Một số bài toán về bất đẳng thức

 1 
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có: 
3
2
a b c
b c c a a b
  
  
Giải: 
Xét các biểu thức sau 
a b c
S
b c c a a b
  
  
b c a
A
b c c a a b
  
  
c a b
B
c b c a a b
  
  
Ta có A + B = 3. Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy thì: 
3
a b b c c a
S A
b c c a a b
  
    
  
 3
a b b c c a
S A
b c c a a b
  
    
  
Cộng theo vế ta có 
A + B +2S ≥3 S≥
3
2
(Điều phải chứng minh) 
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c, d ta có: 
2
a b c d
b c c d d a a b
   
   
Giải : Đặt 
a b c d
S
b c c d d a a b
   
   
b c a a
A
b c c d d a a b
   
   
c d a b
B
b c c d d a a b
   
   
Theo bất đẳng thức Cauchy thì: 
 2 
4
a b b c c d d a
S B
b c c d d a a b
   
     
   
a c b d c a d b
S A
b c c d d a a b
   
    
   
a c c a b d d b
b c d a c d a b
   
   
   
4( )a c
a b c d


  
4( )
4
b d
a b c d

 
  
Cộng theo vế ta có A+B+2S ≥8 mà A+B=4 vậy S≥ 4 (Điều phải chứng 
minh) 
Bài 3: Cho x, y, z >0 và xyz = 1, chứng minh rằng: 
3 3 3 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
x y z
y z z x x y
  
      
Ta có: 
3 1 1
3
(1 )(1 ) 8 8 4
x y z x
y z
 
  
  
Tương tự ta có: 
3 1 1
3
(1 )(1 ) 8 8 4
y x z y
z x
 
  
  
3 1 1
3
(1 )(1 ) 8 8 4
z x y z
x y
 
  
  
Cộng theo vế rồi rút gọn ta có: 
3 3 3 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
x y z
y z z x x y
   
     
33 3
2 2 2
xyzx y z 
  
vậy
3 3 3 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
x y z
y z z x x y
  
      
 3 
Bài 4: Cho a, b, c, d >0 và ab+bc+cd+da = 1, chứng minh rằng: 
3 3 3 3 1
3
a b c d
b c d c d a a b d a b c
   
       
Ta có (a + b + c + d)
2
 = [(a + c)+(b + d)]
2 ≥4(a + c)(b + d) 
= 4(ab + bc + cd + da) = 4 a + b + c + d ≥ 2 ( a, b, c, d >0) 
3 1 2
8 6 12 3
a b c d a a
b c d
 
   
 
Tương tự ta có 
3 1 2
8 6 12 3
b a c d b b
c d a
 
   
 
3 1 2
8 6 12 3
c a b d c c
a b d
 
   
 
3 1 2
8 6 12 3
d a b c d d
a b c
 
   
 
Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có: 
3 3 3 3 1 2 1 1
3 3 3 3 3
a b c d a b c d
b c d c d a a b d a b c
  
       
       
vậy
3 3 3 3 1
3
a b c d
b c d c d a a b d a b c
   
       
Bài 5: Cho a, b, c>0, chứng minh rằng: 
2
1 1 1 27
( ) ( ) ( ) 2( )a a b b b c c a c a b c
  
     (1) 
Giải: 
VT(1) ≥ 3 3 3
1 3
3
( )( )( ) ( )( )( )abc a b b c c a abc a b b c c a

     
 4 
2
3 27
2( ) 2( )
*
3 3
a b c a b c a b c
 
      
Dấu ‘=’ xảy ra 
a b c
a b b c c a
 

    
 a=b=c 
Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có: 
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc a c abc abc
  
     
Giải 
 a, b, c >0 ta luôn có 
(a - b)
2(a + b) ≥0  (a - b)(a
2 
- b
2) ≥0 a
3
+b
3
-a
2
b-ab
2≥0 
 a
3
+b
3≥ a2b+ab2 a
3
+b
3≥ab(a+b) 
 3 3 ( )
abc abc c
a b abc ab a b abc a b c
 
      
Tương tự ta có 
3 3 ( )
abc abc a
b c abc bc b c abc a b c
 
     
3 3 ( )
abc abc b
a c abc ac a c abc a b c
 
     
Cộng theo vế ta có: 
3 3 3 3 3 3
1
abc abc abc a b c
a b abc b c abc a c abc a b c
 
   
       
 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc a c abc abc
  
     
Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z dương thoả mãn điều kiện 
x
2
+ y
2
+z
2=3. Chứng minh rằng: 
3
xy yz zx
z x y
   (1) 
 5 
Giải : Ta có: 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
x y y z z x x y y z x y z x y z z x
z x y z x z y x y
       
              
       
 2 2 2 2 x y z   
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y y z z x
z x y
   2 2 2x y z  
VT(1) bình phương ta được: 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y y z z x
z x y
   2 2 2+ 2 x y z   

2 2 2x y z   2 2 2+ 2 x y z   =  2 2 23 x y z  =VP(1) bình 
phương 
Lấy căn bậc hai hai vế (hai vế đều dương) ta được điều phải chứng 
minh 
Bài 8:Cho các số dương x, y, z có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 
5 5 5 5 5 5
1
xy yz xz
x xy y y y z x xz z
  
     
Giải: 
x, y, z dương ta luôn có: (x-y)2(x+y)(x2+xy+y2)  0 
 (x
2
-y
2
)(x
3
-y
3
)  0 x
5
-y
5
 x
2
y
2
(x+y) 
5 5
xy
x xy y

 

 2 2x y x y
xy
xy  
1
1 ( )
z
xy x y x y z
 
   
Tương tự ta có 
 2 2y y
yz x
zy z z x y z

    ,  2 2
xz y
zx z x z x x y z

    
cộng theo vế các bất đẳng thức ta có 
5 5 5 5 5 5
1
xy yz xz x y z
x xy y y y z x xz z x y z
 
   
        
 6 
Bài 9: Cho các số thực dương x1, x2, ..., xn thoả mãn 
1 2
1 1 1
... 1
1 1 1 nx x x
   
   
Chứng minh rằng: x1.x2..... xn (n-1)
n
Giải:Ta có 
1
1
1 1 2 2 3
1 1 1 1
1 ...
1 1 1 1 (1 )(1 ).....(1 )nn n
x n
x x x x x x x
  
      
       
2
1
2 2 1 1 3
1 1 1 1
1 ...
1 1 1 1 (1 )(1 ).....(1 )nn n
x n
x x x x x x x
  
      
       
.... 
1
1 1 1 2 1
1 1 1 1
1 ...
1 1 1 1 (1 )(1 ).....(1 )
n
n
n n n n
x n
x x x x x x x 
  
      
       
Nhân hai vế của n bất đẳng thức trên ta có: 
    
 
 
1 2
1
11 2
1 2 3
1. .....
1 1 ..... 1 (1 )(1 )(1 ).....(1 )
n
n
n
nn
n
nx x x
x x x x x x x




      
 x1.x2..... xn (n-1)
n
Bài 10: Cho các số dương a, b, c, d thoã mãn điều kiện a+b+c+d=4. 
Chứng minh rằng: 
2 2 2 2
2
1 1 1 1
a b c d
b c c d d a a b
   
    
Giải: 
Ta có: 
 7 
2 2
2 2
. . ( )
1 1 2 2 42
a ab c ab c ab c b a a c b a ac
a a a a a
b c b c b c

         
 
21 4
a ba abc
a
b c

 

Tương tự ta có: 
21 4
b bc bcd
b
c d

 

, 21 4
c cd cda
c
c d

 

, 
21 4
d da dab
d
d a

 

Cộng theo vế 4 bất đẳng thức trên ta có: 
2 2 2 21 1 1 1
a b c d
b c c d d a a b
   
   
 
1
4
a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab           
Mặt khác ta có: 
4
2
 = (a+b+c+d)
2
 4(a+c)(b+d) = 4(ab+bc+cd+da) 
 hay ab+bc+cd+da  a+b+c+d 
Tương tự abc+bcd+cda+dab a+b+c+d 
vậy 
2 2 2 21 1 1 1
a b c d
b c c d d a a b
   
   
 
1
2
a b c d a b c d       
=
1 1
( ) .4 2
2 2
a b c d     (điều phải chứng minh) 
Bài 11:Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 3, chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2
1
2 2 2
a b c
a b b c c a
  
   
Giải: 
 8 
 
 
2
2 2 22 2 2
2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 22 2 2 2
a b ca b c
a b b c c a a b c a b b c c a
 
  
        
Do đó ta chỉ cần chứng minh 
(a
2
 +b
2
+c
2
)
2
  a
3
+ b
3
+ c
3
+2(a
2
b
2
+ c
2
b
2
+ a
2
c
2
) 
 a
4
+ b
4
+ c
4
 a
3
+ b
3
+ c
3
Thật vậy 
3(a
3
+ b
3
+ c
3
) = (a
3
+ b
3
+ c
3
)(a+b+c)  (a
2
 +b
2
+c
2
)
2
 (a
2
 +b
2
+c
2
)(1+1+1)  (a+b+c)
2
=9 
Do đó a2 +b2+c2 3, suy ra a3+ b3+ c3  a2 +b2+c2 
(a
4
+ b
4
+ c
4
)( a
2
 +b
2
+c
2
)  (a
3
+ b
3
+ c
3
)
2
 a
4
+ b
4
+ c
4
 a
3
+ b
3
+ c
3
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 
Bài 12: Giả sử x y z 0, chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2x y y z z x x y z
z x y
     
Giải:Từ giả thiết ta có: 
2 2 2 2 2 2x y y z z x x z y x z y
z x y y z x
     
    
0
xy yz zx x y y z x z
xyz
    
  
2 2 2 2 2 2x y y z z x x z y x z y
z x y y z x
      
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2x y y z z x x y y z z x x z y x z y
z x y z x y y z x
    
           
    
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có: 
 
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2x y y z z x x z y x z y x y z
z x y y z x
  
        
  
 9 
 
2
2 2 2
2
2 2 2x y y z z x x y z
z x y
 
      
 
 
2 2 2
2 2 2 , , 0
x y y z z x
x y z x y z
z x y
      
Bài 13:Giả sử x, y, z 1 và 
1 1 1
2
x y z
   , chứng minh rằng: 
1 1 1x y z x y z        
Giải: 
Ta có: 
1 1 1
2
x y z
  
1 1 1
1
x y z
x y z
  
    
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có: 
x+y+z=( x+y+z)
1 1 1x y z
x y z
   
  
 
 
2
1 1 1x y z      
 1 1 1x y z x y z        
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=3/2 
Bài 14:Chứng minh rằng nếu a, b, c 1 và abc=1 ta luôn có: 
1 1 1
1
2 2 2a b c
  
   
Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2a b c
     
  
1
2 2 2
a b c
a b c
   
   
Luôn tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho a = x/y, b = y/z, c = z/x. 
Khi đó bất đẳng thức trên trở thành: 
 10 
/ / /
1
2 / 2 / 2 /
1
2 2 2
x y y z z x
x y y z z x
x y z
x y y z z x
  
  
   
  
theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 
 
2
1
2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
x y zx y z
x y y z z x x x y y y z z z x
 
   
       
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c= 1 
Bài 15:Cho các số thực không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh 
rằng: 
3 3 3
1
2 2 2
a b c
a b b c c a
  
   
Giải:Xét các biểu thức: 
S= 3 3 32 2 2
a b c
a b b c c a
 
   
2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 1P a a a b b c c c a a b c         
Theo bất đẳng thức Holder ta có: 
S
3
.P (a +b +c)
4
 S
3
 (a +b +c)
2
 = 1S 1 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3 
Bài 16: Cho a1, a2,..., an dương và có tổng bằng 1, tìm GTNN của biếu 
thức:
1 2
1 2
...
1 1 1
n
n
aa a
a a a
  
   
Giải: 
 11 
1 2
1 2
...
1 1 1
n
n
aa a
A
a a a
   
   
B = a1(1 - a1) + a2(1 – a2) + ...+ an(1 – an) 
Theo bất đẳng thức Holder ta có : A2B (a1 + a2 + ... + an)
3 
= 1 
Dễ thấy B =1-(a1
2
+ a2
2
+...+ an
2)≤ 1- 
 
2
1 2 na a ... a 1n
n n
   
  
do đó 
1n
A
n

 Đẳng thức xáy ra khi ai =
1
1,i n
n
  
Bài 17: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xy + yz + zx = 1. 
Chứng minh : 
1 1 1 1
2
2x y y z z x
   
  
 Giả sử x = max(x, y, z) và đặt a = y + z > 0 ta có ax = 1 – yz  1 

1
x
a
 
Xét hàm số sau 
 
2
2
1 1 1 1 2 2 1
1
x y z x
f x
xx y y z z x y z
   
    
   
2
2
1 2 2 1
1
x a x
xa
  
 
 
Mặt khác: 
 
   
2 2
'
3
2 2
1
0,
1 2 2 1
yz x x x
f x
x x a x
  
 
   
nên  f x nghịch biến 
Ta có   2
1 1
1
a
f x f a
a aa
 
    
 
 12 
 
 
   
2
2
2 2
11 1
1 2
22 1 2 1
a
a
a a a a
 
     
 
   
 
Nên  
1 1
2
2
f x f
a
 
   
 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =1, z = 0 hoặc các hoán 
vị