Chinh phục kiến thức Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

 CHINH PHỤC KIẾN THỨC 
HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
CẨM NANG CHO MÙA THI 
NGUYỄN HỮU BIỂN 
https://www.facebook.com/ng.huubien 
Email: ng.huubien@gmail.com 
(LỚP 11 & ÔN THI THPT QUỐC GIA) 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 1 
PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 
BÀI HỌC 1: HAI QUY TẮC ĐẾM 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Quy tắc cộng 
Giả sử một công việc có thể thực hiện theo phương án A HOẶC phương án B. 
Trong đó: Phương án A có m cách thực hiện. Phương án B có n cách thực hiện. 
Vậy số cách để thực hiện công việc là m + n (cách) 
VD1: Trong một cuộc thi, Ban tổ chức công bố danh sách các đề tài : 7 đề tài về thiên nhiên; 8 đề tài về lịch 
sử; 10 đề tài về con người; 6 đề tài về văn hóa. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đề tài ? 
(ĐS: có 7 + 8 + 10 + 6 = 31 cách chọn) 
VD2: An cần mua 1 áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Trong đó cỡ 39 có 5 màu khác nhau, cỡ 40 có 4 màu khác nhau. 
Hỏi An muốn mua 1 áo sơ mi thì có bao nhiêu cách chọn ? 
(ĐS: An có 9 cách chọn) 
VD3: Tại 1 trường học, có 41 học sinh chỉ giỏi văn; 22 học sinh chỉ giỏi toán. Nhà trường muốn cử một học 
sinh giỏi đi dự trại hè toàn quốc. Vậy nhà trường có bao nhiêu cách chọn ? 
(ĐS: Có 41 + 22 = 63 cách chọn) 
2. Quy tắc nhân 
Giả sử môt công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có n cách thực hiện và công đoạn 
B có m cách thực hiện. khi đó công việc có thể được thực hiện bởi (n . m) cách. 
VD1: Bạn An qua nhà Bình, rủ Bình qua nhà Cường đi chơi. Biết từ nhà An đến nhà Bình có 3 con đường đi 
khác nhau. Từ nhà Bình qua nhà Cường có 4 con đường đi khác nhau. Hỏi bạn An muốn tới nhà Cường có 
bao nhiêu cách chọn đường đi. 
(ĐS: Có 3.4 = 12 cách) 
VD2: Để làm nhãn cho một chiếc ghế, người ta quy ước nhãn gồm 2 phần: Phần thứ nhất là 1 chữ cái có 
trong 24 chữ cái, phần thứ 2 là một số nguyên dương nhỏ hơn 26. Hỏi có bao nhiêu ghế được dán nhãn khác 
nhau ? 
(ĐS: Có 24.25 = 600 ghế được dán nhãn khác nhau) 
I. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Phương pháp giải toán : 
+ Xác định xem công việc được thực hiện theo phương án hay công đoạn (phân biệt phương án và công 
đoạn). 
+ Tìm số cách thực hiện A và B. 
+ Áp dụng qui tắc cộng hay nhân. 
Bài 1: An đến văn phòng phẩm mua quà tặng bạn. Trong cửa hàng có 3 mặt hàng: Bút, vở, thước. Bút có 5 
loại, vở có 4 loại, thước có 3 loại. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn quà gồm 1 bút, 1 vở và 1 thước ? 
Hướng dẫn: 
+ Có 5 cách chọn bút, ứng với 1 cách chọn bút có 4 cách chọn vở. 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 2 
+ Ứng với mỗi cách chọn 1 bút, 1 vở có 3 cách chọn 1 thước. 
Vậy có: 5.4.3 = 60 cách chọn 
Bài 2: Từ các số tự nhiên, có thể lập được bao nhiêu tờ vé số mà mỗi vé số có 6 chữ số khác nhau ? 
Hướng dẫn: 
+ 6 số của tờ vé số có dạng: 1 2 3 4 5 6a a a a a a ; { }ia 0;1;2;...;10 ;i 1;6∈ = 
1a có 10 cách chọn (được chọn cả chữ số 0 đứng đầu) 
2a có 9 cách chọn (do không chọn lại chữ số đã chọn trước đó) 
3a có 8 cách chọn (do không chọn lại chữ số đã chọn trước đó) 
6a có 5 cách chọn 
Vậy tất cả có: 10.9.8.7.6.5 151.200= tờ vé số 
Bài 3: Trong một trường THPT, khối 11 có : 160 học sinh tham gia câu lạc bộ toán, 140 học sinh tham gia 
câu lạc bộ tin, 50 học sinh tham gia cả 2 câu lạc bộ. Hỏi khối 11 có bao nhiêu học sinh ? 
Hướng dẫn: 
Học sinh khối 12 là 160 140 50 250+ − = học sinh (Quy tắc cộng mở rộng) 
Bài 4: Một lớp có 40 học sinh, đăng ký chơi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá và cầu lông. Có 30 
học sinh đăng ký bóng đá, 25 học sinh đăng ký cầu lông. Hỏi có bao nhiêu học sinh đăng ký cả 2 môn thể 
thao ? 
Hướng dẫn: 
+ Goi x là số học sinh đăng ký cả 2 môn thể thao, ta có: 40 30 25 x x 15= + − ⇒ = 
Vậy có 15 học sinh đăng ký cả 2 môn thể thao 
Bài 5: Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa). Hỏi có bao 
nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm 1 mặt và một dây ? 
Hướng dẫn: Có 3.4 = 12 (cách) 
Bài 6: Một người vào cửa hàng ăn, người đó muốn chọn thực đơn gồm một món ăn trong 10 món, một loại 
hoa quả tráng miệng trong 5 loại hoa quả và một loại nước uống trong 4 loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu 
cách chọn thực đơn cho bữa ăn ? 
Hướng dẫn: 
+ Món ăn có: 10 cách chọn. 
+ Ứng với cách chọn 1 món ăn, 1 loại hoa quả được chọn từ 5 loại nên có 5 cách chọn. 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 3 
+ Ứng với mỗi cách chọn món ăn và 1 loại hoa quả thì một loại nước uống được chọn nên có 4 cách chọn. 
Vậy theo quy tắc nhân ta có: 10.5.4 = 200 cách chọn 
Bài 7: Trong một đội văn nghệ có 8 bạn nam và 6 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca nam 
nữ ? 
Hướng dẫn: 
+ Chọn nam: có 8 cách chọn 
+ Ứng với mỗi cách chọn nam, có 6 cách chọn nữa 
Vậy tất cả có 6.8 = 48 cách chọn một đôi song ca. 
Bài 8: Từ các chữ số 1; 5; 6; 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : 
a) Có 4 chữ số ? 
b) Có 4 chữ số khác nhau ? 
Hướng dẫn: 
a) Số cần tìm có dạng: 1 2 3 4a a a a ; { }ia 1;5;6;7∈ 
+ 1a có 4 cách chọn 
+ 2a có 4 cách chọn (Do các chữ số có thể giống 
nhau và lặp lại) 
+ 3a có 4 cách chọn 
+ 4a có 4 cách chọn 
Vậy có 4.4.4.4 = 256 số có 4 chữ số 
b) Số cần tìm có dạng: 1 2 3 4a a a a ; { }ia 1;5;6;7∈ 
+ 1a có 4 cách chọn 
+ 2a có 3 cách chọn (Do chữ số chọn rồi thì không 
chọn lại) 
+ 3a có 2 cách chọn 
+ 4a có 1 cách chọn 
Vậy có 4.3.2.1 = 24 số có 4 chữ số khác nhau 
Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đo các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau ? 
Hướng dẫn: 
+ Gọi số cần tìm có dạng 1 2 3 4 5a a a a a ; ia 0;9= ; 1 5 2 4a a ;a a= = 
+ 1a có 9 cách chọn (do không chọn chữ số 0) 
+ 2a có 10 cách chọn 
+ 3a có 10 cách chọn 
+ 4 2a a= nên có 1 cách chọn 
+ 5 1a a= nên có 1 cách chọn 
Vậy tất cả có: 9.10.10.1.1 = 900 số thỏa mãn yêu cầu. 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 4 
Bài 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có tính chất: 
a) Là số chẵn và có 2 chữ số b) Là số chẵn có 2 chữ số khác nhau 
c) Là số lẻ có 2 chữ số d) Là số lẻ có 2 chữ số khác nhau 
Hướng dẫn: 
a) Số cần tìm có dạng 1 2 ia a ;a 0;9= 
+ 1a có 9 cách chọn (Do không chọn chữ số 0) 
+ { }2a 0;2;4;6;8∈ là số chẵn nên có 5 cách chọn. 
Vậy tất cả có 9.5 = 45 số chẵn có 2 chữ số 
c) Số cần tìm có dạng 1 2 ia a ;a 0;9= 
+ 1a có 9 cách chọn (Do không chọn chữ số 0) 
+ { }2a 1;3;5;7;9∈ là số chẵn nên có 5 cách chọn. 
Vậy tất cả có 9.5 = 45 số lẻ có 2 chữ số 
b) Ta tìm các số chẵn có 2 chữ số giống nhau 
{ }1 2 ia a ;a 2;4;6;8∈ 
+ 1a có 4 cách chọn 
+ 2 1a a= có 1 cách chọn 
Vậy có 4.1 = 4 chữ số chẵn có 2 chữ số giống nhau. 
+ Kết hợp phần a ⇒ có 45 - 4 = 41 số chẵn có 2 chữ 
số khác nhau 
d) Ta tìm các số lẻ có 2 chữ số giống nhau 
{ }1 2 ia a ;a 1;3;5;7;9∈ 
+ 1a có 5 cách chọn 
+ 2 1a a= có 1 cách chọn 
Vậy có 5.1 = 5 chữ số lẻ có 2 chữ số giống nhau. 
+ Kết hợp phần c ⇒ có 45 - 5 = 40 số lẻ có 2 chữ số 
khác nhau 
Bài 11: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ? 
Hướng dẫn: Số tự nhiên cần tìm tối đa có 2 chữ số 
* Bước 1: Tìm các số tự nhiên có 1 chữ số: Có 6 số 
* Bước 2: Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số 
Số cần tìm có dạng 1 2 ia a ;a 1;6= 
+ 1a có 6 cách chọn 
+ 2a có 6 cách chọn 
Vậy có 6.6 = 36 số tự nhiên có 2 chữ số 
Kết luận: Có 6 + 36 = 42 số tự nhiên lập được từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 và nhỏ hơn 100 
Bài 12: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm không quá 3 chữ số khác nhau ? 
Hướng dẫn: 
* Bước 1: Tìm các số nguyên dương có 1 chữ số: Có 9 số 
* Bước 2: Tìm các số nguyên dương có 2 chữ số khác nhau 
Số cần tìm có dạng 1 2 ia a ;a 0;9= 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 5 
+ 1a có 9 cách chọn (do không chọn chữ số 0) 
+ 2a có 10 - 1 = 9 cách chọn 
Vậy có 9.9 = 81 số nguyên dương có 2 chữ số khác nhau 
* Bước 3: Tìm các số nguyên dương có 3 chữ số khác nhau 
Số cần tìm có dạng 1 2 3 ia a a ;a 0;9= 
+ 1a có 9 cách chọn (do không chọn chữ số 0) 
+ 2a có 10 - 1 = 9 cách chọn 
+ 3a có 8 cách chọn 
Vậy có 9.9.8 = 648 số nguyên dương có 3 chữ số khác nhau 
Kết luận: Vậy có 9 + 81 + 648 = 738 số nguyên dương gồm không quá 3 chữ số khác nhau 
Bài 13: Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm chọn 3 học sinh để đi trực thư viên. 
Có bao nhiêu cách chọn nếu : 
a) Chọn 3 học sinh, trong đó có đúng 1 học sinh nữ được chọn. 
b) Trong 3 học sinh được chọn ít nhất có 1 học sinh nữ được chọn. 
Hướng dẫn: 
a) 
+ Để chọn 1 học sinh nữ trong 4 học sinh nữ có: 4 cách 
+ Để chọn 1 học sinh tiếp theo có: 6 cách (chỉ được chọn trong số học sinh nam) 
+ Để chọn 1 học sinh cuối cùng có: 5 cách 
Vậy có 4.6.5 = 120 cách chọn 3 học sinh trong đó có đúng 1 học sinh nữ 
b) 
* Trường hợp 1: Trong 3 học sinh được chọn, có đúng 1 học sinh nữ : Có 120 cách (theo a) 
* Trường hợp 2: Trong 3 học sinh được chọn có đúng 2 học sinh nữ: 
+ Chọn nữ thứ nhất: có 4 cách 
+ Chọn nữ thứ hai: có 3 cách 
+ Chọn 1 nam: có 6 cách 
Vậy có: 4.3.6 = 72 cách 
* Trường hợp 3: Cả 3 học sinh chọn đều là nữ: có 4.3.2 = 24 cách chọn 
Kết luận: Tất cả có 120 + 72 + 24 = 216 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 6 
Bài 14: Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách bước lên tàu. Hỏi : 
a) Có bao nhiêu trường hợp về cách chọn toa của 4 hành khách ? 
b) Có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có 1 người lên ? 
c) Có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có 3 người lên, một toa có 1 người lên và hai toa còn lại không có ai 
lên ? 
Hướng dẫn: 
a) 
+ Người thứ nhất: có 4 cách chọn 
+ Người thứ hai: có 4 cách chọn 
+ Người thứ ba: có 4 cách chọn 
+ Người thứ tư: có 4 cách chọn 
Vậy tất cả có 4.4.4.4 = 256 cách chọn 
b) 
+ Người thứ nhất: có 4 cách chọn 
+ Người thứ hai: có 3 cách chọn 
+ Người thứ ba: có 2 cách chọn 
+ Người thứ tư: có 1 cách chọn 
Vậy tất cả có 4.3.2.1 = 14 cách chọn 
c) 
+ Chia 4 người thành 2 nhóm: Nhóm I: có 3 người, 
nhóm II: có 1 người (Ta chia bằng cách chọn ra 1 
người và 3 người còn lại cho vào 1 nhóm). Vậy có 4 
cách chia nhóm. 
+ Với mỗi cách chia nhóm xếp 2 nhóm vào 4 
khoang: 
- Nhóm I: Có 4 cách xếp 
- Nhóm II: Có 3 cách xếp 
+ Như vậy có 4.3 = 12 cách xếp cho mỗi cách chia 
nhóm, mà có 4 cách chia nhóm. 
Kết luận: Vậy tất cả có 12.4 = 48 cách 
c) 
Cách khác: 
+ Hành khách 1 lên toa 1 có 4 cách chọn 
+ Sau đó 3 hành khách còn lại lên chung 1 toa có 3 
cách chọn 
Vậy ta có 4.3 = 12 cách. 
+ Vì vai trò các hành khách như nhau nên trong 
trường hợp này có tất cả 12.4 = 48 cách. 
Bài 15: Biển đăng ký xe ô tô có 6 chữ số và 2 chữ cái đầu tiên trong 26 chữ cái (Không dùng chữ I và O). 
Hỏi số ô tô đăng ký nhiều nhất là bao nhiêu ? 
Hướng dẫn: 
+ 2 chữ cái đầu tiên trong 24 chữ cái nên có : 2 ...  lại vào 7 vị trí có 27C cách, 5 vị trí 
còn lại có 5! cách sắp xếp. 
+ TH2: Nếu chữ số thứ nhất khác 1 có 4 cách chọn (do chọn từ {2, 3, 4, 5}). Xếp 3 chữ số 1 vào 7 vị trí có 
3
7C cách, xếp 4 chữ số còn lại có 4! cách 
Đáp số: Vậy có 1. 27C .5! + 4. 37C .4! = 5880 cách 
Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 
lần, các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần ? 
HƯỚNG DẪN 
+ Gọi số cần tìm là 1 2 3 4 5 6 7a a a a a a a 
+ Chọn vị trí cho chữ số 2 xuất hiện 2 lần trong 7 vị trí có 27C cách 
+ Chọn vị trí cho chữ số 3 xuất hiện 3 lần trong 5 vị trí còn lại có 35C cách 
+ Còn 2 vị trí cuối cùng xếp 2 chữ số cuối cùng có 8.7 cách (2 chữ số này khác các chữ số đã chọn và khác 
nhau) 
Vậy có 27C .
3
5C .8.7 = 11760 số 
+ Ta thấy rằng trong 11760 số vừa tìm ở trên mới chỉ “gần thỏa mãn” yêu cầu bài toán vì trong đó có chứa cả 
số tự nhiên có 7 chữ số mà chữ số 0 đứng đầu (tức là số có 6 chữ số), vậy ta cần loại chúng đi bằng cách xét : 
1a 0= ⇒ Chọn vị trí cho chữ số 2 xuất hiện 2 lần trong 6 vị trí có 
2
6C cách, chọn vị trí cho chữ số 3 xuất hiện 
3 lần trong 4 vị trí có 34C cách. 7 vị trí cuối cùng xếp 7 chữ số còn lại có 7 cách (1; 4; 5; 6; 7; 8; 9). Vậy có 
2
6C .
3
4C .7 = 420 số 
Đáp số: có 11760 - 420 = 11.340 số thỏa mãn yêu cầu 
CÁCH KHÁC 
* TH1 : Số đó có chữ số 0 
+ Đặt chữ số 0, có 6 cách đặt 
+ Đặt 2 chữ số 2 vào 6 ô, có 26C cách đặt 
+ Đặt 3 chữ số 3 vào 4 ô, có 34C cách đặt 
+ Đặt 1 chữ số trong số 7 chữ số vào ô còn lại có 17C cách đặt 
Do đó TH1 số các số thỏa mãn là 6. 26C .
3
4C .
1
7C = 2520 số 
* TH2: Số đó không có chữ số 0 
+ Đặt 2 chữ số 2 vào 7 ô, có 27C cách đặt 
+ Đặt 3 chữ số 3 vào 5 ô, có 35C cách đặt 
+ Đặt 2 chữ số trong số 7 chữ số vào 2 ô còn lại có 27A cách đặt 
Do đó TH2 số các số thỏa mãn là 27C .
3
5C .
2
7A = 8820 số 
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2520 + 8820=11340 số 
Bài 9: Từ các chữ số 0, 1, 2, , 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong các 
chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1 ? 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 54 
HƯỚNG DẪN 
+ Chọn 1 vị trí để xếp số 0 có 5 cách. 
+ Chọn tiếp 1 vị trí để xếp số 1 vào có 5 cách. 
+ Còn 4 vị trí, còn 8 số. Lấy ra 4 số từ 8 số để xếp vào 4 vị trí còn lại có 48A cách. 
Vậy có 5.5. 48A = 42.000 cách 
Bài 10: Biển số xe là 1 dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau : Các chữ cái được lấy từ 26 chữ 
cái A, B, C, , Z. Các chữ số được chọn từ 10 chữ số 0, 1, 2, , 9. Có bao nhiêu biển số xe có 2 chữ cái 
khác nhau, đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó giống nhau ? 
HƯỚNG DẪN 
+ Biển số xe có dạng { } { }1 2 1 2 3 4 i iA A a a a a ;A A,B,C, ..., Z ,a 0,1, 2,3, ...,9∈ ∈ 
+ Chọn 2 chữ cái khác nhau có 226A cách 
+ Chọn 2 số lẻ giống nhau co 5 cách (do chọn từ 1, 3, 5, 7, 9) 
+ Chọn 2 trong 4 vị trí để đặt 2 chữ số lẻ giống nhau có 24C cách 
+ Sắp xếp 2 số chẵn từ 5 số (0, 2, 4, 6, 8) vào 2 vị trí còn lại có 5.5 cách 
Vậy có 226A .5.
2
4C .5.5 = 487.500 biển số xe thỏa mãn yêu cầu 
Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẾM TRONG HÌNH HỌC 
Bài 1: Xét đa giác đều có n cạnh, biết số đường chéo gấp đôi số cạnh. Tính số cạnh của đa giác đều đó 
HƯỚNG DẪN 
+ Chon 2 trong n đỉnh của n - giác ta sẽ có 1 cạnh hoặc 1 đường chéo. 
⇒ tổng số cạnh và số đường chéo của n - giác là 2nC 
⇒ số đường chéo của n - giác là 2nC n− 
+ Theo đề bài ta có phương trình: 2nC n 2n n 7− = ⇔ = 
Vậy đa giác đều có 7 cạnh 
(Bài này có thể dùng công thức tính số đường chéo của n - giác đều là ( )n n 3
2
−
 (lớp 8), ta có phương trình 
( )n n 3 2n n 7
2
−
= ⇔ = ) 
Bài 2: Tính số hình chữ nhật tạo thành từ 4 trong 20 đỉnh của đa giác đều có 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm 
O. 
HƯỚNG DẪN 
+ Ta thấy hình chữ nhật nội tiếp đường tròn tâm O được tạo thành từ 2 đường chéo bất kỳ đi qua tâm O của 
đa giác đều 20 cạnh nói trên. 
+ Mà đa giác đều 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O có 10 đường chéo đi qua tâm. 
⇒ số hình chữ nhật cần tìm là 210C 45= 
Bài 3: (ĐHKB - 2002) Cho đa giác đều ( )1 2 2nA A ...A n 2;n Z≥ ∈ nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam 
giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm 1 2 2nA ;A ;...;A nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n 
điểm 1 2 2nA ;A ;...;A , tìm n. 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 55 
HƯỚNG DẪN 
+ Theo bài 6 ta có số các hình chữ nhật tạo thành từ đa giác đều 2n cạnh nội tiếp đường tròn (O) là 2nC 
+ Số tam giác tạo thành từ 3 trong 2n đỉnh của đa giác nói trên là 32nC 
+ Theo đề bài ta có phương trình 3 22n nC 20.C n 8= ⇔ = 
Bài 4: Xét tam giác có 3 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều H có 10 cạnh 
a) Có tất cả bao nhiêu tam giác ? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh của H ? 
b) Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là của H ? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào của H ? 
HƯỚNG DẪN 
a) 
+ Có 310C tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của H 
+ Tam giác có đúng 2 cạnh là 2 cạnh của H được tạo bởi 3 đỉnh liên tiếp của đa giác H ( 1 2 3 10A A A ...A ). Đó 
là các tam giác : 1 2 3 2 3 4 3 4 5 9 10 1 10 1 2A A A ; A A A ; A A A ;...; A A A ; A A A∆ ∆ ∆ ∆ ∆ nên có 10 tam giác 
b) 
+ Tam giác có đúng 1 cạnh của H được tạo ra bằng cách: chọn 1 cạnh bất kỳ của H (bỏ đi 4 đỉnh) nối với 1 
trong 6 đỉnh của H. Vậy ứng với 1 cạnh bất kỳ của H nối với 6 đỉnh như vậy sẽ có 6 tam giác thỏa mãn. Mà 
H có 10 cạnh nên có 6.10 = 60 tam giác thỏa mãn. 
+ Kết hợp phần a) ta có số tam giác không có cạnh nào của H là : ( )310C 10 60 50− + = tam giác 
Bài 5: Cho 15 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Xét tập hợp các đường thẳng 
đi qua 2 trong 15 điểm đã cho. Số giao điểm khác 15 điểm đã cho do các đường thẳng này tạo thành là bao 
nhiêu ? 
HƯỚNG DẪN 
+ Số đường thẳng tạo thành từ 2 trong 15 điểm là 215C 105= 
+ Để tìm số giao điểm khác 15 điểm đã cho do các đường thẳng này tạo thành ta sử dụng phương pháp phần 
bù : 
* Bước 1: Nếu coi 2 đường thẳng có 1 giao điểm thì ta có 2105C giao điểm 
* Bước 2: Vì số giao điểm khác 15 điểm đã cho nên ta thấy rằng: 
- Chọn 1 trong 15 điểm sẽ có 14 đường thẳng đi qua (vì không có 3 điểm nào thẳng hàng) 
⇒ Chọn 1 điểm bất kỳ trong 15 điểm thì điểm đó phải là giao của 214C cặp đường thẳng. 
⇒ 15 điểm đã cho sẽ có 21415.C cặp đường thẳng ⇒ có 
2
1415.C giao điểm đi qua 15 điểm đã cho. 
Đáp số: Vậy có 2 2105 14C 15.C 4095− = số giao điểm cần tìm 
Bài 6: Cho 2 họ đường thẳng cắt nhau: Họ ( )1L gồm 10 đường thẳng song song với nhau, họ ( )2L gồm 15 
đường thẳng song song với nhau. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành bởi ( )1L và ( )2L ? 
HƯỚNG DẪN 
+ Do các đường thẳng thuộc họ ( )1L song song, các đường thẳng thuộc họ ( )2L song song, mà 1 hình bình 
hành được tạo bởi 2 cặp đường thẳng song song cắt nhau. 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 56 
+ Vậy chọn 2 đường thẳng bất kỳ trong họ ( )1L và 2 đường thẳng bất kỳ trong họ ( )2L sẽ có 1 hình bình 
hành ⇒ có 2 210 15C .C 4725= hình bình hành (coi các đường thẳng họ ( )1L không song song các đường 
thẳng họ ( )2L ) 
Bài 7: Cho hình thập giác lồi. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác lồi, 
nhưng cạnh của tam giác không phải là cạnh của thập giác lồi ? 
HƯỚNG DẪN: sử dụng phương pháp phần bù 
* Bước 1: Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh bất kỳ của thập giác lồi là 310C 
* Bước 2: Ta tìm số tam giác có 3 đỉnh của thập giác lồi nhưng có ít nhất 1 cạnh là cạnh của thập giác lồi : 
+ TH1: Tam giác có 1 cạnh của thập giác : 
- Có 10 cách chọn 1 cạnh là cạnh của thập giác (chọn xong 2 đỉnh của tam giác) 
- Chọn đỉnh còn lại có 6 cách (trừ 2 đỉnh đã chọn và 2 đỉnh khác của thập giác kề với 2 đỉnh ấy) 
⇒ có 10.6 = 60 tam giác có 1 cạnh của thập giác 
+ TH2: Tam giác có 2 cạnh của thập giác : Có 10 tam giác (Xem Bài 4) 
Đáp số: Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu là 310C - (60 + 10) = 50 
(Bài 7 này bản chất giống Bài 4 phần b) 
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN CHIA TẬP HỢP 
Bài 1: Cho tập hợp A gồm 15 phần tử khác nhau. 
a) Có bao nhiêu cập hợp con của A ? 
b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà số phần tử là số chẵn ? 
HƯỚNG DẪN 
a) Số các tập hợp con của A có thể có 0, 1, 2, 3, , 15 phẩn tử ⇒ số các tập hợp con của A là 
0 1 2 3 15
15 15 15 15 15C C C C ... C+ + + + + 
Theo công thức đếm số tập hợp con thì kết quả trên bằng 152 
b) Số tập hợp con khác rỗng của A mà số phần tử là số chẵn là 2 4 6 8 1415 15 15 15 15C C C C ... C+ + + + + 
+ Ta tính tổng trên bằng cách như sau : (Biến đổi về tập con có phần tử chẵn) 
* Ta có : 
( )
( )
 0 1 2 3 14 1515 15 15 15 15 15
0 14 2 12 14 0
15 15 15 15 15 15
0 2 4 6 14
15 15 15 15 15
0 2 4 6 14
15 15 15 15 15
C C C C ... C C
C C C C ... C C
2 C C C C ... C
2.C 2. C C C ... C
+ + + + + +
= + + + + + +
= + + + + +
= + + + + +
Từ đó : 
( )
( )
( )
2 4 6 14 0 1 2 3 14 15 0
15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15
2 4 6 14 15 0
15 15 15 15 15
2 4 6 14 15
15 15 15 15
2 4 6 14 14
15 15 15 15
2. C C C ... C C C C C ... C C 2.C
2. C C C ... C 2 2.C
2. C C C ... C 2 2.1
C C C ... C 2 1
⇒ + + + + = + + + + + + −
⇒ + + + + = −
⇒ + + + + = −
⇒ + + + + = −
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 57 
Bài 2: Cho tập hợp A gồm 20 phần tử khác nhau. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà số phần tử 
là số chẵn ? 
HƯỚNG DẪN 
Số tập hợp con khác rỗng của A mà số phần tử là số chẵn là 2 4 6 8 2020 20 20 20 20C C C C ... C+ + + + + 
+ Ta tính tổng trên bằng cách như sau : (Bài này không tính theo cách Bài 1 được vì 20 - 1; 20 - 3; 20 - 5; 20 
- 7;  kết quả không ra số chẵn) 
* Ta có : 
( ) = (1)200 1 2 3 19 20 2020 20 20 20 20 20C C C C ... C C 2 1 1+ + + + + + = + 
* Mặt khác ta có : 
( ) = (2)200 1 2 3 19 20 2020 20 20 20 20 20C C C C ... C C 0 1 1− + − + − + = − 
* Lấy (1) cộng với (2) vế theo vế ta được : ( )0 2 4 6 8 20 2020 20 20 20 20 202 C C C C C ... C 2+ + + + + + = 
( )0 2 4 6 8 20 2020 20 20 20 20 20
20 0
2 4 6 8 20 1920
20 20 20 20 20
2.C 2 C C C C ... C 2
2 2.CC C C C ... C 2 1
2
⇒ + + + + + + =
−
⇒ + + + + + = = −
Bài 3 (KB - 2006): Cho tập A gồm n phần tử ( )n 4≥ . Biết số tập hợp con chứa 4 phần tử của A bằng 20 lần 
số tập hợp con chứa 2 phần tử của A. Tìm số { }k 1, 2,3, ...,n∈ sao cho số tập hợp con chứa k phần tử của A 
là lớn nhất . 
HƯỚNG DẪN 
+ Theo giả thiết ta có phương trình 4 2n nC 20.C ... n 18= ⇔ ⇔ = . Vậy A có 18 phần tử 
+ Số tập hợp con chứa k phần tử của A là k18C 
+ Để số tập hợp con chứa k phần tử của A là lớn nhất thì 
k k 1
18 18
k k 1
18 18
C C 17 19
... k k 9
2 2C C
−
+
 ≥
⇔ ⇔ ≤ ≤ ⇒ =
≥
NGUYỄN HỮU BIỂN 
Fb: https://www.facebook.com/ng.huubien 
Nhóm ôn thi ĐH môn toán: https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien