Một trăm bài toán Hình học ôn tập tốt nghiệp thcs

MỘT TRĂM BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN TẬP TỐT NGHIỆP THCS 
Bài 1 : Đường tròn (O,R) có AB là đường 
kính dây MN = R( Mvà N thuộc nửa đường 
tròn theo thứ tư A, M ,N ,B).Gọi S là giao 
điểm của AM và BN, H là giao điểm của 
BM và AN 
a)Tính số đo cung MN. 
b)Tính số đo các góc ASB , MHN. 
c)Chứng minh SMHN nội tiếp . 
d) Chứng minh: SH AB⊥ . 
 e) Gọi I là trung điểm SH. Chứng minh IM là 
tiếp tuyến của đường tròn (O). 
Bài 2 Cho hình vẽ : Biết ABC∆ nội tiếp (O) 
có AK , CE , BF là ba đường cao , AD là 
đường kính của (O) , AK cắt (O) tại M (khác 
A ). xy là tiếp tuyến tại A của (O) 
a) Tìm và chứng minh ba tứ giác có đỉnh là H 
nội tiếp đướng tròn . 
 b)Tìm và chứng minh ba tứ giác có cạnh lần 
lượt là ba cạnh của tam giác ABC nội tiếp 
đướng tròn . 
c) Chứng minh : 
 BH = BM ; HE = NE 
d) Chứng minh : EF//NP// xy . 
Bài 3 : Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O;R ) có 
AK , BF , 
CE là ba đường cao cắt nhau tai ïH .Gọi I là trung 
điểm BC 
 A Chứng minh 
a) Nếu M và H đối xứng nhau qua K thì M ∈ (O) 
. 
b) Nếu D và H đối xứng mhau qua I thì D )(O∈ . 
c) OA EF⊥ (ba cách) và H là tâm đường tròn 
nội tiếp EKF∆ . 
 d) Tính R( )BHC∆ theo R. 
Bài 4 : Cho hình vẽ : Biết tam giác ABC nội tiếp 
(O;R ) AD , BE là hai đường cao cắt nhau tại H . 
AK là đường kính , AD cắt đường tròn tại I , Gọi 
F là giao điểm CH và AB. Đường thẳng EF cắt 
(O) tại M và N 
I 
a)Chứng minh BI KC là hình thang cân. 
b)Chứng minh BHCK là hình bình hành . 
c)Chứng minh 
 AE.AC = AF .AB 
d) Chứng minh BHCD là hình bình hành . 
e) Chứng minh BMDC là hình thang cân . 
Bài 5 : Cho hình vẽ : Biết tam giác ABC nội 
tiếp đường tròn (O) (AB < AC ) AH ; AK lần 
lượt là đường cao và phân giác của tam giác 
ABC , AI cắt đường tròn tại điểm thứ hai là 
K ( K khác A ) 
a) Chứng minh : BK = CK . 
b) Chứng minh AK là phân giác của ÔH 
c) Kẻ đường kính AD của đường tròn (O) 
.Chứng minh : AB.AC = AH.AD . 
d) Chứng minh : IA.I K = IB.IC . 
 và AB.KC = AK.BI . 
e) Chứng minh KB tiếp xúc với đường tròn 
ngoại tiếp tam giác ABI. 
Bài 6: 
Cho đường tròn (O; R) , Với các kí hiệu có 
trên hình hãy chứng minh: 
 a)Tứ giác CAIM , BDMI nội tiếp . 
 b)Tam giác CID vuông . 
 c)EF // AB . 
 d)Khi M cố đinh I thay đổi trên AO , tìm vị 
trí của I để AC .BD lớn nhất . 
 e) Cho biết khi OI = 
3
R
 và AM = R .Hãy 
tính độ dài đoạn thẳng CD và diện tích tam 
 CD. CB = CE .CA 
 AH.AD = AF.AB 
 d)Chứng minh AM = AN 
e) Chứng minh OA ⊥ EF 
f) Cho biết : AC = R 3 . Tính F Ê D và độ dài 
các đoạn thẳng DF , BH theo R . 
g)Tính DA2 +DB2 + DC2 + DI 2 theo R . 
Bài 7 : Cho hình vẽ : Biết hai đường trịn (O;R) 
và (O’;R’) tiếp xúc ngồi tại A .CD là tiếp tuyến 
chung ngoài của hai đường tròn ( C ∈ (O) , D 
)'(O∈ 
a)Chứng minh ∆CAD vuông 
b)Gọi M là trung điểm của CD .Chứng minh MA 
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và 
(O’) , từ đó suy ra OM ⊥O’M 
 c) Các đường thẳng CA và DA lần lượt cắt (O) 
 và (O’) ở F và E .Chứng minh C, O , E 
 thẳng hàng và D , O , F thẳng hàng . 
 d) Tính CD2 + EF2 theo R và R’. 
 e) Chứng minh : S =∆CAD S EAF∆ 
Bài 8 : 
Cho hình vẽ , với các kí hiệu có trên hình chứng 
minh : 
a) CD = AC + BD và C ƠD = 900 
giác CID theo R . 
Bài 9 : Cho đường tròn (O ;R ) và điểm M 
sao cho OM = 2R . Qua M vẽ hai tiếp tuyến 
MA và MB với đường tròn (O) ( A , B thuộc 
(O) ). C là điểm bất kì thuộc cung nhỏ AB 
.Tiếp tuyến tại C cắt MA và MB lần lượt tại 
E và F . 
a)Chứng minh : EF = EA + FB . 
b) Tính chu vi của tam giác MEF theo R . 
c) Tính E Ơ F . 
c) Gọi I và K lần lượt là giao điểm của OE và 
OF với AB .Chứng minh bốn điểm F , I , O ,B 
cùng thuộc một đường tròn . 
d) Khi Sđ cung BC bằng 900 ,Tính độ dài EF 
và diện tích tam giác OIK theo R. 
Bài 10 : Cho đường tròn (O ; R ) có AB là 
đường kính Trên hai nửa khác nhau của 
đường tròn ta lấy hai điểm M và N sao cho 
AM = R 3 ; AN = R 2 .Các đường thẳng 
AM và AN cắt tiếp tuyến tại B của đường 
tròn ở C và D . Chứng minh 
a) AM.AC = AN.AD . 
b)Tứ giác MNDC nội tiếp . 
c) Gọi MK , NI , AJ là ba đường cao của tam 
giác AMN .Tính số đo góc và độ dài các cạnh 
của tam giác KIJ. 
b) 
DE
DM
CE
CM
= 
c) CN = CA 
d) Gọi I là giao điểm của BC và AD , F là giao 
điểm của MI và AB . Chứng minh MI // AC và I 
là trung điểm của MF. 
e) Chứng minh : AB tiếp xúc đường tròn đường 
kính CD. 
Bài 11 : Cho đường tròn (O);R) và điểm M nằm 
ngoài đường tròn .Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến 
MA , MB (A và B thuộc (O) )và cát tuyến MCD 
(MC < MD) .Gọi I là trung điểm của CD .Đường 
thẳng OI cắt đường thẳng AB tại K .Chứng minh 
 a) Các tứ giác MAOB , MHIK nội tiếp 
 đường tròn . 
 b) OI .OK = R2 
 c) MH . MO = MC.MD 
 d) CĤD = 2CÂD 
 e)
AD
AC
BD
BC
= 
f)Cho biết OM = 3R , CD = 3R ,Tính diện tích 
tam giác MKC và MK theo R 
Bài 12 : 
Cho đường tròn (O,R ) và điểm M sao cho OM = 
3R .Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B 
thuộc (O) ) Từ A vẽ dây cung AD song song 
MB.Đường thẳng MD cắt đường tròn tại điểm thứ 
Bài 13 :Cho đường trịn tâm (O;R) cĩ AB và 
CD là hai đường kính vuơng gĩc nhau .I là một 
điểm nằm trên OB sao cho OI = OB
3
1
. Đường 
thẳng CI cắt đường trịn tại E và cắt BD tại K. 
Đường thẳng AE cắt CD tại F .Chứng minh: 
a)Tứ giác OIED nội tiếp và tính CI.CE theo 
R . 
c)Chứng minh I là trọng tâm của tam giác 
CBD từ đó tính KE.KC theo R . 
d)Chứng minh F là trung điểm của OD. 
e)Tính diện tích của tam giác ACE theo R. 
f)Trong trường hợp I thay đổi trên OB chứng 
minh diện tích tứ giác CAFI không đổi. 
Bài 14 : 
Với hinh vẽ trên cho biết : MA và MB là hai 
tiếp tuyến của (O) , CI ⊥ AB ;CK ⊥ MA ; 
CD ⊥ MB 
a) Tìm và chứng minh bốn tứ giác nội 
tiếp có trong hình vẽ. 
b) Chứng minh CK .CD = CI2.. 
c) Gọi H là giao điểm của AC và KI , E 
là giao điểm BC và ID .Chứng minh tứ 
giác CHIE nội tiếp . 
hai là C khác D .Đường thẳng BC cắt MA tại F 
,đường thẳng AC cắt MB tại E 
1)Chứng minh : 
a) Tứ giác MAOB nội tiếp . 
b) EB 2 = EC.EA 
c) E là trung điểm của MB . 
d) BC. MB = MC .AB 
e) CF là tia phân giác MĈA. 
2)Tính diện tích ∆BAD theo R . 
3)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và 
MB. 
Bài 15 : 
Với hình vẽ trên cho biết : MA và MB là hai tiếp 
tuyến của (O) , CD ⊥ AB ;CE ⊥ MA ; CF ⊥ 
MB 
a)Tìm và chứng minh bốn tứ giác nội tiếp có 
trong hình vẽ. 
b)Chứng minh CE .CF = CD2 
c)Gọi H là giao điểm của AC và DE , K là 
giao điểm BC và FD .Chứng minh tứ giác 
CHDK nội tiếp . 
d)Chứng minh KH // AB 
Bài 16 : 
d) Chứng minh EH // AB. 
e) Chứng minh :
CD
CK
DI
KI
=
2
2
. 
Bài 17 :Cho nửa đường tròn (O) có đường 
kính AB .Từ A ,B vẽ hai tiếp tuyến Ax và By 
.Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn này 
,kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax 
,By tại E và F 
a) Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp . 
b) AM cắt OE tại P ,BM cắt OF tại Q.Tứ giác 
MPOQ là hình gì ? 
c)Chứng minh: OP.OE = OQ.OF và AE.BF = 
R2 
d) Kẻ MH vuông góc AB ,Klà giao điểm MH 
và EB .So sánh MK và HK. 
e) Cho AB= 2R và r là bán kính đường tròn 
nội tiếp tam giác EOF .Chứng minh 
:
2
1
3
1
<<
R
r
Bài 18 :Cho nửa đường tròn (O; R) có đường 
kính AB,kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn 
,C là điểm trên nừa đường tròn sao cho cung 
AC bằng cung CB .Trên cung CB lấy điểm D 
tùy ý ( D khác C và B ) .Các tia AC và AD 
cắt Bx lần lượt tại E và F . Chứng minh: 
a)Tam giác ABE vuông cân . 
b)Tứ giác CEFD nội tiếp . 
c)Khi C di động trên nửa đường tròn ,D di 
động trên cung CB thì AC.AE= ADAF và có 
Cho đường tròn (O,R ) và điểm M sao cho OM = 
3R .Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B 
thuộc (O) ) .Gọi E là trung điểm của MB ,đường 
thẳng EA cắt đường tròn tại điểm thứ hai là C 
khác A .Đường thẳng MC cắt đường tròn tại D 
khác C ,đường thẳng BC cắt MA tại F 
1)Chứng minh : 
a)Tứ giác MAOB nội tiếp . 
b)EB 2 = EC.EA 
c)AD // MB . 
d)BC. MB = MC .AB 
e)Tam giác DBA cân. 
2)Tính diện tích ∆BAD theo R . 
3) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BD. 
Bài 19 :Cho hai đường tròn (O,R) và (O’; R’) cắt 
nhau tại A và B .Tiếp tuyến tại A của (O’) cắt 
(O) tại C, tiếp tuyến tại A của (O) cắt (O’) tại 
D.Gọi K là điểm đối xứng của A qua B Chứng 
minh : 
a)BƠO’ = BÊA 
b)AB2 = BC.BD và BK là phân giác góc CBD. 
c) ME2 = MA.MB và M là trung điểm của EF. 
d)Tứ giác ACKD nội tiếp và 
'R
R
AD
AC
= 
Bài 20 :Cho hai đường tròn (O,R) và (O’; R’) cắt 
nhau tại A và B. Đường kính AC của (O) cắt (O’) 
tại E , đường kính AD của (O’) cắt (O) tại F. 
Gọi M là giao điểm của CF và DE . Chứng minh : 
giá trị không đổi . 
d) Khi Sđ cung CD bằng 600 và K thuộc tia 
DA sao cho DK = DB .Tính diện tích ∆AKB 
và chu vi của tứ giác CDFE theo R. 
Bài 21 : Cho đường tròn (O) và một dây cung 
AB .Trên tia AB lấy một điểm C nằm ngoài 
đường tròn .Từ điểm chính giữa P của cung 
lớn AB ke ûđường kính PQ cắt dây AB tại D 
.Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I .Các 
dây AB và QI cắt nhau tại K .Chứng minh 
a)Tứ giác PDKI nội tiếp . 
b)CI.CP = CK.CD 
c)IC là tia phân giác của góc ngoài đỉnh I của 
tam giác AIB. 
 d) Khi A , B ,C cố định đường tròn (O) thay 
đổi nhưng vẫn đi qua A ,B thì đường thẳng QI 
luôn đi qua một điểm cố định . 
Bài 22:Cho đường tròn (O;R) và một đường 
thẳng d cắt (O) tại C và D .Một điểm M di 
động trên d sao cho MC < MD và ớ ngoài 
đường tròn (O) .Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA 
và MB .Gọi H là trung điểm của CD và giao 
của OM , d , OH với AB lần lượt là I , E và F 
. 
Chứng minh : 
a) Các tứ giác MIHF ; OHEI nội tiếp . 
a) C , B , D thẳng hàng và CD = 2 OO’ 
b)Các tứ giác AEMF ; CFED, OO’EF nội tiếp . 
c) M , A , B thẳng hàng và A là tâm đường tròn 
nội tiếp ∆EBF. 
d) CA.CE + DA.DF = CD2 
e) Các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn ngoại 
tiếp tứ giác CFED đồng quy tại một điểm trên 
MB.â 
Bài 23: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn 
(O ,R ) có hai đường chéo AC và BD vuông góc 
nhau tại ... A = OO’ 
c) R” + R’ ≤ R 2 . 
d) Chứng minh O là trực tâm của tam giác 
AO”O’. 
e) Đường thẳng O’O” cắt AB và AC ở K và M 
.Chứng tỏ tam giác AKM vuông cân. 
Bài 76 ; Cho hai đường tròn (O; R ) và (O; 
R’) cắt nhau tại A và B .Một đường thẳng (d) 
quay quanh B cắt (O) và (O’) tại C và D .Gọi M 
là trung điểm của CD và N là điểm đối xứng của 
C qua D . 
1)Chứng minh khi (d) thay đổi thì mỗi điểm M và 
N di chuyển trên một đường tròn cố định đi qua 
Bài 81.1 : Cho đường tròn (O) , từ một 
điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến 
MA (A ∈(O)) và cát tuyến MBC ( B; C thuộc 
(O) , MB < MC ) ) .Cho AB = c , BC = a , AC 
= b . Tính MA. 
Bài 81.2 : Cho hình vuông ABCD .Lấy 
điểm M nằm trong hình vuông sao cho MÂB = 
MBA = 150 .Chứng minh tam giác MCD đều . 
Bài 82.1 : Cho tứ giác ABCD có AC = 10 
cm ,BD= 12 cm và góc giữa AC và BD bằng 
300 .Tính diện tích tứ giác đó . 
Bài 82.2 : Cho tam giác ABC có AB < AC 
và BM , CN là hai trung tuyến .So sánh BM 
và CN . 
A và B Xác định tâm và bán kính của chúng . 
2)Các tiếp tuyến tại C và D của hai đường tròn 
cắt nhau tại E .Chứng tỏ tứ giác ACED nội tiếp . 
3)OC và OD cắt nhau tại K .Chứng tỏ năm điểm 
A ,C ,E D , K cùng thuộc một đường tròn . 
Bài 79: Cho đường tròn (O) và một dây AB 
.Gọi M là một điểm chính giữa của cung nhỏ AB 
.Vẽ đường kính MN cắt AB tại I .Gọi D là một 
điểm thuộc dây AB .Tia MD cắt đường tròn (O) 
tại C . 
a)Chứng minh tứ giác CDIM nội tiếp được . 
b)Chứng minh tích MC.MD có giá trị không đổi 
khi D di động trên dây AB. 
c)Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ACD .Chứng minh MÂB = 
2
1
AƠ D 
d)Chứng minh ba điểm A , O’ , N thẳng hàng và 
M A là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam 
giác ACD. 
Bài 80 : Cho đường tròn tâm O có đường kính 
BC .Gọi A là một điểm trên cung BC sao cho 
AB< AC , D là một điểm trên bán kính OC 
.Đường vuông góc với BC tại D cắt ACở E và cắt 
tia AB ở F. 
a) Chứng minh tứ giác ADCF nội tiếp . 
b) Gọi M là trung điểm EF .Chứng minh 
Góc AME = góc 2ACB 
Bài 85: Cho tam giác ABC nội tiếp đường 
tròn (O; R ) , M là một điểm trên cung nhỏ 
BC , MA cắt BC tại D .Chứng minh rằng : 
a) AD.AM = AB2 . 
b) MA = MB +MC 
c) MA +MB +MC ≤ 4R 
d) MA2 +MB2 + MC2 = 6R2 
e) MA4 +MB4 + MC4 = 18R4 
f) 
MCMBMD
111
+= 
Bài 86.1: 
Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là 
đường cao. Vẽ đường tròn tâm O đường kính 
HC .Kẻ tiếp tuyến BK với (O) ( K là tiếp 
điểm ) .Tính tỉsố 
BK
AB
Bài 86.2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp 
đường tròn (O ; R) .Điểm D di động trên cung 
AC .Gọi E là giao điểm của AC và BD , F là 
giao điểm của AD và BC .Chứng minh rằng : 
a)Góc AFB = góc ABD . 
b) Tích AE . BF không đổi . 
c) Chứng minh AM là tiếp tuỵến của đường 
tròn (O) . 
d) Gọi K là giao điểm CF và đường tròn (O) 
.Chứng minh B ,E ,F thẳng hàng và OM ⊥AK 
Bài 83 : Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD 
,đáy nhỏ BC nội tiếp đường tròn tâm O .AB và 
kéo dài cắt nhau tại I .Các tiếp tuyến của đường 
tròn tâm (O) tại B và D cắt nhau tại K . 
a)Chứng tỏ tứ giác BIKD nội tiếp và IK// BC .. 
c)Hình thang ABCD cần điều kiện gì để tứ giác 
AIKD làhình bình hành.Khi đó chứng minh hệ 
thức IC.IE=ID.CE 
d) Vẽ hình bình hành BDKM đường tròn ngoại 
tiếp tam giác BKM cắt đường tròn (O) tại điểm 
thứ hai N .Chứng minh rằng D , N , M thẳng 
hàng . 
Bài 84 : 
Cho tam giác ABC vuông tại C ( CA > CB ) . I là 
điểm thuộc cạnh AB .Trên nủa mặt phẳng có bờ 
AB có chứa điểm C kẻ tia Ax và By vuông góc 
AB .Đường thẳng vuông góc IC kẻ qua C cắt Ax 
và By tại M và N . 
Bài 89: 
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O) . I là 
một di động trên cung AB .AI cắt CB tại M , 
AB cắt IC tại N. 
a) Chứng minh rằng : AMC + ANC = 2 ACB 
. 
b) Chứng minh tích AI .AM không đổi . 
c) Vẽ dây cung IK song song với BC ,IK cắt 
AC ở E .Chứng minh : ∆ACK ~ ∆AMB, 
∆ACM ~ ∆AKB và ∆AEK ~ ∆AIB. 
d) Xác định vị trí của I để AB = MB . 
Bài 90 : 
Cho đường tròn (O) và một điểm S nằm ngoài 
đường tròn .Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA và SA’ 
và cát tuyến SBC tới đường tròn ( B nằm giữa 
C và S ) .Phân giác BÂC cắt dây BC ở D và 
cắt cung BC ở E .Gọi F là giao điểm của AA’ 
với BC; G là giao điểm của OE với BC . 
a) Chứng minh EC2 = ED .EA . 
b) Chứng minh SA2 = SG .SF. 
c) Khi cát tuyến SBC quay quanh S thì D di 
a) Chưng minh hai tam giác CAI và CBN đồng 
dạng . 
b) So sánh hai tam giác ABC và INC . 
c) Chứng minh IM vuông góc IN . 
d) Tìm vị trí của I sao cho diện tích tam giác 
IMN lớn gấp đôi diện tích tam giác ABC. 
Bài 87: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < 
AC) .Lấy điểm D thuộc cạnh AC .Vẽ đường tròn 
đường kính CD cắt BD ở E và cắt AE ở F . 
a) Chứng minh A , B , C , E cùng thuộc mộpt 
đường tròn . 
b) Chứng minh BĈA = AĈ F . 
c) Gọi M , N lần lượt là điểm đối xứng của D 
qua AB và BC .Chứng minh tứ giác BNCM 
nội tiếp . 
d) Xác định vị trí điểm D sao cho bán kính 
đường tròn (BNCM) đạt giá trị nhỏ nhất . 
Bài 88: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính 
động trên đường cố định nào ? 
d) Biết SB = a ; BC = 
3
2a
 tính SF. 
Bài 93 : Cho tam giác cân tại A nội tiếp 
đường tròn (O) đường kính AM .Gọi D , H ,I 
lần lượt là trung điểm của AB , BC , AC . 
1) Chứng minh : 
a) A , O , H thẳng hàng và AC2 = 2 AO .AH . 
b) Bốn điểm O ,I , C ,H cùng thuộc một 
đường tròn có tâm là (O’) 
c) Đường tròn (O’) tiếp xúc với (O). 
3) Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua AC 
.Chứng minh CH’ là tiếp tuyến của (O) . 
4) Gọi E ,G lần lượt là trọng tâm của tam 
giác ACD và ABC .Chứng minh hai tam 
giác AGC và IEO đồng dạng . 
Bài 94.1 : 
Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là 
đường cao , I là tâm đường tròn nội tiếp tam 
giác ABC .Phân giác BÂH và CÂH cắt BC tại 
D và E 
. 
Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam 
giác ABC 
Bài 94.2 : Cho tam giác ABC nội tiếp 
đường tròn (O), phân giác trong AD . 
 a) Xác định tâm O’của 
 đường tròn đi qua A và 
 tiếp xúc với BC tại D. 
AB và C là điểm chính giữa cung AB .Lấy M là 
điểm trên cung BC và vẽ đường cao CH của tam 
giác ACM. 
a) Chứng tỏ OH là tia phân giác của góc COM . 
b) Gọi I là giao điểm của OH và BC ,D là giao 
điểm thứ hai của MI với nửa đưởng tròn (O) . 
Chứng minh MC//BD 
c) Tìm vị trí của M sao cho D , H , B thẳng hàng 
. 
d) Gọi N là giao điểm của OH và BM .Chứng 
minh N di động trên một đồng tròn cố định . 
Bài 91: Cho đường tròn (O) và dây cung AB 
.Trên tia đối của tia AB lấy điểm M ,,kẻ các tiếp 
tuyến MC và MD tới đường tròn .phân giác của 
góc ACB cắt AB ở E .Gọi I là trung điểm của 
dây AB .Chứng minh : 
a) MC = ME . 
b) DE là phân giác của góc ADB . 
c) Đường tròn qua ba điểm M , C , D thì đi qua 
hai điểm cố định O và I . 
d) IM là tia phân giác của góc CID . 
e) Xác định vị trí của điểm M trên đường thẳng 
AB để tam giác MCD là tam giác đều . 
 b) Chứng minh đường 
 tròn O’) tiếp xúc với 
 -đường tròn (O) . 
Bài 97 : 
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn ,AH 
là đường cao .Kẻ HM ACHNAB ⊥⊥ ; .Gọi I 
là điểm đối xứng của H qua M , K là điểm 
đối xứng của H qua N .Đường thẳng IK cắt 
AB và AC tại E và F .Chứng minh: 
a) Góc AIK = góc AKI 
b) Tứ giác MNBC nội tiếp . 
c) CE vuông góc AB 
d) ∆ABC thỏa điều kiện gì thì IN = MK. 
Bài 98.1 : Cho tam giác ABC nội tiếp 
đường tròn ( O) có trực tâm là H , M là điểm 
bất kì trên cung BC không chứa A . 
a)Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là 
hình bình hành. 
b) Gọi N và E lần lượt là điểm đối xứng của 
M qua AB và AC .Chứng minh tứ giác ANBH 
nội tiếp . 
c) Chứng minh N , H , E thẳng hàng . 
Bài 98.2 :Cho tamgiác ABC vuông tại B 
có đường cao AH .Trên tia đối của BA lấy E 
sao cho BE = BA .Gọi D là trung điểm HB 
Bài 92 :Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn 
(O) .Gọi I là giao điểm của hai phân giác trong 
kẻ từ B và C, K là giao điểm của hai phân giác 
ngoài kẻ từ B và C .Gọi M là điểm chính giữa 
của cung BC ,D là giao điểm của AM và BC. 
 a)Chứng minh A ,I , M thẳng hàng . 
b) BI cắt A C ở N , MN cắt AC , BC lần lượt ở E 
và F .Chứng minh tam giác EFC cân . 
c) Chứng minh 4 điểm I , B , K , C cùng thuộc 
một đường tròn và tâm của đường tròn này thuộc 
(O) . 
Bài 95 : Cho hai đường tròn tâm O và O’ ở 
ngoài nhau .Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và 
tiếp tuyến chung trong EF ( A ,E 
))'(,);( ODBO ∈∈ .Gọi M là giao điểm của AB 
và EF, N là giao điểm của AE và BF.Chứng minh 
: 
a) Hai tam giác AOM và BMO’ đồng dạng . 
b) AE vuông góc BF . 
c) O , N , O’ thẳng hàng . 
Chứng minh HE vuông góc CD. 
 Bài 96.1 :Cho tam giác ABC ,các đường tròn 
đường kính AB và AC cắt nhau tại tại A và D và 
lần lượt cắt các cạnh AB , AC tại E và F . 
a) Chứng tỏ các đường thẳng AD ,BF ,CE đồng 
quy. 
b) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam 
giác DEF 
c) Đường tròn đường kính AB cắt CE tại N 
,đường tròn đường kính AC cắt BF ở M 
.Chứng tỏ tam giác ANM cân. 
Bài 96.2 : Cho tam giác ABC cân tại A .Trên 
BC lấy hai điểm M , N sao cho BM= MN = NC 
.Chứng minh 
Góc BAM = góc NAC < góc MAN 
Bài 99.1 : Cho tam giác ABC vuông tại A có 
AD là đường cao ,kẻ DE ACDFAB ⊥⊥ , 
.Chứng minh : 
a) DB.DC = EA.EB + FA.FC . Hệ thức có còn 
đúng không khi D là điểm tùy ý trên BC ? 
b) 
BE
CF
AB
AC
=
3
3
Bài 99.2 : 
 Trong tam giác cân 
ABC từ 
 trung điểm H của cạnh 
đáy BC 
 ta kẻ HE vuông góc 
AC .Gọi O 
 là trung điểm HE 
 Chứng minh AO vuông 
góc BE 
Bài 100 :Cho nửa đường tròn tâm O đường kính 
AB = 2R .Gọi I là trung điểm OA .Đường thẳng vuông 
góc với OA tại I cắt (O) tại K .Điểm M di động trên 
đoạn IK .Đường thẳng AM cắt (O) tại điểm C .Tiếp 
tuyến tại C với (O) cắt IK tại N , BC cắt IK tại D. 
a) Chứng minh ∆AOK đều và tam giác CMN cân. 
b) GỌi J là điểm đối xứng của B qua J .Chứng minh 
tứ giác AMDJ nội tiếp . 
c) Cho M là trung điểm IK .Tính MD.