Bài tập Bất đẳng thức và Bất đẳng thức Cauchy

BẤT ĐẲNG THỨC
Dùng định nghĩa
Chứng minh các bất đẳng thức sau
1.Cho a,b,c,d > 0
a) nếu a b thì > 
c) 1 < < 2 
d) 2 < < 3
2.Cho 0, Chứng minh rằng < < 
3.Chứng minh rằng " a , b ,c
a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + 9 ≥ 6a
c) a2 + 1 > a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 0 e) 2abc £ a2 + b2c2
f) (a + b)2 ≥ 4ab g) a2 + ab + b2 ≥ 0 h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3
i) 4ab(a – b)2 £ (a2 – b2)2 j) a2 + 2b2 + 2ab + b + 1 > 0
k) ≥ l) 2 + a2(1 + b2) ≥ 2a(1 + b)
m) £ n) ( )2 £ o) ≥ ( )2
p) + b2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc q) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) 
r) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac
t) a2 + ab + b2 ≥ (a + b)2 u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b + 2a
v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
4.Cho a ,b Î [– 1;1] . Chứng minh rằng : |a + b| £ |1 + ab|
4.a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì ≥ 
 b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có ≤ + 
5.Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. Chứng minh rằng : ab ≥ a + b
6.Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – + x – + 1 > 0
6.Cho ba số a ,b ,c Î [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca £ 1
4.Cho 0 < a £ b £ c . Chứng minh rằng : b() + (a + c) £ ()(a + c)
5.Cho a > b > 0 và c ≥ . Chứng minh rằng ≥ 
5.Cho a + b + c ¹ 0. Chứng minh rằng : ≥ 0
5.Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng :
 + + £ 
4.Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Chứng minh rằng :
a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2 
5.a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng : ≥ 
 a) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .Chứng minh rằng : ≥ 
 a) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh rằng : ≥ 
6. " a,b,c,d chứng minh rằng 
a) ≥ 
b) 1 < < 2
7.Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
a)	< 1
b)	abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
c)	a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3 
*d)	a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0
*e)	(a + b + c)2 £ 9bc với a £ b £ c
*f)	(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) £ abc
8. Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 ,chứng minh rằng : a4 + b4 ≥ a3 + b3 
*9.Cho a ,b ,c ≥ 0 , chứng minh rằng : 
a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc
b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab
c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0
*10. Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với a £ b £ c
 Chứng minh rằng :	(a + b + c)2 £ 9bc 
*.Cho tam giác ABC,chứng minh rằng : ≥ 
*.Cho a ,b ,c Î [0;2] . Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) £ 4
. Chứng minh rằng : + + + + < 1 " n Î N
. Chứng minh rằng : + + + + < 1 " n Î N n ≥ 2
*.Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng :
	£ a + b + c £ 
.Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng :
a) a2 + b2 + c2 ≥ 3
b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3 
Bất đẳng thức Cauchy
1.Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 Chứng minh rằng :
a) ≥ 2 a , b > 0 b) a2b + ≥ 2a b > 0 c) ≥ 1
d) a3 + b3 ≥ ab(a + b) e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b
f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 
h) £ i) ≥ j) + ≥ + + 
j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 h) ≥ 2 k) ≥ 3a2b3 – 16
l) ≥ 4 m) ≥ 
2.Cho a > 0 , chứng minh rằng : (1 + a)2≥ 16
2. Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý . Chứng minh rằng: 
a) a2b + ≥ 2a b) a + b + c ≤ ( a2b + b2c + c2a + + + )
3.Cho 0 < a < b , chứng minh rằng: a < < < 
3.Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1 , chứng minh rằng : a + b £ ab 
4.Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng :
a) ab + ≥ 2 (b ¹ 0) b) a + b + c ≥ 
c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc d) ( + )2 ≥ 2 
e) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac f) a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2
g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc
h) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b i) a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) – 3 
i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + )3 
4. Chứng minh rằng "x Î(0; p/2) ta có: 
 cosx + sinx + tgx + cotgx + + > 6
5.Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1. Chứng minh rằng : a4 + b4 + c4 ≥ abc
5.Cho 3 số a,b,c không âm,Chứng minh rằng :
a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b) ≥ a + b + c
c)()( )() ≥ 8 d) ()()( ) ≥ 8
e) (a + b + c)() ≥ 9 f) (a + b + c)() ≥ 
g) ≥ 6 g) ≥ h) 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 
i) 3a + 2b + 4c ≥ + 3 + 5
j) ≥ + + 
6.Cho 4 số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh rằng :
a) (ab + cd)( + ) ≥ 4 b) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d)
c) + ≥ d) (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ≥ (ac + 2)2(bd + 4)2 
e) ≥ 6
f) + + ≥ g) + + + ≥ 
h) ≥ 3a2b3 – 16 i) (abc + 1)( + + )( + + ) ≥ a + b + c + 6
7.Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng: (1 + )n + (1 + )n ≥ 2n+1 n Î N
8.Cho a + b = 1,Chứng minh rằng :
ab £ b)a2 + b2 ≥ c)a4 + b4 ≥ d)a3 + b3 ≥ 
9*.Cho a > b và ab = 1 ,chứng minh rằng : ≥ 2
*. Chứng minh rằng – £ £ 
10.a) Chứng minh rằng nếu b > 0 , c > 0 thì : ≥ 
b)Sử dụng kết quả trên chứng minh rằng nếu a ,b ,c là ba số không âm có tổng
a + b + c = 1 thì b + c ≥ 16abc
11.Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: ()() ≥ 9 
12.Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
a) ()()( ) ≥ 64 b) (a + b)(b + c)(c + a)abc £ 
13*.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn + + + ≥ 3
 	Chứng minh rằng abcd £ 
14.Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
c) (p – a)(p – b)(p – c) £ d) ≥ 2( )
e) < + + < 
15.Cho 3 số a ,b ,c ≥ 0 ,thoả mãn a.b.c = 1 
 Chứng minh rằng : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8
15. Cho 3 số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 1. Chứng minh rằng
 – 1 ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ 1 + 
16 .Cho n số dương a1 ,a2 ,.,an. Chứng minh rằng
a) ≥ n b) (a1 + a2 +  + an)() ≥ n2 
c) (1 + a1)(1 + a2)(1 + an) ≥ 2n với a1.a2.an = 1
17.Cho n số a1 ,a2 ,.,an Î [0;1] ,chứng minh rằng :
 (1 + a1 + a2 + + an)2 ≥ 4(a12 + a22 + + an2)
18.Cho a > b > 0 , chứng minh rằng : a + ≥ 3 .Khi nào xảy ra dấu = 
18. Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 . Chứng minh rằng :
a) 2 + 3≥ 5 b) 
c) ≥ 3a2b3 – 16
19. Chứng minh rằng 1.3.5.(2n – 1) < nn 
20*.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh rằng :
	a + b + c ≥ 
21*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,.,an và b1 ,b2 ,.,bn.
Chứng minh rằng : £ 
21. Chứng minh rằng : ≤ 
 " a ≥ – 1 , b ≥ – 4 , c ≥ 2 ,d > 3
22*. " n Î N chứng minh rằng :
a) 1. . < b) 1.22.33.44nn < 
23*.Cho m,n Î N ;m > n . Chứng minh rằng :
	( 1 + )m > ( 1 + )n
24*.Cho x1,x2,xn > 0 và x1 + x2 + .+ xn = 1 Chứng minh rằng 
 ()()( ) ≥ (n + 1)n
25*.Cho các số x1, x2 ,y1, y2, z1, z2 thoả mãn x1.x2 > 0 ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y22 
	Chứng minh rằng : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2
26*.Cho 3 số a ,b ,c Î (0;1). Chứng minh rằng trong 3 bất đẳng thức sau phải có một bất đẳng thức sai:
	a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3)
 27*.Cho 3 số a,b,c > 0. Chứng minh rằng :
 	 + + £ 
28** Cho x ,y ,z Î [0;1] ,chứng minh rằng : (2x + 2y + 2z)(2– x + 2– y + 2– z) £ 
(ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên)
29*.Cho a , b , c > 1. Chứng minh rằng :
a) £ 2 
b) 2 ≥ 
*Cho a ,b ,c > 0,chứng minh rằng :
a) ≥ b) ≥ 
c) ≥ 6 d) ≥ ab + bc + ca
e) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc f) ≥ a + b + c
g) ≥ ≥ 
.Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý . Chứng minh rằng : 
a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc
*Cho a ,b ,c > 0 thoả : . Chứng minh rằng : ≥ 4
*Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng :
a) + + ≥ 9 b) + + ≥ 9 
*Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c £ k. Chứng minh rằng :
	 ) ≥ 3
*Cho ba số a ,b ,c ¹ 0. Chứng minh rằng : ≥ 
*Cho tam giác ABC,Chứng minh rằng : 
a) ha + hb + hc ≥ 9r b) < 
Dùng tam thức bậc hai
1. " x , y Î R Chứng minh rằng :
a) x2 + 5y2 – 4xy + 2x – 6y + 3 > 0
a) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z 
b) 5x2 + 3y2 + 4xy – 2x + 8y + 9 ≥ 0
c) 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + 3 ≥ 0
d) x2y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ≥ 4xy3 
e) (x + y)2 – xy + 1 ≥ (x + y)
f) 3 + 10 ≥ 0
g) (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z)
2.Cho 4 số a ,b ,c ,d thoả b< c < d chứng minh rằng :
 (a + b + c + d)2 > 8(ac + bd)
3. Chứng minh rằng : (1 + 2x + 3x)2 < 3 + 3.4x + 32x+1 
4. Cho ax + by ≥ ," x,y > 0. Chứng minh rằng : ab ≥ 1/4
*5. Cho – 1 £ x £ và – 0
6** Cho a3 > 36 và abc = 1.Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc + 
a) Chứng minh rằng : f(x) > 0 "x
b) Chứng minh rằng: + b2 + c2 > ab + bc + ca
Cho hai số x , y thoả mãn: x £ y . Chứng minh rằng x3 – 3x £ y3 – 3y + 4
.Tìm Giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
a) y = x2 + 
b) y = x + 2 + với x > – 2
c) y = x + với x > 1
d) y = với x > – 2
e) y = với x > 0
f) y = + với x Î (0;1)
.Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
y = x(2 – x) 0£ x £ 2
y = (2x – 3)(5 – 2x) £ x £ 
y = (3x – 2)(1 – x) £ x £ 1
y = (2x – 1)(4 – 3x) £ x £ 
y = 4x3 – x4 với x Î [0;4]
.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất 
*.Cho a ≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥ 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
	A = 
*Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = +