Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 môn: Toán học

Së GD &§T L¹ng S¬n
Trường THPT Bắc Sơn
®Ò Thi chän HS Giái líp 10
M«n: To¸n häc
(Thời gian làm bài : 180 phút)
Câu 1: ( 4 điểm) Giải bất phương trình :
Câu 2: ( 5 điểm) Cho hệ phương trình :
 (I)
Giải hệ PT với m= -1
 Tìm m để hệ PT có nghiệm duy nhất 
Câu 3: ( 4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB tại T, đường thẳng CT cắt đường tròn tại K khác T. Giả sử K là trung điểm CT và .Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Câu 4 : ( 4 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn Oxy cho tam giác ABC có diện tích: ; hai đỉnh A(2;-3) , B(3;-2) và trọng tâm của tam giác thuộc đường thẳng (d) : 3x-y-8 =0 .Tìm toạ độ đỉnh C.
Câu 5 : ( 3 điểm) Xét các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện: abc=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
------------------------------------Hết-----------------------------------
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
CÂU
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Câu 1
(4 điểm)
Điều kiện: 
0,5
1
0,5
1
0,5
0,5
Câu 2
(5 điểm)
Trừ từng vế PT,ta được:
Với m=-1 ta được:
 hệ vô số nghiệm
Vậy với m= -1 hệ có các nghiệm là: (-1;-1), (1/2;1/2) và 
Tìm m để hệ PT có nghiệm duy nhất .
-Điều kiện cần: Nhận xét rằng: nếu hệ có nghiệm (x0;y0) thì cũng có nghiệm (y0;x0), do đó hệ có nghiệm duy nhất thì x0=y0 .
Do x0 duy nhất nên (2) có nghiệm duy nhất
-Điều kiện đủ:
Với m=0, hệ có dạng:
 hệ có vô số nghiệm thoả mãn y=-x
Với m=8, hệ có dạng:
Vậy với m=8 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
1
1
1
1
1
Câu 3
(4 điểm)
T
C
B
L
A
K
Gọi L là tiếp điểm của đường tròn với cạnh BC.
Ta có:
Áp dụng định lý côsin trong tam giác BCT, ta có:
Mặt khác , áp dụng định lý côsin trong tam giác ABC, ta có:
Từ (1), (2), (3) ,ta có : a=12, b=8, c=8 .
1
1
1
1
Câu 4
(4 điểm)
Gọi M là trung điểm AB , G là trọng tâm tam giác ABC, H là chân đường cao hạ từ C.
Ta có: M(5/2;-5/2)
C
B(3,-2)
A(2,-3)
H1
G
M
H
PT cạnh AB: x-y-5=0
Qua G dựng đường thẳng song song với AB cắt CH tại H1, Khi đó:
Ta có: 
Từ (1) và (2) ta có hệ :
Từ đẳng thức:
1
0,5
1
0,5
0,5
0,5
Câu 5
(3 điểm)
Ta có:
Mặt khác,cũng theo BĐT Cô si , thì:
Từ đó suy ra: 
1
1
1