Một số đề thi tốt nghiệp và thi vào THPT môn Toán Hình

MỘT SỐ ĐỀ THI TỐT NGHIỆP VÀ THI VÀO THPT
Bài 1 ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TPHCM năm 1995-1996) 
Cho tam giác ABC co ba góc nhọn nội tiếp đường tron (O) với AD,DE, CF là ba đường cao cắt nhau tại H.
Hãy liệt kê bốn tứ giác trong hình vẽ , có giải thích.
Chứng minh H là giao điểm các phân giác trong của tam giác DEF.
Kéo dài AD cắt O tại A’. Chứng minh: BD.DC= DA.DH=DA.DA’, suy ra D là trung điểm HA’.
Bài 2 ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TPHCM năm 1996-1997) 
Cho đường tròn tâm (O) có đường kính là BC, lấy điểm A trên đường tròn (O) khác B, C. Trên đoạn OC lấy điểm D và từ D vẽ đường thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm I, K và cắt hai đường thẳng BA, AC lần lượt tại E và F. Đường thẳng CE cắt đường trònn (O) tại J.
Chứng minh D là trung điểm của IK.
B. chứng minh FA.FC= FE.FD.
C. Chứng minh ba điểm B, F, J thẳng hàng.
tiếp tuyến tại A cắt đường tròn (O) cắt đường tròn EF tại điểm M. Chứng minh M là trung điểm của EF.
Bài 3 ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TPHCM năm 1999-2000) 
	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). Hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại điểm H.
a.	Chứng minh tứ giác AFEC nội tiếp.
Hai đường thẳng BE và CF cắt đường tròn (O) lần lượt tại P và Q. Chứng minh góc BPQ bằng góc BCQ suy ra EF//PQ.
Chứng minh OA vuông góc với EF 
Cho BC = R. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF theo R
Bài 4 ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TPHCM năm 1999-2000) 
Cho tam giác ABC(AB< AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao AD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H.
Chứng minh các tứ giác ACDE và BEHD là các tứ giác nội tiếp.
Đương thẳng AD cắt đường tròn (O) tại K khác A. Chứng minh HD = KD.
Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng OM cắt cung nhỏ BC tại N. Chứng minh 2 góc BCN và CAN bằng nhau.
Đường thẳng AN lần lượt cắt các đường thẳng BH và CH tại I và J. Chứng minh tam giác HIJ là một tam giác cân.
Bài 5 ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TPHCM năm 2001-2002) 
Cho đường tròn tâm (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA= 3R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB,AC đến đường tròn (O) với B,C là hai tiếp điểm.
Chứng minh tứ giác OBAC là một tứ giác nội tiếp.
Từ B vẽ các đường thẳng song song với AC , Cắt đường tròn (O) tại điểm D(khác điểm B). Đường thẳng AD cắt đường tròn tại E ( khác điểm D) . Chứng minh AB2=AE.AD
Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của góc BEC. 
Tính diện tích của tam giác BDC theo R. 
Bài 6 ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TPHCM năm 2002-2003)
Cho đường tròn tâm (O) có bán kính R và một điểm S ở ngoài đường tròn (O). Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA,SB với đường tròn (O)(A,B là hai tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua S cắt đường tròn (O) tại hai điểm M,N với M nằm giữa hai điểm S và N ( đường thẳng a không đi qua tâm O).
Chứng minh SO vuông góc với AB.
Gọi H là giao điểm của SO và AB, gọi I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại điểm E. Chứng minh ÍHE là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh OI.OE = R2 .
Cho biết SO= 2R và MN=R. Tính diện tích tam giác EFM theo R.
Bài 7 ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TPHCM năm 2003-2004) 
Trên đường tròn (O;R) đường kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M và E khác A,B). Hai đường thẳng AM và BE Cắt nhau tại điểm C; AE và BM cắt nhau tại điểm C; AE và BM cắt nhau tại điểm D.
Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB.
gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh BE.BC=BH.BA.
Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng CD.
Cho biết góc BAM = 450 và BAE = 300 . Tính diện tích tam giác ABC theo R.
Bài 8 ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TPHCM năm 2004-2005) 
Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R), hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. 
Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE là các tứ giác nội tiếp. 
Chứng minh CE.CA=CD.CB và DB.DC=DH.DA.
Chứng minh OC vuông góc với DE.
Đường phân giác trong AN của góc BAC cắt BC tại Nvà cắt đường tròn (O) tại K ( K khác A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CAN. Chứng minh KO và KI cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn (O).
Bài 9 ( 3,5 điểm): ( Đề thi TNTHCS tỉnh Bình Định 1995-1996)
Cho nữa đường tròn tâm (O) đường kính BC . vẽ dây BA Gọi I là điểm chính giữa cung BA, Klà giao điểm cua OI với BA.
Chứng minh OI//CA.
Từ A vẽ đường thẳng song song với CI cắt đường thẳng BI tại H. Chứng minh tứ giác IHAK nội tiếp.
Gọi P là giao điểm của đường thẳng HK với BC. Chứng minh hai tam giác BKP và BCA đồng dạng.
Bài 10 ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS tỉnh Bình Định 96-97)
Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng ( B nằm giữa A và C) . Vẽ đường tròn tâm O đường kinh BC; AT là tiếp tuyên vẽ từ A. Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt BC tại Hvà cắt đường tròn tại T’ . đặt OB =R.
Chứng minh OH.OA=R2 .
Chứng minh TB là phân giác của góc ATH.
Từ B vẽ đường thẳng song song TC. Gọi D, E lần lượt là giao điểm của đường thẳng vừa vẽ với TT’ và TA. Chứng minh tam giác TED cân.
Chứng minh: 
Bài 11 ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS tỉnh Thái Bình 2001-2002)
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax va By. Qua một điểm thuộc đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By tại E và F.
Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp.
AM cắt OE tại P; BM cắt OF tại Q. Tứ giác MNOQ là hình gì?
Vẽ HM vuông góc với AB. MH cắt EB tại K. So sánh MK và KH.
Cho AB=2R. Gọi r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác EOF. Chứng minh: 
Bài 12 ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TP Hà Nội 2002-2003)
Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI=. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối Ac cắt MN tại E.
Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp.
Chứng minh và AM2 = AE.AC
Chứng minh AE.AC- AI.IB = AI2
Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ nhất.
Bài 13 ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TP Hà Nội 2003-2004)
Cho đường tròn (O;R) đường thẳng d không đi qua tâm Ovà cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đường tròn ) kr hai tiếp tuyến CM; CN với đường tròn ( M, N thuộc (O) ). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K.
Chứng minh bốn điểm C,O,H,N cung nằm trên một đường tròn.
Chứng minh KC.KN = KH.KO
Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I cách đều CM;CN;MN.
Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của điểm C trên d sao cho diện tích tam giác CÈ là nhỏ nhất.
Bài 14 (3,5 điểm): Cho tam giác vuông ABC (A= 900). Trên cạnh AC lấy một điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC . Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S.
Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
Chứng minh CA là tia phân giác góc SCB.
Gọi E là giao điểm của BC với (O). Chứng minh rằng đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.
Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiêp tam giác ADE.
Bài 15 ( 4 điểm): Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F,G. Chứng minh:
a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDB
b. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được.
c. AC song song với FG.
d . Các đường thẳng AC, DE và BF đồng quy.
Bài 16 ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. 
Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp.
Tính góc CHK. 
Chứng minh KC.KD=KH.KB.
Khi điểm E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào?
Bài 17 ( 4 điểm): (Đề thi TNTHCS tỉnh Quảng Trị năm 2001-2002) 
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm M sao cho AM > R. Từ điểm M kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O) tại N. 
Chứng minh tứ giác MAON nội tiếp một đường tròn.
Chứng minh BN // OM.
Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BN tại P. Chứng minh tứ giác OBPM là hình bình hành.
Biết AP cắt OM tại K; MN cắt OP tại J; MP và ON kéo dài cắt nhau tại. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng. 
Bài 18 ( 3,5 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đường thẳng BA lấy điểm I( điểm A nằm giữa I và B). Vẽ cát tuyến Ix cắt đường tròn tại các điểm C, F( Cnằm giữa I và F). Đường thẳng đi qua I và vuông góc với đường thẳng BA cắt đường BC tại H. Đường thẳng HA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E.
Chứng minh các tứ giác HIEB và HIAC nội tiếp được.
Chứng minh BA.BI = BC.BH.
Chứng minh EF vuông góc với AB.
Chứng minh các đường thẳng HI, CA, BE đồng quy.
Bài 19 ( 3,5 điểm): (ĐỀ THI TN THCS TỈNH CAO BẰNG NĂM1999)
Cho tam giác ABC vuông cân( Góc A=900, AB=AC). Mlà trung điểm của BC. từ D trên MC ta kẻ Dx vuông góc với BC cắt đường thẳng AB, AC lần lượt tại E và F. 
Chứng minh tứ giác ABDF và ADCE nội tiếp đường tròn.
Chứng minh BF vuông góc với CE.
chứng minh AE=AF
Bài 20 ( 3,5 điểm): (ĐỀ THI TN THCS CỦA TỈNH HÀ TÂY)
Trên nữa đường tròn tâm O đường kính AB lấy một điểm C khác A,B. Trên nữa mặt phẳng bờ AB chứa nữa đường tròn kẻ tia tiếp tuyến Ax. Tia BC cắt tia Ax tại D, tia phân giác của góc CAD cắt nữa đường tròn tại E và cắt tia BC tại F( E khác A). Gọi I là giao điểm của các đoạn thẳng AC,BE.
Chứng minh EFCI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Gọi K là trung điểm đoạn thẳng FI. Chứng minh KE=KC và OK vuông góc với EC.
Chứng minh góc AFI =góc FBI
Cho BC = 4cm và CD = 2,25cm. Tính diện tích tam giác ACF.
Bài 21 ( 3,5 điểm): (ĐỀ THI TNTHCS CỦA THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG) 
Cho đường tròn tâm O và M lấy điểm bất kì trên đường tròn. Trên tiếp tuyến của đường tròn tại M lấy điểm T. đường thẳng TO cắt đường tròn C và D ( C nằm giữa T và O). Hạ CA vuông góc với TM tại A và DB vuông góc với TM tại B.
Chứng minh CA // OM và MA = MB. 
Chứng minh AC.BD = AM2
 Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống TO. Xác định tâm đường tròn qua ba điểm A, B, H
Biết MA=a .Tính diện tích xung quanh của hình nón có đáy là hình tròn tâm là điểm M, bán kính đáy có độ dài là a và đường cao có độ dài là 2a 
Bài 22 ( 3,5 điểm): (ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CỦA TỈNH HÀ NAM)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau ở H . Kéo dài AH cắt đường tròn tại K, Kéo dài OA cắt đường tròn tại M. Chứng minh:
MK // BC
DH = DK
HM đi qua trung điểm I của BC
9
Bài 23 ( 3,5 điểm): (ĐỀ THI TNTHCS THÀNH PHỐ HÀ NỘI) 
Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đường tròn (B,C,N,M thuộc đường tròn và AM<AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn.
Chứngminh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn. 
Chứng minh góc AOC bằng góc BIC.
Chứng minh BI // MN
Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
Bài 25 ( 3,5 điểm): (ĐỀ CỦA THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG) 
Cho nữa đương tròn đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nữa đường tròn. C là điểm trên nữa đường tròn sao cho cung AC bằng cung CB. Trên cung CB lấy điểm D tuỳ ý (D khác C và B). Các tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F.
Chứng minh tam giác ABE vuông cân
Chúng minh tam giác ABF đồng dạng với tam giác BDF
Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp.
Cho C di động trên nữa đường tròn( C khác A và B) và D di động trên cung CB ( D khác C và B).
Chứng minh AC. AE= AD. AF và có giá trị không đổi.
Bài 2 ( 3,5 điểm): (ĐỀ THI TNTHCS CỦA TỈNH THANH HOÁ)
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đường thẳng BA lấy điểm I( điểm A nằm giữa I và B). Vẽ cát tuyến Ix cắt đường tròn tại các điểm C, F( Cnằm giữa I và F). Đường thẳng đi qua I và vuông góc với đường thẳng BA cắt đường BC tại H. Đường thẳng HA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E.
Chứng minh các tứ giác HIEB và HIAC nội tiếp được.
Chứng minh EF vuông góc với AB.
Chứng minh các đường thẳng HI, CA, BE đồng quy.
Bài 27 ( 3,5 điểm): (ĐỀ THI TNTHCS CỦA TỈNH HÀ NAM )
cho tam giác ABC vông ở A và một điểm D nằm giửa A và B. đường trong đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại điểm thứ hai F,G. 
chứng minh rằng ADEC, AFDC là tứ giác nội tiếp.
chứng minh AC//FG.
chứng minh các đường thẳng AC, DE,BF đồng quy.
từ A vẽ đoạn thẳng AP=a vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (PBC) biết AB = AC = b
Bài 28 ( 3,5 điểm):(ĐỀ THI TNTHCS CỦA TỈNH LÂM ĐỒNG)
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn (AB<AC) vẽ đường cao AH từ H kẻ HK, HM lần lượt vuông góc với AB, AC. Gọi J là giao điểm AH và MK. 
Chứng minh tứ giác AMHK nội tiếp một đường tròn.
Chứng minh hệ thức JA.JH=JK.JM.
Từ C kẻ Cx vuông góc với AC và cắt AH kéo dài tại D. Vẽ HI, HN lần lượt vuông góc với BD, DC. Chứng minh góc HKM bằng góc HCN.
Chứng minh 4 điểm M,N,I,K cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 29( 3,5 điểm):(ĐỀ THI TNTHCS CỦA TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2002-2003)
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm A,B( d không qua tâm O). Từ một điểm M thuộc đường thẳng d và ở ngoài đường tròn kẻ cấ tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (N,P là các tiếp điểm).
Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếpđược trong một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
Gọi K là trung điểm của dây AB. Chứng ming tam giác NIK cân.
Cho MA.MB= R2(+1). Tính độ dài của đoạn OM theo R.
Bài 30 ( 3,5 điểm):(ĐỀ THI TNTHCS CỦA TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2003-2004)
	Cho đường tròn (O;R) và đường kính AB. Gọi H là trung điểm của đoạn OB, trên đường thẳng (d) vuông góc với OB tại H, lấy một điểm P ngoài đường tròn, PA và PH theo thứ tự cắt (O) tại C, D. Gọi Q là giao điểm của AD và BC.
Chứng minh P là trực tâm của tam giác PAB, từ đó suy ra ba điểm P, Q, H thẳng hàng.
Chứng minh tứ giác BHQD nội tiếp một đường tròn.
Chứng minh DA là tia phân giác của góc CDH.
Tinh độ dài HP theo R để diện tích tam giác ABC bằng hai lần diện tích tam giác AQB.