Giáo án Toán Hình học Lớp 10 - Chủ đề: Khái niệm Vec tơ, các phép toán với Vec tơ - Lê Quang Hải

Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
KHÁI NIỆM VÉCTƠ, CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ 
A. Kiến thức cơ bản 
1. Các định nghĩa 
- Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB . 
- Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó. 
- Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB . 
- Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 . 
- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 
- Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. 
- Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. 
Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu , ,...a b để biểu diễn vectơ. 
 + Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. 
 Mọi vectơ 0 đều bằng nhau. 
2. Các phép toán trên vectơ 
a) Tổng của hai vectơ 
Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có:  AB BC AC . 
Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:  AB AD AC . 
Tính chất:   a b b a ;        a b c a b c ; 0 a a 
b) Hiệu của hai vectơ 
Vectơ đối của a là vectơ b sao cho 0 a b . Kí hiệu vectơ đối của a là a . 
Vectơ đối của 0 là 0 . 
Hiệu của hai vectơ :     a b a b . 
Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có:  OB OA AB . 
c) Tích của một vectơ với một số 
Cho vectơ a và số k  R. ka là một vectơ được xác định như sau: 
 + ka cùng hướng với a nếu k  0, ka ngược hướng với a nếu k < 0. 
 + .ka k a . 
Tính chất: +    k a b ka kb ; ( )  k l a ka la ;   ( )k la kl a ; 
+ 0ka  k = 0 hoặc 0a . 
- Điều kiện để hai vectơ cùng phương:  0 :a vaø b a cuøng phöông k R b ka     
- Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng  k  0: AB k AC . 
- Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng 
phương ,a b và x tuỳ ý. Khi đó ! m, n  R:  x ma nb . 
Chú ý: 
- Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: 
M là trung điểm của đoạn thẳng AB  0 MA MB  2 OA OB OM (O tuỳ ý). 
- Hệ thức trọng tâm tam giác: 
G là trọng tâm ABC  0  GA GB GC  3  OA OB OC OG (O tuỳ ý). 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ 
Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo ,AC BD . Xét 
các cặp vectơ: AB và DC , DA và BC , BC và CD , OA và CO , BO và DO . 
a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương, hướng và độ dài của các vectơ trong mỗi cặp trên. 
b) Trong các cặp trên, có bao nhiêu cặp gồm hai vectơ bằng nhau? 
Giải 
a) Do tứ giác ABCD là hình thoi, nên các cặp cạnh đối diện 
song song và bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung 
điểm của mỗi đường. Từ đó 
- Hai vectơ AB và DC cùng hướng và cùng độ dài. 
- Hai vectơ DA và BC ngược hướng và cùng độ dài. 
- Hai vectơ BC và CD không cùng phương nhưng có độ dài 
bằng nhau. 
- Hai vectơ OA và CO cùng hướng và cùng độ dài. 
- Hai vectơ BO và DO cùng độ dài, nhưng ngược hướng. 
b) Theo kết quả câu a) 
- Do hai vectơ AB và DC cùng hướng và cùng độ dài, nên AB DC . 
- Do hai vectơ OA và CO cùng hướng và cùng độ dài, nên OA CO . 
- Do hai vectơ DA và BC có cùng độ dài, nhưng ngược hướng nên DA và BC không 
bằng nhau. Tương tự BO và DO không bằng nhau. 
- Do hai vectơ BC và CD không cùng phương, vì vậy BC và CD không bằng nhau. 
Vậy trong những cặp vectơ được xét, có 2 cặp gồm hai vectơ bằng nhau, đó là AB và 
DC ; OA và CO . 
Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu 
và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ? 
Bài 2. Cho ABC có A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. 
 a) Chứng minh:     BC C A A B . 
 b) Tìm các vectơ bằng ,   B C C A . 
Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, 
AD, BC. Chứng minh: ; MP QN MQ PN . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ 
Phương pháp giải: Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo 
hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng: 
– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ. 
– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác. 
– Tính chất của các hình. 
Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD với AB a , 2AD a . 
a) Tính độ dài của vectơ  DC BD AB . 
b) Xác định điểm M sao cho   DC BD AB BM . 
Giải 
a) Do hình chữ nhật ABCD có , 2 AB a AD a nên độ dài 
của hai đường chéo:  
2
2 2 3.   AC BD a a a 
Theo tính chất giao hoán và kết hợp phép cộng vectơ, ta có: 
    DC BD AB AB BD DC       AB BD DC AD DC AC . 
Do đó 3   DC BD AB AC a . 
b) Do   DC BD AB AC nên   DC BD AB BM 
 AC BM 
Ta có: AC BM tương đương với tứ giác ABMC là hình bình 
hành. Từ đó  CM AB DC . 
Vậy điểm M cần tìm đối xứng với điểm D qua C . 
Ví dụ 2. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O , Độ dài các cạnh bằng 1 
a) Chứng minh rằng 0     OA OB OC OD OE OF 
b) Tính độ dài của các vec tơ AB OE ,  AB CD EF . 
Giải 
a) Do O là tâm của lục giác đều ABCDEF nên O là trung điểm 
của các đường chéo , ,AD BE CF 
Khi đó 0, 0, 0     OA OD OB OE OF OC 
Suy ra 0     OA OB OC OD OE OF . 
b)    AB OE FO OE FE 
Từ đó, do độ dài các cạnh của lục giác ABCDEF bằng 1 nên 1  AB OE EF . 
Bài 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: 
a)   AB DC AC DB b)     AD BE CF AE BF CD . 
Bài 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng 
minh: 
a) Nếu AB CD thì AC BD b) 2   AC BD AD BC IJ . 
c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: 0   GA GB GC GD . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
Bài 3. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng 
minh: 2( ) 3   AB AI JA DA DB . 
Bài 4. Cho ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. 
Chứng minh: 0  RJ IQ PS . 
Bài 5. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM. 
a) Chứng minh: 2 0  IA IB IC . 
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2 4  OA OB OC OI . 
Bài 6. Cho ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm 
đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh: 
a) 2AH OM b) 2  HA HB HC HO c)   OA OB OC OH . 
Bài 7. Cho hai tam giác ABC và ABC lần lượt có các trọng tâm là G và G. 
a) Chứng minh 3     AA BB CC GG . 
b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm. 
Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh: 
1 2
3 3
 AM AB AC . 
Bài 8. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là 
điểm thuộc AC sao cho 2CN NA . K là trung điểm của MN. Chứng minh: 
a) 
1 1
4 6
 AK AB AC b) 
1 1
4 3
 KD AB AC . 
Bài 9. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh 
rằng: 
a) 
1
2
 AM OB OA b) 
1
2
 BN OC OB c)  
1
2
 MN OC OB . 
Bài 10. Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng: 
a) 
2 4
3 3
  AB CM BN b) 
4 2
3 3
  AC CM BN c) 
1 1
3 3
 MN BN CM . 
Bài 11. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G. 
a) Chứng minh: 
2 1
3 3
 AH AC AB và  
1
3
  CH AB AC . 
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: 
1 5
6 6
 MH AC AB . 
Bài 12. Cho hình bình hành ABCD, đặt , AB a AD b . Gọi I là trung điểm của CD, G 
là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ ,BI AG theo ,a b . 
Bài 13. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích 
vectơ AM theo các vectơ , ,OA OB OC . 
Bài 14. Cho ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P 
sao cho 3 , 3 , 0   MB MC NA CN PA PB . 
a) Tính ,PM PN theo ,AB AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng. 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ 
Phương pháp giải: Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với 
hình vẽ. Thông thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM a , trong đó O 
và a đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về: 
– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k. 
– Hình bình hành. 
– Trung điểm của đoạn thẳng. 
– Trọng tâm tam giác,  
Bài 1. Cho ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 0  MA MB MC . 
Bài 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường 
thẳng AB . Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI. 
a) Chứng minh:  BN BA MB . 
b) Tìm các điểm D, C sao cho: ;   NA NI ND NM BN NC . 
 Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. 
a) Chứng minh rằng: 2  AB AC AD AC . 
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3   AM AB AC AD . 
Bài 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. 
a) Chứng minh: 
1
( )
2
 MN AB DC . 
b) Xác định điểm O sao cho: 0   OA OB OC OD . 
Bài 5. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là 
trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có: 4   SA SB SC SD SO . 
Bài 6. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau: 
a) 2 3 0 IB IC b) 2   JA JC JB CA 
c) 2  KA KB KC BC d) 3 2 0  LA LB LC . 
Bài 7. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau: 
a) 2 3 3 IA IB BC b) 2 0  JA JB JC 
c)   KA KB KC BC d) 2 2  LA LC AB AC . 
Bài 8. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau: 
a)   IA IB IC BC b)    FA FB FC AB AC 
c) 3 0  KA KB KC d) 3 2 0  LA LB LC . 
Bài 9. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các 
đẳng thức sau: 
a) 4  IA IB IC ID b) 2 2 3  FA FB FC FD 
c) 4 3 2 0   KA KB KC KD . 
 Bài 10. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý. 
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho  MD MC AB ,  ME MA BC , 
 MF MB CA . Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 
b) So sánh 2 véc tơ  MA MB MC và  MD ME MF . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau 
Phương pháp chứng minh: 
- Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng 
thức AB k AC , với k  0. 
- Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức 
OM ON , với O là một điểm nào đó hoặc 0MN . 
Bài 1. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : 2 3 0  OA OB OC . Chứng tỏ rằng A, B, C 
thẳng hàng. 
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho: 
1 1
,
5 6
 BH BC BK BD . Chứng minh: A, K, H thẳng hàng. 
Hướng dẫn: ;   BH AH AB BK AK AB . 
Bài 3. Cho ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: 2IB IC , 
1
2
 JC JA , 
 KA KB . 
a) Tính , , ACIJ IK theo AB . (Hướng dẫn: 
4
3
 IJ AB AC ) 
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (Hướng dẫn: J là trọng tâm AIB). 
Bài 4. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, 
N, P sao cho 3MB MC , 3NA CN , 0 PA PB . 
a) Tính  ... 0
3 2
        OB CB OB CB OB CB . 
Nhận xét. Ta có thể xác định góc giữa hai vectơ ,OB CB như sau: Lấy O đối xứng với 
O qua B và C đối xứng với C qua B  H.4.14 . 
Khi đó, do ,  BO OB BC CB , nên    ; ; 30      OB CB BO BC O BC OBC . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
Ví dụ 2. Cho nửa đường tròn với đường kính 2AB R . Gọi M và N là hai điểm trên 
nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại một điểm I . 
a) Chứng minh rằng   AI AM AI AB . 
b) Tính   AI AM BI BN theo R . 
Giải 
a) Do M thuộc nửa đường tròn với đường kính AB nên 90 AMB  H.4.15a . 
Suy ra cos AM AB BAM . Từ đó, để ý rằng  ;BAM Al AB , ta có 
 cos ; cos .          AI AM AI AM AI AM AI AM AI AB BAM AI AB 
b) Tương tự như phần a), ta cũng được      BI BN BI BA BI AB . 
Suy ra           AI AM BI BN AI AB BI AB AB AI BI 
 
2
24 .     AB AI IB AB R 
Nhận xét. Một cách khái quát, ta chứng minh được   a b a b , trong đó b là hình chiếu 
vuông góc của vectơ b trên giá của vectơ  H.4.15 ba . Kết quả này được gọi là định lí 
chiếu. 
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A , có 120 , 3. A AB 
a) Tính .AB AC , .AB CB , . .AC CB 
b) Tính độ dài cạnh BC. 
c) Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho 2 .MB MC Tính . .MA MB 
Giải 
a) Do tam giác ABC cân tại A, 120 , 3. A AB nên 
  9. . . os ; 3.3. os120
2

  AB AC AB AC c AB AC c 
Theo quy tắc ba điểm ta có  CB AB AC và do đó 
 
2
2 9 27
. . . 3
2 2
       
 
 
 
AB CB AB AB AC AB AB AC ; 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
 
2 9 272
. . . . 3
2 2
        
 
 
 
AC CB AC AB AC AC AB AC . 
b) Theo quy tắc ba điểm ta có . BC AC AB Từ đó 
 
22 2 2
2 2 2 9
2 . 3 3 2. 27
2
          
 
 
 
BC BC AC AB AC AB AC AB . 
Suy ra 3 3.BC 
c) Gọi I là trung điểm của BC . Do M thuộc cạnh BC và 2 ,MB MC I là trung điểm 
BC , nên theo kết quả của Ví dụ 2, Bài 9, ta có 
2 1
, .
3 2
 MB CB IB CB 
Suy ra 
2 1 1
3 2 6
.      
 
 
 
MI MB BI MB IB CB CB 
Từ đó, theo định lí chiếu, ta được 
21 2
. . . . 3.
6 3
  MA MB MI MB CB 
Nhận xét 
- Để tính độ dài của một đoạn thẳng XY , trước hết ta biểu thị vectơ XY theo hai vectơ 
không cùng phương ,a b đã biết, rồi tính bình phương vô hướng của vectơ XY 
- Nhờ vào kết quả của Ví dụ 2, bài 9, ta chứng minh được  1 2
3
. MA BA CA Suy ra 
 2. . 2 . .
9
 MA MB BA CB CA CB Bởi vậy cũng có thể tính tích vô hướng .MA MB nhờ vào việc 
tính các tích vô hướng .BACB và . .CACB 
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng: 
 a) .AB AC b) .AC CB c) .AB BC 
Bài 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: 
 a) .AB AC b) .AC CB c) .AB BC 
Bài 3. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. 
a) Chứng minh: . . . 0  DA BC DB CA DC AB . 
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui". 
Bài 4. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh: 
 . . . 0  BC AD CA BE AB CF . 
Bài 5. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau: 
a) .AB AC b) ( )( ) AB AD BD BC 
c) ( )(2 ) AC AB AD AB d) .AB BD 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
e) ( )( )   AB AC AD DA DB DC 
 Đáp số: a) 2a b) 2a c) 22a d) 2a e) 0 
Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3. 
a) Tính .AB AC , rồi suy ra cosA. 
b) Gọi G là trọng tâm của ABC. Tính .AG BC . 
c) Tính giá trị biểu thức S = . . . GAGB GB GC GC GA . 
d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D  BC). Tính AD theo ,AB AC , suy ra 
AD. 
Hướng dẫn 
a) 
3
.
2
 AB AC , 
1
cos
4
 A b) 
5
.
3
AG BC c) 
29
6
 S 
d) Sử dụng tính chất đường phân giác .
AB
DB DC
AC
  
3 2
5 5
 AD AB AC , 
54
5
AD 
Bài 7. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600. M là trung điểm của BC. 
 a) Tính BC, AM. 
 b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: 2 0, 2  IA IB JB JC . 
Hướng dẫn: a) BC = 19 , AM = 
7
2
 b) IJ = 
2
133
3
Bài 8. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0). 
 a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC. 
 b) Tìm toạ độ điểm M biết 2 3 CM AB AC . 
 c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Bài 9. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8). 
 a) Tính .AB AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. 
 b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
 c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC. 
 d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC. 
 e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng. 
 f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N. 
 g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật. 
 h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO. 
 i) Tìm toạ độ điểm T thoả 2 3 0  TA TB TC 
 k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B. 
 l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ABC. 
 Bài 9. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho: 
 a) 2 2 .MA MA MB b) ( )(2 ) 0  MA MB MB MC 
 c) ( )( ) 0  MA MB MB MC d) 22 . . MA MA MB MA MC 
Bài 10. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho: 
 a) 2. . MA MC MB MD a b) 2. . 5 MA MB MC MD a 
 c) 
2 2 2 23  MA MB MC MD d) 2( )( ) 3   MA MB MC MC MB a 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I 
Trắc nghiệm 
Câu 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các 
điểm A , B , C , D và O . Số các vectơ khác vectơ – không và cùng phương với AC là 
A. 6 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . 
Câu 2. Cho đoạn thẳng AC và B là một điểm nằm giữa A , C . Trong các khẳng định 
sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng? 
A. Hai vectơ AB và CB cùng hướng. 
B. Hai vectơ CA và BC cùng hướng. 
C. Hai vectơ AB và AC cùng hướng. 
D. Hai vectơ AC và BA cùng hướng. 
Câu 3. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Gọi , , ,K L M N tương ứng là trung điểm các 
cạnh , , ,AB BC CD DA . Trong các vectơ có đầu mút lấy từ các điểm , , , , , , ,A B C D K L M O 
có bao nhiêu vectơ bằng vectơ AK ? 
A. 2 . B. 6 . C. 4 . D. 8 . 
Câu 4. Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và 0120DAB . Khẳng định nào 
sau đây là đúng ? 
A. AB CD . B. BD AC . C. 1BD . D. 1AC . 
Câu 5. Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G , có độ dài các cạnh bằng 3 . Độ dài của vectơ 
AG bằng? 
A. 3 . B. 
3 3
2
. C. 
3
2
. D. 2 3 . 
Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại Avà 3, 4 AB AC . Độ dài của vectơ CB AB 
bằng ? 
A. 13 . B. 2 13 . C. 4 . D. 2 . 
Câu 7. Cho tam giác ABC có 2, 4 AB BC và 60 ABC . Độ dài của vecto AC BA 
bằng 
A. 2 . B. 19 . C. 4 . D. 
19
2
. 
Câu 8. Cho tam giác ABC và điểm I sao cho 2 0 IB IC . Khẳng định nào sau đây là 
một khẳng định đúng ? 
A. 2 AI AC AB . B. 2 AI AB AC . 
C. 
2
3



AB AC
AI . D. 
2
3


AB AC
AI . 
Câu 9. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC . Khẳng định 
nào sau đây là một khẳng định đúng ? 
A. 2GA GM . B. 3 AB AC AG . 
C. 3AM MG . D. 3 2GA AM . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm ( )3;1A , ( )2; 1B , ( )4;6C . Trọng 
tâm G của tam giác ABC có tọa độ là 
A. (1;2) . B. (2;1) . C. (1; )2 . D. ( 2;1 .) . 
Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm ( )3;3A , (5 ); 2B và (2 );2G . Tọa độ 
của điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là 
A. (5;4) . B. (4;5) . C. (4;3) . D. (3;5) . 
Câu 12. Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a . Tích vô hướng .AB AC bằng 
A. 2 2a . B. 
2
2
a
. C. 
2a . D. 
2
2
a
. 
Câu 13. Cho hai vectơ ,a b cùng khác 0 . Khi đó , .a b a b tương đương với 
A. a và b cùng phương. B. a và b ngược hướng. 
C. a và b cùng hướng . D. a b . 
Câu 14. Cho hai vecto ,a b cùng khác 0 . Khi đó , . a b a b tương đương với 
A. a và b cùng phương. B. a và b ngược hướng. 
C. a và b cùng hướng . D. a b . 
Câu 15. Cho tam giác ABC có 1AB , 2BC và 60 ABC . Tích vô hướng .BC CA 
bằng 
A. 3 . B. 3 . C. 3 . D. 3 . 
Câu 16. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm    2; 1 , 1;5 A B và  3 ;2 1C m m . 
Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB OC là 
A. 2 m . B. 2m . C. 2 m . D. 3m . 
Câu 17. Cho tam giác ABC vuông tại A với 1, 2 AB AC . Lấy , ,M N P tương ứng 
thuộc các cạnh , ,BC CA AB sao cho 2 , 2 , 2  BM MC CN NA AP PB . Giá trị của tích 
vô hướng .AM NP bằng 
A. 
2
3
. B. 
1
2
 . C. 0 . D. 1. 
Câu 18. Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy , ,M N P lần lượt thuộc 
các cạnh , ,BC CA AB sao cho 2 , 2 BM MC CN NA và AM NP . Tỉ số của 
AP
AB
 bằng 
A. 
5
12
. B. 
7
12
. C. 
5
7
. D. 
7
5
. 
Câu 19. Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a . Lấy điểm M thuộc cạnh 
BC sao cho 2MB MC . Tích vô hướng của hai vectơ MA và MC bằng 
A. 
2
2
a
. B. 
2
2

a
. C. 
2a . D. 
2.a 
Câu 20. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thoả mãn   MC MB MC AC là 
A. đường tròn tâm A bán kính BC . 
B. đường thẳng đi qua A và song song với BC . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
C. đường tròn đường kính BC . 
D. đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC . 
Tự luận 
Bài 1. Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. 
a) Chứng minh: 2   AC BD AD BC IJ . 
b) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: 0   GA GB GC GD . 
c) Gọi P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD; M, N là trung điểm của các 
đoạn thẳng AD và BC. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ và MN có chung trung 
điểm. 
Bài 2. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý. 
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho  MD MC AB ,  ME MA BC , 
 MF MB CA . Chứng minh các điểm D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 
b) So sánh hai tổng vectơ:  MA MB MC và  MD ME MF . 
Bài 3. Cho ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM. 
a) Chứng minh: 2 0  IA IB IC . 
b) Với điểm O bất kì, chứng minh: 2 4  OA OB OC OI . 
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm 
ABC. Chứng minh: 
a) 2 2 AI AO AB . b) 3   DG DA DB DC . 
Bài 5. Cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2). 
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC. 
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. 
Bài 6. Cho A(2; 3), B(1; 1), C(6; 0). 
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. 
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC. 
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 
Bài 7. Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1). Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho: 
a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh. 
b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh. 
Bài 8. Một ô tô khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của 
trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng o15 so vơi phương nằm ngang ( 
trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng 210m/s ).