta có: ;
Vậy .
Câu 38: Đáp án A.
.
Câu 39: Đáp án B.
Cách 1: Nhập vào màn hình MTCT như sau:
Bấm CALC, nhập , bấm phím = liên tiếp đến khi thì bấm phím = thêm một lần nữa, kết quả Y trên màn hình là giá trị cần tìm.
Cách 2: Dễ chứng minh được bằng quy nạp: , .
Vậy .
Câu 40: Đáp án A.
Vì nên .
Ta có:
.
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy .
Câu 41: Đáp án A.
Tập xác định .
Ta có
Đồ thị hàm số cắt Ox tại một điểm có hoành độ thuộc khoảng khi và chỉ khi 
.
Đồ thị hàm số cắt Ox tại một điểm có hoành độ thuộc khoảng khi và chỉ khi 
Ta thấy hai khoảng và là rời nhau.
Vậy tập hợp các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Từ đó đáp án đúng là A.
Câu 42: Đáp án B.
Ta có bảng biến thiên của hàm số
:
Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên dương của m để phương trình vô nghiệm, đó là .
(Xem lại Ví dụ 10, Bài 2 – Hàm số bậc nhất)
Câu 43: Đáp án B.
Bảng biến thiên của hàm số:
:
Vậy có 3 giá trị nguyên của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt là ; ; .
Câu 44: Đáp án B.
Ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy .
Câu 45: Đáp án C.
Dễ chứng minh được hàm số đồng biến trên các khoảng và .
Vậy và .
Do đó 
Câu 46: Đáp án C.
Ta có: 
.
Câu 47: Đáp án C.
Tập xác định: 
Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi
.
Vậy GTLN của hàm số là .
Câu 48: Đáp án C.
Tập xác định: .
.
Dấu bằng xảy ra khi
.
Vậy và phương trình có hai nghiệm là
.
Câu 49: Đáp án A.
Tập xác định: .
.
+ : phương trình trở thành . Phương trình này vô nghiệm.
+ : phương trình tương đương với .
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
.
Vậy .
Câu 50: Đáp án B.
Ta có: .
;.
* hoặc 
+ Với : .
Loại .
+ Với .
Loại .
* hoặc 
+ Với .
Loại .
+ Với ;
. Nhận .
* hoặc 
+ Với ;
. Nhận .
+ Với .
Loại .
* Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.