Đề tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Nam Định qua các năm

2)1(
1
...
34
1
23
1
2
1
<
+
++++
nn
Đề số 1 
(Tuyển sinh vào 10 năm học 2000-2001) 
(Thời gian làm bài 150 phút) 
Bài 1 (2 đ): 
Cho biểu thức: )1
1
)(1
1
( −
−
−
+
+
+
=
a
aa
a
aaA (Với a≥ 0, a ≠1) 
a/ Rút gọn biểu thức A. 
b/ Tìm a sao cho A = - a2 
Bài 2 (2 đ): 
 Trên hệ trục toạ độ Oxy, cho điểm M(2; 1) và N(5;
1
2
− ) và đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình 
y = ax + b 
a/ Tìm a, b để đ−ờng thẳng (d) đi qua M, N 
b/ Xác định toạ độ giao điểm của đ−ờng thẳng MN với trục Ox, Oy 
Bài 3 (2 đ): Cho số nguyên d−ơng gồm hai chữ số. Tìm số đó biết rằng tổng hai chữ số của nó 
bằng 1/8 số đH cho, nếu thêm 13 vào tích của hai chữ số đó sẽ đ−ợc số viết theo thứ tự ng−ợc lại 
với số đH cho. 
Bài 4 (3 đ): 
 Cho tam giác nhọn PBC. Gọi A là chân đ−ờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC. Đ−ờng tròn đ−ờng 
kính BC cắt PB, PC lần l−ợt ở M và N. Nối N với A cắt đ−ờng tròn đ−ờng kính BC ở điểm thứ 
hai E 
a/ Chứng minh rằng: 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đ−ờng tròn. HHy xác định 
tâm và bán kính đ−ờng tròn ấy. 
b/ Chứng minh: EM vuông góc với BC 
c/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng AM.AF = AN.AE 
Bài 5 (1 đ): 
 Giả sử n là số tự nhiên khác 0. Chứng minh: 
Đề số 2 
(Tuyển sinh vào 10 năm học 2001-2002) 
(Thời gian làm bài 150 phút) 
Bài 1 (1,5 đ): 
Rút gọn biểu thức: 
1
( ).( )
1 1
a a a
M a
a a
−
= +
− + (Với a> 0, a ≠1) 
Bài 2 (1,5đ): 
 Tìm hai số x; y thoả mHn: 
2 2 25
12
x y
xy
 + =

 =
Bài 3 (2 đ): Hai ng−ời cùng làm chung một công việc sẽ hoàn thành trong 4h. Nếu mỗi ng−ời 
làm riêng để hoàn thành công việc thì ng−ời thứ nhất làm ít hơn ng−ời thứ hai là 6h. Hỏi nếu 
làm riêng thì mỗi ng−ời phải làm trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc? 
Bài 4 (2 đ): 
 Cho hàm số y = x2 (P) ; y =3x + m2 (d) 
a/ Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của m thì đ−ờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai 
điểm phân biệt. 
b/ Gọi y1; y2 là tung độ giao điểm của (d) và (P). Tìm m để có đẳng thức: 
y1 + y2=11y1y2 
Bài 5 (3 đ): 
 Cho ∆ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M (M≠A và C). Vẽ đ−ờng tròn đ−ờng kính 
MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đ−ờng tròn. Nối BM kéo dài cắt đ−ờng tròn tại 
điểm thứ hai là D. Đ−ờng thẳng AD cắt đ−ờng tròn (O) tại điểm thứ hai S. Chứng minh: 
a) Tứ giác ABTM nội tiếp 
b) Khi M chuyển động trên AC thì 
ADM có số đo không đổi. 
c) AB//ST. 
---%--- 
yx
xy
xyx
y
xyx
yS
−
−
+
+
=
2
:)(
Đề số 3 
(Tuyển sinh vào 10 năm học 2002-2003) 
(Thời gian làm bài 150 phút) 
Bài 1 (2đ) 
Cho biểu thức: 
 (Với x > 0, y >0, x ≠ y) 
a/ Rút gọn biểu thức S. 
b/ Tìm giá trị của x và y để S = 1 
Bài 2 (2đ): 
 Trên Parabol y = 2
2
1
x lấy hai điểm A và B, biết hoành độ của A là xA = - 2; tung độ của B là yB 
= 8. Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng AB. 
Bài 3 (1đ) 
 Xác định giá trị của m trong ph−ơng trình bậc hai: 
 x2 - 8x + m = 0 
để 4+ 3 là nghiệm ph−ơng trình. Với m vừa tìm đ−ợc, ph−ơng trình đH cho còn một nghiệm 
nữa. tìm nghiệm cò lại ấy. 
Bài 4 (4đ) 
 Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp trong đ−ờng tròn (O). Tiếp tuyến với 
đ−ờng tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đ−ờng chéo AC và BD 
a/ Chứng minh: Tứ giác AEDI nội tiếp 
b/ Chứng minh AB//EI 
c/ Đ−ờng thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang t−ơng ứng ở R và S. Chứng 
minh: 
• I là trung điểm của RS 
• 
RSCDAB
211
=+ 
Bài 5 (1đ): 
 Tìm tất cả các cặp số (x; y) nghiệm đúng ph−ơng trình: 
(16x4 + 1)(y4 + 1) = 16x2y2 
Đề số 4 
(Tuyển sinh vào 10 năm học 2003-2004) 
(Thời gian làm bài 150 phút) 
Bài 1 (2đ) 
Giải hệ ph−ơng trình: 
2 5
2
3 1
1,7
x x y
x x y
 + = +
 + = +
Bài 2 (2đ): 
 Cho biểu thức: 
1
1
x
P
x x x
= +
+ − (với 0 < x ≠ 1) 
a) Rút gọn P 
b) Tính giá trị của P khi x = 
1
2
Bài 3 (3đ) 
 Cho đ−ờng tròn (O) và điểm A cố định nằm ngoài đ−ờng tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AP; 
AQ với đ−ờng tròn (O) (P, Q là các tiếp điểm). Đ−ờng thẳng đi qua O vuông góc với OP cắt 
đ−ờng thẳng AQ tại M. 
 a/ Chứng minh rằng MO = MA. 
 b/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đ−ờng tròn (O), sao cho tiếp tuyến tại N của đ−ờng 
tròn (O) cắt tia AP, AQ t−ơng ứng tại B và C. 
• Chứng minh rằng AB + AC – BC không phụ thuộc vào vị trí điểm N. 
• Chứng minh rằng nếu tứ giác BCQP nội tiếp thì PQ//BC 
Bài 4 (2đ) 
 Cho đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình y = ax + b. Biết rằng đ−ờng thẳng (d) cắt trục hoành tại 
điểm có hoành độ bằng 1 và song song với đ−ờng thẳng y = - 2x + 2003 
a) Tìm a và b? 
b) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và parabol 
21
2
y x= − (nếu có) 
Bài 5 (1đ): 
 Giải ph−ơng trình: 
2 22 3 2 3 2 3x x x x x x− − + − = + + + − 
Đề số 5 
(Tuyển sinh vào 10 năm học 2004-2005) 
(Thời gian làm bài 150 phút) 
Bài 1 (3đ): 
1) Đơn giản biểu thức: 14 6 5 14 6 5P = + + − 
2) Cho biểu thức: 
2 2 1
.
2 1 1
x x x
Q
x x x x
 + − += −   + + − (với 0 < x ≠ 1) 
a) Chứng minh rằng 
2
1
Q
x
=
−
b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên. 
Bài 2 (3đ): 
 Cho hệ ph−ơng trình: 
( 1) 4
2
a x y
ax y a
 + + =

 + =
 (a là tham số) 
1. Giải hệ ph−ơng trình trên khi a = 1 
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì hệ ph−ơng trình luôn có nghiệm duy nhất (x; 
y) sao cho 2x y+ ≥ . 
Bài 3 (3đ): 
 Cho đ−ờng tròn (O) đ−ờng kính AB = 2R. Đ−ờng thẳng (d) tiếp xúc với đ−ờng tròn (O) tại 
A. M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M≠A, M≠Q, Q≠A. Các đ−ờng thẳng BM và BQ lần l−ợt 
cắt đ−ờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. Chứng minh: 
1. Tích BN.BM không đổi. 
2. Tứ giác MNPQ nội tiếp. 
3. Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R 
Bài 4 (1đ): 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
2
2
2 6
2 5
x x
y
x x
+ +
=
+ +
Đề số 6 
(Tuyển sinh vào 10 năm học 2005-2006) 
(Thời gian làm bài 150 phút) 
Bài 1 (2đ): 
a/ Tính giá trị của biểu thức: P = 347347 ++− 
b/ Chứng minh ba
ab
abba
ba
abba
−=
−
+
+−
.
4)( 2
 (với a > 0; b > 0) 
Bài 2 (3đ): 
 Cho Parabol (P) và đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình; 
(P):
2
2xy = (d): y = mx – m + 2 (m là tham số) 
1. Tìm m để đ−ờng thẳng (d) và parabol (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng 4. 
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đ−ờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm 
phân biệt. 
3. Giả sử (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ các giao điểm của (d) và (P). Chứng minh rằng: 
))(122( 2121 xxyy +−≥+ 
Bài 3 (4đ): 
 Cho BC là dây cung cố định của đ−ờng tròn (O; R) (0 < BC < 2R). A là một điểm di động 
trên cung lớn BC sao cho ∆ ABC nhọn. Các đ−ờng cao AD; BE; CF cắt nhau tại H (D∈BC; 
E∈CA; F∈AB) 
4. Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp. Từ đó suy ra AE.AC = AF.AB 
5. Gọi A' là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AH = 2OA' 
6. Kẻ đ−ờng thẳng d tiếp xúc với đ−ờng tròn (O) tại A. Đặt S là diện tích ∆ABC, 2p là chu 
vi ∆DEF. Chứng minh: 
a. d // EF 
b. S = p.R 
Bài 4 (1đ): 
 Giải ph−ơng trình: 
xxx −++=+ 24422169 2 
Đề số 7 
(Tuyển sinh vào 10 năm học 2006-2007) 
(Thời gian làm bài 120 phút) 
Bài 1 (2đ): 
Cho biểu thức: 
1 1 2 1
:
1 1 2
x x
A
x x x x
   + +  = − −       − − − với x > 0; x≠1; x≠4 
1. Rút gọn A. 
2. Tìm x để A = 0. 
Bài 2 (3,5đ): 
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) và đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình; 
(P):
2y x= ; (d): y = 2(a – 1)x + 5 – 2a (a là tham số) 
1. Với a = 2, tìm toạ độ giao điểm của đ−ờng thẳng (d) và Parabol (P) 
2. Chứng minh rằng với mọi a đ−ờng thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt 
3. Gọi hoành độ giao điểm của đ−ờng thẳng (d) và Parabol (P) là x1; x2. Tìm a để 
2 2
1 2
6x x+ = 
Bài 3 (3,5đ): 
 Cho đ−ờng tròn (O) đ−ờng kính AB. điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O). Kẻ dây MN 
vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N khác B). Nối AC 
cắt MN tại E. Chứng minh: 
7. Tứ giác IECB nội tiếp. 
8. AM2 = AE.AC 
9. AE.AC – AI.IB = AI2 
Bài 4 (1đ): 
 Cho a≥4; b≥5; c≥6 và a2 + b2 + c2 = 90. Chứng minh: 
a + b + c ≥ 16 
Đề số 8 
(Tuyển sinh vào 10 năm học 2007-2008) 
(Thời gian làm bài 120 phút) 
Bài 1 (2,5đ): 
Cho biểu thức: 
5 2 4
1 .
2 3
x x
P x
x x
   + +  = + −       − +
 với x≥0 và x≠4 
1/ Rút gọn P 
2/ Tìm x để P > 1. 
Bài 2 (3đ): 
 Cho ph−ơng trình: 
x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số) 
1. Giải ph−ơng trình (1) khi m = - 5 
2. Chứng minh rằng ph−ơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1; x2 phân biệt với mọi m. 
3. Tìm m để 1 2x x− đạt giá trị nhỏ nhất (x1; x2 là hai nghiệm của ph−ơng trình ở câu b) 
Bài 3 (3,5đ): 
 Cho đ−ờng tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đ−ờng thẳng AB không đi 
qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân 
biệt ME, MF với đ−ờng tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của dây cung AB. 
Các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của đ−ờng thẳng EF với các đ−ờng thẳng OM và OH. 
10. Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đ−ờng tròn. 
11. Chứng minh: OH.OI = OK. OM 
12. Chứng minh: IA, IB là các tiếp tuyến của đ−ờng tròn (O) 
Bài 4 (1đ): 
 Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mHn: x2 + 2y2 +2xy – 5x – 5y = -6 để x + y là số nguyên 
Đề số 9 
(Tuyển sinh vào 10 năm học 2008-2009) 
(Thời gian làm bài 120 phút) 
Bài 1 (2,0đ): Các câu d−ới đây, sau mỗi câu có 4 ph−ơng án trả lời (A, B, C, D), trong đó chỉ có một ph−ơng 
án đúng. H6y viết vào bài làm của mình ph−ơng án trả lời mà em cho là đúng 
Câu 1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đ−ờng thẳng d1: y = 2x + 1 và d2: y = x – 1. Hai đ−ờng thẳng trên 
cắt nhau tại điểm có toạ độ là: 
 A. (-2; -3) B. (-3; -2) C. (0; 1) D. (2; 1) 
Câu 2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến khi x < 0? 
 A. y = -2x B. y = -x + 10 C. 
23y x= D. 2( 3 2)y x= − 
Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các đồ thị của hàm số y=2x+3 và hàm số y=x2. Các đồ thị trên cắt 
nhau tại hai điểm có hoành độ lần l−ợt là: 
 A. 1 và -3 B. -1 và -3 C. 1 và 3 D. -1 và 3 
Câu 4: Trong các ph−ơng trình sau ph−ơng trình nào có tổng hai nghiệm bằng 5? 
 A. 2 5 25 0x x− + = B. 22 10 2 0x x− − = C. 2 5 0x − = D. 22 10 1 0x x+ + = 
Câu 5: Trong các ph−ơng trình sau đây ph−ơng trình nào có hai nghiệm âm? 
A. 2 2 3 0x x+ + = B. 2 2 1 0x x+ − = C. 2 3 1 0x x+ + = D. 
2 5 0x + = 
Câu 6: Cho hai đ−ờng tròn (O; R) và (O'; R') có OO'=4cm; R=7cm; R'=3cm. Hai đ−ờng tròn trên đH cho: 
 A. cắt nhau B. Tiếp xúc trong C. ở ngoài nhau D. Tiếp xúc ngoài 
Câu 7: Cho ∆ABC vuông tại A có AB=4cm; AC=3cm. Đ−ờng tròn ngoại tiếp ∆ABC có bán kính bằng: 
 A. 5cm B. 2cm C. 2,5cm D. 5cm 
Câu 8: Một hình trụ có bán kính đáy là 3cm, chiều cao 5cm. Khi đó diện tích xung quanh của hình trụ là: 
 A. 30cm2 B. 30picm2 C. 45picm2 D. 15picm2 
Bài 2 (1,5đ) 
 Cho biểu thức: 
2 1
1 :
1 1
x x x
P
x x x x
  + += −   − + +
 (với x≥0) 
4. Rút gọn P. 
5. Tìm x để P < 0 
Bài 3 (2,0đ) 
Cho ph−ơng trình x2+2mx+m-1=0 
1. Giải ph−ơng trình khi m=2 
2. Chứng minh rằng ph−ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt, với mọi m. HHy xác định của m để 
ph−ơng trình có nghiệm d−ơng. 
Bài 4 (3,0đ): 
 Cho đ−ờng tròn (O; R) có đ−ờng kính AB; điểm I nằm giữa hai điểm A và O. Kẻ đ−ờng thẳng vuông góc với 
AB tại I, đ−ờng thẳng này cắt đ−ờng tròn (O; R) tại M và N. Gọi S là giao điểm BM và AN. Qua S kẻ đ−ờng 
thẳng song song với MN, đ−ờng thẳng này cắt các đ−ờng thẳng AB và AM lần l−ợt ở K và H. HHy chứng minh: 
13. Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK=HA.HM. 
14. KM là tiếp tuyến của đ−ờng tròn (O; R) 
15. Ba điểm H; N; B thẳng hàng 
Bài 5 (1,5đ) 
1) Giải hệ ph−ơng trình: 
2
2
6 12
3
xy y
xy x
 − = −
 = +
2) Giải ph−ơng trình: 4 43. 2 2008 2008x x x x+ = − + 
---- Hết---- 
Đề số 10 
(Tuyển sinh vào 10 năm học 2009-2010) 
(Thời gian làm bài 120 phút) 
Bài 1 (2,0 điểm). Trong mỗi câu từ câu 1 đến câu 8 đều có bốn ph−ơng án trả lời A, B, C, D; 
trong đó chỉ có một ph−ơng án đúng. HHy chọn ph−ơng án đúng và viết vào bài làm. 
Câu 1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị các hàm số 2xy = và mxy += 4 cắt nhau tại hai 
điểm phân biệt khi và chỉ khi 
 A. 1−>m B. 4−>m C. 1−<m D. 4−<m 
Câu 2: Cho ph−ơng trình 0123 =+− yx . Ph−ơng trình nào sau đây cùng với ph−ơng trình đH cho 
lập thành một hệ ph−ơng trình vô nghiệm? 
 A. 0132 =−− yx B. 0246 =+− yx C. 0146 =++− yx D. 0246 =−+− yx 
Câu 3: Ph−ơng trình nào sau đây có ít nhất một nghiệm nguyên? 
 A. ( ) 55 2 =−x B. 019 2 =−x C. 0144 2 =+− xx D. 022 =++ xx 
Câu 4: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, góc tạo bởi đ−ờng thẳng 53 += xy và trục Ox bằng 
 A. 300 B. 1200 C. 600 D. 1500 
Câu 5: Cho biểu thức: 5aP = , với a<0. Đ−a thừa số ra vào trong dấu căn, ta đ−ợc P bằng 
 A. 25a B. a5− C. a5 D. 25a− 
Câu 6: Trong các ph−ơng trình sau đây, ph−ơng trình nào có hai nghiệm d−ơng? 
 A. 01222 =+− xx B. 0542 =+− xx C. 01102 =++ xx D. 0152 =−− xx 
Câu 7: Cho đ−ờng tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác MNP vuông cân ở M. Khi đó MN bằng 
 A. R B. 2R C. R22 D. 2R 
Câu 8: Cho hình chữ nhật MNPQ có MN=4 cm, MQ=3 cm. Khi quay hình chữ nhật đH cho 
một vòng quanh cạnh MN ta đ−ợc một hình trụ có thể tích bằng 
 A. 48pi cm3 B. 36pi cm3 C. 24pi cm3 D. 72pi cm3 
Bài 2 (2,0 điểm) 
1) Tìm x, biết: ( ) 912 2 =−x 
2) Rút gọn biểu thức: 
53
412
+
+=M 
3) Tìm điều kiện xác định của biểu thức: 962 −+−= xxA 
Bài 3 (1,5 điểm). Cho ph−ơng trình: ( ) ( ) 05232 =−+−+ mxmx (1), với m là tham số. 
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, ph−ơng trình (1) luôn có nghiệm x1=2. 
2) Tìm giá trị của m để ph−ơng trình (1) có nghiệm 2212 +=x . 
Bài 4 (3,0 điểm). Cho đ−ờng tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đ−ờng tròn (O; R). Đ−ờng tròn 
đ−ờng kính AO cắt đ−ờng tròn (O; R) tại M và N. Đ−ờng thẳng d qua A cắt (O; R) tại B 
và C (d không qua O; điểm B nằm giữa hai điểm A và C). Gọi H là trung điểm của BC. 
1) Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O; R) và H thuộc đ−ờng tròn đ−ờng kính AO. 
2) Đ−ờng thẳng qua B vuông góc với OM cắt MN ở D. Chứng minh rằng: 
a) ∠AHN = ∠BDN. 
b) Đ−ờng thẳng DH song song với đ−ờng thẳng MC. 
c) HB + HD > CD. 
Bài 5 (1,5 điểm) 
1) Giải hệ ph−ơng trình: ( )



+−=−+
=−+
11
02
222 xyyxyx
xyyx
2) Chứng minh rằng với mọi x ta luôn có: ( ) ( ) 112112 22 ++−>+−+ xxxxxx 
---- Hết----