Nhiều cách cho một bài toán

 nhiều cách cho một bài toán
 Đây là một bài toán rất quen thuộc của chương trình hình học 10 THPT
 Định lí : Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi 
 Ta hãy mở rộng đinh lí 
 Nếu M là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC liệu có tồn tại hay không các số thực k1, k2,k3 không đồng thời bằng không sao cho : 
 Ta có thể phát triển bài toán này theo các cách khác nhau :
 Cách 1 
 Đi từ kết quả để có khi đó M phải là trọng tâm 
 Với ,, A1
 Đặt : ,,	 A
 Khi đó ta có :	 S3 S2
 , 	 	 B S1 M C B1 C1
 Lập luận tuơng tự :, 
 Để M là trọng tâm .
 Vậy :
Cách 2
Kéo dài AM cắt BC tại A1 từ B ,C hạ BB’ và CC’AA1
 khi đó ta có 	 A	
 (1)	 S3 B’ 
Mặt khác ta có 	B	 S1 M C
	 (2) C’
	Từ (1) và (2) 	 
 Cách 3
Ta kí hiệu ,, A
 và ,, Ta thấy 
 S3 S2
 B S1 M C
 Lập luận tương tự ta cũng có : và 
 Cách 4
 Đặt: là các vectơ đơn vị cùng hướng với khi đó: , , 
 Khi đó 
 Đặt và kẻ qua D đường thẳng () MB, E=MC() A
 Khi đó ta có 
 Tương tự:	 E D
 Mà . Ta có (đpcm)	 M
 	B	 C
Cách 5 
 Kéo dài MA,MB,MC cắt BC,AC,AB tại A1,B1,C1 
 Dựng hbh MA’CB’ 	
 khi đó ta có : (1) kẻ AHBB’, CKBB’ A K B’ 	 	 C1 B1
 Khi đó ta có :	 	 	 M H
	B A1 C
 Do và 	 (2)
 Lập luận tương tự (3) Từ (1) , (2) và (3) suy ra (đpcm) A’
Các trường hợp đặc biệt 
1/Nếu M G Khi đó 
2/Nếu M I (với I là tâm đường tròn ngoại tiêp tam giác abc ) thì ta có: 
 3/ Nếu M H (với H trực tâm tam giác abc) 	
4/Nếu tam giác ABC nhọn và lấy M O (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác)
5/Nếu M I1 (tâm đường tròn bàng tiếp ABC nằm trong ) thì :
 Cuối cùng xin gửi bài toán:
 Giải phương trình :