Ôn tập toán: Đại số lớp 10—SGK chuẩn

Chương I: Phương trình và hệ phương trình.
Tiết 1: Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai.
Tiết 2: Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
A.Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
1.kiến thức cơ bản:
a) Định nghĩa giá trị tuyệt đôí: 
b) Một số tính chất của giá trị tuyệt đối:
* với mọi A ; với mọi A
2.Các phương pháp giải:
Phương pháp chung:--Đặt điều kiện cho phương trình. ( Nếu cần)
 --Khử dấu giá trị tuyệt đối: -Bình phương 2 vế.
 -Dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối.
 -Phương pháp chia khoảng
 -Đặt ẩn phụ
 -Phương pháp hàm số
 --Kết luận.
a) Cách bình phương hai vế:
ví dụ 1:Giải các phương trình: a) b) 
ví dụ 2: Giải các phương trình: a) b)
 c) 
nhận xét: Nếu bình phương 2 vế sẽ dẫn đến phương trình bậc cao.
b) Cách dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối.
ví dụ2: giải các phương trình : a) b) 
 c) 
ví dụ 3: GiảI phương trình: 
3.các dạng phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
*Dạng 1: (1) , với C là hằng số.
 Nếu C<0 thì (1) vô nghiệm.
 Nếu C=0 thì (1) f(x)=0 ..giải..kết luận
 Nếu C>0 thì (1) f(x)=C ..giải.kết luận
*Dạng 2: (2) 
 C1:Bình phương 2 vế: (2) 
 C2:Dùng định nghĩa: 
 Giải hai pt trên rồi lấy hợp hai tập nghiệm.
ví dụ 4: giải phương trình:
c1:hai vế pt trên đều không âm,bình phương 2 vế ta được pt tương đương:
 (x+1)2=(3-2x)2 x2+2x+1=9-12x+4x23x2-14x+8=0
Vậy pt trên có hai nghiệm là và 4
C2:Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
Vậy pt đã cho có hai nghiệm là: và 4
C3: Sử dụng bảng phá dấu giá trị tuyệt đối:
*Dạng 3: (3)
C1: (I) hoặc (II)
GiảI hệ (I), (II) rồi lấy hợp của hai tập nghiệm.
C2: 
ví dụ 5: GiảI phương trình: 
*Dạng 4: (4)
C3:Sử dụng bảng phá dấu giá trị tuyệt đối:
ví dụ 6: GiảI phương trình: 
ví dụ 7: GiảI phương trình: 
ví dụ 7: GiảI phương trình: 
B.Phương trình vô tỷ-Phương trình chứa căn thức.
* Các phương pháp giảI phương trình vô tỷ:
I-Phương pháp biến đổi tương đương 
1. Bỡnh phương 2 vế của phương trỡnh 
Phương phỏp 
Dạng 1: 
Dạng 2: 
Dạng 3: 
Nếu C < 0 thì pt vô nghiệm
Nếu C=0 thì 
Nếu C >0 thì 
dạng 4: 
Dạng 5: giảI tiếp theo dạng 1
Dạng 6: 
-đặt điều kiện 
-Bình phương 2 vế dẫn tới pt hệ quả: đưa về dạng 4
Vớ dụ : 
ví dụ 1: GiảI phương trình: 
Giải: thử lại thấy x=5 thoả mãn.Vậy pt có nghiệm duy nhất x=5
ví dụ 2: GiảI phương trình: 
giải: 
Thử lại thấy pt đã cho có 2 nghiệm là x=4 và x=-28/15
ví dụ 3: Giải phương trình: 
giải: 
Đk: ( *)
Với điều kiện (*) ,bình phương 2 vế ta được: 
Ta có giá trị x=-4/3 không thoả mãn Đk (*) nên loại
Giá trị x=4 thoả mãn đk(*) và là nghiệm của phương trình.
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=4
ví dụ 4: Giải phương trỡnh sau : 
Tìm cách giải: Đk 
Bỡnh phương 2 vế khụng õm của phương trỡnh ta được:, để giải phương trỡnh này dĩ nhiờn là khụng khú nhưng hơi phức tạp một chỳt .
Phương trỡnh giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trỡnh : 
Bỡnh phương hai vế ta cú pt hệ quả: (thoả man Đk)
Thử lại x=1 thỏa mãn phương trình 
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=1
Lời giải:
Đk .Với đk trên ta có: 
Bình phương 2 vế của ptrình ta được pt hệ quả:
 (thoả man Đk)
Thử lại x=1 thỏa mãn phương trình 
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=1
Nhận xột : Nếu phương trỡnh : 
Mà cú : , thỡ ta biến đổi phương trỡnh về dạng : sau đú bỡnh phương ,giải phương trỡnh hệ quả 
ví dụ 5. Giải phương trỡnh sau : 
 (1)
Tìm lời giải:
Điều kiện : 
Bỡnh phương 2 vế phương trỡnh ?
Nếu chuyển vế thỡ chuyển như thế nào? 
Ta cú nhận xột : ( với đk ), từ nhận xột này ta cú lời giải như sau :
Giải: Điều kiện : 
Bỡnh phương 2 vế ta được pt hệ quả: 
Thử lại : đều thoả mãn điều kiện và là 2 nghiệm của ptrình.
Qua lời giải trờn ta cú nhận xột :
 Nếu phương trỡnh :
 Mà cú : thỡ ta biến đổi 
2. Dùng biểu thức liên hợp.
2.1. Dùng biểu thức liên hợp để xuất hiện nhõn tử chung 
a)Phương phỏp 
Thứ tự
Biểu thức
Biểu thức liên hợp
tích
1
A-B
2
A+B
3
A-B
 Một số phương trỡnh vụ tỉ ta cú thể nhẩm được nghiệm , như vậy phương trỡnh luụn đưa về được dạng tớch .Khi đó ta cú thể giải phương trỡnh hoặc chứng minh vụ nghiệm , chỳ ý điều kiện của phương trỡnh ban đầu để ta cú thể đỏnh gớa vụ nghiệm 
b)Vớ dụ 
ví dụ 1: Giải PT 
lời giải: Điều kiện: x , với Đk đó pt tương đương với:
xét pt : =0 (2)
từ đk: suy ra >0 Do đó pt (2) vô nghiệm.
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=3
ví dụ 2:Giải phương trỡnh sau :
Giải: Đk: ( *)
Ta nhận thấy : và 
Vậy pt 
Với đk (*) pt tương đương với 
x=2 ( thoả mãn (*))
Hoặc =0 ( dễ thấy pt này vô nghiệm)
Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trỡnh .
ví dụ 3:GiảI PT 
lời giải: Điều kiện: , khi đó pt đã cho tương đương với:
xét (3),ta có: 
.Nếu thì x+6 >3 còn nên pt (3) vô nghiệm.
.Nếu thì x+6<3 còn nên (3) vô nghiệm
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=-3
ví dụ 4: Giải phương trỡnh sau 
Tìm lời giải.: Để phương trỡnh cú nghiệm thỡ : 
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trỡnh , như vậy phương trỡnh cú thể phõn tớch về dạng 
, để thực hiện được điều đú ta phải nhúm , tỏch như sau :
Dễ dàng chứng minh được : 
Lời giải: Để phương trỡnh cú nghiệm thỡ : (*)
Pt
v xét (4) (x+2).[]-3=0 (4)
Mà do Đk: (*) suy ra x+2>0
Mặt khác nên (x+2).[]-3 < 0.Do đó pt (4) vô nghiệm.
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=2
ví dụ 5: Giải pt: 
Giải: Đk: , khi đó pt tương đương với:
xét (5); Bình phương 2 vế của phương trình (5) ta được:
 (6)
x=2 ( thoả mãn) 
 hoặc =0 ( loại do >0 với )
Vậy pt (6) có một nghiệm x=2
Kết luận : pt có hai nghiệm x=2/3 hoặc x=2
2.2. Nhân và chia với lượng liên hợp đưa về hệ.
a) Phương phỏp 
Nếu phương trỡnh vụ tỉ cú dạng , mà : 
ở dõy C cú thể là hàng số ,cú thể là biểu thức của . Ta cú thể giải như sau :
, khi đó ta cú hệ: 
Nếu phương trình vô tỉ có dạng: (*) 
mà , với a,b là các hằng số thì nhân và chia mỗi vế của (*) với lượng liên hợp của chúng ta được:
 (**)
Từ (*) và (**) suy ra 
Đưa về dạng 5: 
 b)Vớ dụ 
ví dụ 1:GiảI pt: (8)
giảI : Điều kiện: (*)
với đk trên ,pt tương đương với: 
 (9)
Từ (8) và (9) ta có hệ : ta thấy giá trị x=7 thoả pt (8) , vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=7
ví dụ 2. Giải phương trỡnh sau :
Giải:
để phương trình có nghiệm thì 
Ta thấy : 
. khụng phải là nghiệm 
.Xột , khi đó pt đã cho tương đương với:
 ( do )
Vậy ta cú hệ: 
Thử lại thỏa; vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm : x=0 và x=
ví dụ 3: GiảI pt: (6) 
Giải: Đk: (*)
Với Đk: ,pt đã cho tương đương với:
 (7)
Từ (6) và (7) ta có: 
Ta có x=0 thoả mãn điều kiện và là nghiệm của pt (6)
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=0
Bài tập đề nghị
Giải cỏc phương trỡnh sau :
 -CĐ HảI Quan 1996
3. Phương trỡnh biến đổi về tớch 
Sử dụng đẳng thức 
ví dụ 1. Giải phương trỡnh : 
Giải: 
Thử lai thoả mãn, vậy pt đã cho có 2 nghiệm x=0 hoặc x=-1
ví dụ 2. Giải phương trỡnh : 
Giải:
+ , khụng phải là nghiệm 
+ , ta chia hai vế cho x: 
Thử lại thoả mãn, vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=1
ví dụ 3. Giải phương trỡnh: 
Giải: 
pt(thoả mãn điều kiện)
thử lại thấy thoả mãn, vậy pt đã cho có 2 nghiệm là x=0 hoặc x=1
ví dụ 4. Giải phương trỡnh : 
Giải: 
Đk: , Chia cả hai vế pt cho ta được pt tương đương 
( thoả mãn điều kiện )
Thử lại thấy thoả mãn, vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=1
 Dựng hằng đẳng thức 
Biến đổi phương trỡnh về dạng :
ví dụ 1. Giải phương trỡnh : 
Giải:
Đk: khi đú pt đ cho tương đương :
ví dụ 2. Giải phương trỡnh sau :
Giải:
Đk: khi đó phương trỡnh tương đương : 
xét (1): 
vậy (1) có nghiệm x=1
xét (2) : 
vậy (2) có nghiệm 
ta có cả 2 giá trị x=1 và đều thoả mãn điều kiện 
thử lại cả 2 giá trị này đều thoả mãn pt, vậy pt có 2 nghiệm x=1 hoặc 
ví dụ 3. Giải phương trỡnh sau : 
Giải : pttt 
Bài 1: Giải phương trỡnh:
a) 	
b) 	
c) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
Bài 2: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm: 
Bài 3: Cho phương trỡnh: 
-Giải phương trỡnh khi m=1
-Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm.
Bài 4: Cho phương trỡnh: 
-Giải phương trỡnh khi m=3
-Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh cú nghiệm.
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ
Cú 3 bước cơ bản trong phương phỏp này :
- Đặt ẩn phụ và gỏn luụn điều kiện cho ẩn phụ
- Đưa phương trỡnh ban đầu về phương trỡnh cú biến là ẩn phụ
Tiến hành giải quyết phương trỡnh vừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thớch hợp.
- Giải phương trỡnh cho bởi ẩn phụ vừa tỡm được và kết luận nghiệm
* Nhận xột :
- Cỏi mấu chốt của phương phỏp này chớnh là ở bước đầu tiờn . Lớ do là nú quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toỏn .
1.Phương phỏp đặt ẩn phụ thụng thường : 
-Nếu bài toỏn cú chứa và khi đú đặt (với điều kiện là )
-Nếu bài toỏn cú chứa , và (với k là hằng số ,k > 0) khi đú cú thể đặt : , khi đú 
-Nếu bài toỏn cú chứa với khi đú cú thể đặt: suy ra 
-Nếu bài toán có chứa và thì có thể đặt suy ra
 .
-Nếu bài toỏn cú chứa thỡ đặt với hoặc với 
-Nếu bài toỏn cú chứa thỡ đặt với hoặc với 
-Nếu bài toỏn cú chứa ta cú thể đặt với 
Hoặc với 
-Nếu bài toán chứa hoặc thì có thể đặt x=acos2t
-Nếu bài toán chứa đặt x=a+(b-a).sin2t 
ví dụ 1: GiảI pt: 
Giải: Điều kiện : (*)
 Với điều kiện (*) , đặt , đk: 
Thay vào. pt trở thành: 
 Với t=0
 Với 
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm là x=0 hoặc x=16/9
ví dụ 2: GiảI pt: 
giảI : Điều kiện (*)
với điều kiện (*), Đặt , 
thay vào, pt trở thành: ( cả 2 đều thoả mãn t>0)
với t=3, ta có: ( thoả mãn đk (*))
với t=1/3 ta có: ( thoả mãn đk (*))
vậy pt đã cho có 2 nghiệm x=3 hoặc x=-7
ví dụ 3: GiảI pt : 
giải : pt 
Điều kiện: (*)
Với đk (*), đặt , t>0 
Thay vào ,pt trở thành: 
Với t=2 thay vào 
Cả 2 giá trị này đều thoả điều kiên(*) và là các nghiệm của pt đã cho
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm x=-1 hoặc x=3
ví dụ 4: Giải pt: 
Giải: Điều kiện: (*)
Pt 
đặt , đk của y là: .
Thay vào, pt trở thành: 
Vì nên y=-6 (loại); y=2 thoả mãn
Với y=2 suy ra: ( cả 2 đều thoả man (*))
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm là: x=-5 hoặc x=2
ví dụ 5: GiảI pt: (1)
giải: pt 
điều kiện để pt có nghiệm là: (*)
Đặt , Đk: 
Thay vào (1) ta đuợc: 
Mà nên y=-8 (loại); y=7 thoả mãn.
Với y=7,ta có: 
 thoả mãn đk (*)
Thử lại, x=5 thoả mãn pt (1).Vậy pt (1) có nghiệm duy nhất x=5
ví dụ 6: GiảI pt: 
giải: Điều kiện: 
Đặt suy ra: 
Pt trở thành: 
Với t=1 ta có 
Với t=-4 ta có:
Vậy pt đã cho có các nghiệm: và 
ví dụ 7: Giải phương trỡnh: 
Điều kiện: (*)
Nhận xột: với điều kiện (*): 
Vậy, Đặt ,điều kiện của t là: t>0 , thỡ .Suy ra phương trỡnh cú dạng: ( thoả mãn đk của t)
Thay vào ta có: 
 ( thoả mãn đk (*))
Thử lại thấy x=1 thoả mãn pt đã cho.Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=1
ví dụ 8: Giải phương trỡnh sau :
Giải: đk 
Đặt , đk: suy ra: 
Thay vào pt trở thành: 
xét pt: ( cả 2 giá trị này ko thoả mãn ĐK: )
với y=1 ( thoả mãn đk )
vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=0
ví dụ 9. Giải phương trình sau : 
tìm lời giải: Điều kiện: 
Nhìn vào pt ta chưa nhận thấy nó thuộc loại nào.Tuy nghiên nếu chia 2 vế cho x#0 ta được: .Vậy ta có thể đặt 
Giải: Điều kiện: (*) ,với đk này ,Chia cả hai vế của pt cho x#0 ta nhận đư ... hương trình 
5.Tìm m để hệ có nghiệm (ĐHQG-D1999)
6.Chứng tỏ với mọi m hệ luôn có nghiệm 
 (ĐHQG-A1999)
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
7.Cho hệ phương trình 
Gọi (x;y) là nghiệm của hệ.Xác định a để tích xy nhỏ nhất
8.Cho hệ phương trình 
a) GiảI khi m=6
b) Tìm m để hệ có nghiệm 
9.GiảI hệ sau: ĐH-D2003
10.GiảI hệ sau: 
11. GiảI hệ sau: ĐH-B2002
12. GiảI hệ sau: 
3.Hệ đối xứng loại II:
* Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại II đối với ẩn x và y là hệ nếu tráo đổi vai trò của x,y thì phương trình này chuỷên thành phương trình kia của hệ.
* Phương pháp giảI chung:
Đối với hệ này khi trừ từng vế của hai phương trình bao giờ cũng thu được phương trình tích:
Khi đó ta giảI hệ cho từng trường hợp.
* Chú ý: Có thể sử dụng các phương pháp khác như:
1.Phương pháp đồ thị
2.Phương pháp điều kiện cần và đủ: áp dụng rất tốt cho hệ với yêu cầu “ tìm tham số m để hệ có nghiệm duy nhất”.Khi đó ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Điều kiện cần: 
-Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x) cũng là nghiệm của hệ do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x=y (*)
-Thay (*) vào hệ ta được tham số .Đó chính là điều kiện cần
Bước 2: Điều kiện đủ: Thay tham số vào hệ ban đầu và giảI . 
Ví dụ 1: cho hệ phương trình 
GiảI hệ với m=0
Tìm m để hệ có nghiệm
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Giải:
Trừ từng vế hệ phương trình ta được:
Khi đó hệ phương trình tương đương với:
 (I) hoặc (II)
Với m=0 ta được:
 (I)
 (II)
Vậy với m=0 hệ có hai cặp nghiệm là (0;0) và (2;2)
Tìm m để hệ có nghiệm
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi 
Vậy hệ có nghiệm khi 
tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm () thì cũng có nghiệm ().Do đó hệ có nghiệm duy nhất thì 
Khi đó: hệ thành (3)
Do là nghiệm duy nhất nên ptrình (3) có nghiệm duy nhất 
đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất
điêù kiện đủ: Với m=1 hệ thành:
Nghiệm thoả mãn hệ và là nghiệm duy nhất
Vậy với m=1 hệ có nghiệm duy nhất
Vi du 2:Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất 
Giải:
Cách 1: Phương pháp điều kiện cần và đủ
Điều kiện cần:
Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm () thì cũng có nghiệm ().Do đó hệ có nghiệm duy nhất thì . Khi đó (3)
Do là nghiệm duy nhất nên (3) có nghiệm duy nhất 
đó là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất
điêù kiện đủ: Với m=2 hệ thành:
Nghiệm này thoả mãn hệ và là nghiệm duy nhất
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi m=2
Cách 2: Phương pháp đồ thị
Gọi X và Y lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2).Ta có:
X là tập hợp các điểm trên đường tròn (C) có tâm và bán kính 
Y là tập hợp các điểm trên đường tròn (C ’) có tâm và bán kính 
Vâỵy hệ có nghiệm duy nhất khi (C ) tiếp xúc ngoài với ( C’) 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi m=2
Chú ý: Bạn đọc tự vẽ hình.
Bài tập:
Bai 1.GiảI hệ phương trình ĐHQG-B2000
Bai 2.GiảI hệ phương trình ĐHQG-A1997
Bai 3.GiảI hệ phương trình ĐH-B2003
Bai 4.cho hệ phương trình ĐHHH-1997
GiảI hệ khi m=1
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Bai 5.cho hệ phương trình ĐH Dược-1997
Xác định các giá trị a<0 để hệ có nghiệm duy nhất
Bài 6: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất
Bài 7: Tìm m để hệ có đúng 5 nghiệm phân biệt
Bài 8: GiảI các hệ sau
Bài 9: tìm m để hệ có nghiệm 
Bài 10: Với giá trị nào của a thì hệ : có đúng hai nghiệm 
Bài 11: Giải hệ phương trình : 
Bài 12: tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Bài 13: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 
Bài 14: giảI và biện luận hệ phương trình 
Bài 15: GiảI các hệ sau:
4.Hệ đẳng cấp bậc hai:
 Định nghĩa 1: Biêủ thức f(x;y) gọi là đẳng cấp bậc n nếu với mọi k ta có: 
 Chẳng hạn như: ----đẳng cấp bậc 2
 Định nghĩa 2: Hệ đẳng cấp là hệ có dạng:
 Với là biểu thức đẳng cấp cùng bậc
 là biểu thức đẳng cấp cùng bậc 
 định nghĩa 3: Hệ đẳng cấp bậc hai chứa hai ẩn x,y là hệ có dạng:
Cách giải: Có hai phương pháp chính để giải
Cách 1: * Khử y2 (hoặc x2)
 * Rút y theo x (hoặc rút x theo y)
 * Thế giá trị của y ( hoặc của x )vào phương trình còn lại rồi giải.
Cách 2: 
*Xét x=0 thay vào giảI hệ
*Với x # 0 , đặt y=t.x thay vào giảI 
ví dụ : GiảI hệ phương trình: ĐHSPTPHCM-A,B2000
giải: 
khử số hạng tự do từ hệ ta được: 16x2+14xy+3y2=0 (3)
Đặt x=ty
Khi đó (3) thành y2(16t2+14t+3)=0
*Với y=0 hệ thành: vô nghiệm
*Với khi đó (2)
* Với khi đó (2)
Vậy hệ có 4 cặp nghiệm trên
Bài tập:
1.GiảI các hệ sau:
2.GiảI và biện luận hệ:
3.GiảI các hệ:
5.Các hệ phương trình có dạng đặc biệt:
5.1 Hệ lặp 3 ẩn
Định nghĩa: Hệ gồm 3 phương trình 3 ẩn có dạng: 
 Được gọi là hệ lặp 3 ẩn.(Còn gọi là hệ đối xứng vòng quanh)
Cách giải:
Bước 1: Tìm tập hợp giá trị của hàm f(t), giảI sử là tập I thì x,y,z,f(x),f(y)=f(f(x));f(z)=f(f(f(x))) thuộc I
Bước 2: Khẳng định rằng hàm số f(t) đơn điệu trên I, giả sử đồng biến trên I.Ta chứng minh f(x)=x
Từ đó tìm được nghiệm của hệ
ví dụ 1: GiảI hệ sau: 
giải:
xét hàm số f(t)=t3-3t2+5t+1 .Hệ phương trình có dạng: 
 hàm số f(t) có f’(t)=3t2-6t+5>0 với mọi t
suy ra hàm số f(t) luôn đồng biến (*)
vì hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x,y,z nên giả thiết 
Nếu x>y thì (*)
Suy ra x>y>z>x mâu thuẫn
Nếu x>z thì (*)
Suy ra x>z>y>x mâu thuẫn
Vậy suy ra x=y=z
Thay vào 1 pt của hệ ta có: 
Kết luận hệ có 3 nghiệm
 (1;1;1) ( ) ( )
ví dụ 2: GiảI hệ sau: 
Giải:
xét hàm số f(t)=t2-3t+3.Hệ có dạng 
hàm số f(t) là parabol có đỉnh đồng biến trên và nghịch biến 
và với mọi t
GiảI sử là nghiệm của hệ thì :
 ; ;
Mà 
 nằm trong khoảng mà hàm số tang
Giả sử 
Suy ra 
Giả sử 
Suy ra 
Thay vào phương trình bất kỳ của hệ ta được nghiệm của hệ là (3;3;3)
Bài tập:
GiảI các hệ phương trình sau:
5.2 hệ phương trình đồng bậc
* Hệ đồng bậc: Hệ phương trình đồng bậc là hệ gồm các phương trình đồng bậc 
Ví dụ 1 :GiảI hệ sau 
Đặt x=ky ta thu được:
 ta có 
+)Với k=1 ta cú: 
+)Với k=-2 ta cú:
Cách giải chung:Nếu các số hạng trừ số hạng tự do trong các phương trình của hệ có bậc bằng nhau thì ta đặt x=ky nối hai phương trình của hệ.
Bài tập
Giải các hệ phương trình sau:
 1) 2) 3)
**)Hệ phương trình đưa về dạng đồng bậc nhờ phép đặt ẩn phụ:
Ví dụ 2 :Giải hệ phương trình: 
Giải: 
Đặt x=u+a , y=u+b thay vào phương trình (1):
Để đưa được về hệ đồng bậc thì ta phải chọn để hệ số của số hạng u ,v là 0 tức là 
Thay x=u-1 , y=v-2 vào hệ phương trình đó cho ta có:
Khi này ta đó có thể giải được bình thường như hệ đồng bậc.
Ví dụ 3:Giải hệ phương trình: 
Giải: Rõ ràng x=0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 phương trình của hệ cho ta có:
Đặt ta có: 
Đến đây ta có thể giải như giải hệ đồng bậc bình thường (đặt u=ky).
Sau đây là một số bài tập áp dụng:
1) 2)
3) 4) 5)
5.3 Hệ chẵn đối với một ẩn:
Định nghĩa: Hệ chẵn đối với một ẩn là hệ không thay đổi khi đổi dấu ẩn này.
Cách giải:
Đối với hệ này,câu hỏi thường gặp là: Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm duy nhất.Khi đó ta lập luận như sau( Giả sử hệ chẵn với ẩn x)
Bước 1: Điều kiện cần:
-nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm thì cũng là nghiệm của hệ.Do đó hệ có nghiệm duy nhất khi (*)
-Thay (*) vào ta được giá trị của tham số.Đó chính là điều kiện cần
Buớc 2: Điều kiện đủ: Thay vào giảI hệ
ví dụ : Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: (I) Đề 108
giải:
Điều kiện cần:
-nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm thì cũng là nghiệm của hệ.Do đó hệ có nghiệm duy nhất khi 
-Thay vào ta được: 
Điều kiện đủ:
Thay m=6 vào hệ ban đầu ta có: 
Từ (1) ta có: 
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi 
 là nghiệm duy nhất
Vậy giá trị m cần tìm là m=6
5.4 hệ có nghiệm với mọi giá trị của một tham số
 Bài toán: Tìm điều kiện của tham số thứ nhất để hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số thứ hai
Cách giải:
Bước 1: Điều kiện cần
 Chọn một hoặc nhiều giá trị đặc biệt của tham số thứ hai,để hệ có dạng đơn giản,từ đó tìm được điều kiện cần với tham số thứ nhất
Bước 2: Điều kiện đủ
Thay vào và giải.
Ví dụ:Tìm a để hệ sau có nghiệm với mọi b 
Giải:
Điều kiện cần: Do hệ có nghiệm với mọi b nên phảI có nghiệm khi b=0.Khi đó hệ có dạng sau:
Vậy điều kiện cần là a=0 hoặc a=1
Điều kiện đủ:
Với a=0 hệ có dạng: 
Hệ trên không thể có nghiệm với mọi b vì:
-khi b#0 thì từ (1) suy ra y=0.
Nghiệm này không thoả mãn (2).Do vậy hệ vô nghiệm
Vậy a=0 không thoả mãn
Với a=1 hệ có dạng: 
Hệ này luôn có nghiệm x=y=0 với mọi b.Vậy a=1 thoả mãn.
Vậy ,giá trị cần tìm là a=1
5.5 GiảI hệ phương trình dựa vào sự đánh giá một ẩn
 Để giảI loại hệ này,ta đI đánh giá một ẩn bằng cách tìm điều kiện đối với ẩn này để tồn tại các ẩn khác.Từ đó tìm được giá trị của nó rồi suy ra giá trị các ẩn khác.
ví dụ: GiảI hệ phương trình sau 
Giải:
Hệ tương đương với 
Từ phương trình thứ nhất ta được: (1)
Từ phương trình thứ hai :
 x-y tồn tại (2)
kết hợp (1) với (2) ta có 
Với z=1 hệ có dạng : vô nghiệm
Với z=-1 hệ có dạng : vô nghiệm
Kết luận hệ vô nghiệm
6.ứng dụng sự biến thiên hàm số để giảI một số bài toán về hệ phương trình.
6.1 chú ý:
 * Phương trình f(x)=m có nghiệm m thuộc tập giá trị của hàm số y=f(x) và số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thịư hàm số y=f(x) với đuêòng thẳng y=m
 * Khi gặp hệ có dạng: 
 Ta có thể tìm lời giảI theo một trong hai hướng sau:
 Hướng 1: Pt (1) f(x)-f(y)=0 (3)
Tìm cách đưa (3) về phương trình tích
 Hướng 2: Xét hàm số y=f(t),Ta thường gặp trường hợp hàm số liên tục trên TXĐ
 + Nếu hàmn số y=f(t) đơn điệu thì từ (1) suy ra x=y thế vàp (2)
 + Nếu hàm số y=f(t) có 1 cực trị tại t=a thì nó thay đổi chiều biến thiên 1 lần khi qua a.Từ (1) suy ra x=y hoặc x,y nằm về 2 phía của a ( Xem ví dụ 2)
 + Nếu hệ pt ba ẩn đối xứng vòng quanh thì ko mất tổng quát có thể giả sử x=max(x,y,z) tức 
Các ví dụ:
Ví dụ 1: GiảI hệ sau: 
Giải:
Đk: x>0; y>0
Ta xét pt (1)
xét hàm số f(t)=et-t có f’(t)=et-1 >0 với mọi t >0
do đó hàm số đồng biến khi t>0
vậy từ (1) suy ra 
thay vào (2) ta được : 
Thử lại thoả mãn.Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2;2)
ví dụ 2: GiảI hệ sau: 
Giải: Đk: x>-1; y>-1
Viết lại pt đầu của hệ: (1)
xét hàm số f(t)=ln(1+t)-t với 
ta có: ; f’(t)=0 t=0
hàm số đồng biến trên (-1;0) và nghịch biến trên 
ta có: (1) f(x)=f(y)
lúc đó x=y hoặc xy<0 ( Nếu x,y thuộc cùng 1 khoảng đơn điệu thì x=y, ngược lại thì xy<0)
Nếu xy<0 thì vế tráI của (2) luôn dương.suy ra không thoả mãn
Nếu x=y thì thay vào (2) ta được nghiệm của hệ là (0;0)
ví dụ 3: GiảI hệ sau: xem ở hệ lặp 3 ẩn trên
ví dụ 4: GiảI hệ sau: xem ở hệ lặp 3 ẩn trên
chú ý: xét hệ giả sử miền xác định của f(x) là D
nếu với mọi x thuộc D và y=f(x) liên tục trên D thì 
Bài tập
GiảI các hệ sau:
C-Các phương pháp giảI hệ phương trình bậc cao: 
1.GiảI các hệ sau: 
 ĐHMĐC-1997
 ĐHQG -2000
 ĐHCĐ-2000
 ĐHNT-99
 ĐHXD-1997
2.Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất
 ĐHSP Vinh-1999
3.Cho hệ sau: 
a) GiảI với m=1
b) Tìm m để hệ có nghiệm
c) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
D-Các phương pháp giảI hệ phương trình trị tuyệt đối: 
E-Các phương pháp giảI hệ phương trình căn thức: 
F-Các phương pháp giảI hệ phương trình mũ: 
G-Các phương pháp giảI hệ phương trình logarit: