Bài tập về giới hạn của dãy số và hàm số

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN 
CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Định nghĩa: 
a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới 
hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có 
thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số 
hạng nào đó trở đi. Kí 
hiệu:
 lim 0 hay u 0 khi n + .nunn    
b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn 
là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực 
( n ), nếu  lim 0. n
n
u a

  Kí hiệu: 
  nlim hay u khi n + .n
n
u a a

    
 Chú ý:    lim limn n
n
u u

 . 
2. Một vài giới hạn đặc biệt. 
a) 
*
k
1 1
lim 0 , lim 0 , n
n
  
n
b)  lim 0 nq  với 1q  . 
c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. 
3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. 
a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : 
*
n
v n
n n
u w    và 
     
n
lim lim lim u
n n
v w a a    . 
b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: 
     lim lim lim
n n n n
u v u v a b     
 lim . lim .lim .
n n n n
u v u v a b  
 
 
 *n
lim
lim , v 0 n ; 0
lim
nn
n n
uu a
b
v v b
     
   lim lim , 0 ,a 0
n n n
u u a u    
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công 
bội q ,với 1.q  
 1lim lim
1
n
u
S
q


5. Dãy số dần tới vô cực: 
a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực 
 
n
u  khi n dần tới vơ cực 
 n nếu un lớn hơn một số dương bất 
kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: 
lim(un)= hay un  khi n . 
b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  khi 
n nếu lim 
n
u   .Ký hiệu: 
lim(un)= hay un khi n . 
c) Định lý: 
o Nếu :    *nlim 0 u 0 , nnu     thì 
1
lim
n
u
  
o Nếu :  lim 
n
u  thì 
1
lim 0
n
u
 
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. 
1. Giới hạn của dãy số (un) với 
 
 n
P n
u
Q n
 
với P,Q là các đa thức: 
o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P 
là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số 
và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : 
  0
0
lim
n
a
u
b
 . 
o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và 
mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0. 
o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk 
để đi đến kết quả :lim(un)= . 
2. Giới hạn của dãy số dạng: 
 
 n
f n
u
g n
 , f 
và g là các biển thức chứa căn. 
o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. 
o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
Bài tập 
DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN 
Tính các giới hạn sau : 
Tính 
2 1
lim
n
n

Ta có : 
1
2
2 1
lim lim 2
n
n n
n n
 
     
Tính 
3 1
lim
2 1
n
n


Giải 
Ta có: 
1
3
3 1 3
lim lim
12 1 2
2
n
n n
n
n
n
 
    
  
 
 
Tính 
 
 
2
2
3 2 5
lim
7 8
n n
n n
Giải 
Ta có 
2
2
2 2
22
22
3 2 5 2 5
3
3 2 5 3
lim lim lim
1 87 87 8 7
7
n n
n n n n n
n nn n
n nn
 
 
 
 
  
 
Tính lim
3
3
21
523
n
nn


 Giải 
Ta có 
Ta có : lim
3
3
21
523
n
nn


=lim
)2
1
(
)
52
3(
3
3
32
3


n
n
nn
n
=lim
2
3
2
1
52
3
3
32



n
nn 
Tính 
3
3 2
2 3 1
lim
n n
n n
  
 
 
Giải 
Ta có : 
3
3
3 3 33
3 2 3 2
3
3 3
2 3
2 1
3
2 3 1
lim lim
2 1
3
lim 3
1
1
n n
n
n n nn n
n n n n
n
n n
n n
n
 
  
     
     
 
 
  

Tính 
2
2
4 1
lim
3 2
n n
n
 

Giải 
Ta có 
2
2 2
2
2
2
1 1
4
4 1
lim lim 2
33 2
2
n
n n n n
n
n
n
 
      
  
 
 
Tính 
2
2
3 1
lim
1 2
n n
n
 

Giải 
Ta có : 
2
2 2
2
2
1
3
3 1
lim lim
1 2 1 2
1 1 1
3
lim 0
1
2
n n
n n n
n n
n
n n n
n
 
 

 
 
  
  

Tính lim
n
nn
21
14 2


BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
giải 
Ta có : 
lim
n
nn
21
14 2


=lim
n
n
n
n
21
1
4
2


=lim
2
1
2
1
1
1
4
2



n
n 
Tính 
 

2
1 4
lim
3 2
n n
n
Giải 
 
 
 

 

 

2
2
2
1 4
1 4
lim lim
3 23 2
1
1 4
1 4 5
lim
2 3 3
3
n n
n n n
nn
n
n
n
Tính lim(n-
1
732


n
nn
) 
giải 
Ta có : 
2 2 23 7 ( ) ( 3 7)
lim
1 1
7
2
2 7
lim lim 2
11
1
n n n n n n
n
n n
n n
n
n
      
  
  
 
 
   
 
Tính 
2
2
lim
1
n n
n n 
Giải 
2
2
2
2
1
2
2 0
lim lim 0
1 11 1
1
n
n n n
n n
n
n n
  
   
  
 
Tính 
   
3 2
5
2 3 1
lim
1 4
n n
n
 

Giải 
   
3 2
5
3 2
5
5
5
2 1
3 1
2 3 1 27
lim lim
11 4 4
4
n
n n n n
n
n
n
   
          
  
 
 
Tính 
 
2
2
2 2
lim
2 1
n n
n
 

Giải 
Ta có : 
 
2
2 2
2
2
2 2
1
2 2 1
lim lim
1 22 1 2 1
n
n n n n
n n
n
 
      
   
 
Tính 
2
4 2
2 4
lim
2 1
n n
n n
 
 
Giải 
Ta có : 
2
2 2
4 2
2
2 4
1 4
2
2 4 2
lim lim 2
1 1 22 1
2
n
n n n n
n n
n
n n
 
       
 
 
Tính 
5 2
5 3
1
lim
2 1
n n
n n
 
 
Giải 
Ta có : 
5
5 2 3 5
5 3
5
2 5
1 1
1
1
lim lim 1
2 12 1
1
n
n n n n
n n
n
n n
 
      
   
  
 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
Tính 
2 3
lim
4
n
n
n
  
   
   
Giải 
Ta có : 
2 3 2 3
lim lim 0
4 4
n n nn
n 
                     
          
Tính 
3 4 1
lim
4 2 1
n n
n n
 
 
Giải 
Ta có 
3 1
4 1
4 43 4 1
lim lim 1
4 2 1 1 1
4 1
2 4
n n
n
n n
n n n n
n
    
              
      
          
Tính 
5.2 5
lim
2
n
n
cos n
Giải 
Ta có : 
5
2 5
5.2 5 2
lim lim 5
2 2
n
n n
n n
cos n
cos n
 
     
Tính 
7.2 4
lim
2.3 4
n n
n n


Giải 
Ta có : 
7
4 1
7.2 4 2
lim lim 1
2.3 4 3
4 2 1
4
n
n n n
n n n
n
 
    
   
  
   
Tính 
1 1
5.2 3
lim
2 3
n n
n n 


Giải 
Ta có : 
1 1
5.2 3 5.2 3
lim lim
2 3 2.2 3.3
2
3 5 1
3 1
lim
32
3 2 3
3
n n n n
n n n n
n
n
n
n
 
 

 
  
       
  
     
Tính 
2
cos
lim 3
n n
n
 
 
 
Giải 
Ta có : 
2
cos cos
lim 3 lim 3 3
n n n
n n
   
      
   
Vì 
coscos 1 1 cos
lim 0 lim 0
nn n
mà nên
n n n n n
   
Tính 
2
3
cos5
lim 5
n n
n
 
 
 
Giải 
Ta có : 
2
3
cos5 cos5
lim 5 lim 5 5
n n n
n n
   
      
  
Vì 
cos5cos5 1 1 cos5
lim 0 lim 0
nn n
mà nên
n n n n n
   
Tính lim( )1 22 nnn  
Giải 
Ta có : lim( )1 22 nnn  
=lim
nnn
nnnnnn


22
2222
1
)1)(1(
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
=lim
nnn
nnn


22
22
1
)()1(
=lim
nnn
n


22 1
1
=lim
2
1
1
1
1
1
1
1
2



nn
n 
Tính  2 2lim 1n n n   
Giải 
Ta có : 
 
  
2 2
2 2 2 2
2 2
lim 1
1 1
lim
1
n n n
n n n n n n
n n n
  
     

  
2 2
2
1
1
1 1
lim lim
21 11
1 1
n
n n
n n n
n
n n
 
     
   
   
 
Tính    2lim 2 3n n n 
Giải
 
  
  
     

  
  

  
2
2 2
2
2 2
2
lim 2 3
2 3 2 3
lim
2 3
2 3
lim
2 3
n n n
n n n n n n
n n n
n n n
n n n
 
 
   
   
 
 
2
2
2 3 2 3
lim lim
2 3 2 3
1 1
n n
n n n
n
n n

  

  
2
3
2
2
lim 1
1 12 3
1 1
n
n n
Tính  2 2lim 1 2n n n   
Giải 
Ta có : 
 
  
2 2
2 2 2 2
2 2
lim 1 2
1 2 1 2
lim
1 2
n n n
n n n n n
n n
  
     

  
   2 2
2 2 2 2
2 2
1 2 3
lim lim
1 2 1 2
3 3
lim
21 2
1 1
n n n n
n n n n
n
n
n n
      
     

  
 
   
 
Tính 
2 21 4 2
lim
3
n n n
n
   

Giải 
Ta có 
  
  
 
  
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 4 2
lim
3
1 4 2 1 4 2
lim
3 1 4 2
1 4 2
lim
3 1 4 2
n n n
n
n n n n n n
n n n n
n n n
n n n n
   

       

    
   

    
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
  
2
2 2
3 1
lim
3 1 4 2
n n
n n n n
  

    
2
2
2
2 2
1 1
3
lim 3
3 1 1 2
1 1 4
n
n n
n
n n n n
 
   
   
  
      
  
Tính  2 2lim 1 2n n n   
Giải 
Ta có : 
 
 
  
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 2
lim 1 2 lim
1 2
1 2 3
lim lim
1 2 1 2
3 3
lim
21 2
1 1
n n n
n n n
n n
n n n n
n n n n
n
n
n n
  
   
  
   
 
     

  
 
   
 
Tính   3 3lim 2n n 
Giải 
 
   
 
 
 
      
 
   
3 3
2
3 23 3 3 33
2
3 23 33
lim 2
2 2 2.
lim
2 2.
n n
n n n n n n
n n n n
   
 
 
 

   
 

   
3 3
3 3
2
3 23 33
2
3 23 33
2
lim
2 2.
2
lim
2 2.
n n
n n n n
n n
n n n n
 
2
233 33
2
lim 0
2 2.n n n n
 
   
Chứng minh các dãy số có số hạng tổng quát 
sau đây có giới hạn 0 : 
sin
1
n
n
u
n n


Giải 
Ta có : 
sin sinsin 1
1 1
1 sin
lim 0 lim 0
1
n nn
n nn n n n
n
mà nên
n n n
  
 
 

 
2
1
2
nu
n



Giải 
Ta có : 
       
2 2
1 1 1 1
lim 0 lim 0
2 2
n n
mà nên
n n n n
   
  
 
1
!
nu
n
 
Giải 
Ta có 
1 1 1 1
0 lim 0
! !
mà lim nên
n n n n
   
21 cos
2 1
n
n
u
n



Giải 
Ta có : 
2 21 cos 2 1 cos 2 1
2 1 22 1 2
n n
vì nên
n n nn n
   
 
 
21 1 cos
lim 0 lim 0
2 1
n
mà nên
n n

 

5
3 1
n
n n
u 

Giải 
Ta có : 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
5 5 5
3 1 3 3
5 5
lim 0 lim 0
3 3 1
n
n n
n n
n
n
n
mà nên
 
   
  
 
  
 
2
sin 2
n
n n
u
n n



Giải 
 2
2
sin 2 1 1
1
1 sin 2
lim 0 lim 0
n n n
n n n n n
n n
mà nên
n n n
 
 
 

 

  2
3
1 sin cos
2 1
n
n
n n
u
n
 


Giải 
Ta có : 
 
 
12
3
3 3 3
1
2
3
3
1 sin cos 2 1 1
2 1 2
1 sin cos1
lim 0 lim 0
2 1
n
n
n n
nn ... 
x x
x
x x
x x x x
x
x
 

 

   
     

Tính 
2
21
2 3
lim
2 1x
x x
x x
 
 
Giải 
Ta có : 
  
 
 
2
21 1
1
1 32 3
lim lim
12 1
2 1
2
3 4
lim 1
1 3
2
2
x x
x
x xx x
x x
x x
x
x
x
 

  

   
  
 

   
 
 
 
Tính 
2
21
2
lim
1x
x x
x
 

Giải 
Ta có : 
  
  
 
2
21 1
1
1 22
lim lim
1 1 1
2 3
lim 1
1 2
x x
x
x xx x
x x x
x
x
x
 

  

  

   

Tính 
 
3
0
1 1
lim
x
x
x
 
Giải 
   
 
3 2
0 0
3 31 1
lim lim 3 0
x x
x x xx
x
x x 
  
  
Tính 
3
22
8
lim
11 18x
x
x x

 
Giải 
Ta có : 
  
  
 
23
22 2
2
2
2 2 48
lim lim
11 18 2 9
2 4 12
lim 2
9 11
x x
x
x x xx
x x x x
x x
x
x
 

  

   
 
   

Tính 
 
3
0
3 27
lim
x
x
x
 
Giải 
Ta có : 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
 
 
 
3 3 2
0 0
2
0
3 27 9 27 27 27
lim lim
9 27
lim 27 0
x x
x
x x x x
x x
x x x
x
x
 

     

 
   
Tính 
3 2
3 23
2 5 2 3
lim
4 13 4 3x
x x x
x x x
  
  
Ta có : 
  
  
3 2
3 23
2 2
223 3
2 5 2 3
lim
4 13 4 3
3 2 1 2 1 11
lim lim
4 1 173 4 1
3
x
x x
x x x
x x x
x x x x x
x xx x x
x

 
  
  
    
  
   
 
Tính 
31
1 3
lim
1 1x x x
 
 
  
Giải 
Ta có : 
  3 21 1
1 3 1 3
lim lim
1 1 1 1 1x xx x x x x x 
  
              
     
  
  
 
2 2
2 21 1
221 1
1 3 2
lim lim
1 1 1 1
1 2 2
lim lim 1 1
11 1
x x
x x
x x x x
x x x x x x
x x x
x
x xx x x
 
 
     
  
       
  
      
    
 Tính 
5
5
lim
5x
x
x


Giải 
Ta có : 
  
 
5 5
5 55
lim lim 2 5 5
5 5x x
x xx
x
x x 
 
   
 
Tính 
2
2
5 3
lim
2x
x
x
 

Ta có : 
  
  
  
  
  
 
2 2
2
2 2 2
2
2 22 2
22
5 3 5 35 3
lim lim
2 2 5 3
2 25 9
lim lim
2 5 3 2 5 3
2 2
lim 2
35 3
x x
x x
x
x xx
x x x
x xx
x x x x
x
x
x
 
 

    

   
  
 
     

     
 
Tính 
1
1
lim
3 2x
x
x

 
Giải 
Ta có : 
  
  
     
  
1 1
1 1
1 3 21
lim lim
3 2 3 2 3 2
1 3 2 1 3 2
lim lim
1 1 1
x x
x x
x xx
x x x
x x x x
x x x
 
 
  

     
     
 
  
 
1
3 2
lim 2 1
1x
x
x
x
 
   

Tính 
2
2
lim
7 3x
x
x

 
Giải 
Ta có : 
  
  2 2
2 7 32
lim lim
7 3 7 3 7 3x x
x xx
x x x 
  

     
  
 
2 2
2 7 3
lim lim 7 3 6
2x x
x x
x
x 
  
      

Tính 
1
3 2
lim
1x
x
x
 

Ta có : 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
  
  
  
 
1 1
1 1
3 2 3 23 2
lim lim
1 1 3 2
1 1 1
lim lim 1
43 21 3 2
x x
x x
x xx
x x x
x
x
xx x
 
 
    

   

    
   
Tính 
27
2 3
lim
49x
x
x
 

Giải 
Ta có : 
  
  
 
  
 
   
  
 
27
27
27
7
7
2 3
lim
49
2 3 2 3
lim
49 2 3
4 3
lim
49 2 3
7
lim
7 7 2 3
1 1
lim 7
567 2 3
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x
x x
x
x x x
x
x x





 

   

  
 

  
 

   

    
  
Tính 
2 2
23
2 6 2 6
lim
4 3x
x x x x
x x
    
 
Giải 
Ta có : 
  
  
2 2
23
2 2 2 2
3 2 2 2
2 6 2 6
lim
4 3
2 6 2 6 2 6 2 6
lim
4 3 2 6 2 6
x
x
x x x x
x x
x x x x x x x x
x x x x x x


    
 
         

      
 
  
   
  
 
2 2
3 2 2 2
3 2 2
3 2 2
2 6 2 6
lim
4 3 2 6 2 6
4 12
lim
1 3 2 6 2 6
4 1
lim 3
31 2 6 2 6
x
x
x
x x x x
x x x x x x
x
x x x x x x
x
x x x x x



    

      
 

      

    
     
Tính 
2
2 2
lim
7 3x
x
x
 
 
   
   
  
  
 
2
2
2 2
2 2
lim
7 3
2 2 7 3 2 2
lim
7 3 7 3 2 2
2 7 3 7 3 3
lim lim 2
22 22 2 2
x
x
x x
x
x
x x x
x x x
x x x
x
xx x


 
 
 
     

     
    
    
   
Tính 
2
3 2 5
lim
2 2x
x
x
 
 
Giải 
   
   
2
2
3 2 5
lim
2 2
3 2 5 3 2 5 2 2
lim
2 2 3 2 5 2 2
x
x
x
x
x x x
x x x


 
 
     

     
  
  
  
  
 
 
2
2
2
4 2 2 2
lim
2 3 2 5
2 2 2 2
lim
2 3 2 5
2 2 2 4
lim 2
33 2 5
x
x
x
x x
x x
x x
x x
x
x
x



  

  
   

  
  
    
 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
Tính 
3
1
lim
1x
x
x


Giải 
Ta có : 
3
1 3 1
lim 2
1 3 1x
x
x
 
 
 
Tính 
4
2 1
lim
1x
x
x


Giải 
Ta có : 
4
2 1 2.4 1
lim 3
1 4 1x
x
x
 
 
 
Tính 
0
1 1
lim 1
1x x x
 
 
 
Giải 
Ta có : 
0 0 0
1 1 1 1
lim 1 lim lim 1
1 1 1x x x
x
x x x x x    
  
     
   
Tính 
  
2
22
4
lim
1 2x
x
x x


 
Giải 
Ta có : 
  
  
  
  
  
 
 
2
2 22 2
22
22
2 24
lim lim
1 2 1 2
2 2
lim
1 2
2 2
lim 0 2
1
x x
x
x
x xx
x x x x
x x
x x
x x
x
x
 


 


 

   
  

 
  
   

Tính 
3
21
1
lim
1x
x
x



Giải 
Ta có : 
  
  
  
23
21 1
2
1
1 11
lim lim
1 11
1 1
lim 0
1
x x
x
x x xx
x xx
x x x
x
 

 

  

 
  
 

Tính 
0
3
lim
2x
x x
x x



Giải 
Ta có : 
 
 0 0
0
33
lim lim
2 2
3 3 3 2
lim
22 2
x x
x
x xx x
x x x x
x
x
 

 



 

  

Tính 
3
2 1
lim
3x
x
x


Giải 
Ta có : 
 
 
3
3
lim 2 1 5
lim 3 0 3 0 3
x
x
x
x và x x




 


     
Nên 
3
2 1
lim
3x
x
x

 

Tính 
2
2 1
lim
2x
x
x


Giải 
Ta có : 
 
 
2
2
lim 2 1 3 0
lim 2 0 2 0 2
x
x
x
x và x x




  


     
Nên 
2
2 1
lim
2x
x
x

 

Tính 
2
3 7
lim
2x
x
x


Giải 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
Ta có : 
 
 
2
2
lim 3 7 1 0
lim 2 0 2 0 2
x
x
x
x và x x




   


     
Nên 
2
3 7
lim
2x
x
x

 

Tính 
2
2
2
lim
2x
x
x


Giải 
Ta có : 
 
 
2
2
2
lim 2 2 0
lim 2 0 2 0 2
x
x
x
x và x x




   


     
Nên 
2
2
2
lim
2x
x
x

 

Tính 
 2
3 6
lim
2x
x
x 


Giải 
Ta có :  3 6 0 2x x     
Nên 
   
 
 2 2 2
3 6 3 2
lim lim lim 3 3
2 2x x x
x x
x x       
 
  
 
Tính 
 2
3 6
lim
2x
x
x 


Giải 
Ta có :  3 6 0 2x x     
Nên 
   
 
 2 2 2
3 6 3 2
lim lim lim 3 3
2 2x x x
x x
x x       
  
    
 
Tính 
 3
3 9
lim
3x
x
x 


Giải 
Ta có :  3 9 0 3x x     
Nên 
   
 
 3 3 3
3 9 3 3
lim lim lim 3 3
3 3x x x
x x
x x       
 
  
 
Tính 
 3
3 9
lim
3x
x
x 


Giải 
Ta có :  3 9 0 3x x     
Nên 
   
 
 3 3 3
3 9 3 3
lim lim lim 3 3
3 3x x x
x x
x x       
  
    
 
Tính 
 
2
1
3 2
lim
1x
x x
x 
 

Giải 
Ta có :  1 0 1x x     
Nên 
   
  
 
 
 
2
1 1
1
1 23 2
lim lim
1 1
lim 2 1
x x
x
x xx x
x x
x
 

   
 
  

  
    
Tính 
 
2
1
3 2
lim
1x
x x
x 
 

Giải 
Ta có :  1 0 1x x     
Nên 
   
  
 
 
2
1 1
1
1 23 2
lim lim
1 1
lim 2 1
x x
x
x xx x
x x
x
 

   
 
  

 
  
Tinh
2 2
lim
1x
x x
x
 

Giải 
Ta có : 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
  
  
 
2 1 22
lim lim
1 1
1 2
lim lim 2
1
x x
x x
x xx x
x x
x x
x
x
 
 
  

  
 
     
 
Tính 
2 5 2
lim
2 1x
x x
x
 

Giải 
 Ta có : 
 
 
 
2 25 2 5 2
lim lim
2 1 2 1
9 1
lim
2 4 4 2 1
1 9 1
lim
2 4 4 2 1
x x
x
x
x x x x
x x
x
x
x
x x x
 


   

  
 
    
  
 
      
  
Tính 
2 4
0
3
lim
2x
x x
x

Giải 
Ta có : 
22 4
0 0
33
lim lim
2 2x x
x xx x
x x 

 
Xét 
2 2 2
0 0 0
3 3 3 3
lim lim lim
2 2 2 2x x x
x x x x x
x x    
  
  
2 2 2
0 0 0
3 3 3 3
lim lim lim
2 2 2 2x x x
x x x x x
x x    
    
   
vậy không tồn tại 
2 4
0
3
lim
2x
x x
x

. 
Tính 
2 4
0
2
lim
2x
x x
x

Giải 
Ta có : 
22 4
0 0
1 22
lim lim
2 2x x
x xx x
x x 

 
Xét 
2 2 2
0 0 0
1 2 1 2 1 2 1
lim lim lim
2 2 2 2x x x
x x x x x
x x    
  
  
2 2 2
0 0 0
1 2 1 2 1 2 1
lim lim lim
2 2 2 2x x x
x x x x x
x x    
    
   
vậy không tồn tại 
2 4
0
2
lim
2x
x x
x

. 
Cho hàm số 
 
 
 
 
2
2
9 3 3
1 3
9 3
x x
f x x
x x
    

 

 
Tính      
33 3
lim , lim , lim
xx x
f x f x f x
   
Giải 
Ta có : 
  2
3 3
lim lim 9 0
x x
f x x
  
   
  2
3 3
lim lim 9 0
x x
f x x
  
   
 
3
lim 0
x
f x

 
Cho hàm số 
 
 
 
3
1 3
, 1
1 1
2 1
x
x xf x
mx x

 
  
  
Với giá trị nào của m thì hàm số có giới hạn 
khi 1x ? Tìm giới hạn này. 
Giải 
Ta có : 
 
  
  
  
3
1 1
2
2 21 1
2
1
1 3
lim lim
1 1
1 21 3
lim lim
1 1 1 1
2
lim 1
1
x x
x x
x
f x
x x
x xx x
x x x x x x
x
x x
 
 

 
 

 
  
  
   
 
     

 
 
   
1 1
lim lim 2 2
x x
f x mx m
  
    
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
 Để hàm số có giới hạn 1x khi 
   
1 1
lim lim
1 2
1
x x
f x f x
m
m
  

  
  
Và  
1
lim 1 1
x
f x khi m

  