Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

PHẦN MỘT : ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I – LÍ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài toán 1: Khảo sát hàm số
1. Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ¹ 0 ) 
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với D/ = b2 - 3ac
D/ £ 0 
D/ > 0
y/ cùng dấu với hệ số a
·KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
 y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2 
·KL: hàm số tăng? Giảm?
·Hàm số không có cực trị 
· Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn: · = ;a > 0
	 · = 
+ Bảng biến thiên: 
x
- +
x
- x1 x2 +
y/
 +
y/
 + 0 - 0 +
y
 + 
 -
y
 CĐ +
- CT
a < 0
x
- +
x
- x1 x2 +
y/
 -
y/
 - 0 + 0 -
y
+ 
 -
y
+ CĐ 
 CT - 
Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
Điểm uốn I(-;f(-))
+ vẽ đồ thị : · xác đinh Cực trị ?
	 · ; điểm đặc biệt
 a>0 ; có 2 CT a0,không CT a<0,không CT
2. Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c ( a ¹ 0 ) 
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b) 
a,b cùng dấu
a, b trái dấu
y/ = 0 Û x = 0 
·KL: tăng? Giảm
 y/ = 0 Û 2x (2ax2 + b) = 0 Û x= 0; x1,2=±
·KL: tăng? Giảm?
·Giá trị cực trị : y(0) = c 
có một cực trị
· Giá trị cực trị: y(0)= c ; y(±) =-
Có 3 cực trị
a > 0
+ Giới hạn : = 
+ Bảng biến thiên : 
x
- 0 +
x
- x1 0 x2 +
y/
 - 0 +
y/
 - 0 + 0 - 0 +
y
CT
+ +
y
+ CĐ +
 CT CT
a < 0
x
- 0 +
x
- x1 0 x2 +
y/
 + 0 -
y/
 + 0 - 0 + 0 -
y
CĐ
- -
y
 CĐ CĐ
- CT -
 a> 0
 b>0
a< 0
b <0
a0
 a> 0
 b <0
 + vẽ đồ thị : · cực đại , cực tiểu ; · y = 0 -> x= ? giải pt trùng phương 
3.Hàm phân thức : y = ( c ¹ 0; ad - bc ¹ 0 ) 
ad-bc < 0
ad-bc > 0
y/ < 0 " x ÎD
y/ > 0 " x ÎD
Hàm số không có cực trị
Hàm số nghịch biến trên D
Hàm số đồng biến trên D
 TXĐ : D = R\
+ Đạo hàm : y/ = 
+ Tiệm cận: · x =là tiệm cận đứng vì = ¥;	 · y = là tiệm cận ngang vì = 
+Bảng biến thiên :
x
- -d/c +
x
- -d/c +
y/
 - || -
y/
 + || +
y
a/c ||+ 
 - a/c
 y
 +|| a/c
a/c -
+ vẽ đồ thị : - vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt 
x= -d/ c
y= a/c
x= -d/ c
y= a/c
 	 - Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận . 
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
1. Tiếp tuyến tại M(x0; f(x0)) có phương trình là :
 Từ x0 tính f(x0) ; · Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? P.trình tiếp tuyến tại M là y = f/(x0)(x- x0) + f(x0)
2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x1; y1) của đồ thị h/s y =f(x) 
 + Gọi M(x0;y0) là tọa độ tiếp điểm, (d) là tiếp tuyến của ( C) tại điểm M, Pt đường thẳng (d) là :
 y = f/(x0)(x- x0) + f(x0)
 + Điều kiện để đường thẳng (d) đi qua A là :y1 = f/(x0)(x1- x0) + f(x0), giải phương trình ẩn x0 =>f(x0), f’(x0) .Kết luận .
3. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
 tiếp tuyến ^ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = - 
 + giả sử M(x0; f(x0)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0).
 + Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? -> f(x0) = ?
 + Phương trình tiếp tuyến y = k (x - x0) + f(x0) 
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = -1 
 + Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2 
Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :
	+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) .
	+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m)
	+ y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C)
	+ Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = M 
Bài toán 4: xét tính đơn điệu
Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :	
 + MXĐ D= ?
 + Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ 
 + BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
* y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm 
 + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng ...
Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m): 
	a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x) ³ 0 " x Î (a;b) 
	b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x) £ 0 " x Î (a;b).
Bài toán5: Cực trị hàm số 
· Dấu hiệu I :
 + MXĐ D=?
 + Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ 
 + BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) 
 + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý: 
Nếu hàm số luôn tăng ( giảm)trên (a;b) thì không có cực trị trên (a;b).
Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.
đổi dấu qua x0
x0 là cực trị của hàm số ó
· Dấu hiệu II:
 + MXĐ
 + Đạo hàm : y/ = ? .. y// = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 .. .
 + Tính y//(x1); y//(x2).:
 Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ? 
 Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu 
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là :
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x).
Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y = ,u(x) ; và(x) là các đa thức có MXĐ: D.và y/ = = dấu của y/ là dấu của g(x) 
Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 u/và-và/u = 0 => .
 Do đó giá trị cực trị y(x0) = 
Bài toán 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
 + Miền đang xét [a;b]
 + Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) _ x1 , x2 .. . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
 + Tính y(x1) ; y(x2) . 	So sánh ® K.Luận
 y(a) ; y(b) 
 + ? ?
2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXĐ :
 + Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ 
 + Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ 
 + BBT:
	 * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT 
 * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ yCĐ
 * Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có cực trị trên khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
 + nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1 
 + nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
Bài toán 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ;	 (C2) : y = g(x) 
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1) 
· pt(1) vô nghiệm (C1) và (C2) không có điểm chung 
· pt(1) có n nghiệm (C1) và (C2) có n điểm chung 
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
 2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) hệ pt có nghiệm
Bài toán8: Cách xác định tiệm cận :*Tiệm cận đứng : => x = x0 là tiệm cận đứng 
 Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định 
*Tiệm cận ngang : => y = y0 là tiệm cận ngang
 Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử £ bậc mẫu thì có tiệm cận ngang .
II- BÀI TẬP 
Dạng 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
Bài 1. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 	6.;7. 	; 7.	;8. ; 12. ; 
 13. ; 14. 
Bài 2. Tìm m để hàm số 
1. đồng biến trên khoảng ; 
2. nghịch biến trên khoảng 
3. luôn đồng biến: a) trên R
 	 b) trên khoảng 
4. đồng biến trên khoảng 
Bài 3. Chứng minh rằng hàm số 
 1. đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên các khoảng và .
 2. đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .
Dạng 2: Cực đại và cực tiểu.
Bài 1. Áp dụng dấu hiệu I, tìm các điểm cực trị của hàm số
1. 	;2. ; 3. 	;4. 
Bài 2. Áp dụng dấu hiệu II, tìm các điểm cực trị của hàm số
1. 	;2. ; 3. 	
Bài 3. Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại nhưng vẫn đạt cực đại tại điểm đó.
Bài 4. Xác định m để hàm số
1. đạt cực đại tại .
2. đạt cực tiểu tại .
3. : a) Hàm số có cực trị.
 	 b) Hàm số có hai cực trị và hai cực trị trái dấu nhau.
4. : a) Hàm số có cực trị.
 	 b) Hàm số có hai cực trị và hai cực trị cùng dấu nhau.
5. có cực tiểu.
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì hàm số
1. luôn có cực đại và cực tiểu
2. luôn có cực đại và cực tiểu
Dạng 3: Tìm các đường tiệm cận
 Bài 1. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau
1. 	;2. ; 	3. 	;	4. 
Bài 2. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau
1. ;	2. ; 3. 	;	4. 
Dạng 4: Tìm GTLN – GTNN và chứng minh bất đẳng thức.
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. với mọi x thuộc R; 2. với mọi ; 
3. Cho . Chứng minh rằng .
Bài 2. Tìm GTLN – GTNN.
1. trên đoạn 	2. trên đoạn 
3. trên đoạn 	4. trên đoạn 
5. trên đoạn 	6. trên đoạn 
7. 	trên R	8. trên R
9. trên đoạn 	10. trên đoạn 
11. trên R	12. trên R
13. trên R	14. trên R
15. trên đoạn 	16. trên đoạn 
17. trên đoạn 	18. trên R
19. trên đoạn 	20. trên R
21. trên đoạn 	22. trên đoạn 	
23. trên R	24. trên R
25. trên 
Dạng 4. Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan.
Loại 1. Hàm số bậc ba.
Bài 1. Cho hàm số (1)
Khảo sát hàm số.
Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (1). Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
Dựa vào đồ thị (1), biện luận số nghiệm của phương trình theo m : .
Bài 2. Cho hàm số (C)
Khảo sát hàm số (C).
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 3).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 
Bài 3. Cho hàm số .
Khảo sát hàm số khi .
Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định.
Xác định m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu. Tìm toạ độ của điểm cực tiểu.
Bài 4. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số khi 
Tìm m để cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho tiếp tuyến với tại B và C vuông góc với nhau.
Bài 5. Cho hàm số (C)
Khảo sát hàm số (C)
Một đường thẳng d qua gốc tọa độ O có hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng d với đồ thị (C) của hàm số.
Khi đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại điểm A khác gốc tọa độ O, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung OA và tiếp tuyến.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 
Bài 6. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số khi .
Tìm giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm 
Loại 2. Hàm số trùng phương.
Bài 1. Cho hàm số (C)
Khảo sát hàm số (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn.
Tìm các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm .
Bài 2. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số khi .
Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
Xác định m sao cho cắt trục hoành tại bốn điểm có các hoành độ lập thành cấp số cộng. Xác định cấp số cộng này.
Bài 3. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số (C) khi 
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm 
Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
Bài 4. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số (C) khi 
Tìm m để cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
Bài 5. Cho hàm số với a, b là tham số
Khảo sát hàm số (C) khi 
Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: 
Tìm a, b để hàm số đã cho đạt cực trị bằng 4 tại .
Bài 6. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số (C) khi 
Viết phương tình tiếp tuyến của đường co ... (1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. 
b) Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d/ Tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD.
e/ Xác định toạ độ chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD)
BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU
Bài 1: Trong các phương trình sau đây ,phương trình nào là phương trình của mặt cầu ,khi đó chỉ rõ toạ độ tâm và bán kính của nó ,biết:
a) 	b)
c) 	d) 
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S) ,biết :
a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4.	 b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).
c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x.	 d) Hai đầu đường kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
a) Tâm I(1;2;-2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0.
c) Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1;1;-3).
Bài 4: (ĐH Huế-96):
 Trong không gian với hệ toạ 0xyz ,cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
c/ Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S) tại A.
Bài 5 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 
và đường thẳng (d) : 
a/ Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng là giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng tọa độ. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD biết A , B , C là giao điểm tương ứng của mặt phẳng với các trục tọa độ Ox , Oy , Oz, còn D là giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng tọa độ Oxy.
b/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A , B , C , D. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A ( -2 , 0 ,1) , B ( 0 , 10 , 3 ) , C ( 2 , 0 , -1 ) , D ( 5 , 3 , -1 ). 
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A , B , C.
b/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm D và vuông góc với mặt phẳng (P).
c/Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Vectơ pháp tuyến của mpa :≠ là véctơ pháp tuyến của a ^ a
Cặp véctơ chỉ phương của mpa : 
 // 
 là cặp vtcp của (a) , có giá song song với (a) hoặc nằm trong (a)
 A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
 3 Quan hệ giữa vtpt và cặp vtcp ,: = [,]
 4. Pt mp(a) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt = (A;B;C): 
(a) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có = (A; B; C)
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : 	
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ
 (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 
7. Chùm mặt phẳng : giả sử a1 Ç a2 = d trong đó 
 (a1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 
 (a2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 
 Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 
8. Vị trí tương đối của hai mp (a1) và (a2) :
° 
° 
° 
 ª 
 9.KC từ M(x0,y0,z0) đến (a) : Ax + By + Cz + D = 0
10.Góc giữa hai mặt phẳng : 
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
A
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
B
 ° 
Dạng 3: Mặt phẳng a qua M và ^ d (hoặc AB)
 ° 
Dạng 4: Mpa qua M và // b: Ax + By + Cz + D = 0 
 ° 
Dạng 5: Mpa chứa (d) và song song (d/)
Tìm 1 điểm M trên (d)
Mpa chứa (d) nên (µ) đi qua M và có 1 VTPT 
Dạng 6 Mp(a) qua M,N và ^(b) : 
 ° 
Dạng 7: Mp(a) chứa (d) và đi qua A:
■ Tìm 
.
Dạng 8: Lập pt mp(P) chứa hai đường thẳng (d) và (d/) cắt nhau :
Đt(d) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và có VTCP .
Đt(d/) có VTCP 
Ta có là VTPT của mp(P).
Lập pt mp(P) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và nhận làm VTPT.
Dạng 9: Lập pt mp(P) chứa đt(d) và vuông góc mp(Q) :
Đt(d) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và có VTCP .
Mp(Q) có VTPT 
Ta có là VTPT của mp(P).
Lập pt mp(P) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và nhận làm VTPT.
Dạng10: Cm mp(P) // mp(Q) :
mp(P) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
mp(Q) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0
mp(P) // mp(Q) 
Dạng 11: Cm mp(P) mp(Q) :
mp(P) có VTPT 
mp(Q) có VTPT
mp(P) mp(Q) .
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt biết
a, 	b, 	
c, 	d, 	
Bài 2: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của AB biết:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1)	b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)	
c, 	c, 
Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và song song với mặt phẳng biết:
a, 	b, 
c, 	 d, 
Bài 4 Lptr của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và song song với cặp véctơ 
Bài 5: Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và 
a) Song song với các trục 0x và 0y. b) Song song với các trục 0x,0z. c) Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và :
 a) Cùng phương với trục 0x.	b) Cùng phương với trục 0y. c) Cùng phương với trục 0z.
Bài 7: Xác định toạ độ của véc tơ vuông góc với hai véc tơ .
Bài 8: Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là 
Bài 9: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận làm VTPT.
 b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
Bài 10: Lập phương trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ.
Bài 11: (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 , 
(Q) : y-z-1=0 .Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q).
Bài 12: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và có cặp VTCP là và 
b) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phương với trục với 0x.
Bài 13: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) Viết phương trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói cạnh CD. 
Bài 14: Viết phương trình tổng quát của (P) 
a) Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) ,
d) Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3)
Bài 15: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz 
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB.
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) và vuông góc với mặt phẳng y0z 
c) Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mặt phẳng (P).
III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp = (a1;a2;a3)
2.Phương trình chính tắc của (d) 
Qui ước:
 Mẫu = 0 thì Tư = 0
3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp a1 và a2 
 Véctơ chỉ phương 
4.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng :
Cho 2 đường thẳng:
d1 :có véctơ chỉ phương=(a1;a2;a3) và M1 (x1, y1, z1) Î d1 
d2 :có véctơ chỉ phương=(b1;b2;b3) và M2 (x2, y2, z2) Î d2
 * d1º d2 Û [,]=[,]=
 * d1 cắt d2 Û 
 * d1 // d2 Û 
 * d1 chéo d2 Û [,]. 0
5.Khoảng cách :
Cho (d) qua M có vtcp ; (d’) qua N có vtcp 
Kc từ điểm đến đường thẳng: 
Kc giữa 2 đường thẳng : 
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Đường thẳng (d) đi qua A,B
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (D)
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mpa
Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên a : d/ = a Ç b
Viết pt mp(b) chứa (d) và vuông góc mpa
 Þ 
Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d1),(d2)
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 :
+ Tìm = [d1, d2]
+ Mpa chứa d1 , (d) ; mpb chứa d2 , (d)
 	 d = a Ç b
Dạng 7: PT d qua A và cắt d1 , d2 : d = a Ç b
với mpa = (A,d1) ; mpb = (A,d2)
Dạng 8: PT d // D và cắt d1,d2 : d = a1 Ç a2
 với mpa1 chứa d1 // D ; mpa2 chứa d2 // D
Dạng 9: PT d qua A và ^ d1, cắt d2 : d = AB
với mpa qua A và ^ d1 ; B = d2 Ç a
Dạng 10: PT d ^ (P) cắt d1, d2 : d = a Ç b
với mpa chứa d1 và ^(P) ; mpb chứa d2 và ^ (P)
Dạng 11: Hình chiếu của điểm M
 1. H là hình chiếu của M trên mpa
Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp(a) : ta có 
Tọa độ H là nghiệm của hpt : 
 2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d) 
Viết phương trình mp(a) qua M và vuông góc với (d): ta có 
Tọa độ H là nghiệm của hpt :
Dạng 12 : Điểm đối xứng
 a/ Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua mp(P) :
Lập pt đt (d) đi qua điểm M và vuông góc mp(P).
Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .
A/ đối xứng với A qua (P) Û H là trung điểm của MM/ nên : 
 b/ Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua đt(d) :
Lập pt mp (P) đi qua điểm M và vuông góc đt(d).
Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .
A/ đối xứng với A qua (d) Û H là trung điểm của MM/ nên : 
Dạng 12 : CM sự song song:
 a/ Cm đt(d) // đt(d/) :
đt(d) đi qua điểm M1(x1 , y1 , z1) và có VTCP 
đt(d/) đi qua điểm M2( x2 , y2 , z2) và có VTCP .
Ta tính .
đt(d) // đt(d/) .
 b/ Cm đt(d) // mp(P) :
đt(d) đi qua điểm M1(x1 , y1 , z1) và có VTCP 
mp(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT .
đt(d) // mp(P) 
Dạng 12 : CM sự vuông góc :
 a/ Cm đt(d) đt(d/) :
đt(d) có VTCP 
đt(d/) có VTCP .
đt(d) đt(d/) 
b/ Cm đt(d) mp(P) :
đt(d) có VTCP 
mp(P) có VTPT .
đt(d) mp(P) 
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1:Lập phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau :
a) (d) đi qua điểm M(1;0;1) và nhận làm VTCP
b) (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phương trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng
và các mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng (d) có phương trình: 
Bài 4: Cho đường thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phương trình là : và (P): x+y+z+1=0
Tìm phương trình của đường thẳng (t) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (D)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
Bài 6: Lập phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;1;3) và vuông góc với mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) 	b) .
 Bài 7: Lập phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và song song với đường thẳng () cho bởi :.	
Bài 8: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
a) (P): x-y+z+3=0	b) (P): y+4z+17=0
Bài 9: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có phương trình (P): 2x+y+z=0 và .
	a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
b) Lập phương trình đường thẳng (d1) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) .
Bài 10: Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : 
a) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2).
Bài 11: (ĐHNN-96): cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : 
a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2) .