Tuyển tập 80 bài toán Hình học lớp 9

Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại 
H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
Tứ giác CEHD, nội tiếp .
Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
H và M đối xứng nhau qua BC.
Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Lời giải: 
Xét tứ giác CEHD ta có:
é CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)
é CDH = 900 ( Vì AD là đường cao)
=> é CEH + é CDH = 1800
Mà é CEH và é CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 
Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ^ AC => éBEC = 900.
CF là đường cao => CF ^ AB => éBFC = 900.
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: é AEH = é ADC = 900 ; Â là góc chung 
=> D AEH ~ DADC => => AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: é BEC = é ADC = 900 ; éC là góc chung 
=> D BEC ~ DADC => => AD.BC = BE.AC.
4. Ta có éC1 = éA1 ( vì cùng phụ với góc ABC)
éC2 = éA1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> éC1 = é C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ^ HM => D CHM cân tại C 
=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn
 => éC1 = éE1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp 
éC1 = éE2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
éE1 = éE2 => EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn 
ngoại tiếp tam giác AHE.
Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh ED = BC.
Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Lời giải: 
Xét tứ giác CEHD ta có:
é CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)
 é CDH = 900 ( Vì AD là đường cao)
 => é CEH + é CDH = 1800
 Mà é CEH và é CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 
2. Theo giả thiết: 	BE là đường cao => BE ^ AC => éBEA = 900.
AD là đường cao => AD ^ BC => éBDA = 900.
Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến 
=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có éBEC = 900 .
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = BC.
Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => éE1 = éA1 (1).
Theo trên DE = BC => tam giác DBE cân tại D => éE3 = éB1 (2)
Mà éB1 = éA1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => éE1 = éE3 => éE1 + éE2 = éE2 + éE3 
Mà éE1 + éE2 = éBEA = 900 => éE2 + éE3 = 900 = éOED => DE ^ OE tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.
5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2 ú ED2 = 52 – 32 ú ED = 4cm
Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
Chứng minh AC + BD = CD.
Chứng minh éCOD = 900.
3.Chứng minh AC. BD = .
4.Chứng minh OC // BM
5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
5.Chứng minh MN ^ AB.
6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải: 
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
 Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà éAOM và éBOM là hai góc kề bù => éCOD = 900.
Theo trên éCOD = 900 nên tam giác COD vuông tại O có OM ^ CD ( OM là tiếp tuyến ).
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM. DM, 
Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = .
Theo trên éCOD = 900 nên OC ^ OD .(1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM ^ OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).
Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB 
 IO // AC , mà AC ^ AB => IO ^ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD 
6. Theo trên AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra 
=> MN // BD mà BD ^ AB => MN ^ AB.
7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB.
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc 
A , O là trung điểm của IK.
Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Lời giải: (HD)
1. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B 
Do đó BI ^ BK hayéIBK = 900 . 
Tương tự ta cũng có éICK = 900 như vậy B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
Ta có éC1 = éC2 (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH.
éC2 + éI1 = 900 (2) ( vì éIHC = 900 ).
éI1 = é ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O) 
Từ (1), (2) , (3) => éC1 + éICO = 900 hay AC ^ OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.
AH2 = AC2 – HC2 => AH = = 16 ( cm)
CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm)
OC = = 15 (cm)
Bài 4 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
Chứng minh OAHB là hình thoi.
Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d
Lời giải:
(HS tự làm).
Vì K là trung điểm NP nên OK ^ NP ( quan hệ đường kính 
Và dây cung) => éOKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có éOAM = 900; éOBM = 900. như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. 
Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn. 
3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R 
 => OM là trung trực của AB => OM ^ AB tại I .
Theo tính chất tiếp tuyến ta có éOAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đường cao.
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2.
4. Ta có OB ^ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ^ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
OA ^ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ^ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.
=> Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi.
5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH ^ AB; cũng theo trên OM ^ AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB).
6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E.
Chứng minh tam giác BEC cân.
Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).
Chứng minh BE = BH + DE.
Lời giải: (HD)
D AHC = DADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2).
Vì AB ^CE (gt), do đó AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của DBEC => BEC là tam giác cân. => éB1 = éB2 
2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, éB1 = éB2 => D AHB = DAIB => AI = AH.
3. AI = AH và BE ^ AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.
4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bài 5 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao 
cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
 Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.
2. Chứng minh BM // OP.
3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Lời giải: 
(HS tự làm).
2.Ta có é ABM nội tiếp chắn cung AM; é AOM là góc ở tâm
chắn cung AM => é ABM = (1) OP là tia phân giác é AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ) => é AOP = (2) 
Từ (1) và (2) => é ABM = é AOP (3) 
Mà é ABM và é AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4)
3.Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : éPAO=900 (vì PA là tiếp tuyến ); éNOB = 900 (gt NO^AB).
=> éPAO = éNOB = 900; OA = OB = R; éAOP = éOBN (theo (3)) => DAOP = DOBN => OP = BN (5)
Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau).
4. Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ^ AB => ON ^ PJ 
Ta cũng có PM ^ OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác POJ. (6)
Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có éPAO = éAON = éONP = 900 => K là trung điểm của PO ( t/c đường chéo hình chữ nhật). (6)
 AONP là hình chữ nhật => éAPO = é NOP ( so le) (7)
 Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác éAPM => éAPO = éMPO (8).
Từ (7) và (8) => DIPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đường cao => IK ^ PO. (9)
Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng.
Bài 6 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax t ...  và ED // MB.
C
c). Suy ra CE là đường trung trực của BM và M di chuyển trờn đường trũn mà ta phải xỏc định tõm và bỏn kớnh theo R.
M
HD: a) AB CD. ; OA = OB = OC = OD = R(O) 
//
E
 ACBD là hỡnh vuụng.
=
 b) = = 450 ; = = 450
O
B
A
 = ED là tia phõn giỏc của .
 = 450 ; = 450 (∆ EMB vuụng cõn tại E)
 = (2 gúc đồng vị) ED // MB.
D
c) ∆ EMB vuụng cõn tại E và CE DE ; ED // BM 
 CE BM CE là đường trung trực BM.
d) Vỡ CE là đường trung trực BM nờn CM = CB = R
 Vậy M chạy trờn đường trũn (C ; R’ = R)
Bài 58: Cho ∆ABC đều, đường cao AH. Qua A vẽ một đường thẳng về phớa ngoài của tam giỏc, tạo với cạnh AC một gúc 400. Đường thẳng này cắt cạnh BC kộo dài ở D. Đường trũn tõm O đường kớnh CD cắt AD ở E. Đường thẳng vuụng gúc với CD tại O cắt AD ở M.
 a. Chứng minh: AHCE nội tiếp được. Xỏc định tõm I của đường trũn đú.
 b. Chứng minh: CA = CM.
 c. Đường thẳng HE cắt đường trũn tõm O ở K, đường thẳng HI cắt đường trũn tõm I ở N và cắt đường thẳng DK ở P. Chứng minh: Tứ giỏc NPKE nội tiếp.
Bài 59: BC là một dõy cung của đường trũn (O; R) (BC2R). Điểm A di động trờn cung lớn BC sao cho O luụn nằm trong ∆ABC. Cỏc đường cao AD; BE; CF đồng quy tại H.
 a. Chứng minh:∆AEF ~ ∆ABC. 
 b. Gọi A’ là trung điểm BC. Chứng minh: AH = 2.A’O.
 c. Gọi A1 là trung điểm EF. Chứng minh: R.AA1 = AA’.OA’.
 d. Chứng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.SABC.
 Suy ra vị trớ điểm A để tổng (EF + FD + DE) đạt GTLN.
Bài 60: Cho đường trũn tõm (O; R) cú AB là đường kớnh cố định cũn CD là đường kớnh thay đổi. Gọi (∆) là tiếp tuyến với đường trũn tại B và AD, AC lần lượt cắt (∆) tại Q và P.
 a. Chứng minh: Tứ giỏc CPQD nội tiếp được.
 b. Chứng minh: Trung tuyến AI của ∆AQP vuụng gúc với DC.
 c. Tỡm tập hợp cỏc tõm E của đường trũn ngoại tiếp ∆CPD.
Bài 61: Cho ∆ABC cõn (AB = AC; < 900), một cung trũn BC nằm bờn trong ∆ABC tiếp xỳc với AB, AC tại B và C. Trờn cung BC lấy điểm M rồi hạ cỏc đường vuụng gúc MI, MH, MK xuống cỏc cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi Q là giao điểm của MB, IK.
 a. Chứng minh: Cỏc tứ giỏc BIMK, CIMH nội tiếp được.
 b. Chứng minh: tia đối của tia MI là phõn giỏc .
 c. Chứng minh: Tứ giỏc MPIQ nội tiếp được PQ // BC.
C
 Bài 62: Cho nửa đường trũn (O), đường kớnh AB, C là trung điểm của cung AB; N là trung điểm của BC. Đường thẳng AN cắt nửa đường trũn (O) tại M. Hạ CIAM (IAM). 
 a. Chứng minh: Tứ giỏc CIOA nội tiếp được trong 1 đường trũn.
=
M
 b. Chứng minh: Tứ giỏc BMCI là hỡnh bỡnh hành.
1
2
N
 c. Chứng minh: . 
=
I
 d. Chứng minh: MA = 3.MB.
HD: a) () ; ()
B
O
A
 Tứ giỏc CIOA nội tiếp (quĩ tớch cung chứa gúc 900)
 b) MB // CI (BM). (1)
∆ CIN = ∆ BMN (g.c.g) (đ/đ) ; NC = NB ; (slt)
 CI = BM (2). Từ 1 và 2 BMCI là hỡnh bỡnh hành.
 c) ∆ CIM vuụng cõn (;) MI = CI ; ∆ IOM = ∆ IOC vỡ OI chung ; 
IC = IM (c.m.t) ; OC = OM = R(O) mà: 
 d) ∆ ACN vuụng cú : AC = R ; NC = (với R = AO)
Từ đú : AN =  ; NI = 
 MB = AM = AN + MN = + = 
 AM = 3 BM.
 Bài 63: Cho ∆ABC cú = nội tiếp trong đường trũn (O), đường cao AH cắt đường trũn ở D, đường cao BK cắt AH ở E. 
 a. Chứng minh: .
 b. Tớnh .
 c. Biết cạnh BC cố định, điểm A chuyển động trờn cung lớn BC. Hỏi tõm I của đườngtrũn nội tiếp ∆ABC chuyển động trờn đường nào? Nờu cỏch dựng đường đú (chỉ nờu cỏch dựng) và cỏch xỏc định rừ nú (giới hạn đường đú).
A
 d. Chứng minh: ∆IOE cõn ở I.
HD: a) ABHK nội tiếp ;
K
 ( cựng chắn cung BD) 
 b) CE cắt AB ở F. ;
I
F
E
 AFEK nội tiếp = 1200 
 c) 
H
C
B
 Vậy I chuyển động trờn cung chứa gúc 1200 dựng trờn đoạn BC, cung 
 này nằm trong đường trũn tõm (O).
S
D
 d) Trong đ/trũn (O) cú = sđ ; trong đ/trũn (S) cú = sđ 
 vỡ = (so le trong) nờn: = mà = = đpcm.
D
C
Bài 64: Cho hỡnh vuụng ABCD, phớa trong hỡnh vuụng dựng cung một phần tư đường trũn tõm B, bỏn kớnh AB và nửa đường trũn đường kớnh AB. Lấy 1 điểm P bất kỳ trờn cung AC, vẽ PKAD và PH AB. Nối PA, cắt nửa đường trũn đường kớnh AB tại I và PB cắt nửa đường trũn này tại M. Chứng minh rằng:
a. I là trung điểm của AP.
b. Cỏc đường PH, BI và AM đồng quy.
c. PM = PK = AH.
K
P
d. Tứ giỏc APMH là hỡnh thang cõn.
M
HD: a) ∆ ABP cõn tại B. (AB = PB = R(B)) mà (gúc nội tiếp )
 BIAP BI là đường cao cũng là đường trung tuyến 
 I là trung điểm của API
b) HS tự c/m.
c) ∆ ABP cõn tại B AM = PH ; AP chung ∆vAHP = ∆v PMA
 AH = PM ; AHPK là hỡnh chữ nhật AH = KP PM = PK = AH
H
B
A
d) PMAH nằm trờn đ/trũn đ/k AP mà PM = AH (c.m.t)
 = PA // MH
Vậy APMH là hỡnh thang cõn.
Bài 65: Cho đường trũn tõm O, đường kớnh AB = 2R. Kẻ tia tiếp tuyến Bx, M là điểm thay đổi trờn Bx;. AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN.
a. Chứng minh: Tứ giỏc BOIM nội tiếp được trong 1 đường trũn.
b. Chứng minh:∆IBN ~ ∆OMB.
H
O
c. Tỡm vị trớ của điểm M trờn tia Bx để diện tớch tam giỏc AIO cú GTLN.
B
A
HD: a) BOIM nội tiếp được vỡ 
I
b) ; (2 gúc nội tiếp cựng chắn cung BM)
 ∆ IBN ~ ∆OMB.
N
M
c) SAIO = AO.IH; SAIO lớn nhất IH lớn nhất vỡ AO = R(O)
Khi M chạy trờn tia Bx thỡ I chạy trờn nửa đường trũn đ/k AO. Do đú SAIO lớn nhất 
Khi IH là bỏn kớnh, khi đú ∆ AIH vuụng cõn, tức 
 Võy khi M cỏch B một đoạn BM = AB = 2R(O) thỡ SAIO lớn nhất .
A
Bài 66: Cho ∆ ABC đều, nội tiếp trong đường trũn (O; R). Gọi AI là một đường kớnh cố định và D là điểm di động trờn cung nhỏ AC (DA và DC). 
D
a. Tớnh cạnh của ∆ABC theo R và chứng tỏ AI là tia phõn giỏc của .
b. Trờn tia DB lấy đoạn DE = DC. Chứng tỏ ∆CDE đều và DI CE.
=
c. Suy ra E di động trờn đường trũn mà ta phải xỏc định tõm và giới hạn.
=
E
O
d. Tớnh theo R diện tớch ∆ADI lỳc D là điểm chớnh giữa cung nhỏ AC.
HD: a) ∆ ABC đều, nội tiếp trong đường trũn (O; R). HS tự c/m :
 AB = AC = BC = R
C
B
Trong đ/trũn (O; R) cú: AB = AC Tõm O cỏch đều 2 cạnh AB và AC
AO hay AI là tia phõn giỏc của .
I
b) Ta cú : DE = DC (gt) ∆ DEC cõn ; = = 600 (cựng chắn )
∆CDE đều. I là điểm giữa = = 
 DI là tia phõn giỏc ∆CDE đều cú DI là tia phõn giỏc nờn cũng là đường cao DI CE
c) ∆CDE đều cú DI là đường cao cũng là đường trung trực của CE IE = IC mà I và C cố định IC khụng đổi E di động trờn 1 đ/trũn cố định tõm I, bỏn kớnh = IC. Giới hạn : I (cung nhỏ )
D → C thỡ E → C ; D → A thỡ E → B   E đi động trờn nhỏ của đ/t (I; R = IC) chứa trong ∆ ABC đều.
Bài 67: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh bằng a. Trờn AD và DC, người ta lấy cỏc điểm E và F sao cho :
 AE = DF =. 
a. So sỏnh ∆ABE và ∆DAF. Tớnh cỏc cạnh và diện tớch của chỳng.
b. Chứng minh AF BE.
c. Tớnh tỉ số diện tớch ∆AIE và ∆BIA; diện tớch ∆AIE và ∆BIA và diện tớch cỏc tứ giỏc IEDF và IBCF.
Bài 68: Cho ∆ABC cú cỏc gúc đều nhọn; = 450. Vẽ cỏc đường cao BD và CE. 
Gọi H là giao điểm của BD, CE.
a. Chứng minh: Tứ giỏc ADHE nội tiếp được trong 1 đường trũn.; b. Chứng minh: HD = DC.
c. Tớnh tỷ số: d. Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh: OADE
Bài 69: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đỉnh D nằm trờn đường trũn đường kớnh AB. Hạ BN và DM cựng vuụng gúc với đường chộo AC. Chứng minh:
a. Tứ giỏc CBMD nội tiếp được trong đường trũn.
b. Khi điểm D di động trờn đường trũn thỡ ( + ) khụng đổi.
c. DB.DC = DN.AC
Bài 70: Cho ∆ABC nội tiếp đường trũn (O). Gọi D là điểm chớnh giữa cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường trũn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của cỏc cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE. Chứng minh:
a. BC // DE.
b. Cỏc tứ giỏc CODE, APQC nội tiếp được.
c. Tứ giỏc BCQP là hỡnh gỡ?
Bài 71: Cho 2 đường trũn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B; cỏc tiếp tuyến tại A của cỏc đường trũn (O) và (O’) cắt đường trũn (O) và (O’) theo thứ tự tại C và D. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của cỏc dõy AC và AD. Chứng minh:
a. ∆ABD ~ ∆CBA.
b. = 
c. Tứ giỏc APBQ nội tiếp.
Bài 72: Cho nửa đường trũn (O), đường kớnh AB. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường trũn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt cỏc tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F.
a. Chứng minh: AEMO là tứ giỏc nội tiếp được.
b. AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giỏc MPOQ là hỡnh gỡ? Tại sao?
c. Kẻ MHAB (HAB). Gọi K là giao điểm của MH và EB. So sỏnh MK với KH.
 d.Cho AB = 2R và gọi r là bỏn kớnh đường trũn nội tiếp ∆EOF. Chứng minh:.
Bài 73: Từ điểm A ngoài đường trũn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC và cỏt tuyến AKD sao cho BD//AC. Nối BK cắt AC ở I.
a. Nờu cỏch vẽ cỏt tuyến AKD sao cho BD//AC.
b. Chứng minh: IC2 = IK.IB.
c. Cho = 600. Chứng minh: Cỏt tuyến AKD đi qua O.
Bài 74: Cho ∆ABC cõn ở A, gúc A nhọn. Đường vuụng gúc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở E. Kẻ ENAC. Gọi M là trung điểm BC. Hai đ/thẳng AM và EN cắt nhau ở F.
a. Tỡm những tứ giỏc cú thể nội tiếp đường trũn. Giải thớch vỡ sao? Xỏc định tõm cỏc đường trũn đú.
b. Chứng minh: EB là tia phõn giỏc của .
c. Chứng minh: M là tõm đường trũn ngoại tiếp .
Bài 75: Cho nửa đường trũn tõm (O), đường kớnh BC. Điểm A thuộc nửa đường trũn đú. Dựng hỡnh vuụng ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, khụng chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đường trũn (O). K là giao điểm của CF và ED.
a. Chứng minh: Bốn điểm E, B, F, K nằm trờn một đường trũn.
b. ∆BKC là tam giỏc gỡ? Vỡ sao?
c. Tỡm quỹ tớch điểm E khi A di động trờn nửa đường trũn (O).
Bài 76: Cho ∆ABC vuụng tại C, cú BC =AB. Trờn cạnh BC lấy điểm E (E khỏc B và C). Từ B kẻ đường thẳng d vuụng gúc với AE, gọi giao điểm của d với AE, AC kộo dài lần lượt là I, K.
a. Tớnh độ lớn gúc .
b. Chứng minh: KA.KC = KB.KI; AC2 = AI.AE – AC.CK.
c. Gọi H là giao điểm của đường trũn đường kớnh AK với cạnh AB. 
 Chứng minh: H, E, K thẳng hàng.
d. Tỡm quỹ tớch điểm I khi E chạy trờn BC.
Bài 77: Cho ∆ABC vuụng ở A. Nửa đường trũn đường kớnh AB cắt BC tại D. Trờn cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kộo dài cắt AC tại F.
a. Chứng minh: CDEF nội tiếp được.
b. Kộo dài DE cắt AC ở K. Tia phõn giỏc của cắt EF và CD tại M và N. Tia phõn giỏc của cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giỏc MPNQ là hỡnh gỡ? Tại sao?
c. Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bỏn kớnh cỏc đường trũn nội tiếp cỏc tam giỏc ABC, ADB, ADC. Chứng minh: r2 = r12 + r22.
Bài 78: Cho đường trũn (O;R). Hai đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau. E là điểm chớnh giữa của cung nhỏ BC; AE cắt CO ở F, DE cắt AB ở M.
a. Tam giỏc CEF và EMB là cỏc tam giỏc gỡ?
b. Chứng minh: Tứ giỏc FCBM nội tiếp. Tỡm tõm đường trũn đú.
c. Chứng minh: Cấc đường thẳng OE, BF, CM đồng quy.
Bài 79: Cho đường trũn (O; R). Dõy BC < 2R cố định và A thuộc cung lớn BC (A khỏc B, C và khụng trựng điểm chớnh giữa của cung). Gọi H là hỡnh chiếu của A trờn BC; E, F thứ tự là hỡnh chiếu của B, C trờn đường kớnh AA’.
a. Chứng minh: HEAC.
b. Chứng minh: ∆HEF ~ ∆ABC.
c. Khi A di chuyển, chứng minh: Tõm đường trũn ngoại tiếp ∆HEF cố định.
Bài 80: Cho ∆ ABC vuụng ở A. Kẻ đường cao AH. Gọi I, K tương ứng là tõm cỏc đường trũn nội tiếp 
 ∆ ABH và ∆ ACH . 
1) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HIK.
2) Đường thẳng IK cắt AB, AC lần lượt tại M và N.
 a) Chứng minh tứ giỏc HCNK nội tiếp được trong một đường trũn.
 b) Chứng minh AM = AN.
 c) Chứng minh S’ ≤ S , trong đú S, S’ lần lượt là diện tớch ∆ ABC và ∆ AMN.