Chuyên đề Phương pháp giải phương trình vô tỉ (Thầy Giáo: Vũ Hoàng Sơn)

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ	Thầy Giáo: Vũ Hoàng Sơn
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 
1. Bình phương 2 vế của phương trình 
Phương pháp 
Dạng 1 : Phương trình 
Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của hay 
Dạng 2: Phương trình 
Dạng 3: Phương trình 
+) (chuyển về dạng 2)
 +) 
và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : 
Ví dụ 
 Giải phương trình sau : 
Giải: Đk 
Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút .
Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 
Bình phương hai vế ta có : 
Thử lại x=1 thỏa mãn
Nhận xét : Nếu phương trình : 
Mà có : , thì ta biến đổi phương trình về dạng : sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả 
Bài 2. Giải phương trình sau : 
Giải: Điều kiện : 
Bình phương 2 vế phương trình ?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? 
Ta có nhận xét : , từ nhận xét này ta có lời giải như sau :
Bình phương 2 vế ta được: 
Thử lại : l nghiệm 
Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình :
 Mà có : thì ta biến đổi 
Bài 1: Giải phương trình:
a) 	
b) 	
c) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
2. Trục căn thức 
2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung 
Phương pháp 
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía vô nghiệm 
 Ví dụ 
Bài 1 . Giải phương trình sau : 
Giải: 
Ta nhận thấy : v 
Ta có thể trục căn thức 2 vế : 
Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : 
Giải: Để phương trình có nghiệm thì : 
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng 
, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :
Dễ dàng chứng minh được : 
Bài 3. Giải phương trình :
Giải :Đk 
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình 
Ta chứng minh : 
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
2.2. Đưa về “hệ tạm “
a) Phương pháp 
Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : 
ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau :
, khi đĩ ta có hệ: 
b) Ví dụ 
Bài 4. Giải phương trình sau :
Giải:
Ta thấy : 
 không phải là nghiệm 
Xét 
Trục căn thức ta có : 
Vậy ta có hệ: 
Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=
Bài 5. Giải phương trình : 
Ta thấy : , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên.
Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau :
 (HSG Toàn Quốc 2002)
 (OLYMPIC 30/4-2007)
3. Phương trình biến đổi về tích 
Sử dụng đẳng thức 
Bài 1. Giải phương trình : 
Giải: 
Bi 2. Giải phương trình : 
Giải:
+ , không phải là nghiệm 
+ , ta chia hai vế cho x: 
Bài 3. Giải phương trình: 
Giải: 
pt
Bài 4. Giải phương trình : 
Giải: 
Đk: 
Chia cả hai vế cho : 
 Dùng hằng đẳng thức 
Biến đổi phương trình về dạng :
Bài 1. Giải phương trình : 
Giải:
Đk: khi đó pt đ cho tương đương :
Bài 2. Giải phương trình sau :
Giải:
Đk: phương trình tương đương : 
Bài 3. Giải phương trình sau : 
Giải : pttt 
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường 
Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện của nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn thường là những phương trình dễ .
Bài 1. Giải phương trình: 
Điều kiện: 
Nhận xét. 
Đặt thì phương trình có dạng: 
Thay vào tìm được 
Bài 2. Giải phương trình: 
Giải
Điều kiện: 
Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau:
Ta tìm được bốn nghiệm là: 
Do nên chỉ nhận các gái trị 
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: 
Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 
Ta được: , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.
Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ)
Bài 3. Giải phương trình sau: 
Điều kiện: 
Đặt thì phương trình trở thnh: ( với 
Từ đó ta tìm được các giá trị của 
Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau :
Giải: đk 
Đặt pttt
Bài 5. Giải phương trình sau : 
Giải:
Điều kiện: 
Chia cả hai vế cho x ta nhận được:
Đặt , ta giải được.
Bài 6. Giải phương trình : 
Giải: không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 
Đặt t=, Ta có : 
Bài tập đề nghị 
Giải các phương trình sau
Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với lại quá khó giải 
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách 
Xét phương trình trở thành : 
 thử trực tiếp 
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này .
a) . Phương trình dạng : 
Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu 
Xuất phát từ đẳng thức :
Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:
Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp”
Bài 1. Giải phương trình : 
Giải: Đặt 
Phương trình trở thành : 	Tìm được: 
Bài 2. Giải phương trình :
Bài 3: giải phương trình sau :
Giải: 
Đk: 
Nhận xt : Ta viết 
Đồng nhất thức ta được: 
Đặt , ta được: 
 Ta được :
Bài 4. Giải phương trình :
Giải:
Nhận xét : Đặt ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :
Pt có nghiệm :
b).Phương trình dạng : 
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.
Bài 1. giải phương trình : 
Giải: 
Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : 
Bài 2.Giải phương trình sau : 
Giải 
Đk . Bình phương 2 vế ta có : 
Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ : 
Do . 
Bài 3. giải phương trình : 
Giải:
Đk . Chuyển vế bình phương ta được: 
Nhận xét : không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt 
.
Nhưng may mắn ta có : 
Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết . 
Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên 
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 
Từ những phương trình tích ,
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .
Bài 1. Giải phương trình :
Giải: 
 , ta có : 
Bài 2. Giải phương trình : 
Giải:
Đặt : 	Khi đó phương trình trở thnh : 
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn :
Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau 
Bài 3. Giải phương trình sau : 
Giải: 
Nhận xét : đặt , pttt: (1)
Ta rút thay vào thì được pt: 
Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương .
Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo 
Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được:
Bài 4. Giải phương trình: 
Giải .
Bình phương 2 vế phương trình: 
Ta đặt : . Ta được: 
Ta phải tách làm sao cho có dạng chính phương .
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích 
4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích 
Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ
Xuất phát từ đẳng thức , Ta có
Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba . 
Bài 1. Giải phương trình :
Giải : , ta có : , giải hệ ta được: 
Bài 2. Giải phương trình sau :
Giải . Ta đặt : , khi đó ta có : 
Bài 3. Giải các phương trình sau 
5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường 
Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v 
Bài 1. Giải phương trình: 
Đặt 
Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là 
Bài 2. Giải phương trình: 
Điều kiện: 
Đặt 
Ta đưa về hệ phương trình sau: 
Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình.
Bài 3. Giải phương trình sau: 
Điều kiện: 
Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau:
Vậy 
Bài 8. Giải phương trình: 
Giải
Điều kiện: 
Đặt .
Khi đó ta được hệ phương trình: 
5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II
Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II 
Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : việc giải hệ này thì đơn giản 
Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt sao cho (2) luôn đúng , , khi đó ta có phương trình : 
Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ 
Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : , ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau : đặt , khi đó ta có phương trình : 
Tương tự cho bậc cao hơn : 
Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng : v đặt để đưa về hệ , chú ý về dấu của ???
Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được.
 Giải phương trình: 
Điều kiện: 
Ta có phương trình được viết lại là: 
Đặt thì ta đưa về hệ sau: 
Trừ hai vế của phương trình ta được 
Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: 
Bài 6. Giải phương trình: 
Giải
Điều kiện 
Ta biến đổi phương trình như sau: 
Đặt ta được hệ phương trình sau:
Với 
Với 
Kết luận: Nghiệm của phương trình là 
Các em hãy xây dựng một sồ hệ dạng này ?
Dạng hệ gần đối xứng 
Ta xt hệ sau : đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau :
Bài 1 . Giải phương trình: 
Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước :
Đặt thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được.
Để thu được hệ (1) ta đặt : , chọn sao cho hệ chúng ta có thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng )
 Ta có hệ : 
Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là có nghiệm 
Nên ta phải có : , ta chọn được ngay 
Ta có lời giải như sau :
Điều kiện: , Đặt 
Ta có hệ phương trình sau: 
Với 
Với 
Kết luận: tập nghiệm của phương trình là: 
Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay bằng cách viết lại phương trình 
ta viết lại phương trình như sau: 
khi đó đặt , nếu đặt thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của cùng dấu với dấu trước căn.
Một cách tổng quát . 
Xét hệ: để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’, 
Nếu từ (2) tìm được hàm ngược thay vào (1) ta được phương trình 
Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được.
Một số phương trình được xây dựng từ hệ.
Giải các phương trình sau 
Giải (3): 
Phương trình :
Ta đặt : 
Các em hãy xây dựng những phương trình dạng này !
III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 
1. Dùng hằng đẳng thức :
Từ những đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng 
Từ phương trình ta khai triển ra có phương trình :
2. Dùng bất đẳng thức 
Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt được tại thì là nghiệm của phương trình 
Ta có : Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình: 
Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : khi đó : 
Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được
Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007):
Giải: Đk 
Ta có : 
Dấu bằng 
Bài 2. Giải phương trình : 
Giải: Đk: 
Biến đổi pt ta có : 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu bằng 
Bài 3. giải phương trình: 
Ta chứng minh : và 
Bài tập đề nghị .
Giải các phương trình sau 
3. Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học 
3.1 Dùng tọa độ của véc tơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: khi đó ta có 
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng , chú ý tỉ số phải dương 
, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 
3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác 
Nếu tam giác là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi .
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc 
Bài tập
Bài tập tổng hợp
Giải các phương trình sau