Toán ngoại khóa

I. TRÊN TẬP SỐ PHỨC. HẪY XÉT XEM MỖI PHÉP BIẾN ĐỔI,
LẬP LUẬN SAU ĐÚNG HAY SAI ?
Bài 1.
Biến đổi trên là sai. Vì là môdun của số phức , không phải trị tuyệt đối.
Ta thường biến đổi theo cách sau :
Xét số phức trong đó . Ta có 
Bài 2.
Biến đổi trên là sai. Vì đã sử dụng quy tắc lấy căn bậc ba cho số thực.
Sau đây là một cách làm đúng :
Từ đó tìm được ba nghiệm của phương trình trên.
Bài 3. 
Giải phương trình : 
Đặt điều kiện . Ta được phương trình 
Mà nên . Do đó .
Lời giải trên sai . Vì đã cho rằng điều này chỉ đúng cho số thực nhưng không đúng cho số phức
Sau đây là một lời giải đúng :
Đặt ta được phương trình 
 .
Bài 4.
Xét các số phức trong đó . Ta có 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức đã cho là đường tròn tâm O(0;0), bán kính .
Kết luận trên không chính xác.
- Nếu thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm O(0;0), bán kính .
- Nếu thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức là hình tròn tâm O(0;0), bán kính .
Bài 5.
Tìm các căn bậc hai của số phức 
Giải : 
Lời giải trên sai .
Vì các lí do sau :
Một là không được kí hiệu 
Hai là phép toán không đúng.
Sau đây là một lời giải đúng :
Số phức có các căn bậc hai là vì .
Bài 5.
Gọi là các nghiệm của phương trình 
Tính giá trị biểu thức 
Giải 
Theo định lí Vi-ét ta có , 
Lời giải trên sai .
Vì và là hai đại lượng khác nhau 
Ngoài ra ta không nên sử dụng định lí Vi-ét vì định lí này phát biểu cho phương trình ẩn số thực.
Sau đây là một lời giải đúng :
Ta có 
Phương trình đã cho có hai nghiệm 
 . Vậy 
II. HÀM SỐ
Bài 1.
Xét hàm số có tập xác định và 
nên hàm số đồng biến trên tập 
Kết luận trên sai. Vì hàm số nghịch biến trên các khoảng 
Bài 2.
Giả sử là nghiệm của hệ .
Tìm để đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
Hệ đã cho 
Vì 
Xét hàm số với 
Lập bảng biến thiên suy ra khi 
Lời giải trên sai ở chỗ tìm đk của a để hệ có nghiệm :
Vì 
Bài 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Giải 
Đặt 
Ta có 
Lời giải trên sai ở chỗ tìm đk chính xác của như sau :
Theo BĐT Côsi ta có 
Từ đó dẫn đến .
III. TÍCH PHÂN
Bài 1.
Tính tích phân 
Giải 
Ta có 
Lời giải trên sai ở chỗ : 
Bài 2.
Tích phân 
Tính như trên là sai vì 
Bài 3.
Tích phân 
Cách tính trên sai vì 
Bài 4.
Tích phân 
Cách tính trên sai vì 
tại nên không được phép nhân với 
IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1.
Giải bất phương trình với hằng số .
Giải 
BPT mà suy ra 
Vậy BPT có nghiệm 
Lập luận trên không chính xác vì thì BPT có nghiệm 
Bài 2.
BPT 
Lời giải trên sai vì 
Bài 3.
Giải PT : 
Giải 
ĐK : 
PT đã cho 
Lời giải trên sai vì 
Bài 4.
Giải BPT : 
Giải 
ĐK : 
BPT đã cho 
Kết hợp với ĐK suy ra BPT vô nghiệm
Lời giải trên sai vì đã thực hiện nhân hai vế với mẫu thức chung khi không biết nó dương hay âm.
Bài 5.
Giải PT : 
Giải 
ĐK : 
PT đã cho 
Lời giải trên sai vì khi x = 1 nghiệm đúng , khi thì biến đổi như trên
V. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 1.
Trong không gian với hệ trục đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương 
Kết luận trên sai vì vectơ chỉ phương 
Bài 2.
 Cho các vectơ 
Kết quả trên sai vì 
Bài 3.
Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm có phương trình
Kết quả trên sai vì phương trình (P) : 
VI. THƯ GIÃN
Hãy cho biết ông là ai ? với các gợi ý sau
1. Ông là khoa học vĩ đại trong các ngành : Toán học, Vật lí và Thiên văn học
2. Đây là một bức ảnh của ông
3. Ông là tác giả của định luật vạn vật hấp dẫn