Chuyên đề Đại số tổ hợp

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN
Quy tắc cộng: 
 Có n1 cách chọn đối tượng A1.
 n2 cách chọn đối tượng A2.
 A1 Ç A2 = Æ
Þ Có n1 + n2 cách chọn một trong các đối tượng A1, A2.
Quy tắc nhân: 
Có n1 cách chọn đối tượng A1.
 Ứng với mỗi cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2.
 Þ Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2.
 3) Hoán vị: 
- Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử.
- Số hoán vị: Pn = n!.
 4) Chỉnh hợp: 
- Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k £ n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
- Số các chỉnh hợp: 
 5) Tổ hợp: 
- Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 £ k £ n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
- Số các tổ hợp: 
- Hai tính chất 
 6) Nhị thức Newton
- Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): 
- Đặc biệt: 
II / MỘT SỐ VÍ DỤ
Bài toán đếm.
 Đếm các số tự nhiênđược thành lập.
Ví dụ 1. 
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho
a) Các chứ số đều khác nhau.
b) Chữ số đầu tiên là 3.
c)Các chữ số khác nhau và không tận cùng bằng chữ số 4.
Giải
Mỗi số có 5 chữ số khác nhau được thành lập tương ứng với một chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử Þ Có = 2520 số
Gọi số cần thiết lập là 
Chữ số đàu tiên là 3 Þ a có 1 cách chọn
 b, c, d, e đều có 7 cách chọn
Þ Có 1.7.7.7.7 = 2401 số.
Gọi số cần thiết lập là 
Chữ số cuối cùng khác 4 Þ e có 6 cách chọn (trừ số 4)
 a có 6 cách chọn
 b có 5 cách chọn
 c có 4 cách chọn
 d có 3 cách chọn
Þ Có 6.6.5.4.3 = 2160 số.
Ví dụ 2.(ĐH An ninh 97) 
Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau
Giải
Gói số cần thiết lập là 
Xét hai trường hợp
+ Trường hợp 1: Chọn e = 0 Þ e có 1 cách chọn
Khi đó a có 6 cách chọn
 b có 5 cách chọn
 c có 4 cách chọn
 d có 3 cách chọn
Þ Có 6.5.4.3 = 360 số.
+ Trường hợp 2: Chọn e Î { 2, 4, 6 } Þ e có 3 cách chọn
Khi đó a có 5 cách chọn trừ số 0 và e
 b có 5 cách chọn
 c có 4 cách chọn
 d có 3 cách chọn
Þ Có 3.5.5.4.3 = 900 số
Vậy có 360 + 900 = 1260 số
Ví dụ 3. 
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số sao cho số tạo thành gồm các chữ số khác nhau và nhất thiết có chữ số 5.
Giải
Cách 1: 
Thành lập số có 3 chữ số khác nhau và không có mặt chữ số 5 Þ Có = 120 số
Với mỗi số vừa thành lập có 4 vị trí để xen số 5 tạo thành số có 4 chữ số khác nhau và có mặt chữ số 5.
Þ Có 120.4 = 480 số.
Cách 2:
- Số cần tìm có 1 trong bốn dạng 
- Mỗi dạng có 120 số Þ có 480 số
Ví dụ 4: 
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2008 chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 3.
Giải
Xét các trường hợp
+ Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm 1 chữ số 3 và 2007 chữ số 0
Þ Chỉ có 1 số 3000000 (2007 chữ số 0)
+ Trường hợp 2: Số tạo thành gồm 1 chữ số 1, 1 chữ số 2 và 2006 chữ số 0
Chọn chữ số đầu tiên có 2 cách chọn số 1 hoặc 2
Chữ số còn lại có 2007 vị trí để đặt, còn các vị trí khác đặt số 0
Þ Có 2.2007 = 4014 số
+ Trường hợp 3: Số tạo thành gồm 3 chữ số 1 và 2005 chữ số 0
Chọn chữ số đầu tiên là 1
Chọn 2 trong 2007 vị trí để đặt chữ số 1 Þ có = 2007.1003 = 2013021
Vậy có 1 + 4014 + 2013021 = 2017036 số
Ví dụ 5(ĐHQG TPHCM 2001) 
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số ba có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
Giải
+ Coi một dãy gồm 7 chữ số tương ứng với một số gồm 7 chữ số (Kể cả bắt đầu bằng 0). Khi đó ta thành lập số bằng cách xếp các chữ số vào 7 vị trí
	Chọn 2 trong 7 vị trí để xếp chữ số 2: có cách
	Chọn 3 trong 5 vị trí còn lại để xếp chữ số 3: có cách 
	Chọn 2 trong 8 chữ số 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để đặt vào 2 vị trí còn lại có cách 
Þ Có .. = 11 760 cách.
+ Cần phải loại các trường hợp chữ số 0 đứng đầu. Lập luận tương tự cho 6 vị trí Þ có .. = 420 số
Vậy có 11 760 - 420 = 11 340 số.
 1.2 Đếm số phương án.
Ví dụ 6: (ĐH Thái nguyên 99) 
Một lớp học có 25 nam và 15 nữ. Cần chọn một nhóm gồm ba học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách:
a) Chọn 3 học sinh bất kì.
b) Chọn 3 học sinh gồm 2 nam và một nữ.
c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam.
Giải
Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập3 của 40 Þ Số cách chọn là: cách.
Chọn 1 nam có cách
Chọn 2 nữ có cách
Þ Có 25.105 = 2625 cách chọn
Chọn 3 học sinh bất kì có 9880 cách
Chọn 3 học sinh nữ có cách
Þ Có 9880 - 455 = 9425 cách chọn có ít nhất 1 nam.
Ví dụ 7: (ĐHSP Quy Nhơn 97) 
Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên a lấy 17 điểm phân biệt, trên b lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 trong số 37 điểm đã chọn ở trên.
Giải
Cách 1
Mỗi tam giác được hình thành bởi ba điểm không thẳng hàng
Số bộ ba điểm từ 37 điểm trên là: 
Số bộ ba điểm thẳng hàng trên a là: 
Số bộ ba điểm thẳng hàng trên b là: 
Vậy số tam giác tạo thành là: - - = 11 340 tam giác
Cách 2:
Mỗi tam giác được tạo thành bởi một điểm trên đường thẳng này và hai điểm trên đường thẳng kia. Xét 2 trường hợp
+ TH1: Tam giác tạo thành bởi 1 điểm trên a và 2 điểm trên b: có 
+ TH2: Tam giác tạo thành bởi 2 điểm trên a và 1 điểm trên b: có 
Þ Số tam giác là: + = 11 340
Ví dụ 8: (ĐH Cảnh sát nhân dân) 
Cho tam giác ABC. Xét bộ gồm 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA trong đó không có ba đường thẳng nào đồng quy. Hỏi các đường thẳng trên tạo được bao nhiêu tam giác và bao nhiêu tứ giác (không kể hình bình hành).
Giải
Mỗi tam giác được tạo thành bởi ba đường thẳng thuộc ba nhóm khác nhau Þ Số tam giác là 4.5.6 = 120
Mỗi hình thang không phải hình bình hành được tạo thành bởi hai đường thẳng thuộc nhóm này và một đường thẳng thuộc mỗi nhóm còn lại Þ Số hình thang là hình thang
 2. Giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số tổ hợp
Ví dụ 1: (CĐSP TPHCM99) 
 Tìm k thỏa mãn: 
Giải
ĐK 
Phương trình tương đương với 
Û 
Û (k + 2)(k + 1) + (14 - k)(13 - k) = (k + 2)(14 - k)
Û k2 - 12k + 32 = 0
Û k = 4, k = 8 (Thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm: k = 4, k = 8
Ví dụ 2: (ĐH Hàng hải 99) 
 Giải bất phương trình: 
Giải
ĐK: 4£ n+1 Û n ³ 3, n nguyên dương
 Û Û
 ÛÛÛ -7 < n < 6
Kết hợp với Đk n³ 3 được tập nghiệm của bất phương trình là: {3, 4, 5}.
Ví dụ 3: (ĐHBK HN2001) 
 Giải hệ phương trình: 
Giải
ĐK: x, y Î N*, y £ x
Đạt Þ u, v ÎN* ta có hệ Û 
Thay vào ta có Û Û Û 
Û Û 
Kết hợp điều kiện Þ Hệ phương trình có nghiệm 
Xác định một số hạng của khai triển Newuton.
Ví dụ 1: (ĐH Kinh tế quốc dân, 1997)
 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của 
Giải
 Số hạng tổng quát .
Số hạng không chứa x tương ứng với 12 - 2k = 0 Û k = 6.
Đáp số:số hạng không chứa x phải tìm là: 
Ví dụ 2:(ĐH và CĐ, khối A, 2003). 
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của , 
biết rằng 
Giải
Ta có 
Û Û 
Û 3n = 36 Û n = 12
Số hạng tổng quát .
Số hạng chứa x8 tương ứng với Û 11k = 88 Û k = 8.
Đáp số:Hệ số của số hạng chứa x8 phải tìm là: 
Ví dụ 3: 
Khai triển đa thức:
 P(x) = thành dạng : 
 Tìm max
Giải
Số hạng tổng quát .
Xét hai hệ số liên tiếp và . Giả sử ak < ak + 1 Û Û Û 
Vậy a0 < a1 <  < a8.
Tương tự như trên Þ a8 > a9 >  > a12.
Vậy hệ số lớn nhất là: 
Tính tổng hoặc chứng minh đẳng thức.
 Ví dụ 1 : Chứng minh rằng " n, k Î N* và n ≥ k ≥ 1 thì: 
Giải
 	Thật vậy " n, k Î N* và n ≥ k ≥ 1 ta có: 
= = (đpcm)
Lưu ý :(Đây là một kết quả có nhiều ứng dụng trong các bài tập chứng minh đẳng thức tổ hợp khi chưa có công cụ đạo hàm và tích phân)
Ví dụ 2 : (ĐH Quốc gia Hà Nội, khối D, 1997)
 Tính tổng 
Giải
 Do nên (1)
Áp dụng khai triển Niu tơn với x = 1, n = 11 được 
 (2)
 Từ (1), (2) suy ra 
Đáp số : 
 Ví dụ 3 : (ĐH Bách Khoa Hà Nội, 1999)
 Cho n là số tự nhiên lớn hơn 2, tính tổng :
Giải
Cách 1: (Sử dụng kết quả ví dụ 1)
Áp dụng kết quả ví dụ 1 ta có:
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được 
Cách 2: (Sử dụng đạo hàm)
Xét khai triển
Þ 
Chọn x = - 1 Þ 
Vậy : S = 0
 Ví dụ 4: (ĐHDL Duy Tân, khối A, 2001)
 Tính tổng sau : 
Giải
Cách 1( Sử dụng kết quả ví dụ 1)
Âp dụng kết quả ví dụ 1 ta có: 
 Û Û 
Thay k = 0, 1, 2  , n ta có 
Vậy 
Cách 2:(Sử dụng tích phân)
Xét khai triển
Ta có: 
Vậy Vậy 
 Ví dụ 5: Chứng minh đẳng thức sau:
Giải
Xét khai triển
Û 
Vậy (đpcm)
BÀI TÂP T Ự LUYỆN :
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người khách gồm 3 nam và 2 nữ ngồi vào một hàng 8 ghế nếu:
họ ngồi chỗ nào cũng được?
họ ngồi kề nhau?
3 nam ngồi kề nhau, 2 nữ ngồi kề nhau và giữa hai nhóm này có ít nhất một ghế trống?
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách
 a) vào 5 ghế xếp thành một dãy.
 b) vào 5 ghế chung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này.
Mười người muốn chụp ảnh chung. Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau bằng cách đổi chỗ đứng lẫn nhau. Cho rằng mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất 1 phút, hỏi cần bao lâu để có thể chụp tất cả các ảnh khác nhau?
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng ba chữ số này bằng 8?
Một dãy 5 ghế dành cho 3 nam sinh và 2 nữ sinh. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
 a) họ ngồi chỗ nào cũng được.
 b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau.
 c) chỉ có nữ sinh ngồi kề nhau.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau biết rằng tổng ba chữ số này bằng 12?
Một phòng khách có 3 chỗ có thể đặt tranh, ảnh hoặc tượng. Chủ nhà muốn trang trí bằng cách xếp đặt 4 bức tranh khác nhau vào một chỗ, 3 tấm ảnh khác nhau vào chỗ thứ hai và 2 pho tượng khác nhau vào chỗ còn lại. Hỏi có bao nhiêu cách trang trí phòng khách?
Ta muốn mời 6 người ngồi vào một dãy 6 ghế . Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
 a) Có 3 người trong bọn họ muốn ngồi kề nhau?
 b) Có 2 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau?
 c) Có 3 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau đôi một?
Một bàn dài có 12 ghế, mỗi bên 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 người khách gồm 6 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
họ ngồi chỗ nào cũng được ? 
nam ngồi một bên, nữ ngồi một bên ?
nam nữ ngồi đối diện nhau ?
nam nữ ngồi xen kẽ và đối diện nhau ?
Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được lấy từ các số đã cho, sao cho:
 a) Số đó chẵn
 b) Số đó chia hết cho 5
 c) Luôn có mặt chữ số 1 và 3
Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số đã cho sao cho các số lẻ luôn đứng liền nhau.
Cho các số : 0,1,2,3,4,5,6
 a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 3 lần, các số khác có mặt đúng 1 lần.
 b) Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 1 lần, các số khác có mặt một vài lần.
Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Có thể lập được bao nhiêu số từ 4 số khác nhau được lấy từ các số đã cho. Sao cho:
 a) Luôn có mặt chữ số 5.
 b) Số đó chia hết cho 3.
 c) Không bắt đầu từ chữ số 3.
Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số được lấy từ các số đã cho sao ...  nhau
Bµi 29: CÇn ph¶i chia líp häc cã 40 häc sinh thµnh 4 tæ 1, 2, 3, 4, mçi tæ 10 ng­êi. Hái cã bao nhiªu c¸ch chia
Bµi 30 (§HQGTPHCM D - 1999): Mét häc sinh cã 12 cuèn s¸ch ®«i mét kh¸c nhau. Trong ®ã cã 2 cuèn s¸ch m«n to¸n, 4 cuèn m«n v¨n, 6 cuèn m«n anh v¨n. Hái cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp tÊt c¶ c¸c cuèn s¸ch ®ã lªn kÖ dµi, nÕu mäi cuèn s¸ch ®­îc xÕp kÒ nhau, nh÷ng cuèn s¸ch cïng m«n ®­îc xÕp c¹nh nhau
Bµi 31 (§HQGTPHCM A - 1998): Mét bµn dµi cã 2 d·y ghÕ ®èi diÖn nhau, mçi d·y gåm 6 ghÕ. Ng­êi ta muèn xÕp chç ngåi cho 6 häc sinh tr­êng A vµ 6 häc sinh tr­êng B vµo bµn nãi trªn. Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp trong mçi tr­êng hîp sau
a) BÊt cø 2 häc sinh nµo ngåi gÇn nhau hoÆc ®èi diÖn nhau th× kh¸c tr­êng víi nhau
b) BÊt cø 2 häc sinh nµo ngåi ®èi diÖn nhau th× kh¸c tr­êng víi nhau
Bµi 32: Mét cÆp vî chång mêi 2n ng­êi b¹n dù tiÖc. Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp ®Æt chç ngåi trªn bµn trßn sao cho vî lu«n ngåi chç ®èi diÖn víi vî
Bµi 33 (§H HuÕ - Khèi A - 1999): Mét hép ®ùng 4 bi ®á, 5 bi tr¾ng, 6 bi vµng. Ng­êi ta chän tõ hép ®ã 4 viªn bi. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän ®Ó trong sè bi lÊy ra kh«ng cã ®ñ 3 mµu
Bµi 34 (HVKTQS - 2001): Trong sè 16 häc sinh cã 3 häc sinh giái, 5 kh¸, 8 trung b×nh. Cã bao nhiªu c¸ch chia sè häc sinh ®ã thµnh 2 tæ, mçi tæ cã 8 häc sinh sao cho ë mçi tæ cã häc sinh giái vµ mçi tæ cã Ýt nhÊt 2 häc sinh kh¸
Bµi 35 (§H N«ng nghiÖp - Khèi A - 2001): Cã 6 häc sinh nam vµ 3 häc sinh n÷ xÕp thµnh 1 hµng däc. Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp ®Ó cã ®óng 2 häc sinh nam ®øng xen kÏ 3 häc sinh n÷
Bµi 36 (§HSPTPHCM - 2001): Cho A lµ mét tËp hîp cã 20 phÇn tö
a) Cã bao nhiªu tËp con cña A
b) Cã bao nhiªu tËp con kh¸c rçng cña A cã sè phÇn tö lµ mét sè ch½n
Bµi 37: 
1) T×m sè giao ®iÓm tèi ®a cña 
a) 10 ®­êng th¼ng ph©n biÖt
b) 6 ®­êng trßn ph©n biÖt
2) Tõ kÕt qu¶ cña c©u 1 h·y suy ra sè giao ®iÓm tèi ®a cña tËp c¸c ®­êng nãi trªn
Bµi 38: Cho ®a gi¸c låi n c¹nh. X¸c ®Þnh n ®Ó ®a gi¸c cã sè ®­êng chÐo gÊp ®«i sè c¹nh
Bài 39: Cho đa giác đều 30 cạnh, tính số các tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đồng thời các tam giác đó không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều
Bµi 40: Cho ®a gi¸c ®Òu 2n c¹nh. BiÕt r»ng sè tam gi¸c mµ 3 ®Ønh cña nã lµ c¸c ®Ønh cña ®a gi¸c ®Òu gÊp 20 lÇn sè h×nh ch÷ nhËt mµ 4 ®Ønh cña nã còng lµ ®Ønh cña ®a gi¸c ®Òu. T×m sè c¹nh cña ®a gi¸c ®Òu ®ã
Bài 41: Một tổ có 12 học sinh trong đó có 5 nam và hai nữ, trong số đó có 1 học sinh nam tên là An, một bạn nữ tên là Bình, cần thành lập một đội gồm 5 người
a) Hỏi có bao nhiêu cách thành lập
b) Hỏi có bao nhiêu cách thành lập sao cho có 2 nam 3 nữ
c) Hỏi có bao nhiêu cách thành lập sao cho có ít nhất 1 nam
d) Hỏi có bao nhiêu cách thành lập sao cho An và Bình không đồng thời có mặt
B. C¸c bµi to¸n vÒ §T, B§T, PT, BPT liªn quan ®Õn Ho¸n vÞ – ChØnh hîp – Tæ hîp
I. Rót gän biÓu thøc
I.1. Bµi tËp
Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau:
a) 
b) 
c) 
Bµi 2: Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
I.2. Bµi tËp cñng cè
Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau:
a) 	 
b) 
c) 
d) 
Bµi 2: Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a) 	 
b) 	 
c) 
d) 
II. Chøng minh ®¼ng thøc, bÊt ®¼ng thøc
I.1. Bµi tËp
Bµi 1: Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau:
a) 	
b) 
Bµi 2: Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
a) 
b) 
c) 
d) 	
e) 
f) 
I.2. Bµi tËp cñng cè
Bµi 1: Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
a) 	
b) 	
c) 	
d) 
Bµi 2 (§HQG - D - 1999): Chøng minh r»ng víi k, n , lu«n cã: 
Bµi 3: Chøng minh r»ng víi k, n ta cã: 
Bµi 4: Chøng minh r»ng: 
Bµi 5: Cho n, m, k lµ c¸c sè nguyªn kh«ng ©m víi . CMR: 
Bµi 6: Cho . Chøng minh r»ng:
III. Ph­¬ng tr×nh – bÊt ph­¬ng tr×nh – hÖ ph­¬ng tr×nh 
Iii.1. bµi tËp 
Bµi 1: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
Bµi 2: Gi¶i c¸c bÊt ph­¬ng tr×nh sau:
	1) 
	2) 
	3) 
	4) 
	5) 
	6) 
	7) 
Bµi 3: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau:
	1) 
	2) 
	3) 
Bµi 4: T×m x, y sao cho 
Bµi 5: Gi¶i hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh 
Iii.2. bµi tËp cñng cè 
Bµi 1: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
1) 	
2) 
3) 	
4) 	
5) 	
6) 
7) 	
8) 	 
9) 	
10) 
11) 	
12) 
Bµi 2: Gi¶i c¸c bÊt ph­¬ng tr×nh sau:
1) 	
2) 	
3) 	
4) 	
5) 
6) 	
7) 
8) 	
9) 	
10) 
Bµi 3: T×m n nguyªn d­¬ng biÕt 
Bµi 4: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau:
1) 
2) 
3) 
Bµi 5: T×m x vµ y sao cho 
C. c«ng thøc khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n
I. Gi¸ trÞ cña hÖ sè trong khai triÓn Niut¬n
i.1. ph­¬ng ph¸p
i.2. bµi tËp
Bài 1: Khai triển 
Bài 2: Khai triển 
Bµi 3: T×m sè h¹ng thø 5 trong khai triÓn cña
Bµi 4: T×m hÖ sè cña x6 trong khai triÓn cña 
Bµi 5: T×m hÖ sè cña trong khai triÓn cña 
Bµi 6: T×m hÖ sè cña x15 trong khai triÓn cña 
Bµi 7: T×m hÖ sè cña x11 trong khai triÓn cña 
Bµi 8: Tìm hệ số không phụ thuộc vào x trong khai triển của 
Bài 9: Tìm hệ số không phụ thuộc vào x trong khai triển của 
Bài 10: Tìm hệ số của x8 trong khai triển của 
i.3. bµi tËp cñng cè
Bµi 1: T×m sè h¹ng thø 6 cña khai triÓn: 
Bµi 2: T×m sè h¹ng thø 10 trong khai triÓn: 
Bµi 3: T×m sè h¹ng thø 7 trong khai triÓn: 
Bµi 4: T×m hÖ sè cña trong khai triÓn cña 
Bµi 5: T×m hÖ sè x7 trong khai triÓn cña 
Bµi 7: T×m hÖ sè cña trong khai triÓn 
Bµi 8: Trong khai triÓn nhÞ thøc víi , h·y t×m sè h¹ng kh«ng phô thuéc x
Bµi 9: T×m hÖ sè cña x3 trong khai triÓn víi 
Bµi 10: T×m hÖ sè kh«ng phô thuéc x trong khai triÓn 
Bµi 11: T×m hÖ sè kh«ng phô thuéc vµo x trong khai triÓn 
Bµi 12: T×m hÖ sè tù do trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n 
Bµi 13: T×m hÖ sè cña x4 trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n 
Bµi 9: Cho 
a) TÝnh 
b) TÝnh 
c) TÝnh a17.
Bµi 10: TÝnh hÖ sè cña x6 trong khai triÓn cña 
C. NhÞ thøc Niut¬n
Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau
1) 	
2) 
3) 	
4) 
5) 	
6) 
7) 	
8) 
9) 	
10) 
11) 	
12) 
13) 
14) 
§¸p sè: 1) 	2) 	3) 	4) 	5) 	 6) 	7) 
8) 	 9) 	10) 	11) 	12) 	13) 0	14) 	 
Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau:
1, 	
2, 
3, 	
4, 
C¸c quy t¾c tÝnh ®¹o hµm
KiÕn thøc c¬ b¶n
§¹o hµm cña mét sè hµm sè th­êng gÆp. (Ký hiÖu U=U(x))
=0
(C lµ h»ng sè)
=1
=n.xn-1
(nN, n2)
=n.Un-1.
=-
(x0)
=-
=
(x>0)
=
C¸c quy t¾c tÝnh ®¹o hµm (Ký hiÖu U=U(x), V=V(x)).
	= 
 	= 
 = (k lµ h»ng sè)
 = 
 = -
§¹o hµm cña hµm sè hîp: g(x) = f[U(x)].
	x = . 
Kü n¨ng c¬ b¶n
VËn dông thµnh th¹o c¸c c«ng thøc, quy t¾c tÝnh ®¹o hµm cña tæng, hiÖu, tÝch, th­¬ng c¸c hµm sè.
TÝnh ®­îc ®¹o hµm hµm sè hîp.
Mét sè vÝ dô
A.VÝ dô tù luËn
	VD1. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè
	1/	y=2x5-3x4+x3-x2+1
	2/	y=x4-x3+x2+3x-2
	3/	y=2x2 (x-3)
	4/	y= víi m lµ tham sè kh¸c -1
	Gi¶i
	1/	Ta cã:
	= 10x4-12x3+3x2 –x
	2/	Ta cã:
	= 2x3- 4x2+x+3
	3/	Ta cã:
	y= 2x3- 6x2
	 = 6x2-12x
	4/ 	Ta cã:
	y= x+ Do m lµ tham sè kh¸c (-1), nªn
	= 
VD2. TÝnh ®¹o hµm c¸c hµm sè
	1/	y= 	3/ 	y=
	2/	y= 	4/	y=(3x-2)(x2+1)
	Gi¶i:
	1/	Ta cã:
	= -= -	x-1
	2/	Ta cã:
	= = = x-1
	3/	Ta cã: 
	= 
	 = 
	 = 	x
	4/ 	Ta cã:
	= (x2+1) - (3x-2)
	 = 3(x2+1)-(3x-2).2x
	 = 3x2+3- 6x2+4x
	 = -3x2+4x+3
VD3. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè
	1/ 	y= x
	2/	y= (x2-+1)
	3/	y= 
Gi¶i:
	1/	Ta cã:
	= .+x
	 	 = + = 
	2/	Ta cã:
	= (x2-+1) +
	 = + (2x-)
	 = + 2x- 	x > 0
3/	Ta cã:
	= 
	 = 
	 ==	x <1
VD4.	TÝnh ®¹o hµm hµm sè
1/	y= (2x+3)10
2/ 	y= (x2+3x-2)20
3/	y= 	(a lµ h»ng sè)
Gi¶i:
1/	Ta cã:
	= 10(2x+3)9.
	 = 20(2x+3)9
2/ 	Ta cã:
	= 20(x2+3x-2)19.
	 = 20(x2+3x-2)19.(2x+3)
3/ 	Ta cã:
	= 
	 = = 
VD5.	ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C ): y=x3-3x+7
1/	T¹i ®iÓm A(1;5)
2/	Song song víi ®­êng y=6x+1
	Gi¶i:
	Ta cã: = 3x2-3
1/	HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i A lµ
	k = (1) = 0
	Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn viÕt lµ:
	y = 5.
2/	Gäi tiÕp ®iÓm lµ M(x0;y0)
	y0= x03-3x0+7
	 Ta cã hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn lµ k = 6
	(x0) = 6
	3x02-3 = 6
	x0 = 
	Víi x0 = y0=7.
	Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: y=6x+7- 6
	Víi x0 =- y0=7
	Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: y=6x+7+6
VD6.	Cho hµm sè y=
	Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh khi 0
	Gi¶i:
	Ta cã: 
	+	= 
	 = 
	 = x -1
	Do ®ã: 0 0
B. VÝ dô tr¾c nghiÖm
	Chän nh÷ng ph­¬ng ¸n ®óng trong vÝ dô sau:
VD7. Cho hµm sè y= , khi ®ã b»ng
	A.	B.	C.	D.
VD8: Cho hµm sè y= , khi ®ã b»ng
	A. 2	B. 	C. 	D.
VD9. Cho hµm sè y=(x+1)5, khi ®ã b»ng
	A.-5	B.5	C.-1	D.1
VD10. Cho hµm sè y=2x-, khi ®ã b»ng
	A. 	B. 	C. 1	D. Kh«ng tån t¹i
VD11. Cho hµm sè y=, khi ®ã b»ng
	A.0	B.-1	C.-	D.-
VD12. Cho hµm sè y=2x3-3x2+3, khi ®ã ph­¬ng tr×nh =0 cã nghiÖm
	A. x=0 vµ x=1	B. x=0 vµ x=-1	C. x=1 vµ x=3	D. x=-1 vµ x=3
VD13. Cho hµm sè y=. §¹o hµm b»ng
	A.	B.	C.	D.
VD14. Cho hµm sè y=, ®¹o hµm b»ng
	A.	B.	C.	D.
VD15. Cho hµm sè y=, khi ®ã tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh >0 lµ
	A. S =(-][1;+)	C. S =(-
	B. S =(-)[1;+)	D. S = (
VD16. Cho hµm sè y=, khi ®ã bÊt ph­¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ:
	A. S =()	B. S =[)	C. S =[3;+)	D. S
§¸p ¸n:
VD7
VD8
VD9
VD10
VD11
VD12
VD13
VD14
VD15
VD16
C
D
A
B
D
A
D
B
C
D
IV. Bµi tËp.
A. Bµi tËp tù luËn.
Bµi1. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè:
1/ y=x3 -2x2+x-+1	7/ y=
2/ y=	8/ y=
3/ y=	9/ y=(x-2)
4/ y=	10/ y=
5/ y=	11/ y=
6/ y=	12/ y=
H­íng dÉn:
1/ , 	7/ víi-3<x<4
2/ 	8/ 
3/ 	9/ 
4/ Ta cã: y=1-, x	10/ 
	 	12/ 
5/ 
6/ víi -3< x <3
Bµi 2. Cho hµm sè: y= t×m m ®Ó
1/ lµ b×nh ph­¬ng cña mét nhÞ thøc
2/ 
3/ <0 (0;1)
4/ >0 >0
H­íng dÉn:
Ta cã: g(x).
1/ Ta ph¶i cã:
	 =0	
	m=
2/ Ta ph¶i cã:
	9-2m
	m
3/ Ta ph¶i cã:
	m<0
4/ Ta ph¶i cã:
	+ HoÆc 
	+ HoÆc HÖ v« nghiÖm
Bµi 3. ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (c ) y=x3-3x2 biÕt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng y=
	H­íng dÉn:
	+ Ta cã = 3x2-6x
	+ Gäi (x0;y0) lµ tiÕp ®iÓm, y0=x03 -3x02
	Ta ph¶i cã: 
	3x02-6x0=-3 x0=1 =>y0=-2
	=> ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: y=-3x+1
Bµi 4. Cho ®­êng cong (c)): y=. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña c¸c tiÕp tuyÕn cña (c) víi trôc ox. BiÕt tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®­êng th¼ng y =-x+1
H­íng dÉn:
+ Ta cã =
+ HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = -1
+ Gäi (x0; y0) lµ tiÕp ®iÓm, y0=
Ta ph¶i cã:
+ Ta cã 2 tiÕp tuyÕn lµ
	y = -x vµ y = -x+8
+ Tõ ®ã suy ra kÕt qu¶
B. Bµi tËp tr¾c nghiÖm
Chän ph­¬ng ¸n ®óng trong c¸c bµi tËp sau:
Bµi 4. Cho hµm sè y =, b»ng
A. 
B. 
C. 1
D. - 1
Bµi 5. Cho biÕt hµm sè y = , b»ng
A. 
B. 
C. 
D. 
Bµi 6. Cho hµm sè y =, b»ng
A. 
B. -
C. 
D. -
Bµi 7. Cho hµm sè y =(1-3x)6, b»ng
A. 1
B. -1
C. 18
D. - 18
Bµi 8. Cho hµm sè y = , Khi ®ã tËp nghiÖm cña bÊt ph­¬ng tr×nh lµ:
A. S =IR
B. S =[0;
C. S =(0;
D. S = 
Bµi 9. Cho hµm sè f(x)= x2+3x-1 vµ g(x) = 2x-3. BÊt ph­¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ:
A. S = 
B. S = 
C. S = 
D. –S = 
Bµi 10. Hµm sè y= cã
A. 
B. 
C. 
D. 
Bµi 11. Hµm sè y = cã
A. 
B. 
C. 
D. 
Bµi 12. Hµm sè y = x3+2x2-mx+1 cã IR, khi ®ã tËp c¸c gi¸ trÞ cña m lµ:
A. T=
B. T= ()
C. T = ( 
D. T= ()
Bµi 13. Hµm sè y = cã Khi ®ã tËp c¸c gi¸ trÞ cña m lµ:
A. T=
B. T= ()
C. T = ( 
D. T= (
Bµi 14. Hµm sè y = (2x+3)10 cã
A. 
B. 
C. 
D. 
Bµi 15. Hµm sè y = cã
A. 
B. 
C. 
D. 
§¸p ¸n:
B4. B
B5.
A
B6.
C
B7.
D
B8.
B
B9.
C
B10.
A
B11.
D
B12.
B
B13.
A
B14.
C
B15.
B