Một số đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Phần 8

Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 144 

 
165. THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 – VĨNH PHÚC (2002 - 2003) 
Câu 1 
a. Giải phương trình 4 3 3 1 1x x− + = − . 
b. Tìm n, m ñể hai hệ phương trình sau tương ñương 
2
2 ( )
x y m
I
y x m
 + =

+ =
, 
2
2 ( )
x xy n
II
y xy n
 − =

− =
. 
Câu 2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 5x2 + 3y3 3 và 2x2 + 5y2 = 11(xy – 143). 
Câu 3 Cho hai số thực dương a, b. Chứng minh các mệnh ñề sau tương ñương 
 (i) 1a b+ > ; 
 (ii) xax + 
x-1
b> với mọi x > 1. 
Câu 4 Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) với các ñường cao AD, BE, CF (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB). 
ðường thẳng qua D song song với EF cắt AC, AB lần lượt ở Q, R. Gọi P là giao ñiểm của EF và BC. 
Chứng minh rằng: 
1. Các ñiểm E, F, D và trung ñiểm của BC nằm trên một ñường tròn. 
2. ðường tròn ngoại tiếp ∆PQR ñi qua trung ñiểm của BC. 

 
166. THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 – VĨNH PHÚC (2000 - 2001) 
Câu 1 Tìm các giá trị của tham số m ñể phương trình 2 2
1 2( )( ) 0m m x m m
x m x m m x
+ − − − =
+ − −
 có 
nghiệm duy nhất không âm. 
Câu 2 Hãy lập phương trình trùng phương có tổng các bình phương các nghiệm bằng 50 và tích các 
nghiệm bằng 144. 
Câu 3 Cho x, y ∈ R thỏa mãn x2 + xy + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức F = x3y + xy3. 
Câu 4 Cho tứ giác ABCD, gọi M là giao ñiểm của hai ñường chéo AC và BD. Kí hiệu AB = c, BC = p, 
CD = q, DA = b, DB = a, DB = 3DM, AM = MC. 
a. Tính p, q theo a, b, c. 
b. Chứng minh rằng nếu 0180 2ABD ADB+ = thì 2DBC BDC= . 
Câu 5 Trên mặt phẳng Oxy cho p ñiểm Ak(k; kr ), k = 0, 1, 2, 3, , p – 1; với p là số nguyên tố lớn hơn 
3 và kr là số dư trong phép chia k
2
 cho p. Chứng minh rằng trong các ñiểm Ak(k; kr ) không có 3 ñiểm 
nào thẳng hàng, không có 4 ñiểm nào là 4 ñỉnh của một hình bình hành. 

 
167. THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 – VĨNH PHÚC (2001 - 2002) 
Bài 1 Giải phương trình 22 1 ( 1) 0x x x x x x− − − − + − = . 
Bài 2 Tìm a, b ñể hệ phương trình 
2
2
ax 1 0
ax + 1 = 0
bx
bx
 + + =

+
 có nghiệm. 
Bài 3 Cho a, b, c là ñộ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng 
∧ ∧ ∧ ∧
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 145 
a b c b c a c a b a b c+ − + + − + + − ≤ + + . 
Bài 4 Cho ∆ABC, 0 0 050 , 60 , 70A B C= = = , M là một ñiểm nằm trên mặt phẳng chứa tam giác, gọi A1, 
B1, C1 tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB. 
1. Khi M trùng với tâm I của ñường tròn nội tiếp ∆ABC thì A1, B1, C1 có là ba ñỉnh của một tam giác 
ñều không? 
2. Tìm tất cả các ñiểm M ñể A1, B1, C1 là ba ñỉnh của một tam giác ñều. 
Bài 5 Trong các ô vuông của một bảng hình vuông kích thước 2002×2002, người ta ghi các số thực sao 
cho: Tổng các số trong một hình chữ thập tùy ý của bảng (hình gồm một dòng và một cột) không nhỏ hơn 
2002. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của tổng các số trong bảng. 

 
168. ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚC (98 - 99) 
Câu 1 Giải phương trình 22 4 6 11x x x x− + − = − + . 
Câu 2 Chứng minh rằng 1 1 2,
n n
n n
n n
n n
+ + − < ∀ n ∈N*. 
Câu 3 Giải phương trình x7 – 2x6 + 3x5 – x4 – x3 + 3x2 – 2x + 1 = 0. 
Câu 4 Tìm a ñể hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất 
2 2
2 2
2 2 (1)
4 (2)
x xy y a
x xy y a
 + + ≤

− − ≤
. 
Câu 5 Giả sử O là một ñiểm bên trong ∆ABC, các ñường thẳng OA, OB, OC lần lượt cắt các cạnh BC, 
CA, AB tại A’, B’, C’. Tìm quỹ tích ñiểm O sao cho 
2 2 2 2 2 2
' ' ' ' ' 'OAC OBA OCB OBC OCA OABS S S S S S∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆+ + = + + . 

 
169. ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚC (97 – 98) 
Câu 1 (1.5 ñiểm) Giải phương trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9. 
Câu 2 (2.0 ñiểm) Tìm cặp số (x; y) thỏa mãn phương trình x2 + y2 + 6x – 3y – 2xy + 7 = 0 sao cho y ñạt 
giá trị lớn nhất. 
Câu 3 (2.0 ñiểm) Cho x0 là nghiệm thực của PT x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0. Chứng minh 2 2 45a b+ ≥ . 
Câu 4 (2.0 ñiểm) Cho ñường tròn bán kính R và n ñiểm bất kì trên mặt phẳng chứa ñường tròn 
(n∈N*).Chứng minh rằng trên ñường tròn ñã cho có thể tìm ñược ñiểm M sao cho tổng khoảng cách từ 
M ñến n ñiểm nói trên không nhỏ hơn nR. 
Câu 5 (2.5 ñiểm) Trên các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC lần lượt lấy các ñiểm D, E, K sao cho 
1
1997
BD CE AK
BC CA AB
= = = . Gọi A’ = CK ∩ AD, B’ = BE ∩ AD, C’ = CK ∩ BE. 
a. Hãy xác ñịnh trọng tâm ∆DEK. 
b. Tìm trọng tâm ∆A’B’C’. 
∧ ∧ ∧
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 146 

 
170. ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚ (96 – 97) 
Câu 1 Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình 
22 1 0
2 1 5
1
x
x
y y
y
y

− − + >

+ − <
 ≥

. 
Câu 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x100 – 10x10 + 2005, với x∈R. 
Câu 3 Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 3x – 2y = 1930z. 
Câu 4 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với các hệ số dương và a + b + c = 1. Chứng minh rằng 
với mọi số nguyên dương k thì f(x) ≥ k k(2 ) (2 )[f( x )] với mọi x ≥ 0. 
Câu 5 Trên các cạnh của ∆ABC ta dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông BCDE, ACFG, 
BAHK. Giả sử P, Q thỏa mãn FCDP và EBKQ là các hình bình hành. Hãy các ñịnh hình dạng của 
∆PAQ. 

 
171. ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚ (năm học 95 – 96) thi ngày 09 – 01 – 1996. 
Thí sinh các trường bảng A làm tất cả các câu, kể cả câu 5, thí sinh các trường bảng B chỉ làm các 
câu 1, 2, 3, 4, không phải làm câu 5. 
Câu 1 Chứng minh rằng 3 3378 142884 1 378 142884 1 9.+ + + − + = 
Câu 2 Tìm tất cả các giá trị nguyên của a, b ñể ña thức x4 + ax3 + 10x2 + bx + 9 là bình phương của một 
tam thức bậc hai với hệ số nguyên. 
Câu 3 Trong ∆ABC nhọn và không ñều, ta kẻ ñường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CL. Ba ñường 
này cắt nhau tạo thành ∆PQR. Chứng minh rằng ∆PQR không thể là tam giác ñều. 
Câu 4 Tìm m ñể hệ phương trình 1 2
3
x y m
x y m
 + + + =

+ =
 có nghiệm duy nhất. 
Câu 5 Chứng minh rằng diện tích của một hình bình hành bất kì nằm trong một tam giác không lớn hơn 
nửa diện tích của tam giác ñó. 

 
172. ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚ (năm học 94 – 95) thi ngày 06 – 01 – 1995. 
Câu 1 Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm, tam thức bậc hai 2( )x x xϕ α β γ= + + có nghiệm 
và khoảng các nghiệm của tam thức ( )xϕ chứa khoảng (0; 2). Chứng minh rằng phương trình sau có 
nghiệm: a (0)ϕ x2 + b (1)ϕ x + c (2)ϕ = 0. 
Câu 2 Chứng minh nếu 20, 0, a b c k l m km l
k l m
+ + = > > > ≤ thì tam thức f(x) = ax2 + bx + c có 
nghiệm thuộc khoảng (0; 1). 
Câu 3 Chứng minh phương trình x4 – y4 = z2 không có nghiệm nguyên dương. 
Câu 4 Cho ∆ABC có số ño các cạnh là 1 2 3, ,a a a và diện tích là S. Chứng minh rằng với mọi số dương 
bất kì 1 2 3, ,p p p ta luôn có 
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 147 
2 2 231 2
1 2 3
2 3 3 1 1 2
2 3. .pp pa a a S
p p p p p p
+ + ≥
+ + +
Câu 5 Cho ∆ABC, qua ñiểm M nằm trong tam giác ta dựng ba ñoạn thẳng MA1, MB1, MC1 tương ứng 
vuông góc với BC, CA, AB và hướng ra phía ngoài tam giác, ñộ dài ba ñoạn thẳng MA1, MB1, MC1 
tương ứng tỉ lệ với ñộ dài ba cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng MA1 ñi qua trung ñiểm của B1C1. 

 
173. ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚ (năm học 93 – 94) thi ngày 11 – 01 – 1994. 
Câu 1 Với các số cho trước n ∈N, n ≥ 2, a ∈ R, a > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của tổng 
1
1
1
n
i i
i
x y
−
+
=
∑ , biết 
rằng xi ≥ 0 (i = 1, n ) và 
1
n
i
i
x
=
∑ = a. 
Câu 2 Cho hai parabol (P1) y = x2 và (P2) y = - x2 + 2x + 4. 
1 – Tìm tọa ñộ giao ñiểm M, N của (P1) và (P2). 
2 – Qua M dựng ñường thẳng ∆1 cắt (P1) và (P2) lần lượt ở E, F ( khác M), qua N dựng ñường thẳng ∆2 
cắt (P1) và (P2) lần lượt ở C, D ( khác N), chứng minh rằng CE // DF. 
Câu 3 Kí hiệu A = 1 2 20...a a a là số nguyên dương có 20 chữ số. Hai người chơi một trò chơi như sau: 
 “Người thứ nhất ñiền vào chữ số ñầu tiên a1 bởi một trong năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Người thứ hai 
ñiền tiếp vào chữ số a2 bởi một trong năm chữ số nói trên. Rồi tiếp lại ñến người thứ nhất ñiền vào a3  
Cứ tiếp tục như vậy cho ñến hết 20 chữ số của A. Nếu số A thu ñược là số chia hết cho 9 thì người thứ 
hai thắng cuộc, ngược lại thì người thứ nhất thắng cuộc”. 
 Chứng minh rằng có một cách chơi luôn ñảm bảo cho người thứ nhất thắng cuộc. 
Câu 4 Gọi O là tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC, M là trung ñiểm của AC, E là trọng tâm của ∆ABM. 
Chứng minh rằng OE = BM nếu AB = AC. (cần kiểm tra lại ñề bài) 

 
174. ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚ (năm học 93 – 94) thi ngày 11 – 01 – 1994. 
Bài 1 Giải phương trình |sin |3 osxx c= . 
Bài 2 Giải hệ phương trình trên tập số nguyên 
3 2
3 2
3 2
2 7 8 2
2 7 8 2
2 7 8 2
x x x y
y y y z
z z z x
 − + − =

− + − =

− + − =
. 
Bài 3 Với số nguyên dương n ≥ 2 cho trước, tìm giá trị nhỏ nhất của tích 
1
n
i
i
x
=
∏ , với ñiều kiện xi ≥ 1
n
( 1, ni = ) và 2
1
n
i
i
x
=
∑ = 1. 
Bài 4 Giả sử S, R lần lượt là diện tích và bán kính ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Gọi S1 là diện tích tam 
giác có các ñỉnh là chân ñường vuông góc hạ xuống các cạnh của ∆ABC từ một ñiểm M cách tâm 
ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC một khoảng d. Chứng minh rằng 
2
1 2
1 1
4
dS S
R
= − . 
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 148 

 
175. ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚ (năm học 94 – 95) thi ngày 06 – 01 – 1995. 
Bài 1 Giả sử a2 + b2 ≠ 0. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau ñây có nghiệm: 
asinx + bcosx + c = 0 (1), atanx + bcotx + 2c = 0 (2). 
Bài 2 Tìm số nguyên dương n ñể phương trình xn + (2 + x)n + (2 - x)n = 0 có nghiệm hữu tỉ. 
Bài 3 Cho ña thức P(x) = 
0
n
i
i
i
a x
=
∑ (n ≥ 2, an.a0 ≠ 0) có n nghiệm dương. Chứng minh 2
0
1 1n
n
a a
n
a a
− ≥ . 
Bài 4 Cho dãy {un} có u1 = 3, u2 = 17, un = 6un – 1 – un – 2, n = 3, 4, 5,  
a. Chứng minh 2 2n+1 n n+1 nu 6u u u 8, n *.− + = − ∀ ∈ Từ ñó suy ra rằng với mọi n thì 
2
nu - 1 chia hết cho 
2 và thương là số chính phương. 
b. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số. 
Bài 5 Cho tứ diện ABCD có các cạnh ñối diện bằng nhau BC = DA, CA = DB, AB = DC, M là một 
ñiểm tùy ý trong không gian. Chứng minh bình phương khoảng cách từ M ñến một ñỉnh của tứ diện 
không lớn hơn tổng bình phương các khoảng cách từ M ñến ba ñỉnh còn lại của tứ diện. 

 
176. ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚ (năm học 95 – 96) thi ngày 09 – 01 – 1996. 
Thí sinh các trường bảng A làm tất cả các câu, kể cả câu 5, thí sinh các trường bảng B chỉ làm các 
câu 1, 2, 3, 4, không phải làm câu 5. 
Câu 1 
a. Giải phương trình 
6 6sin os 1
.
4tan( ) tan( )
4 4
x c x
x x
pi pi
+
= −
− +
b. Cho trước các ñại lượng a và α. Xét hàm số f(x) = cos2x + acos(x + α). ðặt M = maxf(x), 
m = minf(x), với x ∈ R. Chứng minh M2 + m2 ≥ 2. 
Câu 2 Cho ∆ABC cân ñỉnh A, cạnh bên bằng b, cạnh ñáy bằng a, và b 21 2cos
a 7
pi
= + . Chứng minh 
rằng a5 – 4a3b2 + 3ab4 – b5 = 0. 
Câu 3 Cho b > a > 1. Lập hai dãy số (un) và (vn) như sau: u1 = b, v1 = a, n+1 n n
1
u (u v ),
2
= + 
n n
n + 1
n n
2u .v
 v , n *.
u v
= ∀ ∈
+
 Chứng minh n+1 n+1 n
n2(b - a)0 u v ,
2
 ... ác hay không ? 
(Xem thêm ñề 48) 

 
191. ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2001 – 2002) 
Ngày thi 26 -11-2001 (buổi 2) 
Bài 1 (2 ñiểm) Giải hệ phương trình 




=++
+=+=+
1
)1(5)1(4)1(3
zxyzxy
z
z
y
y
x
x
. 
Bài 2 (2 ñiểm) Cho ∆ABC không có góc tù. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
E = 
CBA
CBA
coscoscos
sinsinsin
++
++
. 
Bài 3 (2 ñiểm) Cho hàm số f : N → N và ñồng thời thỏa mãn hai hệ thức 
(1) f(f(n)) = 4n + 9 với mọi n ∈ N; 
(2) f(2n) = 3 + 2n + 1 với mọi n ∈ N*. 
Tính f(1789). 
Bài 4 (2 ñiểm) Chứng minh rằng mọi mặt phẳng ñi qua ñường thẳng nối hai trung ñiểm của hai cạnh ñối 
của một tứ diện chia tứ diện ñó thành hai phần có thể tích bằng nhau. 
Bài 5 (2 ñiểm) Cho n hình vuông bất kì (n ∈N*). Chứng minh rằng có thể cắt n hình vuông ñó thành 
những ña giác mà với những ña giác này có thể ghép lại ñược một hình vuông mới. 

 
192. ðỀ THI HSG BẮC NINH (10 – 04 – 2002) 
Bài 1 (2 ñiểm) 
1/ Tìm giới hạn a. 
 3
sin 3lim
1 2cosx
x
xpi→ −
. b. 2
 0
ln(cosx) lim
xx→
. 
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 156 
2/ Cho 3 3 2os( n. n 3 1)na c n npi= + + + , n∈N*. Tìm 
lim nn a→ ∞ . 
Bài 2 (1.5 ñiểm) Tính các tổng sau: 
a) Sn = sinx + sin2x +  + sinnx. 
b) Cn = cosx + 2cos2x +  + ncosnx. 
Bài 3 (2 ñiểm) 
1) Giải phương trình )1(2)1( 2323 xxxx −=−+ . 
2) Giải hệ phương trình 
3 2
3 2
3 2
9 27 27
9 27 27
9 27 27
x z z
y x x
z y y

− + =

− + =

− + =
. 
Bài 4 (1.5 ñiểm) Cho dãy số vô hạn phần tử {an}. Chứng minh rằng nếu 2 12 ,n n na a a n+ ++ ≥ ∀ ∈N*, thì 
1 3 2 1 2 4 2... ...
,
1
n na a a a a a n
n n
++ + + + + +≥ ∀ ∈
+
N*. 
Bài 5 (3 ñiểm) 
1) Chứng minh rằng nếu mỗi cạnh của một tam giác nào ñó ñều nhỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác ñó 
nhỏ hơn 
4
3
. 
2) Trong tứ diện chỉ có một cạnh có ñộ dài lớn hơn 1, chứng minh rằng thể tích tứ diện ấy không vượt 
quá 1
8
. Hãy chỉ ra một tứ diện như thế. 

 
193. ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2002 – 2003) 
Ngày thi 16 -10 -2002 (buổi 1) 
Bài 1 (2 ñiểm) Chứng minh rằng 3 35 2 7 5 2 7 2+ − − = . 
Bài 2 (2 ñiểm) Cho dãy {an} gồm vô hạn số tự nhiên thỏa mãn 1 1
1 1
2 n n
n
n n
a a
a
a a
− +
− +
=
+
, n∈N*, n > 1. Chứng minh 
rằng 1 2 ... na a a= = = . 
Bài 3 (2 ñiểm) Cho ∆ABC. Chứng minh rằng 
2
2 2 2
1 1 1 1 1( )
sin sin sin2sin sin sin 4sin sin sin
2 2 2 2 2 2
A B C A B CA B C
≤ + + ≤ . 
Bài 4 (2 ñiểm) Tồn tại hay không hàm số f : R→R thỏa mãn (f(x) – f(y))2 ≤ |x – y|3, ∀x, y ∈ , và f 
không phải là hằng số? 
Bài 5 (2 ñiểm) Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’. Chứng minh rằng các mặt (ABC’), (BCA’), (CAB’) cắt 
nhau tại một ñiểm. 

 
194. ðỀ THI HSG BẮC NINH (2003) 
R
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 157 
Bài 1 (2 ñiểm) Tìm các giới hạn sau: 1)
2
tanxlim (s inx)
x
pi
→
; 2) 
1 1lim (sin os )
xx
xc
x→ ∞
+ . 
Bài 2 (2.5 ñiểm) Cho hàm số f(x) = x3 – 3x – 1. 
1. Gọi 1 2 3, ,x x x là hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị hàm số với trục hoành. Tính giá trị của biểu thức 
3 3 3 3 3 3 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 34A x x x x x x x x x= + + + . 
2. Xét số nghiệm của phương trình f(f(x)) = 0. 
Bài 3 (1.5 ñiểm) 
1. Giải hệ phương trình 
2 2
2 2 ( )( 2)
2
yx y x xy
x y

− = − +

+ =
. 
2. Tìm số k lớn nhất ñể với mọi ∆ABC ta luôn có sin2A + sin2B > ksin2C. 
Bài 4 (2.75 ñiểm) Cho hình chóp SABC, SA ⊥ SB, chân ñường cao hạ từ S ñến mặt phẳng (ABC) trùng 
với trực tâm ∆ABC. 
1. Gọi , ,α β γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCA) với ñáy (ABC). Tính giá trị 
của biểu thức os2 +cos2 +cos2T c α β γ= . 
2. Gọi m là cạnh lớn nhất trong các cạnh bên và r là bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp SABC, tính tỉ 
số 
m
r
. 
Bài 5 (1.25 ñiểm) Cho hàm số f(tanx) = sin2x, với mọi |x| < 
2
pi
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức P = f(sin32x).f(cos32x). 

 
195. ðỀ THI HSG BẮC NINH (2004 - 2005) Ngày thi 12 – 04 - 2005 
Câu 1 (2 ñiểm) Tìm giới hạn: 1) A = 
 a
1
sinxlim ( )
sinax
x a
→
− ; 2) B = 
0
os( osx)
2lim
sin(tanx)x
c c
pi
→
. 
Câu 2 (2 ñiểm) 
1. Tính ñạo hàm của hàm số f(x) = xx ( x > 0), từ ñó tìm nguyên hàm của hàm số ϕ (x) = xx(1 + lnx). 
2. Tính tích phân J = 
0
n -1sin x.cos(n+1)x.dx
pi
∫ , trong ñó n là số nguyên dương không nhỏ hơn 2. 
Câu 3 (2 ñiểm) Cho ∆ABC có ñộ dài 3 cạnh là a, b, c. Giải hệ phương trình 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
b x c x a
c y a y b
a z b z c

− + − =


− + − =

− + − =
. 
Câu 4 (2 ñiểm) Cho ∆ABC có ñộ dài 3 cạnh là a, b, c, bán kính ñường tròn ngoại tiếp và nội tiếp là R, r, 
chu vi là 2p. 
1. Chứng minh rằng ab + bc + ca = p2 + r2 + 4Rr. 
2. Tính tổng 1 1 1
a b c
+ + qua p, R, r. 
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 158 
3. Chứng minh rằng p2 + r2 ≥ 14Rr. 
Câu 4 (2 ñiểm) Cho elip (E) 
2 2( 19) ( 98) 1998
19 98
x y− −
+ = . Gọi R1, R2, R3, R4 lần lượt là diện tích các phần 
của (E) nằm trong góc phần tư thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư tương ứng trên ñồ thị. Hãy xác ñịnh giá trị 
T = R1 - R2 + R3 - R4. 

 
196. ðỀ THI HSG BẮC NINH (2005 - 2006) Ngày thi 05 – 04 - 2006 
Bài 1 Tìm giới hạn 1) s inxlim
x+sinxx
x
→∞
−
; 2) 
2 9
0
( 2005) 1 5 2005lim
x
x x
x→
+ − −
. 
Bài 2 
1) Cho hàm số f(x) = x3 – 3x – 1. Tính số nghiệm của phương trình f(f(x)) = 0. 
2) Tìm m ñể phương trình |x|3 – 3|x| – 2 = m(x – 2) có 4 nghiệm thực phân biệt. 
Bài 3 Cho hình chóp SABC có ñáy ABCD là tứ giác nội tiếp ñường tròn ñường kính AC, SA = 2BD, 
 60oBAD = , SA ⊥ (ABCD). Kẻ AH, AK lần lượt vuông góc với SB, SD tại H, K. Hãy tính góc giữa hai 
mặt phẳng (AHK) và (ABCD). 
Bài 4 Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng x2 + y 2 + z2 + 4xyz ≥ 13
27
. 
Dấu ñẳng thức xảy ra khi nào? 
Bài 5 Cho hàm số f xác ñịnh bởi f(x) = f(x + 3).f(x – 3), ∀ x ∈ . Chứng minh f là hàm tuần hoàn. 

 
197. ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2005 – 2006) 
Ngày thi 20 -10 -2005 
Câu 1 (4 ñiểm) Giải hệ phương trình 
4 2
2
2 2 0
1 0
x y xy y
x y x

− + + =

+ − − =
. 
Câu 2 (4 ñiểm) Cho ∆ABC, tìm giá trị nhỏ nhất của T = 2 2 2tan 3(tan tan )
2 2 2
A B C
+ + . 
Câu 3 (4 ñiểm) Tìm tất cả các hàm số f(x) xác ñịnh và có ñạo hàm trên , thỏa mãn 
f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy, ∀ x, y ∈ . 
Câu 4 (4 ñiểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại A và C cắt nhau ở Q, 
tiếp tuyến của (O) tại B và D cắt nhau ở P. Chứng minh rằng P ∈ AC ⇔ Q ∈ BD. 
Câu 5 (4 ñiểm) Chứng minh rằng hai số 2005n và (2005n + 5n) có số chữ số bằng nhau với mọi n nguyên 
dương. 

 
198. ðỀ THI THAM KHẢO HSG 
Bài 1 Chứng minh phương trình xn + px + q = 0 (p, q ∈ , n ∈N*) không thể có quá 2 nghiệm thực nếu n 
chẵn và không thể có quá 3 nghiệm thực nếu n lẻ. 
∧
R
R
R
R
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 159 
Bài 2 Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 2], khả vi trên (0; 2), và |f ’(x)| ≤ 1, ∀x∈ (0; 2), f(0) = f(2) = -1. 
Chứng minh rằng 
2
0
1 ( ) 3f x dx≤ ≤∫ . 
Bài 3 Xét sự hội tụ của dãy {un} xác ñịnh bởi u0 ∈ [0; 1], un + 1 = sin2un, ∀ n = 1, 2, 3,  
Bài 4 Cho f : [a; b] → liên tục và thỏa mãn |f(x) – f(y)| > x – y, ∀x∈ [a; b], x ≠ y. Chứng minh rằng tồn 
tại x0 ∈ [a; b] sao cho f(x0) ∉ [a; b]. 
Bài 5 Tìm hàm f xác ñịnh và ñồng biến (0; + ∞ ), thỏa mãn f(x + 2006) – f(x) = e- 2006x, ∀ x ∈ (0; + ∞ ). 
Bài 6 Cho hàm f khả vi ñến cấp 2 trên (0; + ∞ ), có lim ( )
x
f x
→+∞
 = 0 và |f ’’(x)| ≤ 1, ∀ x ∈ 0; + ∞ ), Chứng 
minh rằng lim '( )
x
f x
→∞
= 0. 
Bài 7 Chứng minh 1 ≤ 
1
4
0
1 x dx+∫ ≤ 
4
3
. 
Bài 8 Giả sử hàm f khả vi trên ñoạn [a; b] và |f ’(x)| ≤ M với mọi x ∈ [a; b]. Chứng minh rằng 
|f(x)| ≤ M(b – a), ∀x ∈ [a; b], và 2
b
a
M( ) (b a)
2
f x dx ≤ −∫ . 
Bài 9 Hai hàm f, g có ñạo hàm ñến cấp hai liên tục trên ñoạn [a; b] và f(a) = g(a) = f(b) = g(b) = 0. Chứng 
minh rằng ( ) ''( ) ''( ) ( )
b b
a a
f x g x dx f x g x dx=∫ ∫ . Từ ñó chứng minh ( )( ) ''( ) 2 ( )
b b
a a
x a x b f x dx f x dx− − = −∫ ∫ . Giả 
thiết nào của f, g tại a và b có thể cho cùng kết quả? 
Bài 10 Cho a < c < b, hàm f liên tục trên các ñoạn [a; c] và [c; b]. Chứng minh f liên tục trên ñoạn [a; b]. 

 
199. ðỀ THI THAM KHẢO HSG 
Bài 1 Chứng minh rằng mọi nghiệm của phương trình x = 1 – 2001.x2001 ñều là nghiệm cuat phương trình 
x = 1 – 2001(1- 2001.x2001)2001. 
Bài 2 Chứng minh rằng với mọi ∆ABC ta có 
a) 3sin sin sin tan tan tan 3
2 2 2 2 2 2 2
A B C A B C
+ + + + + ≥ + . 
b) 
3 3
22sin sin sin(sin ) .(sin ) .(sin ) ( )
3
A B CA B C > . 
Bài 3 Giải phương trình lượng giác 
27 os1 sin 1 sin
4
c x
x x
+
+ + − = . 
Bài 4 Trong mặt phẳng Oxy cho B(- m; 0), C(m; 0) cố ñịnh, m ≠ 0. Gọi A là ñiểm thay ñổi trong mặt 
phẳng và thỏa mãn ñiều kiện: tung ñộ của A bằng 3 lần tung ñộ ñiểm I là tâm ñường tròn nội tiếp ∆ABC. 
Tìm quỹ tích ñiểm I. 
Bài 5 Giải hệ phương trình và bất phương trình 
R
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 160 
a) 
2 4 28 (2 1)(8 8 1) 1
0 1
x x x x
x

− − + =

≤ ≤
. b) 
2 2 2 132 ( 1)(2 1) 1
0 1
x x x
x
x

− − = −

 < <
. c) 
1 1 13( ) 4( ) 5( )
1
x y z
x y z
xy yz zx

+ = + = +

 + + =
. 
Bài 6 Chứng minh rằng trong một tứ diện, tích của các cặp cạnh ñối chia cho tích các sin của nhị diện 
tương ứng bằng nhau (nhị diện tương ứng là nhị diện nhận cạnh ñó làm cạnh). 

 
200. ðỀ THI THAM KHẢO HSG 
Bài 1 Giải phương trình 
a) 1 1 4 3
1 1 1 1 1x x x
+ =
− − + − −
. b) 
2
1 1 35
121x x
+ =
−
. c) 1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2
x x
x x
x x
+ −
− + + = +
− +
. 
Bài 2 
a) Cho ∆ABC ñều cạnh a, P và Q là hai ñiểm di ñộng trên AB, AC tương ứng và thỏa mãn 
1 1 3
aAP AQ+ = . Chứng minh rằng ñường thẳng PQ luân ñi qua ñiểm cố ñịnh. 
b) Cho ∆ABC nội tiếp ñường tròn (O), M ∈ (O). Chứng minh rằng 4 4 4MA MB MC+ + có giá trị là hằng 
số không phụ thuộc vào ñiểm M. 
Bài 3 Cho O.ABC là tam diện vuông ñỉnh O, ñiểm P ∈ (ABC). ðặt u = AP
AO
, v = 
BP
BO
, w = 
CP
CO
, và gọi 
α là góc giữa OP và (ABC). Chứng minh u2 + v2 + w2 = cot2α . 
Bài 4 Cho tứ giác ABCD có B + D < A + C. Gọi R1, R2, R3, R4 lần lượt là bán kính ñường tròn ngoại tiếp 
các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB. CMR R1 R3 < R2 R4. 
Bài 5 
1) Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng 1 xycos cos cos ( )
2 z
yz zx
x A y B z C
x y
+ + ≤ + + . 
2) Chứng minh rằng với mọi số thực x và mọi ∆ABC ta có 
2
1 osA+ (cosB+cosC)
2
x
c x+ ≥ . 
Bài 6 Cho n ∈N*, cho dãy gồm n số (un) cho bởi uk = n knn kn CC −+ 22 . với k = 1, 2, , n. Xét tính ñơn ñiệu của 
dãy số (un). 
 ========== HẾT ========== 
∧ ∧ ∧ ∧
Năm tháng sẽ trôi qua một cách vô vị ñối với những ai nhìn tương lai qua một cặp kính viễn 
vọng của nhà thông thái và chỉ biết hái hoa của hiện tại, nhưng ai biết sử dụng thời gian giống như một 
cái cây cứ mỗi năm cao thêm một ngấn, thì họ sẽ có hạnh phúc!