Chuyên đề về Phương trình, bất phương trình

Nguyễn Hoài Nam 0979160543 1 Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 
Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình 
A, Phương trình, bất phương trình cơ bản 
1. Phương trình bậc nhất: ax+b=0 
 Nếu a≠0, phương trình có nghiệm x = 
a
b
 . 
 Nếu a = 0, b = 0 phương trình có vô số nghiệm. 
 Nếu a = 0, b 0 phương trình vô nghiệm. 
Ví dụ: 
a, Giải và biện luân phương trình: (m-1)x = m+2 
b, Giải và biện luân phương trình: mx+1 = mx+2 
c, Giải và biện luân phương trình: 3x – 3m = m(x – m) 
d, Giải và biện luân phương trình: (m-3)x = m2 - 9 
e, Giải và biện luân phương trình: (m2-4m+3)x=m-3 
f, Giải và biện luân phương trình: m2 (x+1) – 1 = (2-m)x 
g, Giải và biện luận phương trình: (ଶ௠ିଵ)௫ାଶ
௫ିଶ
 = m+1 
h, Giải và biện luận phương trình: |2ݔ + ݉| = |2݉ − 1 − 2ݔ| 
i, Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:  (m+1)2x+1 –m = (7m-5)x 
 ௫ା௠
௫ିଵ
+ ௫ିଶ
௫
= 2 
k, Tìm m, a, b để phương trình sau có vô số nghiệm (có tập nghiệm là R) 
  m2x = 9x + m2+4m+3 
 (x-1)a + (2x+1)b = x+2 
2. Phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 
Có 2 24 ( ' ' )b ac hoăc b ac      trong đó b = 2b’. 
 Nếu 0 phương trình có nghiệm x = ' '
2
b bhoăc x
a a
      
  
 
 Nếu 0 phương trình vô nghiệm. 
 Nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 thì 








a
cxx
a
bxx
21
21
.
 Dấu của các nghiệm: 
 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ ௖
௔
 < 0 (cùng dấu khi ௖
௔
> 0) 
 Phương trình có 2 nghiệm dương ⇔൞
∆≥ 0
௖
௔
> 0
−
௕
௔
> 0 
 Phương trình có 2 nghiệm âm ⇔൞
∆≥ 0
௖
௔
> 0
−
௕
௔
< 0 
Nguyễn Hoài Nam 0979160543 2 Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 
 Biểu thức đối xứng của các nghiệm số: 
Cho S = x1+ x2 = - 
࢈
ࢇ
 , P = x1x2= 
c
a
, ta có: 
- (x1-x2)2 = (x1-x2)2 – 4x1x2 = S2 - 4P 
- x12+x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2P 
- x13+x23 = (x1+ x2)[(x1+ x2)2 – 3x1x2] = S(S2- 3P) 
- ૚
࢞૚	
+ ૚
࢞૛
= ࢞૚ା࢞૛
࢞૚࢞૛
 = ࡿ
ࡼ
- ૚
࢞૚૛
+ ૚
࢞૛૛
= ࢞૚
૛ା࢞૛૛
࢞૚૛࢞૛૛
 = ࡿ
૛ି૛ࡼ
ࡼ૛
 Nếu hai số có tổng là S = u+v và tích là P=u.v thì chúng là nghiệm của phương trình : 
X2 – SX + P = 0 
Ví dụ: 
1. Cho phương trình: x2 - 2(m-1)x +m2-3m+4 = 0 
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và nghiệm này gấp đôi 
nghiệm kia. 
b) Xác định m để x12 + x22 = 20 
c) Xác định m để biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. 
2. Giải và biện luận phương trình: (m-2)x2 -2mx+m+1 = 0 
3. Giải và biện luận phương trình: 2x2-2(a+1)x +a2-2a+5 =0 
4. Tìm m để phương trình: √݉(݉ − 3)ݔଶ + 2(݉ − 3)ݔ + 2√݉ = 0 
a. Có nghiệm 
b. Có nghiệm trái dấu 
5. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm lớn hơn 1: x2-x+m-4=0 
6. Tìm m để phương trình x2+x+m+1=0 có 2 nghiệm thỏa mãn: x1x2 +3(x1+x2) +5 =0 
7. Tìm m để phương trình x2 -2(m+2x +4m+5 =0 có 2 nghiệm: 
a. Đều dương b. Đều âm c. |x1x2| = 2 
8. Tìm m để phương trình 3x2 +4(m-1)x+m2-4m+1 =0 có 2 nghiệm thỏa mãn: 
 ଵ
௫ଵ
+ ଵ
௫ଶ
= ଵ
ଶ
 (x1 + x2) 
9. Giải phương trình: (x+1)(x-3)(x+4)(x+8)=60 
10. Tìm m để (-2) xem giữa các nghiệm của phương trình: (m+3)x2-3(m-1)x+4m=0 
Nguyễn Hoài Nam 0979160543 3 Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 
3. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 
 |ܣ| = ܤ	 ⇔ ቐ 0BA B
A B


  
 |ܣ| = |ܤ|⇔ቂ ܣ = ܤ
ܣ = −ܤ 
 |ܣ| > |ܤ|⇔ (A-B)(A+B)>0 |ܣ| 0ܣ < ܤ
ܣ > −ܤ 
 |ܣ| > ܤ⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡൜
ܤ < 0
ܣ	ܿó	݊݃ℎĩܽ
ቊ
ܤ ≥ 0
ቂܣ < −ܤ
ܣ > ܤ 
 Lưu ý: Đối với những phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối không có dạng 
chuẩn trên, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc phương pháp chia khoảng để giải. 
Ví dụ: 
a) Giải phương trình: |ݔଶ − ݔ| + |2ݔ − 4| = 3 
b) Giải phương trình: |3ݔ + 4| = x+3 
c) Giải phương trình: |ݔଶ − 1|=|ݔଷ − 5ݔଶ − 2ݔ + 4| 
d) Giải phương trình: |ݔଶ − 3ݔ + 1|=2x-1 
e) Giải phương trình: |2ݔ − 1| = x+3 
f) Giải phương trình: |4ݔ + 7| = 4x+7 
g) Giải phương trình: |2ݔଶ − 3ݔ − 5| = 5x+5 
h) Giải phương trình: |ݔଶ − 4ݔ − 5| = 4x-17 
i) Giải phương trình: √ݔଶ + 6ݔ + 9 = |2ݔ − 1| 
j) Giải phương trình: √4ݔଶ − 12ݔ + 9 = |3ݔ − 2| 
k) Giải phương trình: x2 - |ݔ − 2| − 8 = 0 
l) Giải phương trình: |ݔ − 1| + |2 − ݔ| = 2ݔ 
m) Giải phương trình: |3ݔ + 1| = |2ݔ + 3| 
n) Giải phương trình: |ݔ − 1| + |2ݔ + 1| = |3ݔ| 
o) Giải phương trình: |ݔଶ − ݔ − 2| = |2ݔଶ − 3ݔ − 5| 
4. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 
 ඥ݂(ݔ) = ݃(ݔ)	⇔൜ ݃(ݔ) ≥ 0
݂(ݔ) = [݃(ݔ)]ଶ 
ඥ݂(ݔ) = ඥ݃(ݔ)	⇔൜݃(ݔ) ≥ 0	(ℎ݋ặܿ	݂(ݔ) ≥ 0)
݂(ݔ) = ݃(ݔ) 
 ݂ܽ(ݔ) + bඥ݂(ݔ) +c =0 ⇔ቊݐ = 	ඥ݂(ݔ), ݐ ≥ 0
ܽݐଶ + ܾݐ + ܿ = 0 
Nguyễn Hoài Nam 0979160543 4 Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 
 ඥ݂(ݔ) > ݃(ݔ)⇔
⎣
⎢
⎢
⎡ ൜
݂(ݔ) ≥ 0
݃(ݔ) < 0
൜
݂(ݔ) > ݃(ݔ)ଶ
݃(ݔ) ≥ 0 
ඥ݂(ݔ) 0݂(ݔ) ≥ 0
݂(ݔ) < ݃(ݔ)ଶ 
 ඥ݂(ݔ) > ඥ݃(ݔ)⇔൜ ݃(ݔ) ≥ 0
݂(ݔ) > ݃(ݔ) 
 ඥ݂(ݔ) + ඥ݃(ݔ) = h(x) Đặt u= f(x), v = g(x) 
 Đưa PT về hệ PT với 2 ẩn u,v 
 ඥ݂(ݔ) + ඥ݃(ݔ) +ඥ݂(ݔ)݃(ݔ) = h(x) 
 Đặt t = ඥ݂(ݔ) + ඥ݃(ݔ), t≥0. 
Khi đó ta biểu thị căn bậc 2 còn lại theo t, đưa về phương trình bậc 2 theo t, sau khi giải 
được t, quay lại cách đặt để giải ẩn x. 
 ݂ (ݔ)ඥ݃(ݔ) = 0 ≤>
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡൜
݃(ݔ) = 0
݂(ݔ)ݔáܿ	đị݊ℎ
൜
݃(ݔ) > 0
݂(ݔ) = 0	 
 Nhân liên hợp: 
Biểu thức Biểu thức liên hợp Tích 
√ܣ ± √ܤ √ܣ ∓ √ܤ A - B 
√ܣ
య + √ܤయ ඥܣଶయ − √ܣܤయ + √ܤయ A+B 
√ܣ
య
− √ܤ
య ඥܣଶయ + √ܣܤయ + √ܤయ A – B 
 Lưu ý: Với những phương trình chứa ẩn dưới dấu căn không có dạng chuẩn 
như trên, ta thường thực hiện theo các bước: 
 1, Đặt điều kiện 
2, Chuyển vế sao cho 2 vế đều không âm 
3, Bình phương 2 vế để khử căn thức. 
Ví dụ: 
a) Giải phương trình: √−ݔଶ + 4ݔ − 3 = 2x-5 
b) Giải phương trình: √4ݔଶ + 2ݔ + 10 = 3ݔ + 1 
c) Giải phương trình: √ݔ + 1 − √ݔ + 1 = 1 
d) Giải phương trình: 2ඥݔ + 2 + 2√ݔ + 1 − √ݔ + 1 =4 
e) Giải phương trình: 2ඥݔ + 2 + 2√ݔ + 1 − √ݔ + 1 − 2 = ଵ
ଶ
(ݔଶ − ݔ − 2) 
Nguyễn Hoài Nam 0979160543 5 Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 
f) Giải phương trình: ටݔ + ଵ
௫మ
+ ටݔ − ଵ
௫మ
= ଶ
௫
g) Giải phương trình: √1 + 4ݔ − ݔଶ = x-1 
h) Giải phương trình: √ݔଶ − 6ݔ + 6 = 2x-1 
i) Giải phương trình: ݔଶ + 5ݔ + 4 − 5√ݔଶ + 5ݔ + 28 = 0 
j) Giải phương trình: ටଵ
ସ
ݔଶ + ݔ + 1 −ඥ6 − 2√5 = 0 
k) Giải phương trình: √ݔ + 4 + √4 − ݔ = 4 
l) Giải phương trình: √5ݔ − 1 − √3ݔ − 2 − √ݔ − 1 = 0 
m) Giải phương trình: ඥ7 − ݔଶ + ݔ√ݔ + 5 = √3 − 2ݔ − ݔଶ 
n) Giải phương trình: √3ݔ − 2 −	√ݔ + 7 = 1 
o) Giải phương trình: √ݔ + 8 − √ݔ = √ݔ + 3 
p) Giải phương trình: ඥݔ(ݔ − 1) + ඥݔ(ݔ + 2) = 2√ݔଶ 
q) Giải phương trình: √4ݔ + 1 − √3ݔ − 2 = ௫ାଷ
ହ
r) Giải phương trình: ඥݔ + 2√ݔ − 1 + ඥݔ − 2√ݔ − 1 = ௫ାଷ
ଶ
s) Giải phương trình: √3ݔ + 4 − √2ݔ + 1 = √ݔ + 3 
t) Giải phương trình: (√ݔଶ + ݔ + 1 + √4ݔଶ + ݔ + 1	)(√5ݔଶ + 1 − √2ݔଶ + 1) =3x2 
5. Một số phương trình cơ bản thường gặp khác 
Dạng 1: 
 √࡭૜ + √࡮૜ = √࡯૜ (1) 
 (1) ⇔ (√࡭૜ + √࡮૜ )3 = C ⇔ A+B + 3√࡭࡮૜ (√࡭૜ + √࡮૜ ) = C (2) 
 Thay √࡭૜ + √࡮૜ = √࡯૜ vào (2) ta được : A+B +3√࡭࡮࡯૜ = C 
Dạng 2: 
ඥࢌ(࢞) + ඥࢍ(࢞) = ඥࢎ(࢞) + ඥ࢑(࢞) với ൤ࢌ(࢞) + ࢎ(࢞) = ࢍ(࢞) + ࢑(࢞)
ࢌ(࢞).ࢎ(࢞) = ࢍ(࢞).࢑(࢞) 
 Biến đổi về dạng: ඥࢌ(࢞) −ඥࢎ(࢞) = ඥ࢑(࢞) − ඥࢍ(࢞) 
 Bình phương, giải phương trình hệ quả. 
 Lưu ý, phương pháp biến đổi trong 2 dạng này là đưa về phương trình hệ quả, vì 
vậy ta nên thay kết quả vào phương trình đầu bài để loại nghiệm ngoại lai. 
Ví dụ: 
1. Giải phương trình: √ݔ + 3 + √3ݔ + 1 = 2√ݔ + √2ݔ + 2 
2. Giải phương trình: √ݔ + 34య − √ݔ − 3య = 1 
3. Giải phương trình: √ݔ + 1య + √ݔ + 2య = 1+√ݔଶ + 3ݔ + 2య 
4. Giải phương trình: √ݔ + 1య + √ݔ + 2య + √ݔ + 3య =0 
5. Giải phương trình: ඥ1 + √ݔయ + ඥ1 − √ݔయ = 2 
6. Giải phương trình: √2ݔ − 1య + √ݔ − 1య = √3ݔ + 1య 
Nguyễn Hoài Nam 0979160543 6 Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 
Dạng 3: Phương trình trùng phương: ࢇ࢞૝ + ࢈࢞૛ + ࢉ = ૙ (a≠0) 
 Đặt t = x2, t ≥ 0 
- Dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = K, với a+b = c+d 
Đặt t = (x+a)(x+b) => (x+c)(x+d) = t – ab+cd 
- Dạng: (࢞ + ࢇ)૝+(࢞ + ࢈)૝ = K 
Đặt t = x + ௔ା௕
ଶ
 => x+a = t + ௔ି௕
ଶ
 ; x+b = t + ௕ି௔
ଶ
 ૛࢚૝ + ૚૛ࢻ૛࢚૛ + ૛ࢻ૝ − ࡷ = ૙	࢜ớ࢏	ࢻ = ࢇି࢈
૛
- Dạng: ࢇ࢞૝ + ࢈࢞૜ + ࢉ࢞૛ ± ࢈࢞ + ࢇ = ૙ (a≠ ૙) 
Vì x = 0 không là nghiệm, chia 2 vế của phương trình cho x2, ta được: 
 a(x2 + ଵ
௫మ
)+ b(x ± ଵ
௫
) + c = 0 
Đặt t = x+ ଵ
௫
 (hay t = x - ଵ
௫
) với |ݐ| 	≥ 2 
 ࢇ࢚૛ + ࢈࢚ + ࢉ − ૛ࢇ = ૙	(|࢚| ≥ ૛) 
Ví dụ: Giải phương trình 
a) xସ − 3xଶ − 4 = 0 g) (4x+1)((12x-1)(3x+2)(x+1) = 28 
b) xସ + 5xଶ + 6 = 0 h) ݔସ+(ݔ − 1)ସ = 97 
c) 3xସ + 5xଶ − 2 = 0 i) ݔସ + ݔଷ − 4ݔଶ + ݔ + 1 = 0 
d) xସ + 7xଶ − 8 = 0 k) (ݔ + 3)ସ+(ݔ + 5)ସ = 2 
e) x(x-1)(x+1)(x+2) = 3 
f) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 3 
Dạng 4: (Phương trình đối xứng) 
Tổng quát: √ࢇ + ࢉ࢞ + √࢈ − ࢉ࢞ + ࢊඥ(ࢇ + ࢉ࢞)(࢈ − ࢉ࢞) = ࢓ 
Đặt t = √ࢇ + ࢉ࢞ + √࢈ − ࢉ࢞, với t >0 => t2 =  
Tổng quát:m[f(x)+g(x)] + n(ඥࢌ(࢞) ± ඥࢍ(࢞))	± 2m(ඥࢌ(࢞)ࢍ(࢞) + ࢑ = ૙ với m2+n2 >0 
Đặt t = ඥࢌ(࢞) ± ඥࢍ(࢞) => t2 = =>mt2+kt +n = 0 
a) Giải phương trình: √3 − x + √x − 1 − 4√4x − xଶ − 3 = −2 
b) Giải phương trình: √ݔ − 2 − √ݔ + 2 − 2√ݔଶ − 4 = 	−2ݔ + 2 
c) Giải phương trình: √ݔ + 1 − √4 − ݔ + ඥ(ݔ + 1)(4 − ݔ) = 	5 
d) Giải phương trình √1 + ݔ + √8 − ݔ + ඥ(1 + ݔ)(8 − ݔ) = 	3 
Nguyễn Hoài Nam 0979160543 7 Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 
Dạng 5: Phương trình đẳng cấp đối với ඥࡼ(࢞)	࢜à	ඥࡽ(࢞) 
mP(x)+nQ(x) +k(ඥࡼ(࢞)ࡽ(࢞) = ૙ 
Đặt t = ටࡼ(࢞)
ࡽ(࢞) => mt2 +kt +n = 0 
Ví dụ: 
1. Giải phương trình: 3(x-1) +2(x2+x+1) = 7ඥ(ݔ − 1)(ݔଶ + ݔ + 1) 
2. Giải phương trình: 2(x2-x+1) -(x2+x+1) = ඥ(ݔଶ − ݔ + 1)(ݔଶ + ݔ + 1) 
3. Giải phương trình: 2x2+5x-1 = 7√ݔଷ − 1 
Giải phương trình: 
1. x+ඥ5 + √ݔ − 1=6 ( Đặt a= √ݔ − 1, b= ඥ5 + √ݔ − 1) 
2. √1 − ݔଶ= (ଶ
ଷ
− √ݔ)2 (Đặt a= √ݔ , b= ଶ
ଷ
− √ݔ) 
3. x√35 − ݔଷయ (ݔ + √35 − ݔଷయ ) = 30 (Đặt a = √35 − ݔଷయ ) 
4. 10x2+3x+1 = (1+6x)√xଶ + 3 (Đặt a = √ݔଶ + 3) 
5. x2+3x+1 = (x+3)√xଶ + 1 (Đặt a = √ݔଶ + 1) 
6. (x+1)√ݔଶ − 2ݔ + 3 = x2 +1 (Đặt a = √ݔଶ − 2ݔ + 3) 
7. 2√3ݔ − 2య + 3√6 − 5ݔ − 8 = 0 (Đặt u = √3ݔ − 2య , v = √6 − 5ݔ)