Đề thi thử vào lớp 10 Toán không chuyên

Trung tâm BDKT QUANG MINH 
 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 
Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu 
 1
ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN 
Bài 1. Cho phương trình ( )( ) ( )
2 5 8
0 1
1
mx m x m
x x
+ − + =+ 
a) Tìm m để phương trình có nghiệm 1x = . Giải phương trình với những giá trị m vừa tìm được. 
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
Bài 2. 
a) Giải bất phương trình 22 3 2x x x− < − + 
b) Giải hệ phương trình 
2
2
5
5
x y
y x
⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩
Bài 3. Cho đường tròn ( );O R và dây cung 3BC R= . A là một điểm di động trên cung lớn BC sao 
cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Đường cao , ,AD BE CF cắt nhau tại 
H ( ), ,D BC E AC F AB∈ ∈ ∈ . AO cắt ( )O tại P và cắt EF tại I . 
a) Tính nBAC 
b) Chứng minh tứ giác DHIP nội tiếp. 
c) Chứng minh rằng đường trung trực của OH luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi. 
Bài 4. 
a) Cho 2 24 4 4x y y x− + − = . Tính 2 2x y+ 
b) Giải phương trình 2 226 3 26 21x x x x+ − + − = 
Bài 5. Ba bạn nhỏ An, Bình và Liên giải được 100 bài toán, biết rằng mỗi bạn giải được 60 bài. Ta gọi 
bài toán là khó nếu chỉ có một bạn giải được bài đó. Ta gọi bài toán là dễ nếu cả ba bạn đều giải được 
nó. Tính hiệu số giữa số bài toán khó và số bài toán dễ. 
Hướng dẫn giải 
Bài 1 
a) ( )( ) ( )
2 5 8
0 1
1
mx m x m
x x
+ − + =+ 
Ta có 1x = là nghiệm của phương trình khi và chỉ khi 
( )
( )
2.1 5 8 .1 50 5 6 0
61 1 1
m m m
m m
+ − + = ⇔ − = ⇔ =+ 
Với 5
6
m = , phương trình trở thành 
Trung tâm BDKT QUANG MINH 
 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 
Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu 
 2
( )
25 8.5 55
6 6 6 0
1
x x
x x
⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠ =+ ( )
25 10 5 0
1
x x
x x
− +⇔ =+ (2) (điều kiện 0x > ) 
Với điều kiện trên ta có ( ) ( )22 5 10 5 0 1x x x n⇔ − + = ⇔ = 
Vậy phương trình có nghiệm 1x = 
b) ( )( ) ( )
2 5 8
0 1
1
mx m x m
x x
+ − + =+ 
Điều kiện 0x > 
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình: ( )2 5 8 0mx m x m+ − + = có hai 
nghiệm phân biệt dương. Điều này tương đương với 
( )
( )( )
2 2
0
5 8 4 0 0
5 8 5 10 5 6 00
8 5 0
1 0
1
2
5 0
6 5
0 6
5
8
m
m m m
m m mS
m m
m mP
m
m
mm
mm
m
≠⎧ ⎧⎪Δ = − − > ⎪⎪ ≠⎪⎪ − ⇔ − − >⎨ ⎨= − >⎪ ⎪ −⎪ ⎪ >⎩⎪ = = >⎩
⎧⎡ ⎪ ⎢⎢⇔ ⇔⎣⎨ ⎢ >⎪ ⎪⎣⎩
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m thỏa 0m < hoặc 5
6
m > . 
Bài 2. 
a) 
Ta có: 
( )22 2
2 2
2 3 2 2 3 2
4 4 3 2
2
x x x x x x
x x x x
x
− < − + ⇔ − < − +
⇔ − + < − +
⇔ > 
Vậy nghiệm của bất phương trình là 2x > 
Trung tâm BDKT QUANG MINH 
 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 
Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu 
 3
b) 
( )
( )
2
2
5 1
5 2
x y
y x
⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩
Lấy (1) trừ (2) ta có: 
( )( )2 2 0 1 0
1
x y
x y y x x y x y
x y
=⎡− + − = ⇔ − − − = ⇔ ⎢ = −⎣ 
Với x y= thế vào (1) ta có: 2
1 21 1 21
2 25 0
1 21 1 21
2 2
y x
y y
y x
⎡ − + − += ⇒ =⎢⎢+ − = ⇔ ⎢ − − − −= ⇒ =⎢⎣
Với 1x y= − thế vào (2) ta có: 
2 2
1 17 1 17
2 21 5 4 0
1 17 1 17
2 2
y x
y y y y
y x
⎡ + −= ⇒ =⎢⎢+ − = ⇔ − − = ⇔ ⎢ − += ⇒ =⎢⎣
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm ( ),x y là 
 1 21 1 21 1 21 1 21 1 17 1 17, , , , ,
2 2 2 2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − − − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 và 1 17 1 17,
2 2
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Bài 3. 
M
P
I
F
E
D
H
CB
O
A
Trung tâm BDKT QUANG MINH 
 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 
Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu 
 4
a) Tính góc nBAC 
 Vẽ đường kính BB′ . Khi đó ta có n nBAC BB C′= (góc nội tiếp cùng chắn cung pBC ) 
Và n 90oBCB′ = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
Trong tam giác vuông BCB′ ta có n n3 3sin 60 60
2 2
o oBC RBB C BB C BAC
BB R
′ ′= = = ⇒ = ⇒ =′ 
b) Chứng minh DHIP nội tiếp 
Ta có n n 90oBEC BFC= = , suy ra BFEC nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới một góc 
vuông) 
Suy ra n nAEF ABC= hay n nAEI ABC= 
Mặt khác ta có n nABC APC= (góc nội tiếp cùng chắn cung pAC ) 
Suy ra n nAEI APC= . 
Xét AEIΔ và APCΔ có 
• Góc I chung 
• n n ( )cmtAEI APC= 
Suy ra ( )AEI APC g g∩∪Δ Δ − 
Suy ra ( ). . 1AE AI AI AP AE AC
AP AC
= ⇒ = 
Ta có: 
( )
( )
.
. . 2
AHE ACD g g
AH AE AH AD AE AC
AE AD
∩∪Δ Δ
⇒ = ⇒ = 
Từ (1) và (2) ta có . . AI AHAI AP AH AD
AD AP
= ⇒ = 
Suy ra ( ). .AHI APD c g c∩∪Δ Δ 
n nAHI APD⇒ = 
Suy ra tứ giác DHIP nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện) 
c) Chứng minh trung trực của OH đi qua một điểm cố định 
Gọi M là giao điểm của cung nhỏ pBC và đường trung trực của HO. 
Ta có n n ( )BAD APC cmt= n n 90oABD ACP= = , suy ra ( ) n n ( ). 3ABD APC g g BAD PAC∩∪Δ Δ ⇒ = 
Ta có ( ). AH AEAHE BCE g g
BC BE
∩∪Δ Δ ⇒ = 
Trong tam giác vuông ABE có 1cot cot 60
3
oAE BAE
BE
= = = 
Trung tâm BDKT QUANG MINH 
 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 
Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu 
 5
Suy ra 1 3
3 3 3
AH BC RAH R AO
BC
= ⇒ = = = = 
Suy ra tam giác AHO cân tại A . Suy ra đường trung trực của HO cũng chính là đường phân giác của 
góc nHAO hay n n ( )4MAH MAO= 
Từ (3) và (4) ta có n nBAM CAM= , suy ra q qBM CM= hay M là trung điểm cung pBC nên cố định 
Vậy đường trung trực của HO luôn đi qua một điểm cố định, điểm đó là trung điểm cung nhỏ pBC của 
đường tròn ( )O 
Bài 4. 
a) Ta có 
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
4 4 4
4 2 4 4 4 16
4 4 2 2 4 4 16 0
2 4 4 16 2 4 4 0
4 4 2 4 4 0
4 4 0
4 4
4 4
16 4 4
x y y x
x y xy y x y x
x y x y xy y x
x y x y xy x y
x y xy x y x y
x y xy
x y xy
x y x y
x y x y x y
x y
− + − =
⇒ − + − − + − =
⇒ + − + − − − =
⇒ − − + − − − =
⇒ − − − − − + =
⇒ − − − =
⇒ − − =
⇒ − − =
⇒ − − + =
⇒ + 4= 
b) 2 226 3 26 21x x x x+ − + − = (2) 
Điều kiện: 
2 2626 0
26
x
x
x
⎡ ≤ −− ≥ ⇔ ⎢ ≥⎢⎣ 
Đặt 226t x x= + − ( Điều kiện 0t ≥ ) 
Khi đó: 
2
2 2 2 2 2 2 2626 2 26 26 2 26 26
2
tt x x x x x x x x −= + − + − = + − ⇒ − =
Phương trình (2) trở thành: 
Trung tâm BDKT QUANG MINH 
 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 
Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu 
 6
( ) ( )
( )
2
2
63 26
21 3 2 120 0 202
3
t nt
t t t
t l
⎡ =− ⎢+ = ⇔ + − = ⇔ −⎢ =⎢⎣ 
Với 6t = ta có: 
( ) ( )
2 2
22
2
26 6 26 6
26 6 6
2 12 10 0
1
5
x x x x
x x dk x
x x
x
x
+ − = ⇔ − = −
⇔ − = − ≤
⇔ − + =
=⎡⇔ ⎢ =⎣ 
Vậy phương trình có hai nghiệm 1x = và 5x = 
Bài 5 Gọi x là số bài toán khó, y là số bài toán dễ, z là số bài toán không khó không dễ (bài có hai 
người làm được) 
Vì số bài toán giải được là 100 bài nên ta có ( )100 1x y z+ + = 
Số bài khó 1 bạn giải được, số bài dễ 3 bạn giải được, số bài còn lại là hai bạn giải được. Và mỗi bạn 
giải được 60 bài nên ta có: ( )2 3 60 3 180 2x z y+ + = × = 
Lấy (2) trừ (1) ta có ( )2 80 3z y+ = 
Lấy (1) trừ (3) ta có 20x y− = 
Vậy số bài toán khó nhiều hơn số bài toán dễ là 20 bài. 
y