Đề tài Phương pháp và kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-Si trong giải toán

Më ®Çu
1. Lý do chọn đề tài
Trong ch­¬ng tr×nh to¸n häc phæ th«ng, bÊt ®¼ng thøc là một mảng toán khó, nó có mặt trong tất cả các bộ môn: Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác và Giải tích nhưng phải nói rằng bất đẳng thức là một công cụ sắc bén của Toán học. Đẳng thức và bất đẳng thức luôn là hai phương tiện hỗ trợ lẫn nhau. Đẳng thức cho kết quả chính xác tuyệt đối còn bất đẳng thức mềm dẻo hơn, cho phép cân nhắc vấn đề, ước lượng kết quả, từ đó nhìn nhận thực tiễn toán học dưới góc độ rộng hơn. Vì vậy việc vận dụng các bất đẳng thức rất uyển chuyển và linh hoạt. Học sinh yêu Toán cần học tập cách vận dụng các bất đẳng thức dưới nhiều hình thái đa dạng. Trong mỗi đề thi học sinh giỏi Toán thường có những bài toán liên quan đến bất đẳng thức. Trong đề thi Đại học của các năm gần đây, Bộ giáo dục thường ra đề thi với câu cuối cùng là bất đẳng thức với mục đích có thể phân loại học sinh trong các kỳ thi đó. Nhưng thông thường học sinh không nắm được phương pháp và kỹ thuật khi chứng minh bất đẳng thức bởi lẽ: Các bài toán bất đẳng thức khó định hướng cách giải, nhiều bài toán phải sử dụng các bất đẳng thức phụ rất khó nhớ, thậm chí phải sử dụng một khối lượng lớn kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác... nên phần lớn học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết các bài toán bất đẳng thức .
Ngoài các bất đẳng thức cơ bản được hình thành từ phép biến đổi tương đương, bất đẳng thức Cô-si là một bất đẳng thức rất quan trọng, có nhiều ưu thế trong giải bài toán bất đẳng thức.Trong những bài toán đơn giản, việc áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với diện học sinh đại trà là đơn giản, dễ tiếp cận. Song đối với những bài toán phức tạp để có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào giải các bài toán này, thì vấn đề không đơn giản chút nào. Vấn đề đặt ra đó là người giải toán phải chọn được cặp số thoả mãn các điều kiện của bất đẳng thức Cô-si. Các điều kiện được thoả mãn của bất đẳng thức Cô-si không chỉ là điều kiện không âm của cặp số mà còn phải thoả mãn điều kiện khi dấu đẳng thức xảy ra. Giải quyết được điều đó, bài toán áp dụng trở nên đơn giản hơn.
	Như vậy để có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với những bài toán phức tạp, người giải toán cần có một phương pháp, một kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức này.
	Với một vài năm kinh nghiệm, với mong muốn tạo hứng thú cho học sinh khi học nội dung bất đẳng thức đồng thời giúp học sinh dễ hiểu hơn với bất đẳng thức, cùng với mong muốn nâng cao kiến thức của bản thân cũng như nâng cao chất lượng dạy và học Toán trong nhà trường phổ thông, tôi xin trân trọng giới thiệu : “Phương pháp và kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si trong giải toán”
Phần I : Các kiến thức cơ bản
Bất đẳng thức Cô-si
Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm
Với hai số không âm a1,a2 ta có 
Chứng minh: Ta có
Do đúng nên luôn luôn đúng
Dấu đẳng thức của xảy ra 
Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm
Với ba số không âm a1, a2, a3 ta có 
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có:
Cộng từng vế của , (đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra ,, đồng thời xảy ra đẳng thức 
Bất đẳng thức Cô-si cho bốn số không âm
Với bốn số không âm a1,a2, a3, a4 ta có
	Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có
	Cộng từng vế của ,,
	Dấu đẳng thức xảy ra ,đồng thời xảy ra đẳng thức 
	Tổng quát: Với các số không âm a1, a2, ...., an có 
	Dấu đẳng thức của xảy ra 
2 Bất đẳng thức đường gấp khúc
V ới mọi ta có: 
Dấu đẳng thức xẩy ra Û 
 3. Các bất đẳng thức phụ thường dùng 
1. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với mọi a,b,c 
2. (a+b+c)2 ≥ 3(ab+bc+ca) với mọi a,b,c 
3. (a + b +c ) ≥ 9 với mọi a,b,c > 0 
4. a2 + b2 + c2 ≥ với mọi a,b,c
Phần II. Một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: 
Cho a ≥ 3 chứng minh a + 
Dự đoán : a + 
Khi a = 3 → ; nên không thể sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số a và được vì dấu bằng không xẩy ra .
Vậy phải sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số aa và , vấn đề đặt ra là chọn a = ? thì đủ, vì theo dự đoán ở trên đầu thì dấu = xẩy ra khi a = 3 nên ta có 
Bài giải:
a + theo bất đẳng thức Cô-si 
Cho a ≥ 3 → Vậy (ĐPCM)
Dấu = xảy ra khi a = 3
	Qua ví dụ 1 có thể thấy kỹ thuật “bằng đều” nêu trên cho ta cách chọn cặp số thoả mãn điều kiện khi dấu đẳng thức xảy ra trong áp dụng bất đẳng thức Cô-si.Như vậy có thể thực hiện chứng minh bất đẳng thức theo các bước sau:
Bước 1: Dự đoán khi nào bất đẳng thức trở thành đẳng thức
Bước 2: Với dự đoán ở trên sử dụng kỹ thuật cân bằng đều ghép các hạng tử của Ví dụ toán với các hạng tử mới thích hợp
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 2:
Chứng minh:
Bài giải:
Dự đoán do tính chất đối xứng của bất đẳng thức, nên dấu bằng xảy ra a = b = c
Khi đó:
Ta có thể chọn trong đó những hạng tử phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Cô-si như sau:
Tương tự:
Cộng từng vế của bất đẳng thức nên ta có:
 (ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra a = b = c
Ví dụ 3: 
Cho: 
Chứng minh : a5 + b5 + c5 + d5 a4 + b4 + c4 + d4
Bài giải:
Dự đoán do tính chất đối xứng và theo giả thiết đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d = 1
Khi đó: a5 = b5 = c5 = d5 = a4 = b4 = c4 = d4
Từ đó dẫn đến lời giải sau, theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) (ĐPCM)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d = 1
Ví dụ 4:
 Chứng minh:
 (a,b,c > 0)
Bài giải: Vì bài toán đối xứng với a, b, c nên dấu đẳng xảy ra khi a = b = c
Cộng vế với vế bất đẳng thức cũng chiều trên ta có
S ≥ (1)
Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si ta có: 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
S = 
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c 
Ví dụ 5: 
Chứng minh:
S = (a,b,c > 0)
Bài giải:
Do vai trò như nhau trong bất đẳng thức của a,b,c nên dấu bằng xảy ra khi a = b = c. 
Khi đó: nên không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số: ; 3b+c ; 3b+c ( Do dấu đẳng không xảy ra )
Theo kỹ thuật cân bằng đều ta phải áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số: 
 ; thì dấu bằng mới xảy ra khi a = b = c
Áp dụng Cô-si ta có:
Tương tự:
Cộng vế với vế bất đẳng thức cùng chiều trên ta có:
 (ĐPCM)
Đẳng thức xảy ra khi: a = b = c
Ví dụ 6: 
Chứng minh:
 (a,b,c,d > 0)
Bài giải:
Do tính đối xứng nên đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Tương tự kỹ thuật cân bằng đều, ta phải áp dụng bất đẳng thức Cô-si
Cộng các vế bất đẳng thức trên:
 (ĐPCM)
Đẳng thức xảy raa = b = c = d
Ví dụ 7:
Cho chứng minh : 
Bài giải 
Do tính đối xứng nên dấu đẳng thức xảy ra khi a = b =c =1
Khi đó : 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số : hoặc 
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:
Như vậy, ta có:
Dấu đẳng thức xảy raa = b = c =1
Ví dụ 8: 
Chứng minh: với a,b,c 0
Bài giải:
Do tính đối xứng nên đẳng thức xảy ra khi |a| = |b| = |c|. 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
 (I)
Theo bất đẳng thức Cô-si: (II)
Từ (I) và (II) (ĐPCM)
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
Ví dụ 9: 
Chứng minh T = 
Bài giải: Theo bất đẳng thức Cô-si 
	Mà T ( ĐPCM)
Ví dụ 10: 
Chứng minh: 
Bài giải: Ta có: 
Dấu đẳng thức xảy raa = b = c
Ví dụ 11:
Với giả thiết: chứng minh : 
Bài giải: 
Dó tính đối xứng nên đẳng thức xảy ra khi x = y = z =
Khi đó: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có : 
2008 Số
2008 Số
2008 Số
Cộng các vế của bất đẳng thức ta được :
T + 2008(x+y+z) ≥ 2009(x+y+z) →T ≥ (x+y+z) ≥1
Dấu đẳng thức xảy ra khi x =y=z = 
Như vậy trên cơ sở đẳng thức xảy ra khi các số tham gia bất đẳng thức Cô-si bằng nhau, ta có thể đưa ra nhiều cách chọn bộ số khác nhau. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 12:
Chứng minh: ( a,b,c > 0 )
Bài giải:
Cách 1: Theo kỹ thuật cân bằng đều ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số như sau:
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b =c 
Cách 2: Cũng có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si như sau:
Vậy (1)
 (2)
Cộng các vế tương ứng của (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 13: 
Cho a,b,c > 0 
Chứng minh: S= 
Bài giải:
Dự đoán do tính chất đối xứng của bất đẳng thức, nên dấu đẳng thức xẩy ra ↔ a = b = c 
Khi đó : 
Do vậy ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các cặp số lựa chọn như trên, để có lời giải sau:
Cách 1 : 
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có : 
Tương tự : 
Cộng các vế của bất đẳng thức trên 
S + (ab3+bc3+ca3) ≥ 2 (a4 + b4 + c4) (1)
Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si :
 → a4 + b4 + c4 ≥ a3c + c3b + b3a (2) 
Từ (1) và (2) → S ≥ a3c + c3b + b3a (ĐPCM)
Dấu đẳng thức xảy ra khi ↔ a = b = c 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều trên ta có
S ≥ (1)
Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si ta có 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
S = 
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b= c 
Cách 2: Ta có thể chọn các hạng tử và áp dụng bất đẳng thức Cô-si theo cách sau:
Tương tự:
Cộng các bất đẳng thức trên suy ra:
 (1)
Tương tự cách 1: (ĐPCM)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 14:
Cho a,b,c,d > 0 và . Chứng minh: 
Bài giải:
Cách 1:
Do bất đẳng thức có tính đối xứng nên đẳng thức chỉ xảy ra khi 
Vì thế không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 8 số trên vì đẳng thức không xảy ra
Để ý thấy đẳng thức xảy ra khi . Để áp dụng Cô-si, ta phải biếu diễn thành 16 số , tương tự đối với 
 16 số 16 số 16 số 16 số
Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
Vậy 
Cách 2:
Đặt 
Bài toán trở về chứng minh với 
Áp dụng kĩ thuật cân bằng đều:
 ( ĐPCM ). Dấu đẳng thức xảy ra 
Ví dụ 15:
 Cho 
Chứng minh : S =
Bài giải:
Cách 1 :
Phân tích vai trò như nhau của a, b, c, d nên đẳng thức xảy ra 
↔ a = b = c = d =
Ta có: 
Vậy để áp dụng được bất đẳng thức Cô-si thì mỗi số ở vế phải biểu diễn dưới dạng 32 sô nhỏ hơn nó 32 lần . Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 132 sô ta có 
32 số 
32 số 
32 số 
32 số 
S = 
 ( ĐPCM)
Dấu đẳng thức xảy ra ↔ a = b = c = d = 
Cách 2:
Theo bất đẳng thức Cô-si:
 (1)
Do a + b+ c+ d = 1 và sử dụng tính chất : A ≥ B > 0 ↔ 0 < 
Ta lại có : 
Tương tự : 
Cộng lại ta có : (2)
Từ (1),(2) → S ≥ 16 + (ĐPCM)
Dấu đẳng thức xẩy ra khi a = b = c = d =
Ví dụ 16:
 Chứng minh: K = 
Bài giải: Do tính chất đối xứng của đẳng thức xảy ra khi: a = b = c
Mà theo yêu cầu của đầu bài, ta nghĩ đến bất đẳng thức:
) 
Vậy bất đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Vậy ta phải chứng minh: K =
 Đây là dạng bài toán thông thường dễ chứng minh được theo bất đẳng thức Cô-si
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Từ (I)(II)(ĐPCM). 
Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c
Ví dụ 17: 
Cho a, b, c >0 
	Chứng minh 
Bài giải: Do 
Đặt 
(do x, y > 0 )
Dấu đẳng thức xảy ra 
Ví dụ 18:
 Chứng minh: T = 
Bài giải:: T = Đặt 
	 Mà 
	Vậy T Dấu đẳng thức xảy ra 
Ví dụ 19: 
Cho Chứng minh T = 
Bài giải: Ta có T = 
	Do tính chất đường gấp khúc : 
	T(ĐPCM)
	(a, b, c 27). Dấu đẳng thức xẩy ra khi a = b = c = 3
Ví dụ 20:
Cho a,b,c > 0 và a + b +c 1
Tìm min : 
Bài giải:
Do tính đối xứng nên ta dự đoán Smin khi 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ số ; ; 
Dấu đẳng thức xảy ra khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si 
Theo kĩ thuật cân bằng đều: ; 
Theo bất đẳng thức Cô-si:
Tương tự:
Cộng từng vế bất đẳng thức:
(do )
Vậy 
Ví dụ 21:
Tính Min: với (a,b,c > 0)
Bài giải:
Do tính đối xứng nên ta dự đoán Smin khi a = b = c
Lúc đó Smin = và 
Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số 1 ; 
Muốn áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta phải tách 
Hoặc đưa về dạng 
Theo bất đẳng thức Cô-si 
Tương tự:
Cộng từng vế bất đẳng thức:
Dấu đẳng xảy ra a = b = c
Ví dụ 22:
Cho a, b, c, d > 0
Tìm min 
Bài giải:
Do tính đối xứng nên Smin khi a = b = c = d. Vì vậy không áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho và được. Ta phải tách 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho và , các biểu thức còn lại cũng tách như vậy
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 8 số: 
Vậy Min S = 10 a = b = c = d
Ví dụ 23:
Cho Tính min 
Bài giải:
Do tính chất đối xứng nên Smin khi 
. Không thế áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 1 và . 
Ta tách 1 thành .
Khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si, dấu bằng xảy ra khi :
Do vậy min 
Do vậy 
Ví dụ 24: Cho Tính min B = 
Bài giải: Theo bất đẳng thức Cô-si :	
 (do )
Dấu đẳng thức xảy ra 
Vậy
Ví dụ 25:
Cho 
T×m min S = 
Bài giải: Do tính đối xứng nên Smin khi 
S 
= 
Theo bất đẳng thức Cô-si 
Và (theo Cô-si), nên:
Vậy 
Ví dụ 26: Cho Tính min X = 
Bài giải: Áp dụng tính chất đường gấp khúc ta có:
Do tính chất dối xứng nên ta có X min khi a = b = c =
, ta có:
	Vậy min X = 
Ví dụ 27: Cho 
	Tìm min L = 
Bài giải: Theo ví dụ trên ta có : 
 = 
Theo bất đẳng thức Cô-si 
Do Vậy min L = 
Ví dụ 28:
Cho 
Tính min 
Bài giải:
Theo bất đẳng thức đường gấp khúc:
Do 
Vậy 
Ví dụ 29:
Cho a, b, c > 0 và a + b +c 1
Tìm min : 
Bài giải:
Do tính đối xứng nên ta dự đoán Smin khi 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ số ; ; 
Đẳng thức xảy ra khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si 
Theo kĩ thuật cân bằng đều: ; 
Theo bất đẳng thức Cô-si:
Tương tự:
Cộng từng vế bất đẳng thức:
(do )
Vậy 
Ví dụ 30:
 Cho 
Tính max S = 
Bài giải: Do x2 + y2 2xy
Vậy Smax = 
Phần II: Bài tập tự giải 
Bài 1: Cho Chứng minh 
Bài 2: Cho Chứng minh 
Bài 3: Cho Chứng minh 
Bài 4: Cho Chứng minh 
Bài 5: Cho a, b, c > 0 Chứng minh 
Bài 6: Cho Chứng minh 
Bài 7: Cho Chứng minh 
Bài 8: Cho Chứng minh 
Bài 9: Cho Chứng minh 
Bài 10: Cho Chứng minh 
Bài 11: Cho CM: 
Bài 12 (ĐH NN2000): Với a,b,c thoả mãn điều kiện . 
Chứng minh 
Bài 13: Với a,b,c là ba số bất kì thoả mãn điều kiện .
Chứng minh 
Bài 14: Cho và . Chứng minh 
Bài 15: Cho và . CM: 
Bài 16: Cho . CM: 
Bài 17: Cho . CM: 
Bài 18(ĐHKA2005): Cho và 
CM: 
Bài 19(ĐHKB2005): CMR với mọi x: 
Bài 20(ĐHKD2005): Cho các số dương x, y, z thoả mãn: 
CM: 
Bài 21(Dự bị 2005): Cho x,y,z là ba số thoả mãn 
CM:
Bài 22(Dự bị 2005): Cho thoả mãn 
CM: 
Bài 23(CĐSPHN2005): Cho . CM: 
Bài 24(ĐHAN1997): Chứng minh rằng:thì 
Bài 25: Chứng minh rằng :a thì 
Bài 26: Chứng minh rằng :thì 
Bài 27: x,y,z là ba số tuỳ ý. Chứng minh 
Bài 28: Chứng minh rằng : thì 
Bài 29: Chứng minh rằng : ta có: 
Bài 30: Cho 
Bài 31: Cho a, b, c > 0 
Bài 32(Dự bị 2005): Cho x, y, z > 0 và xyz = 1.
Bài 33(Dự bị 2002): Cho a, b, c, d là bốn sô nguyên thoả mãn 
Và tìm 
Bài 34: Cho CMR: 
Bài 35: Cho a, b, c > 0 và . CMR: 
Bài 36: Giải PT 
Bài 37: Giải PT 
Bài 38: Tìm GTNN của Y = 
Bài 39: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Tìm 
Bài 40: Cho a Tìm 
Bài 41: Cho a Tìm 
Bài 42: Cho Tìm 
Bài 43: Cho Tìm 
Bài 44: Cho Tìm 
Bài 45: Cho . Tìm 
Bài 46: Cho 0 và . Tìm 
Bài 47: Cho Và x + y = 1 Tìm 
Bài 48: Cho và . Tìm 
Bài 49: Cho các số a, b, c thoả mãn: và a + b + c = 2009
Tìm giá trị 
Bài 50: Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm 
Kết luận
Những ví dụ trên đây phần nào chỉ ra ưu thế của bất đẳng thức Cô-si. Đặc biệt với kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức giúp cho người giải toán có thể thấy được cái hay, cái mạnh của bất đẳng thức này. Như vậy, với phương pháp và kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si có thể xem như đã cho ta một cách nhìn sáng sủa, lôgic và chặt chẽ. Mặc dù rằng, đối với nhiều bài toán áp dụng kỹ thuật này chưa hẳn là tối ưu, có thể dài một chút trong phần trình bày lời giải.Tôi thiết nghĩ những bài toán khó về bất đẳng thức đã phần nào có hướng giải quyết, cánh cửa kiến thức về bất đẳng thức đã bắt đầu hé mở, ngay bản thân tôi khi tiếp cận kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si này, tôi thấy như có một vầng hào quang trước mắt, hy vọng các em học sinh cũng như tôi, sẽ hứng thú khi gặp các bài toán loại này, không còn ngại khi giải toán về bất đẳng thức.