Đề tài Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
 1. Tên sáng kiến : “ Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Môn toán - THPT
3. Thời gian áp dụng sáng kiến : Từ ngày 5 tháng 9 năm 2010 đến ngày 20 tháng 12 năm 2011
4. Tác giả : 
	Họ và tên : Vũ Thị Trang
	Năm sinh : 1985
	Nơi thường trú : Nghĩa Trung – Nghĩa Hưng – Nam Định
	Trình độ chuyên môn : Cử nhân Toán
	Chức vụ công tác: Giáo viên dạy toán
	Nơi làm việc : Trường THPT A Nghĩa Hưng
	Địa chỉ liên hệ : Vũ Thị Trang - Trường THPT A Nghĩa Hưng – Nam Định
	Điện thoại : 0977768756
5. Đồng tác giả :
Họ và tên : 
	Năm sinh :
	Nơi thường trú : 
	Trình độ chuyên môn : 
	Chức vụ công tác:
	Nơi làm việc : 
	Địa chỉ liên hệ : 
	Điện thoại : 
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
	Tên đơn vị : Trường THPT A Nghĩa Hưng
	Địa chỉ : Nghĩa Hưng – Nam Định
	Điện thoại : 03503871173
I. Lý do chọn đề tài
 Ta đã biết rằng các bài toán về giải phương trình và bất phương trình thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học và nó cũng thường gây khó khăn đối với học sinh nhất là những bài toán chứa tham số. Rất nhiều bài giải phương trình và bất phương trình cần phải sử dụng phương pháp đạo hàm mới có thể giải quyết được. Đặc biệt những bài toán chứa tham số khi mà SGK bỏ định lý đảo dấu tam thức bậc hai thì nhiều bài toán mất đi một công cụ hay để giải. Tuy nhiên nếu nghiên cứu kỹ vấn đề thì ta có thể dùng ứng dụng của đạo hàm để giải và thực tế cho thấy cách giải này cho lời giải ngắn gọn hơn. Và việc hướng dẫn học sinh bằng phương pháp đó phát triển cho học sinh nhiều phẩm chất tư duy như khái quát hoá, tư duy hàm, tư duy phân tích tổng hợp...Vì vậy tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu “Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình”. Đề tài này phù hợp với các đối tượng học sinh. 
II. Nội dung nghiên cứu
 Nội dung nghiên cứu gồm 2 phần:
 + Phần1. Giải phương trình
 + Phần 1. Giải bất phương trình
 1.Giải phương trình 
Khi sử dụng đạo hàm trong giải phương trình ta thường sử dụng những ứng dụng như các khoảng đơn điệu của hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất,...
 Đồng thời sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) thì phương trình nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm.
Chứng minh
Xét trường hợp là hàm số đồng biến.
Giả sử phương trình có hai nghiệm 
Nên 
Do hàm số là hàm số đồng biến nên từ mâu thuẫn với . Chứng tỏ giả sử sai.
Vậy phương trình nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm.
 Với trường hợp là hàm số nghịch biến ta chứng minh tương tự.
Tính chất 2: Nếu là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b)
 .
Chứng minh
 Xét trường hợp là hàm số đồng biến .
Nếu (hiển nhiên).
Ta chứng minh nếu .
Giả sử ,không mất tính tổng quát giả sử .
Do hàm số là hàm số đồng biến nên Chứng tỏ giả sử sai.
vậy 
Với trường hợp là hàm số nghịch biến ta chứng minh tương tự.
Tính chất 3: Nếu là hàm số đồng biến còn là hàm số nghịch biến trên thì phương trình có nhiều nhất một nghiệm.
Chứng minh
 Ta có: Xét hàm số trên . Khi đó là hàm số đồng biến trên .
 Theo tính chất 1 thì phương trình có nhiều nhất một nghiệm (Đpcm).
Đối với bài toán chứa tham số dạng f(x) = m có nghiệm trên D khi và chỉ khi:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
 Giải:
Điều kiện: 
Đặt 
Ta có 
Xét hàm số trên R . Có 
Nên hàm số là hàm số đồng biến trên R
Khi đó 
Xét 
Mà 
 là hàm số đồng biến và có đổi dấu vì :
 có nghiệm duy nhất 
Ta có bảng biến thiên
-1/2	0	2	
	-	0	+
Từ bảng biến thiên ta thấy nếu có nghiệm thì có nhiều nhất 2 nghiệm.
Mặt khác .
Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt .
Ví dụ 2: Giải phương trình:
.
Giải:
Điều kiện: 
Giải (6.5): 
Nếu (6.5) luôn đúng.
Nếu 
Chứng tỏ (6.5) đúng .
Giải (6.6):
Nếu (6.6) luôn đúng
Nếu 
. Kết hợp với 
Chứng tỏ (6.6) đúng .
Vậy phương trình xác định với mọi x.
Phương trình tương đương với 
Xét hàm số 
Ta có 
Mặt khác 
Vậy hàm số luôn đồng biến trên .
Khi đó (vô nghiệm).
Vậy pt đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3:Giải pt
 .
Giải:
Điều kiên: 
Xét hàm số trên 
Ta có : 
Hàm số đồng biến trên 
Có 
Vậy pt có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 4: Giải pt:
.
Giải:
Đặt . 
Ta có hệ pt: 
Cộng vế với vế ta được: 
Xét hàm số 
Có 
Hàm số là hàm đồng biến trên 
Xét hàm số 
Ta có : 
Mà 
Nên hàm số nghịch biến trên , đồng biến trên 
Do đó pt có không quá 2 nghiệm trên .
Mà Kết hợp với điều kiện được là nghiệm duy nhất của pt đã cho.
Ví dụ 5: Giải pt:
.
Giải:
Điều kiện: 
Đặt 
. 
Trừ vế với vế (6.15) và (6.16) ta có :
Xét hàm số . Cã 
 là hàm số đồng biến trên 
Xét hàm số 
Ta có 
 đồng biến trên .
Mà 
 có duy nhất 1 nghiệm 
Ta có bảng biến thiên
5/6 0 2 
	- 0 +
 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy pt nếu có nghiệm thì có nhiều nhất 2 nghiệm.
Mà, .
 Do đó pt có 2 nghiệm .
Ví dụ 6: Tìm m để pt x2 – 2x = m có nghiệm x Î [ 0; 1]
Giải: 	Xét hàm số f(x) = x2 – 2x 
	Là hàm số liên tục trên [0;1] từ bảng biến thiên của hàm số f(x) trên [0;1]
	Ta có : 	maxf(x) = 0 ; min f(x) = - 1
	 [0 ; 1]	 [0; 1]	
Vậy với 1 £m£0 thì pt đã cho có nghiệm trên [0;1].
ví dụ 7: Tìm m để pt sau có nghiệm
	Giải : 
	Đặt t = thì 2 £ t £ 2
	+ Khi đó pt trở thành:
	f(x) = 
	Lập bảng biến thiên của f(t) với 2 £ t £ 2
	Ta có : 	
Vậy pt có nghiệm khi ó .
Ví dụ 8: Xác định m để pt sau có nghiệm:
 .
Giải:
Điều kiện: .
Đặt 
 Với .
Pt đã cho trở thành: .
Đặt 
Lập bảng biến thiên của hàm số trên .
Ta có: 
 Û 
Bảng biến thiên:
 t
 -4 0 
 0 + 0 -
 f(t)
 1
 -1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với thì pt đã cho có nghiệm.
2. Giải bất phương trình 
Để giải bất phương trình ta thường sử dụng tính chất: Nếu đồng biến trên thì bất pt: 
 Đối với bất pt chứa tham số:
 1. Bất pt dạng 	f(x) ³ h(m) có nghiệm trên D
 2. Bất pt dạng : 	f(x) ³ h(m) nghiệm đúng "xÎD
	3. Bất pt dạng : 	f(x) ³ h(m) vô nghiệm trên D
	4. Bất pt dạng 	h(m) > f(x) có nghiệm trên D 
	5. Bất pt dạng : 	h(m)> f(x) nghiệm đúng "xÎD
	6. Bất pt dạng : 	h(m) > f(x) vô nghiệm trên D
Ví dụ 9: Giải bất pt sau:
 (6.20)
 ( ĐHAN - 2001 ) 
Giải:
Điều kiện: 
Ta có (6.20) 
 (6.21)
Xét hàm số trên 
Có 
Do đó hàm số đồng biến trên 
Mà là nghiệm duy nhất của 
Khi đó (6.21) 
Vậy bất pt đã cho có nghiệm .
Ví dụ 10: Giải bất pt sau:
 (6.22)
Giải:
Điều kiện: 
Ta có 
 (6.23)
Xét hàm số trên [0;2].
Có .
Hàm số đồng biến trên (0;2).
.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là .
Ví dụ 11: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
 (*)
 Giải:
 Điều kiện: -1£ x£ 4.
 Đặt 
 Để (*) có nghiệm thì 
Ta có: .
Vậy để bất phương trình có nghiệm thì .
Ví dụ 12: Tìm điều kiện của m để pt mx4 – 4x + m ³ 0 nghiệm đúng "xÎR
Giải :
	Bất pt ó 
	Xét hàm số 
	g(x) = 	 Ta có : 
	Do đó bất pt nghiệm đúng "xÎR khi và chỉ khi :
	m ³ 
Ví dụ 13: Tìm m để "xÎ [0; 2] đều là nghiệm của bất pt
Giải:
 	Điều kiện: ³ 1 
	Bất pt ó 
	Đặt t = 
	Bất pt trở thành : t2 + 4t – 5 £ 0 ó - 5 £ t £ t
	Kết hợp với t ³ 0 Ta có : 0 £ t £ 1
	Suy ra : 	0 
 Û 
 Û 
	Bất pt nghiệm đúng "x Î [0; 2] khi và chỉ khi
	 y
	ó (Xem hình bên)
	ó 2 £ m £ 4 0 2 x
	 -1
Các bài toán tự giải
 Bài 1. Giải phương trình: 4 + 5 = 9
 Bài 2. Giải pt: 3 + 5 = -6x + 2;
 Bài 3. Giải pt: ; 
Bài 4: Tìm các giá trị của m để pt sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt:
 (ĐH Khối A-2008).
Bài 5. Tìm các giá trị của m để pt sau có nghiệm thực:
 (ĐH Khối A-2007)
 Bài 6. Tìm m để bất pt x -2x - m - 20m³ 0 có nghiệm trên . 
III. Kết luận:
 Trải qua thực tiễn giảng dạy nội dung liên quan đến chuyên đề, với sự góp ý của đồng nghiệp, vận dụng chuyên đề vào giảng dạy đã thu được một số kết quả sau:
1. Học sinh có thể vận dụng được các kết quả cơ bản của chuyên đề vào giải phương trình và bất phương trình.
2. Tạo hứng thú cho học sinh khi học các bài toán về giải phương trình và bất phương trình.
3. Qua đề tài này giáo viên có thể xây dựng được các bài toán về giải phương trình và bất phương trình.
4. Đề tài nhằm phục vụ cho các đối tượng học sinh trung bình, khá và giỏi.
 Bên cạnh những kết quả thu được chuyên đề còn nhiều hạn chế và thiếu sót. Kính mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Nghĩa Hưng, ngày 08 tháng 02 năm 2011
 Người viết
 Vũ Thị Trang
CƠ QUAN ĐƠN VỊ
ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
(xác nhận, đánh giá, xếp loại)
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
(Ký tên, đóng dấu)
(khối phòng GD-ĐT)
PHÒNG GD-ĐT
(xác nhận, đánh giá, xếp loại)
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
(Ký tên, đóng dấu)
PHỤ LỤC
1. Danh mục sách tham khảo :
	+ Sách giáo khoa giải tích lớp 12
	+ Sách rèn luyện giải toán giải tích 12 – NXB Giáo Dục 
	+ Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán giải tích 
 lớp 12 – NXB – ĐH QG HN
 + Giáo trình đại học - Trường đại học sư phạm