Đề tài Hướng dẫn học sinh vận dụng, khai thác và tìm tòi bài toán mới từ bất đẳng thức Côsi

I. Lý do chọn đề tài
 Nội dung bất đẳng thức (BĐT) trong toán học ở trường phổ thông đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy cho học sinh (HS); Các bài toán chứng minh BĐT nói chung đều là các bài toán khó bởi ngoài việc nắm vững kiến thức cơ bản đòi hỏi người làm toán phải có mọt tư duy mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo. Chính vì thế nên nội dung BĐT hay dùng để phân loại HS. Có thể nói BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân mà ta quen gọi là BĐT Côsi là một trong những kho báu của toán học, nó là công cụ rất mạnh để chứng minh nhiều BĐT khác.Tuy nhiên việc vận dụngBDT Côsi để chứng minh các BĐT khác đòi hỏi phải có một tư duy rất linh hoạt. Chúng ta biết rằng: “ Giải toán là một nghệ thuật thực hành cũng giống như bơi lội, trượt tuyết hay chơi đàn. Có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành. Không có chìa khoá thần kì để mở mọi cửa ngõ, không có hòn đá thần kì để biến mọi kim loại thành vàng”. Với những lý do trên đây và trong giới hạn phạm vi của sáng kiến kinh nghiệm nên tôi xin trình bày một số kĩ thuật thông dụng nhằm rèn luyện cho HS tư duy sáng tạo, khả năng khai thác, mở rộng và tìm tòi bài toán từ BĐT Côsi, với tên đề tài: “Hướng dẫn học sinh vận dụng, khai thác và tìm tòi bài toán mới từ bất đẳng thức Côsi”.
II. Hướng dẫn học sinh vận dụng, khai thác và tìm tòi bài toán mới từ bất đẳng thức Côsi.
1. Bất đẳng thức Côsi
 Cho n số thực không âm a1, a2, , an; Với n là số tự nhiên khác không. Ta có:
 (1*)
Đẳng thức xảy ra .
 Bất đẳng thức (1*) còn được viết dưới dạng sau: (2*)
2. Các hệ quả của BĐT Côsi
 a) Nếu các số không âm có tổng không đổi a1+a2++an=S thì tích lớn nhất khi a1=a2==an=.
b) Nếu các số không âm có tích không đổi a1.a2an thì tổng nhỏ nhất khi a1=a2==an=.
3) Hướng dẫn học sinh tìm tòi bài toán
 Bài toán 1: Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: . (1)
 Hướng dẫn giải:
 Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
 Đây là một bài toán chứng minh BĐT với hai biến ở vế trái là hai số dương a, b. Vế trái là tích của tổng hai số và tổng nghịch đảo của chúng.
 Bước 2: Xây dựng kế hoạch giải
 Do gợi ý ở vế trái có a+b và nên ta thử áp dụng BĐT Côsi cho 2 số a và b, và . Ta có: a+b 
 . Vế trái của hai BĐT trên gợi ý cho ta có suy nghĩ là nhân hai vế của hai BĐT trên với nhau.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương a và b, và . Ta được: a+b 
 . Do các vế của hai BĐT trên đều dương nên nhân vế với vế hai BĐT dương cùng chiều, tađược: (Đpcm). Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b.
Bước 4: Kiểm tra tiến trình giải
Ta cần rà soát xem tất cả các lập luận đã đủ cơ sở kiến thức và đúng chưa?. Qua việc rà soát ta thấy lời giải đã hoàn toàn đúng đắn và chặt chẽ.
 Bước 5: Nghiên cứu bài toán
 Cho HS tìm hiểu bài toán và lời giải của bài toán từ đó tìm ra cách khai thác, vận dụng bài toán theo nhiều hướng khác nhau.
 Hướng thứ nhất (Vận dụng bài toán). Từ ta có: (2). áp dụng bài toán (2) ta có thể làm được bài toán sau: 
Cho tam giác ABC, có độ dài các cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: .Thật vậy, do p-a, p-b, p-c là các số dương nên áp dụng BĐT (2), ta được:
. Tương tự, ta có:
Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh.
Hướng thứ hai: (Mở rộng bài toán).
Từ cách giải của bài toán ta có thể mở rộng BĐT (1) như sau: 
Mở rộng cho 3 số dương: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 
Bằng cách tổng quát hoá ta được mở rộng cho n số dương:
1/ Cho . Với n là số tự nhiên. Ta có: .(*)
áp dụng các mở rộng trên ta cho HS làm một số bài toán sau:
Bài toán AD 1: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải: Ta có:
(Đpcm).
Bài toán AD 2: Cho x, y, z là các số không âm và thoả mãn . Chứng minh rằng: 
 .
Hướng dẫn giải: 
Ta có: . (Đpcm)
Bài toán AD 3: Cho x, y, z là các số dương và thoả mãn: . Chứng minh rằng:
 .
Hướng dẫn giải:
 Dựa vào bài toán 2 ở trên ta có: : . Do đó ta có:
. Hoàn toàn tương tự ta được:
 Cộngtheo từng vế 3 BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh.
2/ Với . Ta có: (**)
BĐT(**) là sự mở rộng của BĐT (*). Trong (**) cho a1=a2==an=1 thì tacó BĐT (*). Ta có thể dễ dàng chứng minh được BĐT(**) và từ đó hướng dẫn cho HS khá, giỏi chứng minh(Sử dụng BĐT Bunhiacopxki). Vận dụng (**) ta có thể chứng minh được bài toán trong kì thi quốc tế sau:
Cho a, b, c là các số dương và abc=1. Chứng minh rằng: .
Trong thực tế cho thấy nhiều giáo viên (GV) và HS ít quan tâm đến bước 5 (Tìm hiểu bài toán và lời giải). Nếu quan tâm, tìm hiểu kĩ bước 5 ta sẽ thấy từ một bài toán đơn giản ban đầu ta sẽ đượcnhững bài toán mới hay và do chính mình đạt được.
Bài toán 2: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất(GTNN) của biểu thức:
 P = x+.
Đây là bài toán rất dễ (chỉ cần vận dụng BĐT Côsi cho hai số), đa số các em HS đều làm được nên tôi xin không trình bày lời giải ở đây. Tuy nhiên, để rèn luyện kĩ năng vận dụng, khai thác và tìm tòi BĐT Côsi cho HS, ta sẽ dựa vào bài toán cơ bản này để tạo ra những bài toán mới mà thực chất phương pháp giải là tương tự.
Bài toán 2.1: Cho x > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 P = x+ 
Hướng dẫn: 
Đây là bài toán tìm GTNN, để tìm GTNN của biểu thức P ta cần phải làm thao tác gì?. Bài toán này có liên hệ gì với bài toán 2 ở trên không?. Từ đó xây dựng chiến lược giải.
+) Viết P =(x-1+. Đến đây bài toán trở về bài toán 2 
 +) Ta có P= ()+1 . 
 Dấu “=” xảy ra khi x-1 = . Vậy minP =3 khi x=2.
+) Sau khi giải xong cần lưu ý về phương pháp giải, cụ thể ở đây là kĩ thuật thêm bớt hạng tử 1, phải hiểu được mục đích thêm bớt để làm gì?(Tạo ra tích không đổi). Khai thác thêm bài toán ta có:
Bài toán 2.2: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức P = 
Khi gặp bài toán này HS dễ bắt chước cách giải của bài toán trên, như sau: 
 P = . Đến đây lời giải của bài toán chưa nói lên điều gì vì tích chưa phải là một hằng số. Vậy phải làm thế nào để tạo ra tích không đổi, đây là một bước quan trọng để tìm ra lời giải của bài toán.
Ta viết P = . Khi viết như vậy cần làm cho HS hiểu rõ tại sao x lại được biểu diễn bằng mà không phải là , , hay cách khác tương tự ?. Bởi ta biết rằng để tìm GTNN của Pta cần đánh giá P và dấu “=” phải xảy ra mà BĐT Côsi xảy ra dấu đẳng thức khi các số phải bằng nhau.
Do đó áp dụng BĐT Côsi cho 3 sô dương là . Ta có:
 P = .
Vậy minP = 3 khi x= .
Đến đây ta hướng dẫn HS tổng quát hoá bài toán 2 như sau: Cho x> 0. Tìm GTNN của biểu thức P = . Với m, n là các số tự nhiên dương.
Bây giờ ta thay đổi bài toán 2 theo hướng khác.
Bài toán 2.3: Cho x. Tìm GTNN của biểu thức:
 P = x+ 
Khi gặp bài toán này HS rất dễmắc phải sai lầm là giải như bài toán 2 và tìm ra minP = 2 nhưng thực tế P không nhận giá trị bằng 2 vì nếu P = 2 thì khi đó x = 1 mà điều kiện là x. nhiều HS kết luận là không có GTNN. Vậy sau khi tìm hiểu bài toán ta phải đưa ra hướng giải (ở đây là sử dụng BĐT Côsi) theo hướng nào?.
GV phải tập cho HS cách dự đoán khi nào GTNN đạt được, đây là bước rất quan trọng (giống như dự đoán quỹ tích trong bài toán tìm quỹ tích ở hình học). Nhìn vào hình thức bài thức bài toán ta dự đoán GTNN của P đạt được khi x =2. Vậy phải áp dụng BĐT Côsi như thế nào để dấu “=” xảy ra khi x =2.
Ta viết P = . Với . Ta có: P = . Dấu “=” xảy ra khi . Từ đó ta có lời giải như sau: 
 P = . Vậy minP = khi x =2.
ậ bài toán này trong bước 5 GV cần cho HS tìm hiểu kỹ phương pháp giải, đặc biệt là cáchdự đoán và tách , đây là bước khó khăn nhất của bài toán này. Kỹ thuật này gọi là “kỹ thuật chọn điểm rơi”. Sau khi HS nắm được kỹ thuật này ta cho HS làm các bài toán sau:
Bài toán 2.3.1: Cho x, y, z là các số dương và thoả mãn x+y+z. Tìm GTNN của biểu thức:
 P = x+y+z+
Bài toán 2.3.2: Cho x, y,z là các số dương và thoả mãn x+y+z . Tìm GTNN của biểu thức: 
 P = 
Bài toán 3: Cho a, b là các số dương thoả mãn a+b=2. Chứng minh rằng:
 .
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm hiểu bài toán: 
Đây là bài toán chứng minh BĐT có điều kiện (a, b dương và ràng buộc bởi a+b =2), ở đây diều kiện rằng buộc bởi hệ thức bậc nhất đối với a, b; Vế trái của BĐT cần chứng minh có chứa bậc 3.
Bức 2: Xây dựng chiến lược giải: 
Từ hình thức của bài toán gợi ý cho ta nghĩ đến việc đánh giá a3 về a và b3 về b (Tức là hạ bậc)?. Từ bậc 3 về bậc 1 ta phải áp dụng BĐT Côsi như thế nào?. 
Ta có: 
Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải:
áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương a3, 1, 1. Ta được: ; Tương tự ta có: 
. Cộng theo từng vế 2 BĐT trên ta được .(Đpcm).
Bước 4: Kiểm tra tiến trình giải:
Việc vận dụng BĐT Côsi cho 3 số vào để chứng minh BĐT đã cho là hoàn toàn đúng đắn và chặt chẽ.
Bước 5: Tìm hiểu bài toán:
Sau khi giải xong bài toán này ta cần cho HS tìm hiểu lời giải , chú ý HS kỹ thuật hạ bậc. Từ đó ta cho HS tập rượt một số bài toán sau:
Bài toán 3.1: Cho a+b+c=3. Chứng minh rằng: .
Hướng dẫn giải: Ta áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm với kỹ thuật hạ bậc như sau:
. Tương tự ta cũng có: 
Cộng theo từng vế 3 BĐT trên lại với nhau ta được: .(Đpcm).
Bài toán 3.2: Cho a+b+c = 0. Chứng minh rằng: .
Bài toán 3.1 chính là sự mở rộng của bài toán 3, ta vẫn có thểmở rộng bài toán này như sau:
Mở rộng 1: Nếu và ; k, m là các số tự nhiên dương thì 
Với mọi m > k.
Mở rộng 2: Nếu ai tuỳ ý thoả mãn , còn m là số tự nhiên chẵn và m > k thì ta có
 .
Như vậy từ một bài toán đơn giản nếu ta không bằng lòng với kết quả đã có chỉ cần đào sâu suy nghĩ ta có thể tìm được những bài toán hay hơn, tổng quát hơn đó chính là khả năng khái quát hoá mà GV cần rèn luyện co HS. 
Trên đây là các bài toán minh hoạ cho việc vận dụng BĐT Côsi theo chiều thuận tức là chiều nhìn từ tổng sang tích. Trong thực tế dạy học cho thấy việc nhìn BĐT Côsi theo chiều ngược lại còn gặp những khó khăn nhất định, lýdo chính là trong khi dạy GV ít để ý đến điều này dẫn đến HS thường tư duy một cách máy móc là cứ thấy dấu “” thì mới nghĩ đên BĐT Côsi. Sau đây là một số ví dụ nhằm giúp HS có kỹ năng tư duy theochiều từ tích sang tổng.
Bài toán 4: Cho . Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn giải:
Đây là bài toán dễ, HS thường quan sát thấy ngay vế trái là tích của x và 2-x có tổng x+2-x=2 không đổi. Do đó có ngay lời giải.
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm là x và 2-x ta có:
(Đpcm)
Với tư duy như trên ta cho HS tập rượt các bài toán sau:
Bài toán 4.1: Cho . Chứng minh rằng: .
Hướng dẫn giải:
VT = x(2-3x)=. (Đpcm)
Bài toán 4.2: Cho . Tìm GTLN của biểu thức:
 P = x(1-x)2
 Hướng dẫn giải: 
Để tìm GTLN của P ta tìm cách đánh giá P M và dấu đẳng thức xảy ra. Ta thấy vế trái là tích của x và (1-x)2 nhưng tổng x+(1-x)2 lại không là hằng số. Do đó không thể áp dụng ngay được BĐT Côsi cho x và (1-x)2 . Vậy làm thế nào để có được tổng không đổi?.
Ta viết lại P như sau: P = x(1-x)2 = x(1-x)(1-x). Khi đó 1-x +1-x =2-2x, từ đó để có tổng không đổi ta nhân và chia vào P số 2, Ta được P = . Vậy maxP = khi x =.
Sau khi HS làm xong các bài tập trên GV đưa ra cho HS các bài toán mang tính tổng quát sau: 
Bài toán 4.3:
a) Cho . Tìm GTLN của biểu thức: 
 P = xp(1-x)q. Vơi p, q là các số tự nhiên dương.
b) Cho . Tìm GTLN của biểu thức:
 P = . Với p, q là các số tự nhiên dương.
c) Cho. Tìm GTLN của biểu thức: 
 P = (3-x)(4-y)(2x+3y).
Bài toán 5: Cho . Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm hiểu bài toán
Nhìn vào hình thức bài toán dễ khiến HS nghĩ tới BĐT Bunhiacopxki bởi vế trái có dạng 
 a1b1 + a2b2?. Khi đó VT2 đến đây chưa được gì mong đợi, do đó phải chuyển hướng suy nghĩ! Do “chiều” của BĐT nên nếu áp dụng BĐT Côsi thì phải nghĩ đến 
 hay .
Bước 2: Xây dựng kế hoạch giải
Dựa vào việc tìm hiểu bài toánở bước 1 và mối liên quan goữa vế trái và vế phải cho ta hướng áp dụng như sau: . 
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
 ápdụng BĐT Côsi cho 2 số không âm là 1 và y-1; ta có: (Do ). Tương tự ta có: . Cộng vế với vế 2 BĐT đó lại vơi nhau ta được (Đpcm).
Bước 4: Kiểm tra tiểntình giải
Ta thấy việc vận dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm để chứng minh BĐT trên là hoàn toàn đúng đắn, hợp lý và chặt chẽ.
Bước 5: Tìm tòi bài toán 
Cho HS nghiên cứu lời giải, phân tích kỹ lời giả từ đó tìm ra một số bài toán mới.
Bài toán 5.1: Cho a, b, c đều lớn hơn 1.Chứng minh rằng;
.
Bài toán 5.2: Cho a, b, c đều dương và thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: 
 . 
Hướng dẫn giải: (Bài toán này có thể giải bằng BĐT Bunhiacopxki).
Tuy nhiên ta sẽ vận dụng BĐT Côsi để chứng minh BĐT trên. Ta viết lại giả thiết để giữa giả thiết và BĐT cần chứng minh gần gũi nhau hơn; Ta có: 
a + b + c = 1 hay (a+b) + (b+c) + (c+a) = 2 và ta áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm là 1 và từng biểu thức trong căn bậc hai của vế trái. Để ý đến dấu đẳng thức xảy ra khi nào ta sẽ có: a+b =1, b+c = 1, c+a =1 kết hợp với giả thiết ta được a+b = b+c = c+a = .
 Và do đó, ta có: 
. Tương tự ta có: . 
Cộng 3 BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh. 
Bài toán 5.3: Cho . Tìm GTLN của biểu thức:
 P = 
Hướng dẫn giải:
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm ta có: 
Tương tự ta cũng có: . Khi đó: P . Do đó maxP = khi a=6, b=8, c=4.