Kiến thức cơ bản Đại số lớp 10: Phương trình và hệ phương trình

Chương III : 
 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
§1.Khái niệm phương trình, phương trình bậc nhất một ẩn.
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
 1. Phương trình một ẩn
Là mệnh đề chứa một biến x có dạng f(x) = g(x), x gọi là ẩn số, f(x) là vế trái; 
 g(x) là vế phải.
Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện cho ẩn x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.
Mỗi số x0 thoả mãn ĐKXĐ sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng, là một nghiệm 
 của phương trình. Một phương trình có tập nghiệm bằng rỗng gọi là phương trình vô 
 nghiệm.
2. Phương trình tương đương (PTTĐ), phương trình hệ quả (PTHQ)
Cho hai phương trình (PT): f1(x) = g1(x) (1) & f2(x) = g2(x) (2).
 + PT (2) là (PTHQ) của PT (1) , kí hiệu f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x) nếu tập nghiệm của (1) là tập con của tập nghiệm của (2).
 + Hai phương trình (1) và (2) là tương đương, kí hiệu f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x), nếu các tập nghiệm của (1) và của (2) bằng nhau.
3. Phép biến đổi tương đương 
 Định lý : Gọi D là ĐKXĐ của PT f(x) = g(x) và h(x) là biểu thức xác định thì
 a) f(x) = g(x) f(x) + h(x) = g(x) + h(x).
 b) f(x) = g(x) f(x) . h(x) = g(x) . h(x) , nếu h(x) 0 , .
4. Phương trình bậc nhất một ẩn 
 + Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0, trong đó x là ẩn số, a, b R ; a0. x được gọi là ẩn còn a, b là các hệ số.
 + PT ax + b = 0 với a0 có nghiệm duy nhất x = -b/a.
5. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0
Nếu a 0, PT có nghiệm duy nhất x = -b/a.
Nếu a = 0, b 0, PT vô nghiệm.
Nếu a = 0, b = 0, PT có nghiệm x R.
B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Bài 3.1 Các cặp PT sau có tương đương không ?
 a) 2x + 3 = 8 – 3x và .
 b) 2x + 3 = 8 – 3x và 2x + 3 + = 8 – 3x + .
Bài 3.2 Giải các phương trình :
 a) 2x – 1 + ; b) 
Bài 3.3 Cho các phương trình bậc nhất với tham số m :
 3mx – 4 = 2(m – x) và m(4x – 1) = 5x + 1 .
 Xác định các giá trị của m để hai phương trình có một nghiệm chung.
ài 3.4 Giải các phương trình sau :
 a) ; b) 
 c) ; d) 
Bài 3.5 Giải và biện luận phương trình với ẩn số x :
 a) m2(x-1) = 9x + 3m ; b) 
 c) 	 ; d) .
Bài 3.6 Giải và biện luận phương trình theo hai tham số a, b :
 a) ; b) .
Bài 3.7 Tìm giá trị của tham số sao cho phương trình :
 a) vô nghiệm .
 b) có vô số nghiệm .
 c) có nghiệm duy nhất .
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 3.8 Các cặp PT sau có tương đương không ?
 a) 3x + 1 = 2x + 4 và 3x + 1 + = 2x + 4 + 
 b) 3x +1 = 2x + 4 và 3x +1 + = 2x + 4 + 
Bài 3.9 Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số ( x là ẩn số).
1a) ; 1b) 
2a) ; 2b) 
3a) ; 3b) 
4a) 	 	 ; 4b) 
5a) 	 ; 5b) 
6a) 	 ; 6b) .
7a) ; 7b) 
Bài 3.10 Giải và biện luận phương trình theo hai tham số a, b :
 a) ; b) 
Bài 3.11 Xác định m để các phương trình sau vô nghiệm :
a) 	 ; b) 
Bài 3.12 Tìm a và b để phương trình sau có tập nghiệm là R :
a) ; b) 
Bài 3,13 Tìm m là số nguyên để các phương trình sau có nghiệm :
a) ; b) 
Bài 3.14 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm âm :
a) ; b) 
§2. Phương trình – hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn số
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng : ax + by = c (1) , trong đó a, b, c là các số đã biết với a.b 0 ; x, y là hai ẩn số.
+ Cặp số (x0 ; y0) thoả mãn ax0 + by0 = c thì (x0 ; y0) được gọi là một nghiệm của (1). + + Phương trình bậc nhất hai ẩn số có vô số nghiệm, biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ
 là đường thẳng ax + by = c .
 2. Giải và biện luận phương trình ax + by = c (1)
a) Nếu a 0 , b 0, phương trình (1) có vô số nghiệm. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là : .
Tập nghiệm của (1) được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đồ thị hàm số :
 . Còn gọi là đường thẳng ax + by = c.
b) Nếu a = 0 , b 0, phương trình có dạng by = c . Công thức nghiệm tổng quát là :
 . Tập nghiệm được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tạo độ .
c) Nếu a 0 , b =0, phương trình có dạng ax = c . Công thức nghiệm tổng quát là :
 . Tập nghiệm được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm có tạo độ .
d) Nếu a = 0, b = 0, c 0 thì hệ vô nghiệm.
e) Nếu a = b = c = 0 thì mọi cặp số (x ; y) , đều là nghiệm của phương trình.
 3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số 
+ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y) có dạng :
(I) : 
trong đó (1) và (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Kí hiệu : , gọi là định thức của hệ (1).
 ; .
Ta có qui tắc Crame để giải hệ (I) như sau :
Nếu D 0 hệ (I) có một nghiệm duy nhất (x0 ; y0) được xác định bỡi công thức :
 .
Nếu D = 0 va ø Dx 0 (hoặc Dy 0) thì hệ (I) vô nghiệm.
Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ (I) có vô số nghiệm  là tập nghiệm của (1) hoặc của (2).
 4. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Gọi d1 là đường thẳng a1x + b1y = c1 và d2 là đường thẳng a2x + b2y = c2 .
Hệ (I) có nghiệm duy nhất d1 và d2 cắt nhau.
Hệ (I) vô nghiệm d1 // d2.
Hệ (I) có vô số nghiệm d1 d2.
 O x
y
 O x
y
d 1
d2
 O x
y
 d1
 d 2
B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Bài 3.15 Giải phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ :
a) 4x – 3y = 6 ; b) -3x + 2y = 4
Bài 3.16 Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc nhất hai ẩn số x và y :
a) (3m - 2)x + (m+1)y = m – 2 ; b) (m2 – 1)x + (m+1)y = m2 – m -2
Bài 3.17 Cho k là một số thực xác định. Hãy tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sao cho 
 cặp số là nghiệm của phương trình đó.
Bài 3.18 Giải các hệ phương trình :
a) 	; b) 
c) 	; d) 
e) ; g) 	 
Bài 3.19 Cho hệ phương trình : (I) ; trong đó m là tham số . Với giá trị 
 nào của m hệ (I) có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
Bài 3.20 Cho hệ phương trình : (I) ; trong đó m là tham số. Với giá trị 
 nào của m hệ (I) có vô số nghiệm. Viết công thức nghiệm của hệ trong trường hợp đó.
Bài 3.21 Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình (I) .
 Trong trường hợp hệ (I) có nghiệm duy nhất, hãy tìm một hệ thức giữa x và y độc lập 
 với tham số a.
Bài 3.22 1) Cho hệ phương trình với tham số m : (I) .
 Tìm những giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm nguyên .
 2) Cho hệ phương trình với tham số m : (I) .
 Tìm những giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm nguyên .
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 3.23 Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc nhất hai ẩn số x và y :
a) (2m - 3)x + (m-1)y = m + 2 ; b) (m2 – 4)x + (m-2)y = m2 + m -6
Bài 3.24 Cho k là một số thực xác định. Hãy tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sao cho 
 cặp số là nghiệm của phương trình đó.
Bài 3.25 Giải các hệ phương trình :
a) 	; b) 
c) 	; d) 
e) ; g) 
Bài 3.26 Giải và biện luận các hệ phương trình sau (ẩn số là x và y)
1a) 	; 1b) 
2a) 	; 2b) 
3a) 	; 3b) 
4a) 	; 4b) 
Bài 3.27 1) Cho hệ phương trình : 
 a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m .
 b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối 
 với m .
 2) Cho hệ phương trình : 
 a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m .
 b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối 
 với m .
Bài 3.28 Tìm m là số nguyên để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) với 
 x, y đều là các số nguyên. Lúc đó tìm (x;y) :
 1a) 	; 1b) 
 2a) 	 ; 2b) 
Bài 3.29 Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với nhau :
 và 
Bài 3.30 Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất : 
§3. Phương trình bậc hai một ẩn số
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Công thức nghiệm 
Phương trình bâïc hai (một ẩn x) có dạng ax2 + bx + c = 0 (1)
 trong đó a, b, c là các số đã biết gọi là các hệ số ; x là ẩn số.
 Đặt là biệt thức của (1).
Nếu > 0 (’> 0), phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt tính bỡi công thức :
Nếu = 0 (’= 0), phương trình (1) có một nghiệm kép tính bỡi công thức :
 x1 = x2 = -b/2a ( hay x1 = x2 = -b’/a)
Nếu < 0 (’< 0), phương trình (1) vô nghiệm.
Định lý Vi-et và ứng dụng 
Định lý : Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có các nghiệm là x1 và x2 thì tổng và tích các nghiệm của phương trình là : S = .
Ứng dụng : 
* Nhẩm nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)
Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a + b + c = 0 thì nó có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm x2 = c/a .
Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a - b + c = 0 thì nó có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm x2 = -c/a .
* Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
 Nếu hai số có tổng là S và có tích là P thì các số ấy là nghiệm của phương trình :
 x2 -Sx + P = 0 
 * Phân tích một tam thức bậc hai thành thừa số 
 Nếu 
 3.Giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0 
 Khi phương trình ax2 + bx + c = 0 trong đó a hoặc b hoặc c có chứa tham số .Bài toán giải
và biện luận phương trình đượpc tiến hành như sau : 
Bước 1: xét trường hợp a = 0 (nếu a có chứa tham số ) (giả sử tham số là m)
 Từ a = 0 m =  thay giá trị m vào b và c . Phương trình là bx + c = 0 với b, c là số đã 
 biết. Có một trong hai khả năng sau xảy ra : 
Nếu b = 0 và c 0 ( 0x + c = 0 với c 0) thì phương trình vô nghiệm.
 Nếu b = 0 và c = 0 (0x + 0 = 0 ) thì phương trình có vô nghiệm xTXĐ
Bước 2: Xét trường hợp a 0 m 
Tính biệt số (Chú ý dấu của và ’như nhau)
Biện luận theo dấu của (hoặc ’) :
Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x0 = -b/2a (hoặc x0 = -b’/a)
Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt tính theo công thức :
Bước 3: Tóm tắt lại các kết quả. (Bước này có thể bỏ qua nếu làm bài không kịp thời gian)
4. Dấu các nghiệm số của phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 
Nếu ac < 0 x1 < 0 < x2 (gt x1 < x2 ) (tức là phương trình có 2 nghiệm trái dấu).
Nếu ac > 0 ta tính 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (tức là x1.x2 > 0)
Đặt S = x1 + x2 (= -b/a) ; P = x1.x2 (= c/a > 0) 
-Nếu S > 0 thì 0 < x1 < x2 (phương trình có hai nghiệm dương)
-Nếu S < 0 thì x1 < x2 < 0 (phương trình có hai nghiệm âm).
Tóm tắt mục này như sau :
Nếu P < 0 x1 < 0 < x2
Nếu 0 < x1 & ... 
 Tìm giá trị m để biểu thức A = có giá trị nhỏ nhất.
Bài 3.69 Cho phương trình : x2 + px + q = 0 có hai nghiệm dương . Chứng minh rằng :
 phương trình qy2 +(p – 2rq)y + 1 – pr = 0 cũng có các nghiệm đều dương.
Bài 3.70 Tìm tất cả các số thực dương a, b, c, d sao cho các điều kiện sau đây được thoả mãn :
Phương trình ax2 + bdx + c = 0 có hai nghiệm là x1 và x2.
Phương trình bx2 + cdx + a = 0 có hai nghiệm là x2 và x3 .
Phương trình cx2 + adx + b = 0 có hai nghiệm là x3 và x1.
§4. Một số hệ phương trình bậc hai , hai ẩn số đặc biệt
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Hệ hai phương trình, một phương trình bậc nhất, một phương trình bậc hai.
Cách giải : Từ phương trình bậc nhất, biểu diễn một ẩn qua ẩn còn lại. Đem thế vào phương trình bậc hai rồi giải phương trình nhận được.
Ví dụ : Giải hệ phương trình : 
Hệ phương trình đối xứng của hai ẩn
Hệ đối xứng loại I : có dạng trong đó f(x , y) , g(x , y) là các hàm hai biến x, y mà nếu ta đổi x thành y và y thành x thì chúng không thay đổi. Tức là:
 f(x , y) = f(y, x) và g(x , y) = g(y , x).
Cách giải : Đặt ẩn phụ S = x + y , P = x.y. Giải hệ phương trình với các ẩn phụ, sau đó tìm các nghiệm với ẩn số x, y. Hệ đã cho có nghiệm theo x, y với điều kiện là
 S2 – 4P 0
Ví dụ : Giải hệ phương trình : 
Hệ đối xứng loại II : có dạng nếu đổi x thành y và đổi y thành x thì phương trình này của hệ trở thành phương trình kia của hệ và ngược lại. Tức là:
 f(y , x) = g(x, y) và g(y , x) = f(x , y).
 Cách giải : Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2) của hệ ta thu được phương trình mới biến đổi về dạng : (x - y).h(x, y) = 0 (3)
Phương trình (3) 
+ Với x = y thay vào (1) hoặc (2) thì được phương trình một ẩn x (hoặc y).
+ Với h(x , y) = 0 ta giải tìm x theo y hoặc tìm y theo x rồi thay vào (1) hoặc (2) thì thu được phương trình một ẩn, giải tìm ẩn đó rồi tính ẩn còn lại.
Ví dụ : Giải hệ phương trình : 
 a) ; b) 
c) Hệ đẳng cấp bậc hai theo hai ẩn 
Hệ có dạng : ,trong đó m, n là số đã biết và các biểu thức
 f(x , y) và g(x , y) có tất cả các số hạng đều là bậc hai theo hai ẩn x , y..
Cách giải:
 + kiểm tra x = 0 hoặc y = 0 có thoả mãn là nghiệm của hệ hay không.
 +Xét trường hợp x0 (hoặc y0). Ta đặt y = kx (hoặc x = ty) sẽ đưa đến việc xác định k (hoặc t) và giải tiếp một phương trình theo ẩn x (hoặc ẩn y)
Ví dụ : Giải hệ phương trình 
CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Bài 3.71 Cho hệ phương trình : (I) với m là tham số.
Giải hệ (I) với m = 1.
Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm.
Bài 3.72 Xác định giá trị của m để hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất :
Bài 3.73 Giải hệ phương trình : 
 a) 	; b) 
Bài 3.74 Giải hệ phương trình : 
 a) ; b) 
Bài 3.76 Giải hệ phương trình : 
 a) ; b) 
Bài 3.77 Giải hệ phương trình : 
 a) 	; b) 	; c) 
Bài 3.78 Giải hệ phương trình : 
 a) ; b) ; c) 
Bài 3.79 Giải hệ phương trình : 
 a) ; b) với x,y>0 ; c) 
Bài 3.80 Giải hệ phương trình :
 a) 	 ; b) 
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 3.81 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình : 
Bài 3.82 Chứng minh rằng hệ phương trình : luôn luôn có nghiệm với 
 mọi giá trị của tham số m
Bài 3.83 Giải hệ phương trình :
a) ; b) ; c) 
Bài 3.84 Giải hệ phương trình :
a) ; b) ; c) 
Bài 3.85 Giải hệ phương trình :
 a) 	 ; b) ; c) 
Bài 3.86 Giải hệ phương trình :
 a) ; b) 
Bài 3.87 Giải hệ phương trình :
 a) 	 ; b) ; c) 
Bài 3.88 Giải hệ phương trình :
 a) ; b) 	 
Bài 3.89 Giải hệ phương trình :
 a) ; b) 	; c) 
Bài 3.90 Giải hệ phương trình : 
 a) ; b) ; c) 
Bài 3.91 Giải hệ phương trình :
 a) ; b) ; c) 
PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ DẠNG ax + b = 0
TÀI LIỆU BỔ SUNG
Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số ( x là ẩn số).
1a) 	; 1b) 
2a) 	; 2b) 
3a) 	; 3b) 
4a) 	 	 ; 4b) 
5a) 	 ; 5b) 
6a) 	 ; 6b) .
Bài 2: Xác định m để các phương trình sau vô nghiệm :
a) 	 	 ; b) 
Bài 3: Tìm a và b để phương trình sau có tập nghiệm là R :
a) ; b) 
Bài 4: Tìm m là số nguyên để các phương trình sau có nghiệm :
a) ; b) 
Bài 5: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm âm :
a) ; b) 
BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b > 0 ; ax + b < 0
Bài 1: Giải và biện luận bất phương trình :
a) 	; b) 
Bài 2: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm với mọi x 
a) 	; b) 
Bài 3: Tìm tham số m để hai bất phương trình sau tương đương :
a) và 
b) và 
Bài 4: Tìm các giá trị của tham số m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất :
a) 	; b) 
Bài 5: Tìm các giá trị của tham số m để các hệ bất phương trình sau vô nghiệm :
a) 	; b) 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ (ÔN CHO LỚP 10)
Hệ phương trình dạng 	
Bài 1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau (ẩn số là x và y)
1a) 	; 1b) 
2a) 	; 2b) 
3a) 	; 3b) 
4a) 	; 4b) 
Bài 2: 1) Cho hệ phương trình : 
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m .
b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m .
 2) Cho hệ phương trình : 
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m .
b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m .
Bài 3: Tìm m là số nguyên để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) với x, y đều là các số nguyên. Lúc đó tìm (x;y) :
1a) 	; 1b) 
2a) 	; 2b) 
Bài 4: Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với nhau :
 và 
Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất : 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-TAM THỨC BẬC HAI-BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1)Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m 
 1) (m+1)x2-(2m+1)x+(m-2)=0	; 2) mx2+2x+1=0
 3) (m2-5m-36)x2-2(m+4)x+1=0	; 4) 2x2-6x+3m-5=0	
Bài 2)Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2-11x+13=0. Không giải phương trình , hãy tính giá trị các biểu thức sau :
 1) A = 	; 2) B = 	
 3) C = 	; 4) D = 
Bài 3)Chứng tỏ rằng kb2 = (k+1)2.ac là điều kiện cần và đủ để phương trình ax2+bx+c=0 (a0) có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia.
Bài 4)Tìm m và n để hai số m ,n là nghiệm của phương trình x2+mx+n=0.
Bài 5)Cho a,b là nghiệm của phương trình x2+px+1=0 và b,c là nghiệm của phương trình 
 x2+qx+2=0 .Chứng minh rằng : (b-a)(b-c)=pq-6.
Bài 6)Cho hai phương trình x2+p1x+q1=0 (1) và x2+p2x+q2=0 (2) biết p1p2=2(q1+q2) .
 Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm .	
Bài 7)Cho hai số là các nghiệm của phương rình x2+px+q=0 .Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm số là .
Bài 8)Cho phương trình x2+4x+m+1=0 (1)
 1.Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn hệ thức 
 2.Định m để phương trình (1) có đúng một nghiệm âm.
 3.Chứng tỏ rằng nếu phương trình (1) có một nghiệm dương x1 thì phương trình :
 (m+1)x2+4x+1=0 cũng có một nghiệm dương .
Bài 9)Cho phương trình 2x2+2(m+1)x+m2+4m+3=0.
 1.Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1.
 2.Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
 A =.
Bài10)Cho hai phương trình x2+3x+2a=0 (1) và x2+6x+5a=0 (2).Tìm tất cả các giá trị của 
 a để mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt và giữa hai nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia .
Bài11)Tìm các giá trị nguyên của a,b để phương trình : x2+ax+b=0 có hai nghiệm x1và x2 thoả 
 mãn điều kiện : 
Bài12)Xác định m để phương trình mx2+(2m+1)x-1=0 có ít nhất một nghiệm dương .
Bài13)Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phương trình x2+2mx+4=0 .Hãy tìm các giá trị của m để 
 xảy ra đẳng thức :.
Bài14)Tìm các giá trị của a để hiệu hai nghiệm của phương trình : 2x2-(a+1)x+a+3=0 bằng 1.
Bài15)Hãy tìm các giá trị của k để các nghiệm của phương trình :2x2-(k+2)x+7=k2 trái dấu 
 nhau và là nghịch đảo của nhau về giá trị tuyệt đối.
Bài16)Giả sử a,b là hai số thoả mãn a>b>0 .Không giải phương trình abx2-(a+b)x+1=0 .Hãy 
 tính tỉ số giữa tổng hai nghiệm và hiệu hai nghiệm của phương trình.
Bài17)Tìm các giá trị của m để phương trình :
 1. có cả hai nghiệm đều âm.
 2. có cả hai nghiệm đều dương.
Bài18)Giải và biện luận phương trình : 
Bài19)Cho phương trình .
 1.Xác định m để phương trình có một nghiêïm x=-1 và tìm nghiệm còn lại.
 2.Xác định m để phương trình có đúng một nghiệm dương.
Bài20)Xác định m để phương trình (x-2)[x2-2(m+1)x+m2+5]=0 có ba nghiệm phân biệt .
Bài22)Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt :
 1.(m+3)x4-3(m-1)x2+4m=0 	; 2. (m-1)x4+(2m-3)x2+m-1=0
Bài23)Cho phương trình : x2-2(m-1)x+m2-3m+4=0.
 1.Xác định m để ptrình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia 
 2.Xác định m để .
 3.Xác định m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài24)Cho phương trình .Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm
Bài25)Cho phương trình . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
 trong đó x1,x2 là hai nghiệm của phương trình .
Bài26)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 sao cho : 
 x1< 1 < x2
Bài27)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 sao cho :
 .
Bài28)Tìm m để phương trình có nghiệm thoả điều kiện <x2
Bài29)Tìm m để phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng (-1;2).
Bài30)Tìm các giá trị của m để phương trình (m+1)x2-3mx+4m=0 :
 1. Có một nghiệm thuộc (-1;1), còn nghiệm kia nhỏ hơn -1.
 2. Có nghiệm lớn hơn 1.
Bài31) Tìm m để phương trình có hai nghiệm ,trong đó có một 
 nghiệm lớn hơn 3 còn nghiệm kia nhỏ hơn 2.
Bài32)Tìm các giá trị của m để số -4 nằm giữa hai nghiệm của phương trình :
 (m+3)x2-2(m-1)x+4m =0 .
Bài33)Tìm các giá trị của m để phương trình (m-5)x2-(m-9)x+m-5=0 có:
 1. Hai nghiệm lớn hơn -3 .
 2. Hai nghiệm nằm giữa -2 và 3 .
Bài34)Cho phương trình (3m-5)x2-2(3m+2)x+4m-1=0 .Xác định m để phương trình có :
 1. Hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn -1.
 2. Một nghiệm thuộc khoảng (-1;0) và nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;0] 
Bài35)Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x : 
 1. 	; 2. 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ (ÔN CHUNG CHO LTĐH)
Giải các hệ phương trình sau :
1) 	; 2) 	; 3) 
4) ; 5) ; 6) 
7) 	; 8) với x,y>0 ; 9) 
10) 	; 11) 	; 12) 
13) 	; 14) ; 15) 16) ; 17) 
18) 	; 19) ; 20) 
21)	 ; 22) ; 23) 
24) 	; 25) 
26*) 	 ; 27*) ; 28*) 
29*) 	; 30*)