Bài tập Vectơ nâng cao

Bài 1. 
Vectơ và các phép toán 
1. Các khái niệm cơ bản 
1.1 Dẫn dắt đến khái niệm vectơ 
Vectơ đại diện cho những đại lượng có hướng và có độ lớn ví dụ: lực, vận tốc, 
1.2 Định nghĩa vectơ và các yếu tố liên quan. 
Định nghĩa: Vectơ là đọan thẳng có hướng, tức là trong hai đầu mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ 
điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối. Ký hiệu ,MN AB
 
 hoặc ,a b
 
. 
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ – không. Ví dụ: ,AA BB
 
, 
Giá của vectơ AB

 (khác vectơ không) là đường thẳng đi qua A, B. 
Độ dài của vectơ AB

là độ dài đoạn thẳng AB, ký hiệu là AB

. Ta có AB AB=

. Độ dài vectơ 
không bằng 0. 
1.3 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng và hai vectơ bằng nhau. 
Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Quy ước: Vectơ – không 
cùng phương với mọi vectơ 
Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng. Quy ước: vectơ – không cùng 
hướng với mọi vectơ 
Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài. 
Mọi vectơ - không đều bằng nhau và đuợc ký hiệu là 0

1.4 Dựng một vectơ bằng vectơ cho trước. 
Cho vectơ a

 và điểm M. Khi đó ta có thể dựng được duy nhất điểm N sao cho MN a=
 
. 
Chú ý: 
 + Chứng minh hai điểm trùng nhau: AM AM M M′ ′= ⇔ ≡
 
+ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: ,AB AC
 
 cùng phương khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng. 
2. Định nghĩa các phép toán trên vectơ 
2.1 Phép cộng hai vectơ 
Cho hai vectơ ,a b
 
. Ta dựng vectơ AB a=
 
, vectơ BC b=
 
. Khi đó vectơ AC

 là vectơ tổng 
của hai vectơ ,a b
 
. Ký hiệu AC a b= +
  
. Vậy ta có AC AB BC= +
  
. 
2.2 Phép trừ hai vectơ 
Cho vectơ a

, khi đó tồn tại vectơ b

sao cho 0a b+ =
  
. Ta gọi b

 là vectơ đối của vectơ a

. Ta 
ký hiệu vectơ đối của vectơ a

 là a−

. Vậy ( ) 0a a+ − =
  
. Ví dụ vectơ đối của vectơ AC

 là 
CA

, vì 0AC CA AA+ = =
   
. Vậy AC CA= −
 
. 
Cho hai vectơ ,a b
 
. Khi đó vectơ 
www.VNMATH.com
( )a b+ −
 
được gọi là vectơ hiệu của hai vectơ a

 và b

kí hiệu là a b−
 
. 
Như vậy ta có: ( )a b a b− = + −
   
. 
Từ đó ta có AB AC AB CA CB− = + =
    
. 
2.3 Phép nhân vectơ với một số. 
Cho số thực k và vectơ a

( 0≠

). Khi đó phép nhân vectơ a

 với số thực k là một vectơ xác 
định như sau: 
.k a

 cùng hướng với a

nếu k ≥ 0 và ngược hướng a

khi k < 0. 
Và . .k a k a=
 
Đặc biệt: .0 0k k= ∀
 
Chú ý: 
0
. 0
0
k
k a
a
=
= ⇔ 
=
 
 
Chú ý quan trọng: không có định nghĩa phép chia hai vectơ, do đó không có 
. bb k a k
a
= ⇒ =

 
 
3. Các công thức cơ bản 
3.1 Quy tắc 3 điểm, n điểm. 
Cho 3 điểm A, B, C ta luôn có AB BC AC+ =
  
 (1.1) 
Cho n điểm A1, A2, , An, khi đó ta có 1 2 2 3 1 1... n n nA A A A A A A A−+ + + =
   
 (1.2) 
 Quy tắc hình bình hành. 
Cho hình bình hành ABCD. Khi đó ta có AB AD AC+ =
  
 (1.3) 
3.2 Mối quan hệ giữa hai vectơ cùng phương. 
 Hai vectơ ,a b
 
 ( )0b ≠
 
cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho .a k b=
 
Từ đây suy ra nếu ,a b
 
không cùng phương thì . . 0 0x a y b x y+ = ⇔ = =
  
3.3 Định lý về biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. 
Cho hai vectơ ,a b
 
không cùng phương. Khi đó với vectơ c

 bất kì thì tồn tại duy nhất hai số x, y 
sao cho . .c x a y b= +
  
Hệ quả: Cho 3 vectơ , ,a b c
  
 không cùng phương. Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực x, y, z 
không đồng thời bằng 0 sao cho . . . 0x a y b z c+ + =
   
. Bộ số (x, y, z) có phải duy nhất không? Vì 
sao? 
3.4 Công thức điểm chia và hệ quả. 
Cho hai điểm A, B phân biệt. M là điểm thỏa ( ). 1MA k MB k= ≠
 
. Khi đó với điểm O bất kì ta luôn 
có .
1
OA k OBOM
k
−
=
−
 

 (1.4) 
Hệ quả 1 Khi k = - 1 ta có công thức đường trung tuyến: ( )12OM OA OB= +
  
 (1.5) 
www.VNMATH.com
Hệ quả 2 Nếu M nằm giữa A và B, cho k = -MA/MB ta có công thức. . .MB MAOM OA OB
AB AB
= +
  
(1.6) 
Hệ quả 3. Cho tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c, AD là phân giác trong. Khi đó ta có 
. . . .DC DB b cAD AB AC AB AC
BC BC b c b c
= + = +
+ +
    
 (1.7) 
Hệ quả 4*. Đưa công thức (1.6) về dạng diện tích ta sẽ được công thức nào? 
Hệ quả 5*. Cho tam giác ABC. M là điểm nằm trong tam giác. Đặt , ,a MBC b MAC c MABS S S S S S= = = . 
Chứng minh rằng . . . 0a b cS MA S MB S MC+ + =
   
 (1.8) (Hệ thức Jacobi) 
Hệ quả 6*. Từ hệ thức 5, nếu cho M là các điểm đặc biệt trong tam giác (trọng tâm, trực tâm, 
tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp), ta sẽ có những hệ thức nào. 
3.5 Tâm tỉ cự của một hệ điểm 
Ta bắt đầu từ bài toán sau: 
Bài toán 1.Với hai điểm A, B phân biệt cho trước, tìm điểm M thỏa 0MA MB+ =
  
(1.9) 
Lời giải: Ta có 
10
2
MA MB MA MA AB AM AB= + = + + ⇒ =
       
, từ đây suy ra điểm M cần tìm 
chính là trung điểm AB. 
Từ bài toán này, ta có thể nghĩ tới bài toán tổng quát hơn chút. Cho hai số thực , . Liệu có 
tồn tại điểm M sao cho . . 0MA MBα β+ =
  
 (1.10) 
Theo cách giải bài trên ta có thể biến đổi vế trái của (1.10) như sau: 
( ). . . . . .MA MB MA MA AB MA ABα β α β β α β β+ = + + = + +
      
. 
Đến đây ta thấy xảy ra hai trường hợp. 
Trường hợp 1: Nếu  +  = 0 thì không tồn tại M để (1.10) thỏa vì A, B là hai điểm phân biệt. 
Trường hợp 2: Nếu  +  ≠ 0, thì (1.10) thỏa khi và chỉ khi AM ABβ
α β
=
+
 
, biểu thức này cho 
ta cách xác định M và hơn nữa M là duy nhất. 
Từ điều trên ta có bài toán 
Bài toán 2: Cho hai điểm A, B và các số thực ,  thỏa  +  ≠ 0 thì tồn tại duy nhất điểm M sao 
cho . . 0MA MBα β+ =
  
. (1.10) và không tồn tại M thỏa (1.10) nếu  +  = 0 và A , B phân biệt 
Bài toán 3: Cho 3 điểm A, B, C và các số thực , ,  không đồng thời bằng 0 có tổng khác 0. Có 
tồn tại điểm M sao cho . . . 0MA MB MCα β γ+ + =
   
(1.11)? 
Lời giải: Ta có thể giả sử ,  có tổng khác 0, do đó tồn tại điểm I 0IA IBα β+ =
  
. Khi đó vế trái 
của (1.11) có thể viết lại như sau: ( ). . .MA MB MC MI MCα β γ α β γ+ + = + +
    
Hệ thức trên cùng bài toán 2 cho ta câu trả lời cho bài toán 3. 
www.VNMATH.com
Hơn nữa nếu A, B, C không thẳng hàng thì khi  +  +  = 0, không tồn tại M thỏa (1.11) 
Trường hợp  =  =  ≠ 0 thì (1.11) tương đương với 0MA MB MC+ + =
   
 (1.12) khi đó M là 
trọng tâm của tam giác ABC 
Bằng cách quy nạp ta có bài toán tổng quát sau: 
Bài toán 4: Cho n điểm A1, A2, ,An và n số thực 1,2,,n không đồng thời bằng 0 và có tổng 
khác 0. Khi đó tồn tại điểm M sao cho 1 1 2 2. . ... 0n nMA MA MAα α α+ + + =
   
 (1.132) (Điểm M được 
gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A1, A2, ,An với các hệ số 1,2,,n). 
Chứng minh: (dành cho các bạn) 
4. Bài tập chương vectơ 
4.1 Các bài toán về phép cộng và phép trừ 
Bài 1. Cho các điểm phân biệt A, B, C, D. Dựng các vectơ tổng sau đây: 
a) AB CD+
 
b) AB AC BD+ +
  
Bài 2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ: ,u AB AD v AC BD= + = +
     
Bài 3. Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh 
rằng 0AA BB CC′ ′ ′+ + =
   
. 
Bài 4. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng 0GA GB GC+ + =
   
. 
Bài 5. Cho tứ giác MNPQ. Chứng minh: 
a) PQ MN PN MQ+ = +
   
b) Gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, NP, PQ, QN. Chứng minh 
 1. 0MB NC PD QA+ + + =
    
 2. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh 0OA OB OC OD+ + + =
    
Bài 6. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Điểm K là điểm 
đối xứng của M qua N. Chứng minh 
a) MK AD BC= +
  
b) MK AC BD= +
  
Bài 7. Cho có vectơ , ,a b c
  
. Chứng minh rằng: 
a) a b a b+ ≥ +
   
b) a b c a b c+ + ≥ + +
     
Dấu “=” xảy ra khi nào? 
www.VNMATH.com
Bài 8. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AD BC AB DC+ = +
   
 thì AC BD⊥ . 
Bài 9. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng: 
AD BE CF AE BF CD AF BD CE+ + = + + = + +
        
. 
Bài 10. Cho hai vectơ ,a b
 
. Chứng minh rằng a b a b− ≥ −
   
. Đẳng thức xảy ra khi nào? 
Bài 11. Tam giác ABC là tam giác gì nếu thỏa mãn: 
a) AB AC AB AC+ = −
   
b) AB AC+
 
 vuông góc với AB CA+
 
. 
4.2 Chứng minh các đẳng thức vectơ 
Bài 1. Hai tam giác ABC và A’B’C có trọng tâm lần lượt là G và G’. Chứng minh rằng 
3AA BB CC GG′ ′ ′ ′+ + =
   
, từ đó suy ra điều kiện để hài tam giác có cùng trọng tâm. 
Bài 2. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, 
EF và FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. 
Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng AB, BC, CA ta lấy các điểm tương ứng C’, A’, B’ 
sao cho . , ,AC k C B BA k A C CB k B A′ ′ ′ ′ ′ ′= = =
     
. Chứng minh rằng trọng tâm của hai tam giác ABC 
và A’B’C’ trùng nhau. 
Bài 4*. Cho tam giác ABC đều tâm O. M là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là 
hình chiếu của M trên BC, AC và AB. Chứng minh rằng: 3
2
MD ME MF MO+ + =
   
. 
Bài 5*. Cho tam giác ABC đều. M là một điểm bất kì nằm trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là 
điểm đối xứng của M qua các cạnh BC, AC và AB. Chứng minh rằng hai tamg giác ABC và DEF có 
cùng trọng tâm. 
Bài 6. Cho tam giác ABC. Gọi K là điểm đối xứng của B qua trọng tâm G. Chứng minh 
( )2 1 1,3 3 3AK AC AB CK AB AC= − = − +
     
Bài 7. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC 
= 2NA. Gọi K là trung điểm của MN. 
a) Chứng minh rằng 1 1
4 6
AK AB AC= +
  
b) Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh 1 1
4 3
KD AB AC= +
  
Bài 8. Cho tam giác ABC. M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2 MC. Chứng minh rằng 
1 2
3 3
AM AB AC= +
  
. 
4.3 Các áp dụng đơn giản của tâm tỉ cự 
Bài 1. Cho tam giác ABC. Tìm điểm M thỏa mãn: 
a) 2 3 0MA MB MC+ + =
   
www.VNMATH.com
b) 2 4 2MA MB MC AC− + =
   
c) 2 5MA MB MC AC− − + =
   
 Bài 2. Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức 0MA MB MC MD+ + + =
    
. 
Bài 3. Cho 3 điểm ABC. Chứng minh rằng các hệ thức sau không phụ thuộc vào vị trí của điểm 
M. 
a) 2 3MA MB MC+ −
  
. 
b) 2 3 5MA MB MC+ −
  
Bài 4. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn: 
a) MA MB MB MC+ = +
   
b) MA MB MA MC− = +
   
Bài 5. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa MA MB MC AB+ + =
   
. 
Bài 6. Cho hai điểm A, B và đường thẳng d. Với mổi điểm N trên đường thẳng ta dựng điểm M 
theo công thức 2 3NM NA NB= +
  
. Điểm M di chuyển trên đường nào khi N di động trên d. 
Bài 7. Cho tam giác ABC. Với mỗi điểm M bất kì ta dựng điểm P theo công thức: 
MP MA MB MC= + +
   
. Tìm tập hợp điểm P khi M thay đổi trên: 
a) Đường thẳng d 
b) Đường tròn (O; R). 
Bài 8. Cho hai điểm A, B và đường thẳng d. Tìm đi ểm M thuộc d sao cho 2MA MB+
 
 đạt giá trị 
nhỏ nhất. 
Bài 9. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Điểm M thay đổi trên d. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức: 
a) MA MB MC+ +
  
b) 2.MA MB MC− +
  
. 
Bài 10. Cho hai điểm A, B và đường tròn (O). Tìm đi ểm M trên (O) sao cho biểu thức 
2MA MB+
 
 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 
Bài 11. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Điểm M thay đổi trên d. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức 2MA MB MC+ +
  
4.4 Biểu diễn một vectơ theo hai vectơ khác và ứng dụng 
Bài 1. Cho 2 vectơ ,a b

 không cùng phương, với mọi vectơ c bất kỳ tồn tại ,x y∈ sao cho: 
c xa yb= +

 
. Hơn nữa cặp số ( ),x y là duy nhất. 
Bài 2. Cho ABC∆ , M là trung điểm BC . 
a) Tính AM

 theo , AB AC
 
. 
b) Lấy N thỏa ( )1NB k NC k= ≠
 
, tính AN

 theo , AB AC
 
. 
www.VNMATH.com
Bài 3. Cho ABC∆ , trọng tâm G , gọi D là điểm đối xứng của A qua B và E là điểm trên cạnh 
AC sao cho 2
5
AE AC= 
a) Tính , DE DG
 
 theo , AB AC
 
. 
b) Chứng minh , ,D G E thẳng hàng. 
c) Gọi K thỏa 3 2KA KB KC KD+ + =
   
. Chứng minh ,KG CD song song. 
Bài 4. Cho ABC∆ , ,I J thỏa 10; 
2
IA IB JC JB+ = =
   

. Tìm F AC∈ sao cho , ,I F J thẳng hàng. 
Bài 5. Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm định bởi 3
4
AD AC=
 
, I là trung điểm của DB. M là điểm 
thỏa: ( )BM xBC x= ∈
 
 . 
a) Tính AI

 theo ,AB AC
 
. 
b) Tính AM

 theo x và ,AB AC
 
. 
c) Tìm x sao cho A, I, M thẳng hàng. 
Bài 6. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai cạnh xiên AD và BC. Gọi I, J 
lần lượt là trung điểm của AB và CD. 
a) Tính OI

 theo ,OA OB
 
. 
b) Đặt ODk
OA
= . Tính OI

 theo k, ,OA OB
 
. Suy ra O, I, J thẳng hàng. 
Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. M, N là 2 đi ểm lần lượt trên đoạn AB và CD sao cho 
3 , 2AB AM CD CN= = . 
a) Tính AN

 theo ,AB AC
 
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác MNB, tính AG

 theo ,AB AC
 
c) AG cắt đường thẳng BC tại I. Tính BC
BI
. 
Bài 8. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, CA, AB ta lấy các điểm M, N, P sao cho 
1 2 3, ,MB k MC NC k NA PA k PB= = =
     
. ( )1 2 3, , 0, 1k k k ≠ ± 
a) Tính PM

 theo ,AB AC
 
. 
b) Tính PN

 theo ,AB AC
 
. 
c) Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi 1 2 3 1k k k = 
4.5 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng và 3 đường thẳng đồng quy 
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng trung 
điểm các đoạn thẳng AB, CD và MN thẳng hàng. 
Nếu điểm M, N thỏa AM/DM = BN/CN điều đó còn đúng không? Vì sao? 
Bài 2*: Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi M, N lần lượt trên các đoạn AC và AE sao cho AM/CM = 
EN/AN = k. Tìm k để B, M, N thẳng hàng. 
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi A1, B1, C1, D1 là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC. 
Chứng minh các đường thẳng AA1, BB1, CC1, DD1 đồng quy tại G và G là trọng tâm của tứ giác. 
www.VNMATH.com
Bài 4. Chứng minh rằng trong một tứ giác ngoại tiếp. Trung điểm hai đường chéo và tâm 
đường tròn nội tiếp cùng thuộc một đường thẳng (Đường thằng Newtơn) 
Bài 5. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng trung 
điểm BC, trung điểm AD và I thẳng hàng. 
4.6 Định lý Ceva, định lý Menelaus và ứng dụng. 
Bài 1. (Định lý Menelaus và Ceva). Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn 
thẳng AB, BC, CA theo các tỉ số lần lượt là là m, n, p (đều khác 1). Chứng minh rằng: 
a) M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi 1mnp = (Menelaus). 
b) AN, CM, BP đồng qui hoặc song song khi và chỉ khi 1mnp = − (Ceva). 
Sử dụng định lý Ceva và Menelaus giải các bài toán sau: 
Bài 1. Cho tam giác ABC và các điểm A1, B1, C1 lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. 
Gọi A2, B2, C2 lần lượt là các điểm đối xứng với A1, B1, C1 qua trung điểm của BC, CA, AB. Chứng 
minh rằng: 
a) Nếu 3 điểm A1, B1, C1 thẳng hàng thì A2, B2, C2 cũng thẳng hàng. 
b) Nếu 3 đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng qui hoặc song song thì 3 đư ờng thẳng AA2, BB2, CC2 
cũng đồng qui hoặc song song. 
Bài 2. Cho tam giác ABC, I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Một đường thẳng d thay đổi luôn 
qua I, lần lượt cắt hai đường thẳng CA và CB tại A’ và B’. Chứng minh rằng giao điểm M của AB’ 
và A’B nằm trên đường thẳng cố định. 
Bài 3. Cho điểm O nằm trong hình bình hành ABCD. Các đư ờng thẳng đi qua O và song song với 
các cạnh của hình bình hành lần lượt cắt AB, BC, CD, DA tại M, N, P, Q. Gọi E là giao điểm của 
BQ và DM, F là giao điểm của BP và DN. Tìm điều kiện của điểm O để E, F, O thẳng hàng. 
Hết. 
Chúc các em làm bài tốt. 
Bài kế tiếp: Trục tọa độ và hệ trục tọa độ. 
www.VNMATH.com