Một số đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Phần 7

 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN 
HƯNG YÊN NĂM HỌC 2008 – 2009 
MÔN TOÁN – Lớp 12 
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) 
Câu 1: (3,0 điểm). 
a) Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )22 23 .log 2 3 . log 11 2x x x x− − < − + +   
b) Giải hệ phương trình: 
2009 2 cos cos
2009 2 cos cos
2009 2 cos cos
x y z
y z x
z x y
+ = + + = + + = +
Câu 2: (2,5 điểm). 
a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: 
cos cos4 2 4 1x x m+ − − = , với m là tham số. 
b) Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2. Tìm giá 
trị lớn nhất của biểu thức: 
2 2 2
ab bc caM
c ab a bc b ca
= + +
+ + +
. 
Câu 3: (3,5 điểm). 
a) Trong không gian Oxyz tìm phương trình mặt phẳng (R) đi qua hai điể
m 
M(-4; -9; 12), A(2; 0; 0) và cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại hai điểm B, C sao cho 
OB – 1 = OC (B, C không trùng với gốc tọa độ O). 
b) Giả sử tồn tại hình nón ( )
 thỏa mãn các điều kiện sau: 

 Thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a. 

 Hình cầu S1 nội tiếp hình nón có bán kính r1. 

 Hình cầu S2 nằm trong hình nón, tiếp xúc với tất cả các đường sinh và tiếp 
xúc với hình cầu S1; hình cầu S3 nằm trong trong hình nón, tiếp xúc với tất 
cả các đường sinh và tiếp xúc với hình cầu S2;  hình cầu S2009 nằm trong 
hình nón, tiếp xúc với tất cả các đường sinh và tiếp xúc với hình cầu S2008. 
Gọi Vk là thể tích của hình cầu Sk ( ),1 2009k N k∈ ≤ ≤ và V là thể tích của hình nón . 
i) Tính r1 theo a và tỷ số 1VV . 
ii) Tính 
2009
1
k
k
V
=
∑ theo a. 
Câu 4: (1,0 điểm). 
Trong bảng hình vuông gồm 10 x 10 ô vuông (10 hàng, 10 cột), người ta viết vào các ô 
vụông các số tự nhiên từ 1 đến 100 theo cách như sau: ở hàng thứ nhất, từ trái sang phải, 
viết các số từ 1 đến 10; ở hàng thứ hai, từ trái sang phải, viết các số từ 11 đến 20; cứ như 
vậy cho đến hết hàng thứ 10. Sau đó cắt bảng hình vuông thành những hình chữ nhật cỡ 
1 x 2 hoặc 2 x 1. Tính tích sở của hai số trong mỗi hình chữ nhật rồi cộng 50 tích lại. 
Cần phải cắt bảng hình vuông như thế nào để tổng tìm được nhỏ nhất? 
Nguyễn Văn Xá 


ðề thi HSG môn Toán Trang 138 
159
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN 
HƯNG YÊN NĂM HỌC 2007 – 2008 
MÔN TOÁN – Lớp 12 
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) 
Câu 1: (2,5 điểm). 
a/ Giải hệ phương trình: 
3
2 2log log 4 102
x ye e x y
x y
 − = − + =
b/ Hãy xác định số nghiệm của phương trình (ẩn x) sau: 
2008 2007 2006x x x− + − = − 
Câu 2: (3,5 điểm). 
a/ Cho tam giác ABC có A(2; -1) và các đường phân giác trong các góc B,C lần lượt 
có phương trình: x – 2y + 1 = 0; x + y + 3 = 0. Lập phương trình đường thẳng chứa 
BC. 
b/ Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), 
B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Giải sử M, N là hai điểm di động lần lượt trên đoạn 
thẳng AB’ và BD sao cho AM = BN = a ( )0 2a< < . 
 +) Tính toạ độ của vectơ MN theo a. 
 +) Tìm a sao cho đường thẳng chứa MN là đường vuông góc chung của hai 
đường thẳng AB’ và BD. 
Câu 3: (2,0 điểm). 
a/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 25 2 10 4 6x y x y+ + + = 
b/ Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: 2 2 2 3x y z+ + = . 
Chứng minh rằng: 3xy yz zx
z x y
+ + ≥ 
Câu 4: (2,0 điểm). 
a/ Cho phương trình: ( )1 *... 1 0,n nx x x x N++ + + − = ∈ . Chứng minh rằng phương trình 
có nghiệm dương duy nhất và gọi nghiệm đó là xn. Tìm limxn khi n→∞ 
b/ Trên mặt một cái bánh cốm (màu xanh) hình vuông có cạnh 7 cm có 51 hại vừng. 
Chứng minh rằng có thể vẽ một đường tròn màu đỏ bán kính 1 cm trên mặt cái bánh 
cốm chứa ít nhất 3 hạt vừng ở bên trong. 
.Hết. 
Nguyễn Văn Xá 

160
ðề thi HSG môn Toán Trang 139 
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN 
HƯNG YÊN NĂM HỌC 2006 – 2007 
MÔN TOÁN – Lớp 12 
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) 
Câu 1: (1,5 điểm). 
Cho hàm số ( )2 8
1 m
x mx my C
x
+ − +
=
−
. 
Tìm trên đường thẳng đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (Cm) tiếp 
xúc với đường tròn có phương trình: 2 2 26 2 3 4 5 0x y x my m m+ − + − + + = . 
Câu 2: (1,0 điểm). 
Tỉnh A có 4 khu công nghiệp khác nhau và có 7 doanh nghiệp khác nhau mốn vào 
đầu tư trong các khu công nghiệp đó. Tỉnh A muốn chọn từ đó 3 khu công nghiệp, 3 
doanh nghiệp và sắp xếp mỗi doanh nghiệp vào đầu tư ở một khu công nghiệp. (Mỗi 
khu công nghiệp có đúng một doanh nghiệp vào đầu tư). Hỏi có bao nhiêu cách sắp 
xếp như vậy? 
Câu 3: (2,0 điểm). 
a/ Tính giới hạn: 
1
.2 2lim
1
x
x
x
x→
−
−
b/ Tính tích phân: 
200
0
1 cos .x dx
pi
+∫ 
Câu 4: (2,0 điểm). 
a/ Tìm tất cả các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình: 22 7 3 7 0x xy x y− − + + = 
b/ Giải phương trình: ( )t s inx 3g pi = 
c/ Giải hệ phương trình: ( )( ) ( )( )( ) ( )
2 2
2 2
1 6 1
1 6 1
x y y x
y x x y
 − + = + − + = +
Câu 5: (1,0 điểm). Một con kiến xuất phát từ đỉnh A muốn leo đến đỉnh C’ của hình lập 
phương ABCD.A’B’C’D’. Hỏi con kiến phải leo theo đường nào là ngắn nhất; và có 
mấy đường ngắn nhất như vậy. (Hình lập phương đáy ABCD có các mặt kín bằng nhựa 
đặt trên mặt bàn phẳng). 
Câu 6: (2,0 điểm). Cho tứ diện OABC có các góc tam diện vuông đỉnh O, P là một điểm 
chuyển động trên đáy ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 2
2 2 2
PA PB PCT
OA OB OC
= + + 
.Hết. 
Họ và tên thí sinh:Số báo danh:Phòng thi:.. 
Chữ ký giám thị số 1: 
Chữ ký giám thị số 2: 
ðề thi HSG môn Toán Trang 140 
Nguyễn Văn Xá 

161
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN 
HƯNG YÊN NĂM HỌC 2005 – 2006 
MÔN TOÁN – Lớp 12 
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) 
Câu 1: (3,0 điểm). 
a/ Giải bất phương trình: 2 2 23 2 5 4 2 7 6x x x x x x− + + − + ≥ − + 
b/ Cho ( ) ( ) ( ) ( ) 2.sin .sin sin 1 ; 2 . os 1.nnP x x x n n Q x x x cα α α α= − + − = − +   Chứng minh 
rằng Pn(x) chia hết cho Q(x) với Rα∀ ∈ và , 2n N n∀ ∈ ≥ . 
Câu 2: (2,0 điểm). 
a/ Giải phương trình: x! + y! + z! = t! (với x, y, z, t là các số tự nhiên) 
b/ Giải phương trình: 2sin sinx sinx 1 43 3 4sin
2 4
x x pi− −  − = − −   
Câu 3: (1,0 điểm). 
Cho dãy số nguyên dương {an} thoả mãn điều kiện: *1 1. , .n n na a a n N− +> ∀ ∈ 
Tính giới hạn: 2
1 2
1 1 2lim ... .
x
n
n
n a a a→∞
 + + +  
Câu 4: (1,5 điểm). Chứng minh rằng: 1
0
1 2 1
1 1
nn
i
n
i
C
i n
+
=
−
=
+ +
∑ . Trong đó ký hiệu 
1 2
0
...
n
i n
i
a a a a
=
= + + +∑ 
Câu 5: (1,0 điểm). Cho đường tròn tâm O cắt ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC 
tương ứng tại A1 và A2, B1 và B2, C1 và C2. Gọi x, y, z tương ứng là các đường thẳng đi 
qua A1, B1, C1 và lần lượt vuông góc với BC, CA, AB; gọi x’, y’, z’ tương ứng là các đường thẳng đi qua A2, B2, C2 và lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh rằng 
nếu x, y, z đồng quy thì x’, y’, z’ cũng đồng quy. 
Câu 6: (1,5 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn (C) có phương trình: 
2 2 9x y+ = . Tìm m để trên đường thẳng y = m có đúng 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó 
kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C) và mỗi cặp tiếp tuyến đó tạo thành một góc 450. 
.Hết. 
Họ và tên thí sinh:Số báo danh:Phòng thi:.. 
Chữ ký giám thị số 1: 
Chữ ký giám thị số 2: 
Nguyễn Văn Xá 

162
ðề thi HSG môn Toán Trang 141 
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN 
HƯNG YÊN NĂM HỌC 2004 – 2005 
MÔN TOÁN – Lớp 12 
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) 
Câu 1: (2,0 điểm). 
Cho hàm số ( )1y x C
x
= + 
a/ Tìm 2 điểm A, B tương ứng thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) sao cho AB ngắn nhất. 
b/ Gọi d1, d2 là cặp tiếp tuyến song song của đồ thị hàm số (C). Hãy tìm cặp tiếp tuyến đó sao cho khoảng cách giữa chúng là lớn nhất. 
Câu 2: (1,0 điểm). Cho ( )1 2 2 *
0
1 . ,
n
nI x x dx n N= − ∈∫ . Hãy tính 1lim nx
n
I
I
+
→∞
Câu 3: (2,0 điểm). Giả sử phương trình 3 2 ax 0x x b− + + = có 3 nghiệm thực phân biệt. 
Chứng minh rằng 2 3 0a b+ > . 
Câu 4: (3,0 điểm). Cho tứ diện SABC. Hai điểm I, J thứ tự chuyển động trên AB, AC 
sao cho: 3AB AC
AI AJ
+ = . Chứng minh rằng mặt phẳng (SIJ) luôn đi qua một đường thẳng 
cố định. 
Câu 5: (2,0 điểm). Cho dãy số {Un} xác định như sau: ( )
1
2
1
1 ln 1 2005
2n n
U R
U U+
∈ = + −
 với 
*n N∈ . Chứng minh rằng dãy số {Un} có giới hạn hữu hạn. 
.Hết. 
Họ và tên thí sinh:Số báo danh:Phòng thi:.. 
Chữ ký giám thị số 1: 
Chữ ký giám thị số 2: 
ðề thi HSG môn Toán Trang 142 
Nguyễn Văn Xá 

163
 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN 
HƯNG YÊN NĂM HỌC 2003 – 2004 
MÔN TOÁN – Lớp 12 
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) 
Câu 1: (3,0 điểm). 
Cho hàm số 2ax 1
by
x x
+
=
+ +
a/ Tìm a, b để hàm số có cực trị. 
b/ Tìm a, b để hàm số chỉ có 1 cực đại và 1 cực tiểu. 
c/ Với a = 1, chứng minh rằng: b R∀ ∈ , đồ thị hàm số có 3 điểm uốn thẳng hàng. Lập 
phương trình đường thẳng này. 
Câu 2: (2,0 điểm). 
a/ Biết 3 81
2
ln 2
os2 .
2 x
c dxα
−
= ∫ . Hãy tìm sinα khi 32pipi α< < . 
b/ Cho số nguyên 2m ≥ và cho *n N∈ . Chứng minh rằng: 
( )
1
10
5
cos sinx .
4
n n
km
k
x n dx
=
 + <  ∑∫ 
Câu 3: (2,0 điểm). 
a/ Giải phương trình lượng giác: 
2 3 4 2 3 4sinx+sin x s in x sin x cos cos cos cosx x x x+ + = + + + 
b/ Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có: 
1 1 1 1
t cot .cot .cot
sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2
A B C A B Cg tg tg g g g
A B C
 + + = + + +   
Câu 4: (2,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Đề-Các trực chuẩn Oxyz cho đường 
thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình là: 
( )
( )
1 1 3
:
1 2 2
:2 2 3 0
x y zd
P x y z
+ − −
= =
−
− + − =
a/ Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P). Tính góc giữa 
đường thẳng (d) và mặt phẳng (P). 
b/ Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d’), của đường thẳng (d) trên mặt phẳng 
(P). Lấy điểm B nằm trên đường thẳng (d) sao cho AB = a, với a là số dương cho 
trước. Xét tiử số AB AM
BM
+
 với điểm M di động trên mặt phẳng (P). Chứng tỏ rằng, 
tồn tại một vị trí M để tỉ số đó đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 
Câu 5: (1,0 điểm). Cho 2 số x, y dương. Chứng minh rằng: 
2001 2003 2001 2003
2004 2000
x x
x y x y
y y
− −+ ≥ + 
.Hết. 
Nguyễn Văn Xá 

164
ðề thi HSG môn Toán Trang 143