Đề tài Giải bất đẳng thức bằng phương pháp đưa về một biến

A. lý DO CHọN Đề TàI
Trang bị những tri thức cơ bản, cần thiết, tiên tiến nhất đặc biệt là những tri thức phương pháp và phát triển trí tuệ cho học sinh là các mục tiêu được đặt lên hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn toán.
Bất đẳng thức là một vấn đề được giáo viên và học sinh thâm nhập với một lượng thời gian khá nhiều vì đây là vấn đề có thể phát triển khả năng tư duy toán học cho học sinh.
Thế nhưng qua việc tìm hiểu vấn đề này trong quá trình dạy học tôi thấy mặc dù đã có rất nhiều phương pháp giải cho những bài toán bất đẳng thức điển hình cụ thể có nhiều dạng. Có những bài toán bất đẳng thức khó khi bồi dưỡng học sinh khá giỏi việc sử dụng những phương pháp đã có gặp nhiều khó khăn, vì thế với hướng suy nghĩ khắc phục những hạn chế về phương pháp giải đã có trước tôi đã tìm kiếm thêm được một phương pháp tiện lợi để giải quyết những bài toán khó và cũng để khơi dậy trí tìm tòi của học sinh và giáo viên trong quá trình tự học, khơi dậy lòng say mê tìm kiếm những cái mới. 
Vì những lý do đó: Dưới đây tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp một phương pháp giải cho những bài toán bất đẳng thức: ” Giải bất đẳng thức bằng phương pháp đưa về một biến” ( Thường là những bài bất đẳng thức khó, xảy ra trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi Đại học). Và trong một số bài toán tôi khai thác sâu thêm bằng những hoạt động trí tuệ như tổng quát, phân tích, so sánh, đặc biệt hóa...
 Nội dung đề tài gồm hai phần :
Phần I: một biến là ẩn phụ t=h(x,y,z,...).
 Phần II: Một biến là x(y hoặc z).
	 1. Đưa về 1 biến nhờ điều kiện.
	2. Đưa dần về 1 biến.
b.nội dung đề tài
I. PHương pháp
1. Bài toán: Xét bài toán:Với điều kiện R (nếu có) . Chứng minh rằng
P=f(x,y,z,...)(hoặc A)
Phương pháp giải:
 Chứng minh: P 
 Chứng minh: .
 Chứng minh: P g(t) 
 Chứng minh: g(t) A .
Vấn đề đặt ra là đánh giá biểu thức p để đưa về biểu thức một biến g(t) và chứng minh
 - Việc chứng minh ở đây tôi có thể sử dụng cách biến đổi, dùng các bất đẳng thức cơ bản hoặc với hoc sinh lớp 12 có thể làm bằng cách sử dụng đạo hàm lập bảng biến thiên để giải. 
 - Còn đánh giá P nói chung là phong phú tùy thuộc từng bài toán để lựa chọn cách đánh giá thích hợp (dùng cách biến đổi , sử dụng bất đẳng thức cổ điển. bunhiacopki,côsi,....). 
*/ Kiến thức bổ sung 
1.Bất đẳng thức cơ bản :
a.Bất đẳng thức côsi:
cho số không âm khi đó:
 đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
b. Bất đẳng thức bunhiacopxki:
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
c. Bất đẳng thức svac-xơ (hệ quả của bất đẳng thức bunhiacopxki) : 
với là số dương: 
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 
2.Tính chất:
a. Nếu P có giá tri không đổi khi ta hoán vị vòng quanh các biến x,y,z..
chẳng hạn P= f(x,y,z) = f(y,z,x) = f(z,x,y).
khi đó không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x = max(x,y,z,...) hoặc x = min(x,y,z,...)
b. Nếu P có giá trị không đổi khi ta hoán vị một cách bất kì các biến x,y,z...
chẳng hạn P = f(x,y,z) = f(x,z,y) = f(y,x,z) = f(y,z,x) = f(z,x,y) = f(z,y,x). 
khi đó không mất tính tổng quát ta có thể sắp xếp các biến theo một thứ tự 
II. một biến là ẩn phụ t=h(x,y,z,...).
Bài toán 1: 
 Với x,y là các số thực dương chứng minh rằng:
 	(1)
	Giải: 
 Vì x là số dương nên:
(1) . Đặt =t ( t >0).
C1: Ta có: (1) trở thành : t-t- t+ 10(t-1)(t+1)0 (đúng với mọi t>0).
C2: Hướng dẫn hs xét hàm : f(t)= t-t- t+ 1 trên (0; ).
 f’(t)= 3t2- 2t -1=0 t= 1 ; t= -.
t
0
 1
f’(t)
 -
 0
+
f(t)
 0
Suy ra f(t) 0 với mọi t>0 (đccm). 
 Tổng quát
 Ta có bài toán 1’:
Cho x,y là các số thực dương; Chứng minh rằng: 	 
 Chứng minh hoàn hoàn tương tự!
Với x,y là các số thực khác không chứng minh rằng:
Bài toán 2: 	
	 Giải:
Đặt t = thì (áp dụng bđt côsi).
C1: Ta có: (2) trở thành:
(t+2)(t-2t-t+3)0(2')
+) Với t2: ta có t-2t-t+3=(t-2)(t-1)+1>0
nên bất đẳng thức (2') đúng
+) Với t-2: ta có t-2t-t+3=(t+2)[(t-2)+3] - 11> 0 
và t+20 nên bất đẳng thức (2') đúng
vậy bất đẳng thức (2) đúng dấu bằng xảy ra khi t=-2 hay x=-y
 đpcm.
C2: Xét hàm số: f(t) = t3 – 2t2 – t + 3 trên (; -2] [2; ).
Bài toán 3:
Cho x,y,z là số thực thỏa mãn: .
 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: .
	Giải: 
Từ đẳng thức: ; 
 và điều kiện ta có:
 Đặt: 
C1: 
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 Vậy: Pmin= khi x= ,y=z=0 hoặc hoán vị.
 Pmax= khi x= ,y=z=0 hoặc hoán vị.
C2: Đặt f(t) = .
 f’(t)= 
t
0
f’(t)
 -
 0
- 
f(t)
Suy ra f(t)= .
Vậy Pmin= khi x= ,y=z=0 hoặc hoán vị.
 Pmax= khi x= ,y=z=0 hoặc hoán vị.
Bài toán 4 (Đề thi giáo viên giỏi năm 2003- 2004)
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn: a+ b+ c= 1. CMR:
	.
Để ý rằng: 1=;
	1= 	
Suy ra: Nếu đặt t= ta có: VT= với .
	f’(t) = .
BBT
t
1
f’(t)
-
 0
+ 
f(t)
Vậy: f(t) ( đpcm).
Bài toán 5 Đề thi đại học cao đẳng khối A năm 2006
Cho x, y là hai số thực khác không thoã mãn: ;
Tìm GTLN của biểu thức: A= .
	Giải
Đặt: S= x+y; P= x.y (s24p )
Từ gt ta có: .
 ( Lưu ý S = -3 không thoã mãn).
Đánh giá S: S24P => .
Vậy A= với S<-3 v S.
Xét: f(S) = trên 
 f’(S)= suỷa f(S ) nghịch biến.
BBT:
S
 -3
1
f’(S)
-
-
f(S)
 1
 0
4
 1
MaxA = f2(1) = 16. Đạt được tại x= y= ( Khi S= 1; P= ).
 Sau đây ta xét một số ví dụ mà phải đánh giá biểu thức P mới thấy được ẩn phụ
Bài toán 6: 
Cho Cmr: P=.
Giải: áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
P= 
Đặt .
C1: Ta có: f(t)= với: .
	 f’(t)= f(t) nghịch biến trên .
	 Suy ra: 
 Dấu bằng xảy ra: x = y = z và t = hay x = y = z = 
C2: áp dụng BĐT côsy ta có:
 P = 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = đpcm
Tổng quát :
Ta có bài toán 6* : 
Cho là số dương ; 
 .
Chứng minh rằng: (*)
Hướng dẫn giải:
C1: 
Đặt: t = . 
Ta có: VT = f(t) = với .
 f’(t)= (vì gt: ak2bn2).
 Suy ra: f(t) nghịch biến trên: 0<
	 Vậy: P 
 Dấu bằng xảy ra: x = y = z và t = hay x = y = z = .
C2: áp dụng BĐT côsy ta có: 
 Dấu bằng xảy ra: x = y = z = .
Nhận xét: 
 Đặc biệt hóa bài toán (6*) :Với a=1; b=4 ; n=3 ; k=ta có:
 Bài toán 6*.1:
Cho Cmr: .
Kết hợp bất đẳng thức bunhiacopxki ta có: 
 Bài toán 6*.2.:(Olimpic-toán sơ cấp -Đại Học Vinh).
Cho C mr: 
	Giải
Thật vậy : áp dụng bất đẳng thức bunhacopxki ta có:
Tương tự sau đó cộng vế theo vế: 
áp dụng bài toán 6* với a= suy ra điều phải chứng minh. 
Bài toán 6*.2’ (Đề thi đại học cao đẳng khối A năm 2004).
Cho CMR : .
áp dụng bài 6*2 và 6* với: a=1; b=9; n=3; k=1 ta có đpcm.
Bài toán 6* : Với a= -1; b=1 ; n=2 ; k= ta có:
Bài toán 6*.3 : 
Cho Cmr: .
 Bằng cách thay đổi giả thiết, đặt ẩn phụ ta có :
 Bài toán 6*.3’:
Cho Cmr: .
Thật vậy: bằng cách đặt: x= ; y= và kết hợp bất đẳng thức bunhacopxki và bài toán trên ta suy ra điều phải chứng minh 
Tổng quát: 
Bài toán 6*.3*:
Cho là các số thực dương và , m>0: 
Chứng minh rằng: .
 Chứng minh hoàn toàn tương tự !
?? Nếu đổi chiều của bất đẳng thức ở điều kiện (bài toán (*)thì bài toán thay đổi như thế nào? 
Trả lời câu hỏi này ta có bài toán mới : 
Bài toán 6**
Cho là các số thực dương thoả mãn:
; .
Chứng minh rằng: (**)
Từ bài toán (6**) ta có thể khai thác ta được những bài toán mới khá thú vị ...
 Bài toán 7:(THTT/ T4/352/2007) 
Với x,y,z là các số thực dương và xyz1:
Chứng minh rằng: P = .
	Giải: 
Đặt a= , b= , c= 
Bài toán trở thành : 
Cho: a,b,c là các số thực dương và abc 1. Chứng minh rẳng
 P = . 
áp dụng bất đẳng thức svac-xơ ta có:
 P2 =
 {vì ab+bc+ca3}
Đặt: t=(a+b+c) thì t9 { vì a+b+c3}.
C1: P2 = f(t) = =với t9 .
	f’(t)= .
BBT:
t
0
3
6
9
f’(t)
 - 
-
0 +
+ 
f(t)
Vậy P2 = f(t) Suy ra: P Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 (đpcm).
C2: Ta có : P2 = ==.
 P2 P Dấu bằng xảy ra khi x= y= z= 1 (đpcm).
Tổng quát ta có bài toán sau:
Cho: là các số thực dương và 
CMR: .
 Bài toán 8: 
Cho Cmr: .
 Nhận xét: Ta nghĩ đến áp dụng bđt svac-xơ nhưng ở đây chiều của bất đẳng thức lại ngược.Một ý nghĩ nảy sinh là biến đổi P để làm đổi chiều bất đẳng thức ?
Giải : Ta có : 
Ta có:
Đặt từ đk .
C1) Ta có: P = f(t) = <0 .
Suy ra: f(t) nghịch biến trên [).
Vậy P = f(t) Dấu bằng xảy khi và chỉ khi x=y=z= (đpcm).
C2) Ta có:
Dấu bằng xảy khi và chỉ khi x=y=z= (đpcm).
 Khi gặp bài toán có điều kiện phức tạp khó sủ dụng thì phải xử lí điều kiện . Ta xét bài toán sau:
Bài toán 9:(Tạp chí toán học tuổi thơ)
Cho (@) CMR: x+y+z.
	Giải:
Ta có: (@)1-(x+y+z)+xy+yz+zx=2xyz
x+y+z=2-2(x+y+z)+(x+y+z)-4xyz
áp dụng bđt Côsi ta có : nên
x+y+z2-2(x+y+z)+(x+y+z)-4
Đặt t=x+y+z thì: .Khi đó:
x+y+z
dấu bằng xảy ra khi t= hay x=y=z= (đpcm). 
Nhận xét: Từ ý tưởng phương pháp giải ở trên ta có thể sáng tạo các bất đẳng thức:
Bài toán 1.
Cho x,y là các số thực dương; CMR:.
Bài toán 2. (THTT-248 - 1998):
Cho x,y,z là số dương không lớn hơn 1. CMR:
a. . 
b. .
Từ đó ta có bài toán tổng quát : 
 Cho là số dương không lớn hơn a; 
CMR:
Hd: áp dụng bất đẳng thức côsi:
Ta có:
.
bất đẳng thức trở thành: 
áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
kết hợp điều kiện bài toán nên bất đẳng thức đúng
Bài tập tự luyện
1. Cho x, y, z là các số thực nằm trong đoạn [1;2] .Cmr : 
2. Cho Cmr: 
3. Cho Cmr: 
4. Cho Cmr: 
5.(THTT- 346/2006) Cho Cmr: 
6. Cho 
Cmr: . 
7: Cho x,y,z là các số thực không âm . 
 Cmr: 
HD: Bất đẳng thức của bài toán tương đương với 
kết hợp bất đẳng thức trên và bất đẳng thức côsi ta cần chứng minh:
 với 
8.Cho x,y,z là các số thực không âm . chứng minh rằng :
Bằng cách tương tự ta có bài toán:
9.Cho x,y,z là các số thực dương chứng minh rằng
 (THTT-số 356)
10. Cho x,y,z là các số thực dương chứng minh rằng
11. Cho Cmr: 
12. Cho Cmr: 
13. Cho Cmr: 
- Từ bất đẳng thức bunhiacôsxki, svac -xơ và đẳng thức 
14. Chứng minh rằng:với mọi x,y thuộc R
HD: 
15. Cho Cmr:
HD: t = :
16 . Cho Cmr: 
17. Cho Cmr:
18. Cho là số dương và .
Chứng minh rằng:
Nhận xét 
- Nếu chứng minh g(t) 0 bằng cách biến đổi như trên thì trước tiên phải dự đoán được dấu bằng xảy ra tại đâu để đánh giá hay tách nhóm hợp lý.
-Khi đặt ẩn phụ thì phải tìm điều kiện sát của ẩn phụ đặc biệt là chứng minh g(t)0 bằng phương pháp đạo hàm.
II. Một biến là x(y hoặc z):
 ở ví dụ trên thì chúng ta phải làm xuất hiện ẩn phụ.sau đây ta xét một lớp bài toán mà ẩn phụ chính là x hoặc y hoặc z
1.Đưa về một biến nhờ điều kiện:
Bài toán 10: 
Cho Cmr: P = .
	Giải: 
Từ đk bài toán ta thấy 
áp dụng bđt côsi ta có:
P = xy+yz+zx-xyz = z(x+y)+xy(1-z)z(x+y)+(1-z)
 P = xy+yz+zx-xyzz(1-z)+(1-z)==
 với mọi z, 
dấu bằng xảy ra khi x= y= z= đpcm.
@) Có thể xét hàm: f(z) = với .
Bài toán số 11: 
Cho Cmr: .
	Giải: 
Không mất tính tổng quát giả sử z = min(x,y,z) 
Từ điều kiện dễ thấy: 
 đúng với . Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 đpcm.
@) Có thể xét hàm: f(z) = với .
Nhận xét: Nếu lấy điều kiện thì bất đẳng thức đánh giá biểu thức trên là không đúng. ở đây chúng ta sử dụng tính chất 1 để làm hạn chế điều kiện của biến để có thể đánh giá được biểu thức.
Bài toán 11’: (Tổng quát của bài 11)
Cho Cmr: .
HD: Không mất tính tổng quát giả sử: z = min(x,y,z)
 Từ điều kiện dễ thấy ta có: 
 Chú ý: Thay đổi hình thức bài toán: 
 Sử dụng đẳng thức ta có thể đưa bài toán trên về bài toán tương đương nhưng hình thức khác : 
chẳng hạn bài 9 có thể phát biểu dưới dạng tương đương : 
Cho CMR: . (THTT-2006).
Sử dụng đẳng thức 
Bài toán 11 có thể được phát biểu dưới dạng: 
Cho Cmr: .
Bài toán 11 có thể phát biểu dưới dạng tương đương:
11.1) Cho Cmr: .
11.2) Cho Cmr: .
11.3) Cho Cmr: .
HD: Ap dụng bài 11 và bất đẳng thức côsi: .
*) Từ bài toán 11.3 chứng minh được bài toán tổng quát Tương tự bài toán 11': 
Cho CMR: .
 Chú ý : Để chứng minh : sử dụng tính chất 1 với z=max(x,y,z)
Đặc biệt hóa ta có bài toán:
 Với a=1; b=-2 : Cho Cmr: 
 Sau đây ta xét tiếp bài toán sử dụng tính chất này để làm hạn chế phạm vi của biến:
Bài toán 12: 
Cho Cmr:.
Giải: 
Không mất tính tổng quát, giả sử: z = max(x,y,z).
Từ điều kiện .
 Ta có:
x+y+3xy(x+y) +z=(x+y)+z=(3-z)+z=
=9z-27z+27=9(z-1)(z-2)+99 với mọi z t/m : 1z2
dấu bằng xảy ra khi (x,y,z)=(0,1,2) và hoán vị của nó (đpcm).
Một số bài toán tự luyện
1. Cho Cmr :
HD: Giả sử đặt ta chứng minh được
2. Cho Cmr:
a. 
b. 
c. 
3. Cho Cmr: 
4. Cho . Cmr: 
HD: Giả sử : ta đi chứng minh: 
5. Cho Cmr:
a. (bài T5 - THTT - 10/2004)
b. 
HD:Giả sử x=max(x,y,z)
 Câu b tương tự!
6. Cho Cmr : 
(Tổng quát bài 8: chứng minh tương tự!).
2. Đưa dần về một biến:
Từ biểu thức p có n biến ta đánh giá đưa về (n-1) biến .... và cuối cùng đưa về 1 biến. sau đây ta xét một số ví dụ đặc trưng thể hiện phương pháp này:
Bài toán 15: 
Cho x,y,z nằm trong đoạn [1;2] ; 
 Chứng minh rằng : .
Giải: 
Đặt 
Không mất tính tổng quát giả sử :
Vì : 
Mặt khác : 
Vì 
Vậy 
dấu bằng bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x,y,z)=(2,1,1) và hoán vị của (2,1,1) đpcm
Bài toán16:
(Đây là bài toán số) Cho 
Chứng minh rằng: 
	Giải
Đặt 
Ta cần chứng minh . Do vai trò của x,y,z trong như nhau nên theo tính chất 2 ta giả sử kết hợp điều kiện ta dễ dàng suy ra 
Xét 
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (đpcm).
Bài toán 17: 
(Bất đẳng thức côsi): Cho x, y, z là các số thực dương; 
 Chứng minh rằng: . 
Giải:
 Không mất tính tổng quát giả sử 
Đặt 
Tacó:
vì 
Mặt khác:Đặt 
Vậy 
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi đpcm
Nhận xét :
- Khi đưa biểu thức 3 biến về 2 biến hay 1 biến thường xét hiệu biểu thức của bất đẳng thức và biểu thức đó với x(hoặc y hoặc z) thay bởi trung bình nhân hoặc trung bình cộng 
- Thường ta phải sử dụng tính chất 2 mới có đánh giá được
Một số bài toán tự luyện
1. Cho Cmr :
2. Cho Cmr: 
3. Cho Cmr:
a.
b.
4. Cho chứng minh rằng:
5. Cho chứng minh rằng:(THTT-số 357)
6. Cho x,y,z là số dương chứng minh rằng:
(THTT-số 356)
7. Cho Cmr:
8. Cho Cmr:
9. Cho Cmr:
10. Chứng minh rằng :
(OLIMPIC 30-4)
 HD: Không mất tính tổng quát ta giả sử:
Đặt : z=ax ; y=bx sau đó đánh giá tiếp ta đưa về 1biến là b.
III. Kết quả
 Đề tài này đã được bản thân tôi và các đồng nghiệp cùng đơn vị thí điểm trên các em có học lực từ khá trở lên. Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập một cách say mê hứng thú. Một số em đã đạt được những thành tích tốt qua những đợt thi học sinh giỏi vừa qua.
 Tuy nhiên với phương pháp này người thầy phải biết vận dụng sáng tạo phương pháp, luôn không ngừng tìm tòi, tham khảo các tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại và cho học sinh các bài tập định hướng để các em học tập, tìm hiểu.
 Đối tượng học sinh là học sinh khá giỏi, luôn tin tưởng ở thầy, có điều kiện học tập, nghiên cứu. 
C. Kết luận
 Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu bản thân tôi cùng với sự giúp đỡ của các đồng nghiệp đã đúc rút ra được một số kinh nghiệm ; Thông qua đề tài này mong hội đồng khoa học và các đồng nghiệp kiểm định và góp ý để đề tài ngày hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà tĩnh, ngày 15 tháng 5 năm 2009
Người thực hiện
Tài liệu tham khảo
1.Tạp chí toán học và tuổi trẻ.
2. Sáng tạo bất đẳng thức _pham kim hùng
3. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức _Trần tuấn Anh
4. Các bài toán chọn lọc về bất đẳng thức của
phan huy khải_nguyễn đạo phương
5.Olimpic 30_4