Định lý Con nhím và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng

Định lý Con nhím và ứng dụng trong giải toán
hình học phẳng
 Trần Mạnh Sang
Mục tiêu
Sau bài này, học sinh cần nắm được
 a. Kiến thức: Biết định lý Con nhím và cách chứng minh định lý.
 b. Kĩ năng: Biết vận dụng định lý trong việc giải một số bài toán hình học phẳng, đặc biệt là chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
Giáo viên: Chuẩn bị giáo án, một số bài tập cho học sinh.
Học sinh: Ôn lại định nghĩa và tính chất của vecto, các phép toán: Cộng, trừ vecto, nhân vecto với một số, các quy tắc tìm tổng hai vecto.
Dự kiến phương pháp giảng dạy
 Vấn đáp, gợi mở, trực quan, thuyết trình.
Tiến trình dạy học.
Thực hiện bài học trong 4 tiết.
Tiết 1.
Có nhiều bài toán hình học phẳng mà nếu giải theo phương pháp hình học thuần thúy thì sẽ rất khó khăn. Tuy nhiên, khi sử dụng công cụ vecto thì việc giải quyết bài toán trở lên đơn giản. Một trong các định lý về vecto có ứng dụng lớn là định lý Con nhím.
Chúng ta cùng nghiên cứu định lý Con nhím và các ứng dụng của nó.
Trước hết chúng ta cùng nhắc lại một số kiến thức về vecto:
Định nghĩa , phép cộng , trừ hai vecto, nhân vecto với một số, các quy tắc hình bình hành, quy tắc 3 điểm.
Ta đến với hai kết quả quan trọng sau:
 1.Cho và điểm M thuộc cạnh BC. 
Khi đó ta có: 
 Chứng minh
Kẻ MN song song với AB
Theo định lý Talet, ta có:
 suy ra 
Ta có: 
 2.Cho với . Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. Khi đó:
 .
Chứng minh
Kẻ phân giác AA’, BB’, CC’ lần lượt của góc A, B, C.
Việc tính tổng của nhiều vecto, chúng ta thường có bước tổng hợp từng cặp vecto. Ta dựng hình bình hành ANIM sao cho C’ thuộc IN và B’ thuộc IM.
Khi đó
Áp dụng định lý Talet ta có
Hay 
Suy ra
 .
Chúng ta đến với bài toán sau:
Bài toán: Đường tròn tâm I nội tiếp , tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng: .
Chứng minh
Ta có biến đổi:
.
Ta có điều phải chứng minh.
Chúng ta cùng đến với kết quả chính của phần này
Định lý Con nhím:
Cho đa giác lồi và là vecto đơn vị vuông góc với ( xem ) và hướng ra ngoài đa giác. Khi đó ta có đẳng thức:
 .
Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp.
Với n=3, ta xét định lý trong tam giác ABC. Định lý đúng do bài toán trên.
Giả sử định lý đúng với n=k, ta xét với n=k+1.
 Gọi là vecto đơn vị vuông góc với và hướng ra ngoài tam giác .
Trong tam giác , ta có:
Theo giả thiết quy nạp, trong đa giác ta có
Suy ra 
Vậy định lý được chứng minh.
Chúng ta đến với một số bài tập áp dụng.
Bài 1: Với J là một điểm bất kỳ trong . Hạ JM, JN, JP vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
 .
Bài tập 1 là một bài tập đơn giản, nhận mạnh với chúng ta rằng, vecto xét ở đây là vecto đơn vị.
Từ hệ thức trên ta thấy, nếu các vecto có cùng độ lớn thì ta có hệ thức:
 .
Bài 2: Cho , I là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng:
a. 
b. 
Chứng minh.
Bài tập 2 nhấn mạnh cho chúng ta một điều: Vecto đơn vị có hướng ra ngoài đa giác.
Xét , có 
Và có hướng vào trong tam giác, ta phải chọn . Áp dụng định lý con nhím cho , ta có:
b. 
Ta có:
Ta có:
Tương tự ta có:
Vậy 
 .
Chúng ta kết thúc bài toán.
 Tiết 2. 
 Bài 3: Cho không đều, BC là cạnh nhỏ nhất. Đường tròn nội tiếp tâm I của tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại X, Y, Z. G là trọng tâm của . Trên các tia BA, CA lấy các điểm E, F sao cho: BE=CF=BC. Chứng minh rằng: .
Chứng minh
Với những bài toán sử dụng vecto để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta thường chứng minh một vecto có giá là một trong hai đường cùng phương với một vecto vuông góc với đường còn lại. 
Gọi là vecto vuông góc với EF, có độ dài bằng IX và hướng ra phía ngoài tứ giác BCFE
Áp dụng định lý con nhím cho tứ giác BCFE, ta có
Hay cùng phương với 
Suy ra .
Nhận thấy, với phương pháp vecto, chúng ta không cần thiết phải xác định điểm G trên hình vẽ mà vẫn giải quyết được bài toán.
Chúng ta đến với một số bài tập tương tự.
Bài 4: Cho có góc A nhọn. Vẽ bên ngoài các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AMDE.
Chứng minh
Xét trong tam giác EAD, ta có:
Gọi là vecto đơn vị vuông góc với ED và hướng ra phía ngoài tam giác EAD.
Áp dụng định lý con nhím trong ta có:
Do ta có hai tam giác ABD và ACE cân tại A nên và 
Vậy ta có:
Hay cùng phương với , suy ra AMDE.
Bài 5: Cho cân tại A, nội tiếp trong đường tròn tâm O. D là trung điểm của AB và G là trọng tâm . Chứng minh rằng:.
Chứng minh 
Gọi E là trung điểm của đoạn AC
Nhận thấy , trong , có 
 Vậy ta có thể áp dụng định con nhím cho 
Gọi vecto vuông góc với DC, có hướng ra phía ngoài miền tam giác ADC và có độ lớn bằng OD.
Áp dụng định lý con nhím cho , ta có:
Suy ra cùng phương với , hay .
Ta nhận thấy, muốn ứng dụng phương pháp vecto vào việc chứng minh 2 đường thẳng vuông góc thì chúng ta phải gắn được một đường vào cạnh của một đa giác.
Ta đến với bài toán tiếp theo.
Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD. K là hình chiếu vuông góc của B trên AC. M, N lần lượt là trung điểm của AK và CD. Chứng minh rằng: .
Chứng minh
Bài toán đưa ra yêu cầu chứng minh . Ta xem xét để tìm ra được một đa giác chứa một trong hai đường và chúng ta có thể áp dụng định lý con nhím cho đa giác đó.
Nhận thấy, và , vậy ta có thể áp dụng định lý con nhím cho .
Gọi là vecto đơn vị vuông góc với MN và có hướng ra phía ngoài của .
 Áp dụng định lý con nhím cho tam giác MNC, ta có
 (1)
Ta phải tính theo .
Nhận thấy 
Kết hợp với (1), ta có
Ta có: 
Hay 
Vậy ta có
Suy ra cùng phương với , hay .
Tiết 3.
Bài 7: Cho hình vuông ABCD. Các điểm M, N thuộc các cạnh BA, BC saho cho BM=BN. H là hình chiếu vuông góc của B trên CM. Chứng minh rằng 
Bài 8: Cho cân tại A.H là trung điểm BC,
D là hình chiếu của H trên AC,
M là trung điểm của HD.
 Chứng minh rằng: .
Ta xét trong , có 
 là vecto đơn vị vuông góc với BD, hướng ra ngoài.
Bài 9: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao , cạnh đáy . Tìm mối liên hệ giữa a, b, h sao cho: 
a.
b. BDAM, trong đó M là trung điểm của BC.
c. với I là trung điểm AD
d. 
Giải
a. Xét trong .
Có 
Theo định lý Con nhím, có
Ta có nhận xét: 
Suy ra:
Hay 
Bài toán này cho ta điều kiện để hai đường chéo của hình thang vuông vuông góc với nhau, đó là : Bình phương đường cao bằng tích của hai đáy.
BDAM
 Câu b, chúng ta áp dụng câu a để giải toán. Tuy nhiên ta phải tìm được một hình thang vuông có hai đường chéo lần lượt song song hoặc trùng với hai đường thẳng BD và AM.
Kẻ HE song song với AM và cắt BD tại E. Khi đó, tứ giác DEBH là hình thang vuông có hai đường chéo là BD và HE.
Ta có
Theo câu a, ta có: 
Kẻ AM cắt DC tại F, dễ thấy ABFC là hình bình hành nên .
Suy ra 
Vì thế 
Câu c và d chúng ta làm tương tự.
Bài toán đã được giải quyết.
Bài 10: Cho vuông tại A có . Tìm điểm sao cho với AM là trung tuyến của 
Giải.
Ta dựng một tam giác có một cạnh là một trong hai đường, sau đó áp dụng định lý Con nhím cho tam giác đó.
Dựng tam giác AMN, với N là hình chiếu của M trên AC. Kẻ .
Trong có 
Áp dụng định lý Con nhím trong ta có:
 (1)
Bên cạnh đó, nếu D nằm giữa A và N thì:
Nên từ (1) ta có
 Do ta có: nên ta suy ra 
Trường hợp nếu thì N nằm ngoài A và N, ta là tương tự.
Bài toán được giải quyết.
Bài 11: Cho vuông tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy các điểm trên AB, AC sao cho. Chứng minh rằng: 
 Chứng minh
Ta dựng một tam giác có một cạnh là một trong hai đường trên.
Xét tam giác , có
Ở đây lần lượt là trung điểm của .
Gọi là vecto đơn vị vuông góc với và hướng ra phía ngoài tam giác .
Áp dụng định lý Con nhím cho tam giác ta có:
Do đề bài có: nên ta có
Suy ra cùng phương với , hay . 
Tiết 4.
Bài 12: Cho I là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. Gọi E, F là trung điểm của AC, BD. Chứng minh rằng: I, E, F thẳng hàng.
Chứng minh
Ta có kí hiệu như hình vẽ.
Ta có nhận xét sau:
Áp dụng định lý Con nhím cho tứ giác ABCD, ta có:
Suy ra cùng phương với hay I, E, F thẳng hàng.
Bài 13: Cho , điểm O ở trong miền tam giác. Các điểm lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên . Lấy các điểm lần lượt thuộc các tia sao cho . Chứng minh rằng: O là trọng tâm của tam giác .
Chứng minh
Theo hình học thuần túy, để chứng minh O là trọng tâm của tam giác là không đơn giản. Chúng ta cùng đến với phương pháp vecto để giải bài toán trên.
Muốn chứng minh O là trọng tâm của tam giác , ta cần chứng minh .
Thật vậy, ta có
( do định lý Con nhím trong ).
Vậy O là trọng tâm của tam giác .
Bài toán có thể được mở rộng đối với một đa giác lồi bất kỳ.
Cho đa giác lồi , điểm O ở trong miền đa giác. Các điểm lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên . Lấy các điểm lần lượt thuộc các tia sao cho . Khi đó ta có O là trọng tâm của đa giác .
Bài 14: Tìm tất cả những điểm N trong thỏa mãn: , trong đó lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ N xuống BC, CA, AB.
Chứng minh 
Nhận thấy, các vecto lần lượt vuông góc với 3 cạnh của tam giác, vì thế ta có thể áp dụng định lý Con nhím trong .
Gọi lần lượt là các vecto đơn vị vuông góc với các cạnh BC, CA, AB và hướng ra phía ngoài . Áp dụng định lý Con nhím cho , ta có
 (Trực chuẩn hóa các vecto)
Do N thỏa mãn nên ta có:
Lấy đối xứng với qua đường phân giác góc A, khi đó ta có
Khoảng cách từ đến AC bằng ,
Khoảng cách từ đến AB bằng .
Suy ra 
Gọi là giao của đường phân giác góc A với BC.
Từ 
Suy ra là trung điểm của BC.
Hay AA’ là đường trung tuyến của , vậy N thuộc đường thẳng đối xứng với AA’ qua đường phân giác góc A.
Tương tự ta sẽ có: N là giao của 3 đường đối xứng với 3 đường trung tuyến lần lượt qua 3 đường phân giác của mỗi góc.
Bài toán được giải quyết.
Kết luận bài học
Qua bài học này, các em cần nắm được định lý Con nhím, cách chứng minh và vận dụng trong giải một số bài hình học phẳng.
Hầu hết các tính chất ta có trong hình học phẳng đều có thể mở rộng sang hình học không gian. Các em sẽ được biết Định lý Con nhím mở rộng trong không gian khi học về vecto trong không gian ở phần hình học 12.