BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A.Tóm tắt kiến thức
1.Phương trình bậc hai
1.1.Dạng của phương trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0 với a khác 0
1.2.Nghiệm của phương trình bậc hai
Bài 1. Phương trình bậc hai A.Tóm tắt kiến thức 1.Phương trình bậc hai 1.1.Dạng của phương trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0 với a 0 1.2.Nghiệm của phương trình bậc hai Biểu thức : = b2 -4ac ( hay ’=b’2 –ac với b’ = b/2) * < 0 : pt vô nghiệm * = 0: pt có nghiệm kép * > 0: pt có 2 nghiệm phân biệt ghi chú : nếu ac < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt . 1.3.Định lý viet. *Nếu phương trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0 có hai nghiệm x1 ,x2 thì S = x1 +x2 = ; x1x2 = . *Nếu x1 +x2 = S , x1x2 = P và S2 -4P 0 thì x1,x2 là nghiệm của phương trình : x2 –Sx +P = 0 ghi chú: Nếu a +b +c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm là x = 1 và x = c/a. Nếu a -b +c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm là x = -1 và x = -c/a. Nếu pt có 2 nghiệm x1 và x2 thì ax2 +bx +c =a( x –x1)(x-x2). 2.Phương trình bậc bốn đưa về phương trình bậc hai 2.1.Dạng 1. ax4 +bx2 +c = 0 ( a0) (phương trình trùng phương) Đặt t = x2 với t 0 ta có phương trình : at2 +bt +c = 0 2.2.Dạng 2. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = k trong đó a+b =c +d ; k 0. đặt t = ( x+a)(x+b). 2.3.Dạng 3. (x +a)4 +(x+b)4 =k ( k>0) Đặt t = x + 2.4.Dạng 4. ax4 +bx3 +cx2 bx +a = 0 với a 0 Chia 2 vế cho x2 và đặt ta có phương trình : at2 +bt +c +2a = 0 Ghi chú: nếu t = x + thì ta có đều kiện Giải tương tự cho phương trình : ax4 +bx3 +cx2 dx +e = 0 với B.Phương pháp giải toán ví dụ 1: Tìm m để phương trình : x2 -10x +9m = 0 (1) a)có hai nghiệm. b)x1- 9 x2 =0 Hướng dẫn: a) . b) áp dụng định lí viet ta được m = 0; m = 1. Ví dụ 2.Tìm m để phương trình : x2 +(m-1)x +m + 6 = 0 (1) Có hai nghiệm thoả mãn x12+x22 = 10 Hướng dẫn: áp dụng định lí viet ,chú ý điều kịên để phương có 2 nghiệm. Ta được m = -3 ; m = 7 so với điều kiện ta có m = -3 . Ví dụ 3 định m để phương trình : x2 -2(m+1)x –m- 1 = 0 (1) Có hai nghiệm x1 ,x2 và A = x12 +x22 – 6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn: *Điều kiện pt có 2 nghiệm là *A = = 4[(m+2)2 -1] vạy A nhỏ nhất bằng -4 khi m = -2. Ví dụ 4 Gải các phương trình: a) (x-1)(x+5)(x-3)(x+7) = 297 ĐS: x = 4 ; x = -8. b) x4 + ( x-1)4 = 97. ĐS: x = 3 ; x = -2. c) 6x4 -35x3 +62x2 -35x +6 = 0 ĐS: x =2;x=1/2 ;x = 3; x = 1/3. Ví dụ 5 Cho phương trình : mx2 -2(m-2) x +m -3 = 0 Tìm m để phương trình : a) Có hai nghiệm trái dấu. ĐS: 0 < m < 3. b) Có hai nghiệm dương phân biệt. ĐS: m< 0; 3< m <4. c) Có đúng 1 nghiệm âm. ĐS: 0 < m < 3. Ví dụ 6 Cho phương trình ( m -1)x4 +2(m -3)x2 +m +3 = 0 Định m để phương trình trên a)có 4 nghiệm phân biệt. b)có 3 nghiệm phân biệt. c)có 2 nghiệm phân biệt. d)có 1 nghiệm phân biệt. e) vô nghiệm . ĐS: m 3/2. Bài tập số 1 1.Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt a) x2 -2mx +m2 -2m +1 = 0 ĐS: m > 1/2. b) mx2 –( 2m+1)x +m -5 = 0 ĐS: 2.Cho phương trình : x2 -2(1+2m)x+3+ 4m = 0 (1) a) Định m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1,x2. ĐS: . b)Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm x1,x2 . ĐS: P – S -1 = 0 c) Tính theo m,biểu thức A = x13 +x23 . ĐS:A=2(1+2m)(16m2+4m-5). d)Định m để pt(1) có x1 = 3x2. ĐS: . e)viết pt bậc hai có nghiệm là x12 và x22 . ĐS:X2-2(8m2+4m-1)X+(3+4m)2=0 3.Cho phương trình : x2 -6x +m -2 = 0 Định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. ĐS: 2 < m < 11. 4.Cho phương trình : mx2 +2(m +3)x +m = 0 Định m để phương trình : a) Có hai nghiệm cùng dấu. ĐS: b) Có hai nghiệm âm phân biệt ĐS: m > 0. 5.Giải các phương trình : a) (x+2)(x-3)(x+1)(x+6) = -36. ĐS: 0;-3; .b) (x+3)4 +( x+5)4 = 16. ĐS: -5;-3. c) x4 +x3 -4x2 +x +1 = 0. ĐS: 1; d) x4 -5x3 +10x2 -10x +4 = 0.ĐS:1 ;2. Bài 2.Hệ phương trình Vấn đề 1:Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai. Phương pháp giải: +Từ phương trình bậc nhất ,rút một ẩn theo ẩn kia. +Thế vào phương trình bậc hai còn lại để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. Ví dụ 1.giải hệ ĐS: (-9;-19/3);( 8;5). Vấn đề 2:Hệ đối xứng loại 1. -ta qui ước gọi một hệ chứa 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu mỗi phương trình của hệ là đối xứng đối với x,y. Phương pháp giải: +Đặt S = x +y; P = xy. đưa hệ về 1 hệ có 2 ẩn x,y là đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình của hệ là đối xứng đối với x,y. +Tìm S,P . x,y là nghiệm của phương trình tổng tích X2 –SX+P = 0. Chú ý : điều kiện để hệ trên có nghiệm là : S2 - 4P Ví dụ 2.Giải hệ ĐS: (1;2) ,(2;1). Ví dụ 3 Giải hệ Nhận xét: nếu hệ có nghiệm (x0;y0) thì hệ có nghiệm (y0;x0). Vấn đề 3:Hệ đối xứng loại 2. -Ta quy ước gọi một hệ hai phương trình với 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu trao đổi vai trò của x,y thì phương trình này chuyển thành phương trình kia. Phương pháp giải: +Trừ vế với vế các phương trình đã cho. +Phương trình trên sẽ được đưa về phương trình dạng tích ,đặc điểm là nó có nghiệm x = y. +ứng với từng trường hợp xẩy ra ,kết hợp với 1 trong 2 phương trình của hệ để có một hệ con,giải hệ con này . +Tổng hợp nghiệm của hệ đã cho. Ví dụ 4 Giải hệ ĐS: (0;0),(5;5),(2;-1),(-1;2). Vấn đề 4:Hệ đẳng cấp bậc hai. ĐN: Hệ 2 ẩn x,y được gọi là hệ đẳng cấp bậc hai nếu nó có dạng Phương pháp giải: +Xét xem x =0 có là nghiệm của hệ hay không? + khi x 0,ta đặt y = kx *Thế vào hệ ,khử x,ta được 1 phương trình bậc hai theo k . *Giải tìm k,ứng với mỗi trường hợp của k ta tìm được (x,y). Ví dụ 5 Giải hệ ĐS: . Bài tập số 2 1.Giải hệ : a) ĐS: (4;-2) ,. b) ĐS:(1;3),(5;-5). 2.Giải hệ : a) ĐS: (3;1),(1;3). b) ĐS: (1;2),(2;1). c) ĐS: (3;5),(5;3). d) ĐS: (1;1). e) ĐS: (3;2),(2;3),(-3;-2),(-2;-3). 3.Giải hệ: a) ĐS: (0;0),(-3;-3). b) ĐS: (0;0),(1;-1),(-1;1),(), c) ĐS: (1;2),(2;1), (-1;-2), (-2;-1) d) ĐS: (1;4), (-1;-4) 4.Giải hệ: a) ĐS: Bài 3: Giải bất phương trình Vấn đề 1: Xét dấu một biểu thức và áp dụng để giải bất phương trình hữu tỉ. A-Xét dấu biểu thức E + Viết E dưới dạng tích của các nhân tử là tam thức bậc hai hay nhị thức bậc nhất. + Lập bảng xét dấu. B- Giải bất phương trình hữu tỉ + Chuyển tất cả các hạng tử sang 1 vế + Rút gọn biểu thức có được + Xét dấu biểu thức đó + Dựa vào bảng xét dấu, chọn miền nghiệm. Ví dụ 1: Xét dấu E = (x2 – 4) (x2 – 4x + 3) x2 – 4 có 2 nghiệm là -2; 2 x2 – 4x + 3 có 2 nghiệm là 1; 3 Lập bảng xét dấu . Ví dụ 2: giải bất phương trình : (1) HD: (1) Lập bảng xét dấu,ta được tập nghiệm x 6. Bài tập 1.Giải các bất phương trình: a) x2 -7x +10 < 0 ĐS: 2 < x < 5. b) (-x2 +3x -2)(x2 -5x +6) 0. ĐS: . c) ĐS: x > 1/2. d) ĐS: x <1; 1< x <2 ; x 2.Giải các bất phương trình sau : a) ĐS: x < 0 ; 1 < x < 3/2. b) ĐS: x 3. c) ĐS: d) ĐS: 3. Giải các bất phương trình sau : a) x(x+1) < ĐS: -3 < x <2. b) x2 +(x+1)2 ĐS: . c) x(x+1)(x+2)(x+3) < 24. ĐS: -4 < x< 1. Vấn đề 2.Giải hệ bất phương trình *Giải từng bất phương trình *kết hợp nghiệm còn lại ta được nghiệm của hệ . Ví dụ 1. Giải hệ : Giải : giải (1) : Giải (2) : Kết hợp (1) và (2) ta được ĐS: Bài tập: 1.Giải các hệ bất phương trình a) ĐS: 1/2 < x < 4. b) ĐS: VN c) ĐS: . Vấn đề 3.Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R. Ví dụ 1.Định m để f(x) = mx2 +4x+m > 0 , Giải: m = 0 suy ra f(x) = 4x > 0 do đó m = 0 không nhận được. m f(x) > 0 , Ví dụ 2.Định m để bất phương trình sau vô nghiệm (m +1)x2 -2mx –(m -3) < 0 (1) HD: Bài tập 1) f(x) = x2-mx +m +3 2) f(x) = mx2 –mx -5 < 0 , . Bài 4. Phương trình –Bất phương trình chứa căn thức Vấn đề1.Luỹ thừa các vế. Chú ý: Ví dụ 1.Giải bất phương trình : ĐS: x = -5/4. Ví dụ 2.Giải phương trình: ĐS: x = 8. Vấn đề 2. Đổi biến đưa về phương trình hữu tỉ. Ví dụ: (x + 1)(x + 4) – 3 ĐS: x = -7; x = 2 Vấn đề 3. Đưa về hệ phương trình hữu tỉ bằng cách đặt ẩn số phụ. Ví dụ: ĐS: x = 7 Vấn đề 4. Đưa về phương trình chứa trị tuyệt đối. Ví dụ: ĐS: -1 Vấn đề 5. Bất phương trình chứa căn thức. Các dạng căn bản và Ví dụ: Giải bất phương trình : Ví dụ: Giải bất phương trình: . Bài tập tương tự I.Giải các phương trình : 1) ĐS: -2. 2) ĐS: 3. 3) ĐS: 3;-1/2. 4) ĐS: 1;3. 5)ĐS: -6;-5;-11/2. 6) ĐS: -1. 7) ĐS: 0. 8) ĐS: 1;-1/3. 9) ĐS: 4;-4. 10) ĐS: -17;23. 11) ĐS: 15. 12) ĐS: -3;4. II.Giải các bất phương trình : 1) ĐS: .2) ĐS: 3) ĐS: 4) ĐS: 5) ĐS: Một số đề thi Đại học I.Phương trình 1. Giải phương trình: 2.Giải phương trình : 3.Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt : 4.Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 + m = 2 5.Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m ,phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: x2 +2x - 8 = . II. Bất phương trình 1. 2. 3. 2x2 +4x +3 > 1. 4. 5. 6. 7. 8. 9.Tìm m để bất phương trình : có nghiệm III. Hệ phương trình 1. 2. 3. . 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.Tìm m để hệ phương trình : có nghiệm duy nhất . 11.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm ..
Tài liệu đính kèm: