Đề tài Các phương pháp giải phương trình và bất phương trình chứa căn

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 A. TÊN ĐỀ TÀI
“CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN ”
B. BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI
 I. Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài.
 3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài.
5. Phạm vi nghiên cứu và giới hạn.
6. Các phương pháp nghiên cứu.
II. Phần nội dung
Chương 1. Phương pháp biến đổi tương đương
Chương 2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Chương 3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ
Chương 4. Phương pháp đánh giá.
III. Kết quả thực hiện
IV. Kiến nghị và đề nghị
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Phương trình và bất phương trình chứa căn là một phần quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Khi gặp các bài toán ở dạng này học sinh thường lung túng, mắc sai lầm hoặc không định hướng được các bước giải. Các tài liệu tham khảo viết về dạng toán này có nhiều nhưng nội dung trình bày lại chưa thực sự sâu sắc nên nhiều học sinh rất khó khăn khi sử dụng. Với mong muốn giúp các em giải toán thành thạo và thấy được tính độc đáo của dạng toán này, tôi đã mạnh dạn đi sâu nghiên cứu các phương pháp giải phương trình và bất phương trình chứa căn.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài.
Mục tiêu mà đề tài cần phải đạt được là giúp học sinh hệ thống được các phương pháp thường dùng khi giải phương trình và bất phương trình chứa căn, nắm vững và thực hiện thành thạo các bước giải của từng phương pháp. Ở dạng toán này học sinh thường mắc sai lầm khi thực hiện phép bình phương hai vế để khử căn nhưng không có điều kiện chặt chẽ hoặc lúng túng trong việc tìm đường lối đặt ẩn phụ cho nên đề tài cần hệ thống đầy đủ cho học sinh các phép biến đổi tương đương để khử căn, các dấu hiệu đặt ẩn phụ và các bước giải cho từng dạng toán cụ thể.
3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài.
Đề tài tập trung nghiên cứu các phương pháp giải phương trình và bất phương trình chứa căn. Đó là các phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ, phương pháp đánh giá. 
4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài.
Đề tài gồm 4 chương:
+ Chương 1: Hệ thống các phép biến đổi tương đương khi giải phương trình và bất phương trình chứa căn.
+ Chương 2: Hệ thống các dấu hiệu đặt ẩn phụ khi giải phương trình và bất phương trình chứa căn.
+ Chương 3: Hệ thống các dấu hiệu đặt ẩn phụ đưa về hệ khi giải phương trình và bất phương trình chứa căn.
+ Chương 4: Trình bày phương pháp đánh giá khi giải phương trình chứa căn.
5. Phạm vi và giới hạn của đề tài.
+ Phạm vi kiến thức mà đề tài nghiên cứu là các phương pháp giải phương trình và bất phương trình chứa căn. Nội dung kiến thức phù hợp với đối tượng học sinh lớp 10 Ban tự nhiên.
+ Giới hạn của đề tài: trong năm học 2008-2009.
6. Các phương pháp nghiên cứu.
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: phân tích, nghiên cứu các tài liệu tham khảo có liên quan.
* Đại số sơ cấp của Trần Phương và Lê Hồng Đức. 
* Dùng ẩn phụ để giải toán của Nguyễn Thái Hoè.
* Tuyển tập 10 năm đề thi OLYMPIC 30 tháng 4.
+ Phương pháp thực tiễn: tác giả đã rút ra được các bước giải tổng quát cho từng dạng toán thông qua trao đổi, phân tích, tổng hợp từ các bài giảng trên lớp 10A3, các bài giảng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10, lớp 11 năm học 2008-2009.
II. PHẦN NỘI DUNG
Chương 1. Phương pháp biến đổi tương đương
I. Một số phép biến đổi tương đương	
Trong các phép biến đổi phương trình, đáng chú ý nhất là các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình. Ta gọi các phép biến đổi đó là các phép biến đổi tương đương. Sau đây là một số phép biến đổi tương đương thường dùng để giải các phương trình và bất phương trình chứa căn.
	*	
	*	
	*	
*	
	*	
	*	
II. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Giải các phương trình:
	a)	
	b)	
Hướng dẫn:
	a) Ta biến đổi: 
Ta biến đổi: 
:
Ví dụ 2. Giải các phương trình:
	a) 
 b) 
Hướng dẫn:
Ta biến đổi 
Ta có 
Vậy bất phương trình có nghiệm 
Ví dụ 3. Giải các phương trình :	 	
 a) 
 b) 
Hướng dẫn:
	a) 	ĐK : 
	Ta có 	
	TH1 : Nếu thì phương trình (*) thoả mãn.
	TH2: Nếu thì (*) 
b) 	ĐK: 
TH1. Nếu thì 
	 (thoả mãn )
	TH2. Nếu x =3 thì bất phương trình (6) thoả mãn.
	TH3. Nếu thì (6). Kết hợp ta lấy .
Kết luận: Bất phương trình có nghiệm: hoặc .
Ví dụ 4. Giải các phương trình :	 	
 a) 
 b) 
Hướng dẫn:
	a) 	ĐK: 
	Ta nhân cả tử và mẫu của vế trái với ta được
	So sánh với điều kiện ta được và 
	b)	ĐK : 
	Ta nhân cả hai vế của phương trình với biểu thức ta được
	TH1. Nếu thì bất phương trình (*) thoả mãn.
	TH2. Nếu thì (*).
	So sánh điều kiện ta được 
	Kết luận : Bất phương trình có nghiệm 
Ví dụ 5. Giải các phương trình :	 	
 a) 
 b) 
Hướng dẫn:
	a) Ta biến đổi 
	b) Ta có 
	TH1. Nếu thì (*)(loại)
	TH2. Nếu thì (*)
	 (thoả mãn)
Ví dụ 6. Giải các phương trình :	 	
 a) 
 b) 
Hướng dẫn:
	a)	ĐK: 	
	TH1. Nếu thì bất phương trình (11) thoả mãn.
	TH2. Nếu thì (11)
	So sánh với điều kiện ta được: 
	Kết luận: bất phương trình có nghiệm 
III. Bài tập áp dụng
	Giải các phương trình và bất phương trình sau
1) 	
2) 	
:	3) 	
4) 	
5) 	
6) 	
7) 	
8) 	
9) 	
	10) 	
Chương 2. Phương pháp đặt ẩn phụ
I. Một số gợi ý đặt ẩn phụ
	Có thể xem việc dùng các ẩn phụ để giải phương trình, bất phương trình là một trong các đường lối chủ yếu . Ta đưa ra một số gợi ý giúp học sinh phát hiện và đặt ẩn phụ.
* Nếu phương trình chứa và thì có thể đặt , điều kiện tối thiểu là . Khi đó .
	* Nếu PT chứa ; và thì có thể đặt , điều kiện tối thiểu là . Khi đó .
	* Nếu PT chứa , trong đó thì có thể đặt . Khi đó .
	* Nếu PT chứa thì có thể đặt 
hoặc 
	* Nếu PT chứa thì có thể đặt 
 hoặc .
	* Nếu PT chứa thì có thể đặt 
hoặc .
	Đôi khi chúng ta thực hiện phép đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Tức là trong phương trình mới còn đan xen cả ẩn cũ lẫn ẩn mới
II. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Giải:	
Hướng dẫn:
	a) 	ĐK: 
Ta có 
	Đặt 
	Bất phương trình trở thành: 
	So sánh điều kiện ta được 
Tương tự ta đặt . Ta được bất phương trình
	So sánh điều kiện ta được 
Ví dụ 2. Giải :	
Hướng dẫn:
	a)	ĐK:	 
	Ta biến đổi (3) 
	Đặt 
	Phương trình (*) trở thành: 	
	So sánh điều kiện ta lấy 
b)	ĐK: 	
	Ta biến đổi (4) 
	Đặt 
	Phương trình (**) trở thành: 	
So sánh điều kiện ta lấy 
Vậy bất phương trình có nghiệm 
Ví dụ 3. Giải :	
Hướng dẫn:
	a)	ĐK:	
	Đặt . Ta có phương trình
	(thoả mãn )
	Với 
	b)	ĐK:	
	Đặt . Ta có phương trình
	So sánh điều kiện ta được 
Ví dụ 4. Giải:	 
Hướng dẫn:
	a) Ta có 
	Đặt 	 . Ta có phương trình
	So sánh điều kiện ta được 
b) Ta có 
	Đặt 	 . Ta có phương trình
	So sánh điều kiện ta được 
Ví dụ 5. Giải :	
Hướng dẫn:
	a) ĐK: 	
	Đặt . 
Ta có phương trình:	
Với (loại)
Với (loại)
	Vậy phương trình vô nghiệm.
b)	ĐK:	
	Bình phương hai vế ta được phương trình tương đương
	Đặt 	t. Ta được phương trình
	So sánh điều kiện ta được hoặc 
	Với (thoả mãn)
	Với (do )
Ví dụ 6.Giải:	
Hướng dẫn:
Đặt 	
Ta có 	(11)	
So sánh điều kiện thì bị loại.
Với (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
ĐK: 
Đặt 	
Ta có phương trình: 
	Với 
	Với 
Nhận xét: Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn trong câu a.
Ví dụ 9. Giải:	
Hướng dẫn:
	a) ĐK: 
Đặt . Ta có phương trình:
	Với 
	Với (vô nghiệm)
	Vậy bất phương trình có nghiệm 
Đặt . Bất phương trình (14) trở thành :
	(do )
	Với 	
III. Bài tập áp dụng
	Giải các phương trình và bất phương trình sau
 1) 	2) 
 3) 	4) 
 5) 	6) 
 7) 	8) 
 9) 	10) 	
 11) 	 	12) 
 Chương 3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ
I. Một số gợi ý đặt ẩn phụ
	Xét về mặt nào đó, cách đặt ẩn phụ đưa về hệ có vẻ ngược lại với cái điều ta thường làm: chuyển bài toán nhiều ẩn, nhiều phương trình thành bài toán ít ẩn, ít phương trình hơn. Tuy nhiên do tính phức tạp của bài toán ta đành chịu “thiệt” về số lượng nhưng được cái cơ bản đó là chuyển từ bài toán khó giải thành bài toán dễ giải hơn. Ta đưa ra cho học sinh một số gợi ý đặt ẩn phụ đưa về hệ như sau:
* 
	 Ta có thể đặt 
* 
	 	 Ta có thể đặt	
 	* 
	Ta có thể đặt	
	* Nếu phương trình chứa + trong đó 
	Ta có thể đặt 
II. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Giải:	 với 
Hướng dẫn:
Ta có 	
Đặt Ta có hệ :
Trừ hai phương trình, ta được
TH1. Với 
Do nên ta lấy .
TH2. Với (vô nghiệm do )
	b) Đặt . Ta có hệ 
	Vậy phương trình (2) có hai nghiệm là : 
Ví dụ 2. Giải:	
Hướng dẫn:
Đặt . Ta có hệ 
	Giải hệ đối xứng ta được
	Vậy phương trình có hai nghiệm : 
	b) 	Đặt	Ta có hệ
	TH1. Với 
	TH2. Với 
	Vậy phương trình (4) có hai nghiệm : 
Ví dụ 3. Giải:	
Hướng dẫn:
	a)	Đặt 	Ta có hệ :
	Thử lại ta được ba nghiệm : 
Làm tương tự.
Ví dụ 4. Giải:	
Hướng dẫn:
	a) Đặt 	. Ta có hệ :
Đặt . Ta có hệ
	TH1. Với 
	TH2. Với 
	Vậy phương trình (8) có ba nghiệm: .
Ví dụ 5. Giải:	
Hướng dẫn:
	a) Ta biến đổi 
	Đặt . Ta có
	Do 
	b) 	ĐK:	 . Chuyển vế rồi bình phương hai vế phương trình mới, ta có
Đặt . Ta có
	Giải ra ta được hai nghiệm thoả mãn là: 
Ví dụ 6. Giải:	
Hướng dẫn:
Đặt . Ta có
Giải ra ta được nghiệm thoả mãn là: 
Đặt . Ta có 
(do u+v>0)
Từ đó ta giải được ba nghiệm: 
III. Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau :
	1)	 
	2) 	
	3) 	
	4) 	
	5) 	
	6) 	
Chương 4. Phương pháp đánh giá
I. Một số gợi ý về phương pháp giải.
	Nhiều bài toán bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên các tính chất của bất đẳng thức, ta có thể nhanh chóng chỉ ra được nghiệm của nó. Chúng ta thường sử dụng các tính chất sau của bất đẳng thức để đánh giá.
	* Dấu đẳng thức xảy ra 
* . Dấu đẳng thức xảy ra 
* Bất đẳng thức Cô si, Bunhiacôpxki....
II. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Giải :	
Hướng dẫn:
Nhận xét thấy VT=	
Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất 
	b) Ta biến đổi 
Ví dụ 2. Giải:	
Hướng dẫn:
	a) ĐK : . Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có
	VT
	Vậy phương trình tương đương với 
	b) ĐK: . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
	VT
	Lại có . Vậy phương trình tương đương với
Ví dụ 3. Giải:	
Hướng dẫn:
a) Ta biến đổi phương trình tương đương với
TH1. Nếu thì VT > 0 > VP Phương trình vô nghiệm.
TH1. Nếu thì VT < 0 < VP Phương trình vô nghiệm.
TH3. Nếu thì phương trình thoả mãn.
b) Ta có 	VT=
	VP
	Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
Ví dụ 4. Giải:	
Hướng dẫn:
ĐK . Dễ thấy là một nghiệm.
Nếu thì VT>2 còn VP<2 nên phương trình không thoả mãn.
Ta biến đổi 
VT=
	Dấu đẳng thức xáy ra . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
III. Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau :
	1) 	
	2) 	
	3) 	
	4) 	
	5) 	
6) 	
7) 	
III. KẾT QUẢ THỰC HIỆN
§Ò tµi ®­îc thùc hiÖn trong n¨m häc 2008-2009, kÕt qu¶ b­íc ®Çu thu ®­îc nh­ sau:
- §èi víi nhãm häc sinh líp 10A3: 100% häc sinh líp 10A3 n¾m ®­îc kiÕn thøc c¬ b¶n vµ thùc sù hµo høng gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh vµ bÊt ph­¬ng tr×nh chøa c¨n trong ®ã cã 80% häc sinh ®· biÕt vËn dông kiÕn thøc mét c¸ch linh ho¹t vµ ®· gi¶i ®­îc bµi tËp khã. 
- §èi víi nhãm häc sinh giái khèi 11: trong kú thi häc sinh giái bé m«n To¸n cÊp côm THPT Th¹ch ThÊt & Quèc Oai n¨m häc 2008 – 2009, em Cao ThÞ Hoa líp 11A1 ®· ®¹t gi¶i NhÊt, em PhÝ Ph­¬ng Th¶o ®¹t gi¶i nh×, em §ç TuÊn Anh ®¹t gi¶i khuyÕn khÝch.
Còng trong n¨m häc võa qua, ®Ò tµi ®· trë thµnh mét tµi liÖu tham kh¶o “quÝ” ®­îc nhiÒu häc sinh khèi 12 sö dông ®Ó «n thi ®¹i häc.
H­íng ph¸t triÓn thªm cña ®Ò tµi lµ: TiÕp tôc bæ sung c¸c ph­¬ng ph¸p kh¸c ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh vµ bÊt ph­¬ng tr×nh chøa c¨n. Ch¼ng h¹n ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c ho¸ ë líp 11, ph­¬ng ph¸p ®¹o hµm ë líp 12. §Ò tµi còng cã thÓ ph¸p triÓn theo h­íng nghiªn cøu d¹ng to¸n ‘‘T×m ®iÒu kiÖn gi¶i ph­¬ng tr×nh vµ bÊt ph­¬ng tr×nh chøa c¨n cã nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tr­íc’’.
IV. KIÕN NGHÞ Vµ §Ò NGHÞ
§©y lµ mét ®Ò tµi hay vµ cã nhiÒu h­íng ph¸t triÓn. V× vËy t«i rÊt mong ®­îc c¸c thÇy c« vµ c¸c em häc sinh ®ãng gãp nh÷ng nhËn xÐt qói b¸u vµ ®Æc biÖt céng t¸c víi t¸c gi¶ ®Ó hoµn thiÖn vµ ph¸t triÓn thªm ®Ò tµi. T¸c gi¶ còng hy väng trong t­¬ng lai gÇn ®Ò tµi sÏ ®­îc hoµn thiÖn vµ ph¸t triÓn ®Ó cã thÓ ®­îc xuÊt b¶n thµnh tµi liÖu tham kh¶o cho nhiÒu häc trß.
	T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n vµ rÊt mong nhËn ®­îc sù gióp ®ì cña c¸c ®ång chÝ./.
Th¹ch ThÊt, ngµy 01 th¸ng 05 n¨m 2009
 T¸c gi¶ ký tªn
 	 NguyÔn Trung Kiªn 
ý kiÕn ®¸nh gi¸ vµ xÕp lo¹i cña héi ®ång khoa häc
............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................
....................................................................... ......................................................................
Chñ tÞch héi ®ång
 (Ký tªn, ®ãng dÊu)