Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2011 - 2012 Lạng Sơn môn thi: Toán dành cho lớp chuyên toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2011 - 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN THI : TOÁN
Dành cho lớp chuyên Toán
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2 điểm): Cho phương trình: , (a là tham số).
a. Giải phương trình với a = 4.
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm 
 x1 , x2 mà .
Câu 2 (2 điểm):
a. Giải phương trình .
b. Tìm tất cả những số nguyên a để hệ phương trình 
có nghiệm (x;y) thoả mãn x + y cũng là số nguyên.
Câu 3 (2 điểm):
a. Cho điểm M cố định ở miền trong góc vuông xOy, một đường thẳng d cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B. Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.
b. Chứng minh nếu và , với 
thì : .
Câu 4 (3 điểm): Cho đường tròn (O) và một điểm P cố định ngoài (O). Vẽ các tiếp tuyến 
 PA, PB (A, B là các tiếp điểm) và một cát tuyến PNM (PM > PN). Gọi C, E thứ tự là 
 các trung điểm của MN, PO.
a. Chứng minh năm điểm A, B, C, O, P nằm trên một đường tròn tâm E.
b. Tia BC cắt O tại D. Chứng tỏ AD // PM. Xác định vị trí của cát tuyến PNM để 
diện tích tam giác PDM đạt giá trị lớn nhất.
c. Khi cát tuyến PNM di động thì trọng tâm G của tam giác BNM chạy trên đường 
 nào? Chứng minh nhận định đó.
Câu 5 (1 điểm): Cho hai số thực dương x, y thoả mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
----------------------------------------Hết----------------------------------------
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh:................................................................... SBD........................
LẠNG SƠN PHÁI ĐƠN VỊ : THPT BÌNH GIA
ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN CHU VĂN AN - LẠNG SƠN 
Ngày thi : chiều 03/07/2011
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1.
(2 điểm)
a. Với a = 4 ta có phương trình : (1)
 > 0
Nên PT (1) có 2 nghiệm pb : .
b. (2) có 
vậy PT (2) luôn có nghiệm với mọi a.
Cách 1: (con đường xương máu) tính x1 , x2 theo a rồi thế vào giả thiết , giải PT ta sẽ tìm được a.
Cách 2: Áp dụng Vi-ét ta có : 
Lấy (3) - (4) : kết hợp giả thiết ta được 
hệ PT : giải hệ PT này bằng phương pháp thế 
Ta được kết quả: 
Câu 2.
(2 điểm)
a. (*) Điều kiện: 
Đặt 
Và nên 
Kết hợp với đầu bài ta có hệ phương trình : 
thế ở PT dưới lên PT trên : 
TH1: u + v = 1/2 do đk nên 
và u nên TH này vô nghiệm.
TH2: u = v nên x = 5 (t/m)
Vậy x = 5 là nghiệm của PT (*).
b. ĐK : 
Vậy x + y = hay 
Để x + y nguyên thì a + 2 phải là ước của 1, tức là :
(t/m) . Vậy a = ; a = là ĐS cần tìm.
Câu 3.
(2 điểm)
a. Gọi , và C, D là hình chiếu vuông góc của M lên OA, OB như hình vẽ.
đặt CM = a, DM = b, 
Ta có trong đó M, C, D cố định nên cố định do đó để SOAB là nhỏ nhất thì S1 + S2 phải nhỏ nhất.
dễ dàng tính được: BD = b/tan, CA = a.tan
nên 
Áp dụng Cô si: 
Dấu "=" xảy ra khi hay 
mặt khác tan nên cân tại M
Vậy cách dựng đường thẳng d như sau : dựng 
dựng điểm B sao cho D là trung điểm của OB khi đó đường thẳng MB là đường thẳng cần tìm.
b. Từ giả thiết : nên 
Vậy VT = 
VP = 
VT = VP đpcm.
Câu 4.
(3 điểm)
Câu 5.
(1 điểm)
 đặt ta có 
Do nên (theo t/chất tỉ số)
Xét ta tính A(t1) - A(t2) = ... < 0
Do đó A(t1) < A(t2) . Nên từ 
 khi 
Hay x = 2011, y = 2012.
Note: Câu 5. Nếu các thầy dạy cấp III thì dễ dàng tính được max, min A(t)
 trên 
Có ; lấy máy tính giải PT (khôn ở chỗ này)
ta được và A'(t) > 0 hàm số đồng biến, chính vì thế nên 
A(t1) - A(t2) = ... < 0 (biến đổi kiểu gì chẳng ra)
Còn tại sao : ta có và 
PP đạo hàm chỉ thử xem mà thôi