Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH chuyên năm học 2009 – 2010 Hà Nam môn thi: Toán (đề chung)

SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO 
HÀ NAM 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PTTH CHUYÊN 
Năm học 2009 – 2010 
MÔN THI: TOÁN (ĐỀ CHUNG) 
Thời gian làm bài: 120phút( Không kể thời gian giao đề) 
Bài 1.(2,0 điểm) 
 Cho biểu thức 
( ) ( )2x 2 +3 x xx x +1
P= +
1 x 1 x
- -
- -
 a) Tìm điều kiện xác định của P. 
 b) Rút gọn P 
 c) Tìm x để P > 0 
Bài 2.(1,5 điểm) 
 Giải hệ phương trình: 
( )
( )
1 2 x + y= 2
2 2 x y=1
ì +ï
í
+ - ïî
Bài 3. (2,0 điểm) 
 1) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y= x+6 và parabol y=x2. 
 2) Tìm m để đồ thị hàm số ( )1 2 3y m x m= + + + cắt trục Ox, trục Oy tại các điểm A 
và B và DOAB cân( đơn vị trên hai trục Ox và Oy bằng nhau) 
Bài 4.(3,5 điểm) 
 Cho DABC vuông đỉnh A, đường cao AH, I là trung điểm của AH, K là trung 
điểm của HC. Đường tròn đường kính AH ký hiệu là (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lượt 
tại M và N 
 a) Chứng minh DACB và DAMN đồng dạng. 
 b) Chứng minh KN là tiếp tuyến của đường tròn (AH). 
 c) Tìm trực tâm của DABK. 
Bai 5.(1,0 điểm) 
 Cho , ,x y z là các số thực dương thoả mãn 1x y z+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức: 1 1 1P
16 4x y z
= + + 
--------Hết------- 
ĐÁP ÁN 
Bài 1.(2,0 điểm) a) P xác định 
1 x 0
x 1
1 x 0
x 0
x 0
- ¹ì
¹ï ì
Û - ¹ Ûí í ³îï ³î
 b) Rút gọn P 
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
2
x 2 +3 x xx x +1 x x +1 x 4 +4 +3 x xP= + = +
1 x 1 x 1 x1 x 1 x
x +4 4P= +
1 x1 x 1 x
x
x
- - - -
- - -- +
-
=
-- -
 c) P > 0 =>
( )
4 0
1 x 1 x 0
1 1 1 x 0
0 0
x x
x x
ì >ï - ì - >ï
ïï ¹ Û ¹ Û > ³í í
ï ï³ ³îï
ï
î
Bài 2.(1,5 điểm)Giải hệ phương trình: 
( )
( )
( )
( ) ( )( )
1 2 x + y= 2 3 2 2 x = 2 1 x = 2 1 x = 2 1
1 2 2 1 y= 2 y= 2 12 2 x y=1 1 2 x + y= 2
ì ì ì+ + + - ì -ï ï ï ïÛ Û Ûí í í í
+ - + -ï+ - +ï ï ï îîî î
Bài 3. (2,0 điểm) 
 1) Toạ độ giao điểm của đường thẳng y= x+6 và parabol y=x2. là nghiệm của 
phương trình: 2x =x+6 hay 2x x 6=0- - 
Giải phương trình ta có 1x = 2- ; 2x =3 suy ra tung độ giao điểm tương ứng là 1y =4 ; 2y =9 
Nên toạ độ các giao điểm là: A(-2;4), B(3;9) 
 2) Đồ thị hàm số ( )1 2 3y m x m= + + + cắt trục Oy tại các điểm B(0;2m+3) và cắt 
trục Ox tại điểm 2 3A ;0
1
m
m
+æ ö-ç ÷+è ø
với m¹-1 
Để DOAB cân thì OA= OB 
2 32 3 2 3 2 3
1 1
mm m m
m m
++
Û - = + Û = +
+ +
1) 32m 3 0 m=
2
-
+ = Û khi đó AºBºO không tồn tại DOAB 
12) 1
1
)m 1 1 m 0
)m 1 1 m 2
m
a
b
=
+
+ = Û =
+ = - Û = -
Vậy m=0; m=-2 là giá trị cần tìm. 
Bài 4.(3,5 điểm) 
Hình 1 
K
N
M
I
H CB
A
a) AH^BC(gt);   0HMA HNA 90= = ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
Áp dung hệ thức canh và đường cao trong tam giác vuông 
Trong D AHB và DAHC có AH2 = AM.AB=AN.AC 
 Suy ra: AM AN
AC AB
= lại có góc A chung nên DACB~DAMN(c.g.c) 
b) I là trung điểm của AH nên I là tâm của đường tròn(AH) => IM=IH 
DHNC vuông tại N có K là trung điểm của HC => KH=KC=KN 
Lại có KI chung nên DKNI=DKHI(c.c.c) =>  KNI KHI= mà  0KHI 90= nên 0KNI 90= 
Hay KN là tiếp tuyến của đường tròn (AH). 
c) trong tam giác AHC có KI là đường trung bình nên KI//AC mà AC^AB =>KI^AB; 
mặt khác AH^KB nên I là trực tâm của DKAB. 
Bai 5.(1,0 điểm) 
 Cho , ,x y z là các số thực dương thoả mãn 1x y z+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức: 1 1 1P
16 4x y z
= + + 
Theo BĐT Bu-nhi-a-côp-xki 
( ) ( ) ( ) ( )( )
22 2
2 2 21 1 1 1 1 1P . .
16 4 16 4
x y z x y z
x y z x y z
æ öæ öæ ö æ ö æ öç ÷= + + + + = + + + +ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷è øè øè ø è øè ø
2 21 1 1 1 1 49. . . 1
4 2 1616 4
x y z
x y z
æ ö æ ö³ + + = + + =ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø
Vậy 49Pmin=
16
khi đó 1 1 1: : :
16 4
x y z
x y z
= = và 1x y z+ + = 
1 2 4; ;
7 7 7
x y zÛ = = = 
 SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO 
HÀ NAM 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PTTH CHUYÊN 
Năm học 2009 – 2010 
MÔN THI: TOÁN (ĐỀ CHUYÊN) 
Thời gian làm bài: 150phút( Không kể thời gian giao đề) 
Bài 1.(2,5 điểm) 
 1) Giải phương trình: 2
1 1 2
x 3x +2 x 2
- =
- -
 2) Giải hệ phương trình: 
1x + =7
x y
x =12
x y
ì
ï +ï
í
ï
ï +î
Bài 2.(2,0 điểm) 
 Cho phương trình: x 6x 3 2m 0- - + = 
 a) Tìm m để x 7 48= - là nghiệm của phương trình. 
 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x=x1; x=x2 thoả mãn: 
 1 2
1 2
x x 24
3x x
+
=
+
Bài 3. (2,0 điểm) 
 1) Cho phương trình: ( )22x 2 2m 6 x 6m+ - - + 52 = 0 ( với m là tham số, x là ẩn số). 
Tìm giá trị của m là số nguyên để phương trình có nghiệm hữu tỷ. 
 2) Tìm số abc thỏa mãn: ( )2abc a b 4c= + 
Bài 4.(3,5 điểm) 
 Cho DABC nhọn có  C A< . Đường tròn tâm I nội tiếp DABC tiếp xúc với các cạnh 
AB, BC, CA lần lượt tại M, N, E; gọi K là giao điểm của BI và NE. 
 a) Chứng minh 

0 CAIB 90
2
= + . 
 b) Chứng minh năm điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đường tròn. 
 c) Gọi T là giao điểm của BI và AC, chứng minh: KT.BN=KB.ET. 
 d) Gọi Bt là tia của đường thẳng BC và chứa điểm C. Khi hai điểm A, B và Bt cố 
định; điểm C chuyển động trên tia Bt và thoả mãn giả thiết, chứng mỉnh rằng các đường 
thẳng NE luôn đi qua điểm cố định. 
ĐÁP ÁN 
Bài 1.(2,0 điểm) 
 1) 2
1 1 2(Đk : x 2; x 1)
x 3x +2 x 2
- = ¹ ¹
- -
2 2
1 2
1 x 1 2x 6x +4 2x 5x +2 =0
=25 16=9>0 3
ph ình
5 3 5 3 12(lo i) ; x (Tho )
4 4 2
Û - + = - Û -
D - Þ D =
+ -
= = = =
­¬ng tr cã hai nghiÖm : 
x ¹ ¶ m·n
 2) Đặt 1
x y+
=t ta có 
x + t=7
x.t =12
ì
í
î
nên x; t là hai nghiệm của phương trình: 
2 7 12 0X X- + = giải ra ta có 1 23; 4X X= = nên 
1) 
x =3 x =3 x =3
1 1 11 =4 x y = y =
x+y 4 4
ì ì ì
ï ï ïÛ Ûí í í
+ -ï ï ïî îî
2) 
x =4 x =4 x =4
1 1 11 =3 x y = y =
x+y 3 3
ì ì ì
ï ï ïÛ Ûí í í
+ -ï ï ïî îî
Vậy hệ có hai nghiệm: 1 1 2 2
11 11x 3; y , x 4; y
4 3
- -æ ö æ ö= = = =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Bài 2.(2,0 điểm) 
 Cho phương trình: x 6x 3 2m 0- - + = 
 a) Để x 7 48 2 3= - = - là nghiệm của phương trình 
2 3 12 6 3 3 2m 2 3 3 3 3 2m
4 2m m 2
Û - - - - + = 0 Û - - + - + = 0
Û - + = 0 Û =
 b) Đặt x t(t 0)= ³ thì phương trình có dạng: 2t 6t 2m- - 3+ = 0 (2) 
Để phương trình có hai nghiệm: thì 50 6 12 8m 0 m
2
D ³ Û + - ³ Û £ 
Theo hệ thức Vi-et thì 1 2
1 2
t t 6
t .t 3 2m
ì + =ï
í
= - +ïî
 để pt(1) có hai nghiệm thì 
1 2
1 2
t t 0 33 2m 0 m
2t .t 0
ì + ³ï Û - + ³ Û ³í
³ïî
để 1 2
1 2
x x 24
3x x
+
=
+
thì 
( )22 2 1 2 1 21 2
1 2 1 2
t t 2t .tt t 24 24 6 6 4m 24
t t 3 t t 3 36
36 12m=12 12m=-24 m=2(Tho m n)
+ -+ + -
= Û = Û =
+ +
Û - Û - Û ¶ ·
Vậy m=2 là giá trị cần tìm. 
Bài 3. (2,0 điểm) 
 1) ( )22x 2 2m 6 x 6m+ - - + 52 = 0 có nghiệm hữu tỷ với m nguyên 
( )2x 2m 6 x 3m 26Û + - - + = 0có nghiệm hữu tỷ với m nguyên 
( ) ( )
( )( )
2 2 2 2
2 2
2m 6 12m 104 k k Z 4m -24m +36 12m 104 k
4m -12m + 9 k 77 2m 3 k 2m 3 k 77
Û D = - + - = Î Û + - =
Û - = Û - - - + =
1)
2m 3 k=1
m 21(Tho m n)
2m 3 k=77
- -ì
Û =í - +î
¶ · 
2) 
2m 3 k= 1
m 18(Tho m n)
2m 3 k= 77
- - -ì
Û = -í - + -î
¶ · 
3) 
2m 3 k=11
m 6(Tho m n)
2m 3 k=7
- -ì
Û =í - +î
¶ · 
4) 
2m 3 k= 11
m 3(Tho m n)
2m 3 k 7
- - -ì
Û = -í - + = -î
¶ · 
Vậy có 4 giá trị của m thoả mãn đề bài: 1 1 2m 21 1; 37x x= Þ = = - ; 
2 1 2m 18 2; 40x x= - Þ = = ; 3 1 2m 6 2; 8x x= Þ = = - ; 2 1 2m 3 5; 7x x= - Þ = = 
 2) Tìm số abc thỏa mãn: ( )2abc a b 4c= + 
Vì ( )2abc a b 4c= + nên abc chia hết cho 4. Suy ra c là chữ số chẵn. Mặt khác 
( )2abc a b 4c= + nên ( )24 a b+ có chữ số tận cùng là 6 => ( )2a b+ có tận cùng là 4, 9(1) 
Do abc 1000;c 2 .Suy ra ( )2 1000a b 125 a b 11
8
+ £ = => + £ (2) 
Từ (1) và (2) suy ra a+b=8; 7; 3; 2 
1) a+b=8 suy ra abc 256c= nên abc 512= không thoả mãn. 
2) a+b=7 suy ra abc 196c= 
nếu c=2 => abc 392= không thoả mãn. 
nếu c=4 => abc 784= không thoả mãn 
nếu c=6 => abc 1000> không thoả mãn 
3) a+b=3 suy ra abc 36c= 
nếu c=2 => abc 100< không thoả mãn. 
nếu c=4 => abc 144= không thoả mãn 
nếu c=6 => abc 216= thoả mãn 
nếu c=8 => abc 288= không thoả mãn 
4) a+b=2 suy ra abc 16c= 
 nếu c=8 => abc 128= không thoả mãn 
nếu c=6 => abc 100< không thoả mãn. 
Vậy số cần tìm là 216. 
Bài 4.(3,5điểm) 
  
  
0
0 0
a) Trong AIB có AIB 180 ABI IAB
A B C180 90
2 2 2
D = - -
= - - = -
. 
T
E
N
M
K
I
CB
A
Hình 2 
b) Vì CE=CN (t/c tiếp tuyến) nên DCEN cân tại C =>   

0 0 C2CEN 180 C CEN 90
2
= - Þ = - 
Nên tứ giác AIKE nội tiếp.(1) 
Mặt khác   0IEA IMA 90= = vì (I) tiếp xúc với AB và AC nên tứ giác AMIE nội tiếp(2) 
Từ (1) và (2) => năm điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đường tròn. 
c) Vì năm điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đường tròn. 
Nên  TEK TIA= => DTEK~DTIA(g.g)=> TE TI
TK TA
= (3) 
Tương tự DBIM~DBIA(g.g)=> BM BI
BK BA
= (4) 
Do AI là phân giác của góc BAT nên BI TI
BA TA
= (5) 
Từ (3), (4), (5) => BM TE Hay KT.BM KB.ET
BK TK
= = . Mà BN=BM nên KT.BN KB.ET= 
c) Vì năm điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đường tròn nên  0AKB 90= . Do A, B và 
tia Bt cố định => tia BK cố định và AB ;ABt không đổi mà 
ABtBK AB.cos
2
= nên K cố 
định. Nên các đường thẳng NE luôn đi qua điểm K cố định.